CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. - el blog de mate de · PDF filenos da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado, el dominio serán solo los números positivos,

el blog de mate de aida. CSII. Funciones elementales. pág.1

CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN.

Dadas dos magnitudes, una función es una relación entre ambas, de tal manera que a cada valor de la

primera le corresponde un único valor de la segunda.

A la primera magnitud se la llama variable independiente, y a la segunda (que depende de la primera),

variable dependiente.

Si se representa por la letra “x” la variable independiente y por la letra “y” la variable dependiente, la

relación funcional “y es función de x”, o “y depende de x”, se escribe así:

y=f(x)

El dominio de una función es le conjunto de valores que puede tomar la variable independiente “x”.

El rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Ejemplo: El área de un cuadrado es igual a lado por lado: 2lA . Ésta es una relación entre dos

magnitudes: área y lado. El área depende del lado, luego a esta se le llama variable dependiente y al lado

variable independiente.

El dominio de esta función está formado por los números positivos, ya que la variable independiente es

una longitud. El rango de dicha función está formado también por números positivos.

DETERMINACIÓN DE UNA FUNCIÓN.

- Mediante una gráfica.

- Mediante una tabla o conjunto de pares.

- Mediante fórmulas o expresión analítica.

- Mediante una descripción verbal.

Mediante su representación gráfica:

Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

- la x (variable independiente) sobre el eje horizontal (eje de abscisas).

- la y (variable dependiente) sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y. Al representar los puntos

(x,f(x)), la función se identifica con una línea que es la gráfica de la función.

Para realizar la gráfica de una función hay que elegir las escalas adecuadas en cada eje; o lo que es lo

mismo, utilizar las unidades más idóneas. Los ejes deben estar graduados en escalas, de modo que se

puedan cuantificar los valores de las dos variables. En las gráficas conviene destacar aquellos valores

para los cuáles se verifican hechos importantes.

Mediante una tabla de valores:

Se presentan dos columnas: en la primera

aparece la variable independiente (x) y en la

segunda la variable dependiente (y).

Ejemplo: El área de un cuadrado, en función de

su lado, es A=l2. Esta función puede venir dada

mediante la siguiente tabla de valores:

Lado, x (cm.) área, y (cm2)

0 0

0,5 0,25

1 1

1,5 2,25

2 4

2,5 6,25

3 9

3,5 12,25

Mediante su expresión analítica o fórmula:

La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Permite calcular los

valores de la variable dependiente para todos los valores que demos a al variable independiente.


Ejemplo: El volumen de una esfera es función de su radio y viene dado por la expresión:

3

3

4rV

CUÁNDO UNA GRÁFICA NO CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN

Cuando a cada valor de x le corresponde uno o ninguno de y, la gráfica corresponde a una función.

Cuando hay valores de x a los que les corresponde más de un valor de y, la gráfica no corresponde a una

función.

ASPECTOS A ESTUDIAR SOBRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

Vamos a considerar a continuación, de manera intuitiva, algunos aspectos a tener en cuenta para

estudiar y representar una función y=f(x).

Dominio de definición

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom(f), al conjunto de valores de x

para los cuales existe función, es decir, puede calcularse f(x).

El conjunto de valores de x para los cuales existe la función puede quedar restringido por alguno de los

siguientes motivos:

- imposibilidad de realizar alguna operación:

- denominadores: los valores que hacen cero el denominador no están en el

dominio.

- raíces cuadradas: los valores que hacen negativo el radicando no están en el

dominio.

- contexto real del cual se ha extraído la función: por ejemplo, si se trata de la función que

nos da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado, el dominio serán solo los

números positivos, pues la longitud del lado es una distancia y es positiva siempre.

- por voluntad de quien propone la función: cuando quien presenta la función la define en un

intervalo determinado.

Tendremos en cuenta las siguientes condiciones:

- Las funciones polinómicas están definidas para todo número real.

- Las funciones racionales, de la forma )(

)()(

xQ

xPxf donde P(x) y Q(x) son polinomios, están

definidas para todo valor de x, menos aquellos que hacen cero el denominador (la división por

cero no tiene sentido). Por tanto, los valores que hay que excluir son las soluciones de la

ecuación Q(x)=0.

- La función raíz cuadrada, )()( xPxf , no tiene sentido cuando el radicando es negativo.

Por consiguiente habrá que excluir todos los valores de x tales que P(x) < 0.

Ejemplos: Indica y razona cuál es el dominio de las funciones:

1) 3)( 2 xxf 2) 4

2)(

xxf 3) 1)( 2 xxf 3)

5

3)(

x

xxf


Recorrido o imagen

El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es

decir, la y. Lo representaremos por Im(f).

Puntos de corte

Los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o varios puntos de corte.

Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).

Discontinuidades

La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo trazo (para dibujarla no

hace falta levantar el bolígrafo del papel). Una función que no es continua presenta alguna

discontinuidad.

También se puede decir de una función que es continua en un tramo, aunque tenga discontinuidades en

otros lugares. Una función es continua en un intervalo si sólo presenta discontinuidades fuera de él.

Las funciones dadas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos en los

que están definidas.

Hay diferentes razones por las que una función puede no ser continua:

- Si la variable independiente pasa dando saltos de cada valor al siguiente, no es continua

(para dibujarla hay que levantar el bolígrafo del papel). En este caso, la variable se llama

discreta. La gráfica de la función es una serie de puntos.

- Otras veces, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos

bruscos. Esos saltos se llaman discontinuidades y la función que los tiene se dice que es

discontinua. (Para dibujarla hay que levantar el bolígrafo del papel).

Simetrías

Una función es simétrica respecto del eje OY cuando f(-x) = f(x), para todo x de su dominio. En este

caso decimos que f es una función par.

Una función es simétrica respecto del origen cuando f(-x) = -f(x), para todo x de su dominio. En este

caso decimos que f es una función impar.

La gráfica de una función impar no varía si, con centro en el origen de coordenadas, la giramos 180º.

Asíntotas

Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se

comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy

clara.

Las asíntotas son rectas hacia las cuáles tiende a “pegarse” la gráfica de la función. Pueden ser

verticales, horizontales y oblicuas.

Una función tiende hacia un valor constante k cuando al aumentar o disminuir los valores de la

variable independiente, los correspondientes valores de la variable dependiente se van aproximando

al valor constante k.


Este comportamiento se expresa de las

siguientes formas:

- Cuando x tiende a más infinito, y=f(x) tiende a

k: x + f(x) k

- Cuando x tiende a menos infinito, y=f(x)

tiende a k: x - f(x) k

Gráficamente, ambas situaciones se

representan:

La recta y = k es una asíntota horizontal.

En la tendencia de una función a mas o menos infinito cuando x tiende a un valor constante

pueden darse los siguientes casos:

La recta x=a es una asíntota vertical.

Crecimiento y decrecimiento; máximos y mínimos

Una función f es creciente cuando el valor de

f(x) aumenta al hacerlo x. En caso contrario es

decreciente.

El punto que marca el paso del crecimiento al

decrecimiento se llama máximo relativo,

mientras que en un mínimo relativo se da el

paso de decrecimiento a crecimiento.

Si f(a) es mayor que cualquier f(x), entonces el

punto (a,f(a)) es el máximo absoluto de f. De

manera análoga se define el mínimo absoluto.

Periodicidad

Una función es periódica de periodo k cuando

f(x) = f(x+k). Esto significa que la función se

repite en intervalos o ciclos consecutivos de

longitud k.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. FUNCIONES I: Funciones elementales. pág.5

FUNCIÓN LINEAL: LA RECTA.

Las funciones polinómicas de grado cero o uno tienen por gráfica una recta: y = mx + n. El coeficiente

“m,” se llama pendiente. Al número “n” se le denomina ordenada en el origen. La recta de ecuación

y=mx+n corta al eje Y en el punto (0,n).

La pendiente (coeficiente de la ‘x’) es la variación (aumento o disminución) que experimenta la ‘y’ cuando

la ‘x’ aumenta una unidad. Nos da la inclinación de la recta:

- Si m > 0, la recta, y la función, es creciente.

- Si m < 0, la recta, y la función, es decreciente.

- Si m = 0, se trata de la función constante. Su gráfica es una recta horizontal.

Dadas las coordenadas de dos puntos de la recta, 111 , yxP y 222 , yxP , la pendiente será:

12

12

xx

yym

, donde 12 xx es la variación de la ‘x’ y 12 yy es la variación de la ‘y’.

Función de proporcionalidad y=mx (función lineal): Las funciones lineales o de proporcionalidad

directa son funciones cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA DE PUNTO-PENDIENTE

Si de una recta se conoce un punto (x0,y

0) y la pendiente, m, su ecuación, llamada ecuación en la forma

punto-pendiente, es:

00 xxmyy

Funciones relacionadas con las rectas:

Valor absoluto:

0

0

xsix

xsix

xy .

FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA:

Las funciones cuya expresión es un polinomio de grado 2, cbxaxy 2, con a 0, se llaman

funciones cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas con eje vertical.

El vértice de una parábola se calcula

encontrando su coordenada ‘x’ mediante la

expresión: a

bxv

2 , y su coordenada ‘y’

sustituyendo el valor obtenido en la ecuación de

la parábola, es decir:

a

bf

a

bV

2,

2

Eje de simetría de la parábola: es la recta de

ecuación: a

bx

2 . Cumple que la gráfica es

simétrica respecto a dicho eje (que es una

recta vertical, es decir, paralela al eje Y).


Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

- Con el eje X (eje de abscisas): son las raíces de la ecuación: 02 cbxax . Se hace y=0 y

se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.

- Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).

Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación 02 cbxax , que tendrá dos,

una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando) acb 42 . Dos

soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y

ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.

Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la

parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la

parábola van hacia abajo.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES O MAYOR QUE TRES.

Una función polinómica de tercer grado, llamada también cúbica, tiene por fórmula:

dcxbxaxxf 23)( , con a, b, c, d reales y a 0.

Las gráficas de las funciones cúbicas son de uno de los cuatro tipos siguientes:

El dominio es la recta real.

La función es continua en su dominio.

Puntos de corte con los ejes:

- La gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 o 3 puntos (que son las raíces de la

ecuación 023 dcxbxax ).

- La gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0,d).


FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:

Las funciones cuya ecuación es de la forma x

ky se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se

representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

Su dominio de definición es:

,00, .

Su recorrido es: ,00, .

Es creciente en todo su dominio si k < 0 y

decreciente si k > 0.

No tiene extremos relativos.

Es discontinua en x=0.

No corta a los ejes de coordenadas.

Asíntotas:

- Horizontales: y=0.

- Verticales: x=0.

Es simétrica respecto al origen de

coordenadas.

FUNCIONES RACIONALES

Las funciones cuya ecuación es de la forma )(

)()(

xQ

xPxf , con P y Q polinomios, se llaman funciones

racionales.

Su dominio de definición son todos los números reales excepto los que anulan el denominador.

Es discontinua en los puntos que no pertenecen al dominio.

Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P(x) que pertenezcan al dominio.

Asíntotas:

- Verticales: se encuentran en los puntos que anulan el denominador.

- Horizontales: comparamos grados:

- si grado[P(x)] > grado[Q(x)] no hay asíntota horizontal.

- si grado[P(x)] < grado[Q(x)] y=0 es asíntota horizontal.

- si grado[P(x)] = grado[Q(x)] y=k es asíntota horizontal, donde b

ak , siendo ‘a’ y ‘b’

los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) respectivamente.

- Oblícuas: aparecen cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el del

denominador.

Ejemplos:


FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS:

Las expresiones analíticas de estas funciones requieren de varias fórmulas, cada una de las cuáles rige

el comportamiento de la función en un determinado tramo. Por ejemplo:

4 x si 3-x

4 x 0 si 1

0 xsi 12xx 2

y

4 x si 3-x

4 x 0 si 2

0 xsi 12xx 2

y

Su representación gráfica es fácil si sabemos representar cada uno de sus tramos y se presta atención

a su comportamiento en los puntos de empalme.

Ejemplo: Un banco ofrece cuentas corrientes con un 2’5% de interés si el saldo es inferior a 1500 €,

5% de interés para saldos entre 1500 € y 6000 €, y 7’5% para saldos superiores a 6000 €. Representa

gráficamente la función que nos da el interés en función del saldo.

Para definir esta función hacen falta tres fórmulas:

6000100

5'7

60001500100

5

1500100

5'2

)(

xsix

xsix

xsix

xf Para completar la tabla de valores tendrás que dar

valores dentro de cada intervalo y aplicar la fórmula adecuada en cada caso:

X intervalo f(x)

500 x < 1500 12,5

1000 x < 1500 25

2000 1500 x 6000 100

4000 1500 x 6000 200

8000 x > 6000

10000 x > 6000


LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La expresión general de la función exponencial es: xx ayaxf )( , siendo a > 0, a 1.

FUNCIONES EXPONENCIALES

CON BASE MAYOR QUE 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

CON BASE MENOR QUE 1

PROPIEDADES 1,)( aaxf x 1,)( aaxf x

FORMA

DE LA

GRÁFICA

DOMINIO Dom f = R Dom f = R

RECORRIDO Im f = R Im f = R

CORTES CON

LOS EJES

(0,1) (0,1)

MONOTONÍA Estrictamente creciente en todo

su dominio.

Estrictamente decreciente en

todo su dominio.

ACOTACIÓN Acotada inferiormente por 0. Acotada inferiormente por 0.

ASÍNTOTAS Asíntota horizontal: y = 0. Asíntota horizontal: y = 0.

CONTINUIDAD Continua en todo R. Continua en todo R.

Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto

ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita

una hora, aproximadamente, para dividirse en dos.

La tabla nos muestra el número de bacterias que van apareciendo con el paso del tiempo, en horas:

Tiempo

(horas)

x

Número

de bacterias

y

0 1

1 2

2 4

3 8

La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es: xxf 2)(

Ejemplo: El elemento químico denominado radio tiene un periodo de semidesintegración de,

aproximadamente, 1600 años. Esto quiere decir que cada 1600 años la cantidad radiactiva de radio se

reduce a la mitad. Por tanto, si partimos de 1 gr de radio, al cabo de 1600 años o un periodo de

semidesintegración habrá 1/2 gr de radio, al cabo de dos periodos (3200 años) habrá 1/4 y así

sucesivamente. Hace 1600 años (menos un periodo de semidesintegración) había dos gramos de radio,

hace dos periodos había 4 gramos, etc. La siguiente tabla nos da el número de períodos de

semidesintegración en función de la cantidad de radio:


Tiempo

(períodos de

semidesintegración)

x

Cantidad

(gramos)

y

-2 4

-1 2

0 1

1 ½

2 ¼

La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

x

xf

2

1)(

LOGARITMOS

El logaritmo de un número real positivo x en base a es el exponente al que hay que elevar la base a

para obtener x: yxa log significa que xa y , siendo a > 0, a 1.

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se indican omitiendo la base, así: log N.

El logaritmo neperiano es el logaritmo en base e (e=2,71…) y se escribe “Ln”.

Ejemplo: Halla los logaritmos siguientes:

322288log 3

2 yy yy

4222

11616log 4

2/1

yy y

y

5log25 2 xx

¿En qué base el logaritmo de 100 es 2?

1010100100log2 222 aaaa

Propiedades de los logaritmos:

I. NMNM bbb loglog·log II. NMN

Mbbb logloglog

III. MnM b

n

b ·loglog IV. b

MM

a

a

blog

loglog


LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Se llama función logarítmica a la que tiene por ecuación xy alog , siendo a > 0, a 0.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

CON BASE MAYOR QUE 1

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

CON BASE COMPRENDIDA

ENTRE 0 Y 1

PROPIEDADES 1;log)( axxf a 10;log)( axxf a

FORMA

DE LA

GRÁFICA

DOMINIO Dom f = R Dom f = R

RECORRIDO Im f = R Im f = R

CORTES CON

LOS EJES

(1,0) (1,0)

MONOTONÍA Estrictamente creciente en todo

su dominio.

Estrictamente decreciente en

todo su dominio.

ACOTACIÓN No acotada. No acotada.

ASÍNTOTAS Asíntota vertical: x = 0. Asíntota vertical: x = 0.

CONTINUIDAD Continua en R . Continua en R .

Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto

ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita

una hora, aproximadamente, para dividirse en dos. Vamos a estudiar ahora el tiempo transcurrido en

función del número de bacterias.

La tabla nos muestra las horas que pasan en función del número de bacterias que tenemos:

Número

de

bacterias

x

Tiempo

(horas)

y

1 0

2 1

4 2

8 3

Tenemos: yx 2 . La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

xy 2log

Ejemplo: El radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproximadamente, 1600 años. Un físico de

un prestigioso laboratorio depositó en una urna 1 gr de radio con el fin de que sirviera de reloj para la

posteridad. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la

cantidad de radio:


Cantidad

de radio

(gr)

x

Tiempo

(período de

semidesintegración)

y

8 -3

4 -2

2 -1

1 0

1/2 1

1/4 2

Tenemos:

y

x

2

1. La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

xy 2/1log

Las gráficas de la función exponencial y logarítmica con la misma base, es decir, xay y

xy alog son simétricas respecto a la recta y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Las funciones con esta interesante propiedad gráfica reciben el nombre de funciones inversas.

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