TECNICAS DE DISEN O Y COMPENSACION
Tecnicas para sistemas SISO invariantes en el tiempo Basadas en
el lugar de las raices y respuesta en frecuen- cia
Especificaciones de funcionamiento
Exactitud o precisio n Estabilidad relativa Velocidad de
respuesta
Diseno y compensacio n de sistemas
Disen o de la planta para que cumpla las especificacio- nes de
funcionamiento: estabilidad, tiempo de creci- miento, etc.
Suponemos que la planta es fija y no se puede modificar.
TECNICAS DE COMPENSACIO N Y DISEN OR. Automa ticaAnadir
elementos adicionales compensador.
10
Compensacio n de ganancia
La forma mas sencilla de modificar el comportamiento del sistema
Si con ajuste de ganancia no se logra las especificaciones (algunas
veces el aumentar la ganancia para mejorar el comportamiento
estacionario conlleva una pobre esta- bilidad) es necesario
introducir un bloque compensador.
Compensacio n en serie y paralelo
Compensacio n en serie ma s fa cil de realizar Sin embargo
necesita ma s energa
Compensadores: Dispositivos fsicos (ele ctricos, neuma ticos,
meca nicos, etc. que se comportan segun una funcio n de
transferencia deseada.
Tipos de compensadores:
red de adelanto red de atraso red de atraso-adelanto
Etapas de diseno en un sistema de control
Planta real o sistema
Sistema fsico real
Entradas y salidas
Modelo fsico teo rico conocido
Modelado matema tico del sistema real
Leyes flisicas modelo matema tico
Simplificaciones, hipo tesis
Funcio n de transferencia o espacio de estado
Identificacio n del modelo
A partir de variables medibles y del comportamiento previsto
Para metros reales de funcio n de transferencia, nor- malmente
lineal e invariante en el tiempoCriterios de bondad
Ana lisis del comportamiento en lazo abierto
Sen ales de prueba: impulso, escalo n, rampa, etc.
Comportamiento en frecuencia Prediccio n del comportamiento en lazo
cerrado
Estudio de los requerimientos exigidos
Aplicacio n de soluciones teo ricas: Ganancia, compen- sador,
otras
Experimentacio n. Puede ser necesarivo volver sobre pa- sos
anteriores
Optimizacio n
Consideraciones preliminares
Efectos de la adicio n de polos y ceros
Anadir un polo:
Desplaza el lugar de las raices a la derecha Disminuye la
estabilidad relativa Aumenta el tiempo de establecimiento
Consideraciones preliminares
Anadir un cero:
Desplaza el lugar de las raices a la izquierda Aumenta la
estabilidad relativa Disminuye el tiempo de establecimiento
Dominio de la frecuencia
Se especifica de forma indirecta el funcionamiento de la
respuesta transitoria: margen de fase, margen de ganan- cia, pico
de resonancia, etc.
En el disen o de sistemas con ruidos de alta frecuencia, es
convenienteel me todo de respuesta en frecuencia.
El diagrama de Bode se modifica fa cilmente al incluir un
compensador.
La regio n de baja frecuencia indica el comportamiento en re
gimen estacionario.
El disen o es un compromiso entre estabilidad relativa y
exactitud en estado estacionario.
Dominio de la frecuencia
Caractersticas de los tipos de compensacio n
Adelanto: Mejora la respuesta transitoria y modifica un poco la
exactitud en estado estacionario. Puede acen- tuar los efectos del
ruido a altas frecuencias.
Atraso: Mejora la precisio n a expensas de un aumento del tiempo
de la respuesta transitoria. Suprime los efec- tos de los ruidos a
altas frecuencias.
Atraso-adelanto: Comparte caractersticas de los dos ti- pos pero
aumenta la complejidad del sistema.
Compensacio n en adelanto
11 1 1 1 2
22 2 1
Como la corriente de entrada al amplificador es desprecia-ble 1
2
1 2
Como 0, se tiene
2 2 1 11 1 2 2 1
11 1 1122 2
El inversor de signo tiene la funcio n de transferencia de:
0 4
3
La ganancia del inversor es 4 3 luego
1 14 1 1 11 13 22 2
donde:
4 11 1 2 2 3 2
Este es un circuito de adelanto si 1 1 2 2.
Caractersticas de los compensadores en adelanto
1 11 1 0 1
Tiene cero en 1 y polo en 1 . El cero esta siempre a la derecha
del polo en el plano complejo.
Del diagrama polar:
11
1sen 22 1
Diagrama de bode de red de adelanto para 1y 0 1
es la media geome trica de las dos frecuencias de cruce:
log
11 log2
1 log
Por tanto:1
Compensacio n en adelanto mediante lugar de las raices
De las especificaciones de funcionamineto se determi- nan la
ubicacio n deseada de los polos dominantes de lazo cerrado. Ver si
con el ajuste de la ganancia se logra los polos en lazo cerrado
deseados. Calcular la deficiencia angularque se compensara con la
red de adelanto. Suponer el compensador
1 11 1 0 1
donde y se determinan a partir de la deficiencia an- gular y se
determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto.
Determinar la ubicacio n del polo y cero del compensa- dor.
Interesa un valor de lo ma s grande posible. Determinar la ganancia
de lazo a partir de la condicio n de magnitud. Verificar que se
cumplen las especificacio- nes de funcionamiento.
Compensacio n en adelanto mediante respuesta en frecuencia
Suponer el compensador en adelanto:
1 11 1 0 1
Se define : Entonces:
1
1
La F.T. del sistema compensado es:
11
Determinar el valor de K que satisface el coeficiente de error
esta tico. Trazar el diagrama de bode de y determinar el margen de
fase del sistema. Determinar el sistema.
a ngulo de fase necesario para agregar al Determinar el factor
de atenuacio n necesario . Deter- minar la frecuencia en que la
magnitud del sistema no compensado es igual a 20 log 1 . Esta
frecuencia
que corresponde a 1 sera
la nueva frecuen-cia de cruce de ganancia, y el ma ximo
desplazamiento de fase se produce a esa frecuencia. Determinar las
frecuencias de cruce del compensador: Cero en adelanto: 1Polo en
adelanto: 1 A partir del valor de calculado en el paso 1 y el de
calculado en el paso 4, calcular :
Verificar que el margen de fase es satisfactorio.
Control Proporcional Derivativo: PD
Es una versio n simplificada del compensador en ade- lanto.
Tiene una funcio n de transferencia:
1
donde el valor de se determina para satisfacer reque- rimientos
de estado estacionario. Se elige la frecuencia de cruce 1 tal que
el adelanto de fase se produzca en la proximidad de la frecuencia
de cruce de ganancia. Se produce un incremento continuado de la
magnitud indeseable pues amplifica los ruidos de alta frecuencia
(filtro paso altas). La realizacio n fsica puede presentar serios
problemas en el caso de la red electro nica por el proceso de
diferen- ciacio n. Este tipo de controlador al igual que la red de
adelanto mejora la respuesta transitoria (tiempo de crecimiento
pequen o y pequen o sobreimpulso).
Compensador en Atraso
Misma configuracio n que el compensador en adelanto
10 11 1 1
Caractersticas
El compensador tienen un cero en 1 y un polo en1 . El polo a la
derecha del cero. El compensador en atraso es esencialmente un
filtro paso bajas.
Compensacio n en atraso mediante el me todo del lugas de las
raices
Trazar el lugar de las raices para el sistema no compen- sado
cuya funcio n de transferencia de lazo abierto es G(s). Ubicar los
polos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las raices. Suponer
que la F.T. del compensador en atraso es
1 11 1
Entonces la F.T. del sistema compensado es . Calcular el
coeficiente de error esta tico particular espe- cificado en el
problema. Determianr la magnitud del aumento en el coeficiente esta
tico particular para satisfacer las especificaciones. Determinar el
polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento
necesario en el coeficiente esta tico sin alterar en forma notoria
el lugar de las raices. Trazar un nuevo lugar de las raices para el
sistema com- pensado. Ubicar lospolos dominantes de lazo cerrado
enel lugar de las raices. Si la contribucio n angular de la redes
pequen a el lugar de las raices sera
muy similar.
Ajustar la ganancia del compensador partiendo de la condicio n
de magnitud.
Compensacio n en atraso por el me todo de la respuesta en
frecuencia
Suponiendo el compensador en atraso:
1 11 1 1
Se defineEntonces
1
1
La F.T. del sistema compensado es
donde 1
1 11 1 1Determinar la ganancia para satisfacer los requeri-
mientos de la constante de error esta tica dada. Si el sistema no
compensado 1 no satis- face las especificaciones en ma rgenes de
fase y ganan- cia, hallar el punto donde la F.T.L.A. es igual a
-180 mas el margen de fase requerido. Se an aden de 5 a 12 grados
para tener en cuenta el atraso de fase del compensa-
dor. Elegir esta frecuencia como nueva frecuencia de ganancia.
Se puede elgir la frecuencia de cruce 1 (corres- pondiente al cero
del compensador) una de cada por debajo de la nueva frecuencia de
cruce de ganancia. Determinar la atenuacio n necesaria para bajar
la curva de magnitud a 0 db la nueva frecuencia de cruce de
ga-nancia. La atenuacio n es 20 log . La otra frecuenciade cruce
correspondiente al polo estara
en 1 . Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de
determiando en el paso 5 calcular la constante de
Comentarios sobre compensacio n en atraso
Los compensadores en atraso son filtros paso bajas. Per- miten
ganancia grande a bajas frecuencias y reduce la ganancia a altas
frecuecias de modo que mejora el mar- gen de fase. Se utiliza las
caractersticas de atenuacio n de altas fre- cuencias mas que la
caractersticas de atraso de fase. La ubicacio n exacta del polo y
cero no son crticas, siem- pre que esten cerca del origen y que la
relacio nsea igual al factor que multiplica al coeficiente de error
esta tico de velocidad. La atenuacio n debida al compensador
desplaza la fre- cuencia de cruce de ganancia a un punto de menor
frecuencia donde el margen de fase sea aceptable. Se reduce el
ancho de banda y la respuesta es ma s lenta. El compensador en
atraso tiende a integrar la sen al de entrada, actua como un
controlador proporcional e in- tegral y tiende a tornarse menos
estable. Para evitar esta caracteratica la constante de tiempo T
debe ser superior a la mayor constante de tiempo del sistema.
Controlador Proporcional Integral: PI
Se caracteriza por la siguiente F.T.
11
Tiene un cero en 1 y un polo en s=0. Tiene ganancia infinita a
frecuencia cero lo que mejora las caractersticas de error
estacionario. Aumenta el tipo del sistema y lo hace menos estable.
La velocidad de respuesta es ma s lenta porque se atenu an las
componentes de alta frecuencia
Compensacio n en atraso adelanto
Necesario cuando se desea mejorar tanto la respuesta
estacionaria como la respuesta transitoria. El atraso de fase y
adelanto se producen a diferentes bandas de frecuencias. combina
las ventajas de la compensacio n en adelanto y atraso.
1 1
11 2 1 1
1 2
