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Concepto de Porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “ tantos de cada 100 ”.
Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100, osea
40% = 100
40
Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción
Hallar el 35% de 420 :
35 % de 420 = 147420100
35
Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total Parte
100 - - - - - - 40
650 -- - - - - x
PORCENTAJES
Problemas de porcentajes
Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento:
30% de 40 = 12
porcentajetotal
parte
En el salón de clase, el 40% son mujeres. Si en total hay 30 alumnos, ¿cuántas son las mujeres?
PORCENTAJES
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son mujeres. ¿Qué porcentaje representan las chicas?
Alumnos %
30 ------- 100
12 ------- x
En mi clase hay 12 mujeres y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?
% Alumnos
40 ---------- 12 mujeres
100 --------- x
APLICACIONES COMERCIALES
Precio de Venta = Precio de costo + Ganancia
Precio de Venta = Precio de costo - Pérdida
PV = PC + G
PV = PC - P
Precio de Venta = Precio de Lista - Descuento
PV = PL - D
SEMEJANZA
Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño
La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.
¿ Qué observas ?10 cm
5 cm
4 cm 8 cm
¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”?
La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías :Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir:
las dos fotografías son:
¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?
cm
cm
cm
cm
10
5
8
4
Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales10 x 4 = 8 x 5
Dos figuras son semejantes porque:
1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción.
2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los
ángulos.
No son figuras semejantes
¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.
¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
x 3
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
16
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Criterios de semejanza de triángulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos.
Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
Existen tres criterios de semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)2. LLL (lado-lado-lado)3. LAL (lado-ángulo-lado)
Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
´
´
´
Es decir: Si ´ ,
´ de lo anterior se deduce que
´Entonces, ABC semejante con A´B´C´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
¡SI!Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
65° 25°
A
BC
Q
25°
65°
PR
Segundo criterio: LLL
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
aa´
El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:aa´ = b
b´ = cc´ =K
b b´
c
c´
Ejemplo :
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
1,5 3 = =
3,5 7
510
A
BC
1,5
3,5
5
P
Q
R
3
7
10Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre
los lados correspondientes es constante
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
= 0,5
Tercer criterio:LAL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
A’
B’C’
A
BC
Es decir:
aa’
aa’ = c
c’
c
c’
y = ’
´
Entonces ABC semejante aA’B’C’
Ejemplo :
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente así es, ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
