Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .¿Cual seŕıa el vector vector nulo o vector cero?
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .
EJEMPLOS: El vector x =
51035
es un vector de R4 y su primera,
segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 10,−3 y 5, en eseorden.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .EJEMPLOS: Los vectores
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectorescanónicos de Rn
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .¿Cuando dos vectores son iguales?
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretarcomo puntos;
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretarcomo puntos;
En las aplicaciones f́ısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, dirección ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
[SUMA] Dados u =
u1u2...un
y v =
v1v2...vn
, definimos
u + v =
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
[PRODUCTO POR ESCALAR] Dados u =
u1u2...un
y λ ∈ R , definimos
λu =
λu1λu2...
λun
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
[RESTA] Definimos u − v
u − v = u + (−v)
PR = OR − OP .
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Teorema (Ejer. 9 del Taller2Parte A)
Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos números reales. Entonces
1 u + v ∈ Rn. Ley clau para +.2 (u + v) + w = u + (v + w). Ley asoc para +
3 u + v = v + u. Ley conm. para +
4 Existe un único vector z ∈ Rn tal que u + z = z + u = u(z = 0).Ley mod para la suma
5 Para cada u, existe un único vector p ∈ Rn tal queu + p = p + u = 0 (p = -u). Existencia del opuesto para suma.
6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar7 α(u + v) = αu + αv. Ley dist del producto por escalar resp +
8 (α+ β)u = αu + βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.
9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto porescalares
10 αu = 0, si y solo si, α = 0 ó u = 0.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Coloquio de Matemáticas:
Lunes 16 de febrero a las 11:00 am.Salón: 202-405”‘El residuo sobre funciones meromorfas con polos lineales del punto devista de la geometŕıa en conos”’Profesora Sylvie PaychaInstituto de MatemáticasUniversidad de Potsdam
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Combinación Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinaciónlineal.
EJEMPLO: Sean u =
(
−12
)
y v =
(
25
)
y w =
(
3−2
)
. Calculemos la
combinación lineal de ellos dada por 3u − v + 2w .
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Combinación Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinaciónlineal.
EJERCICIO ¿los vectores
−1340
y
20−1
son combinaciones lineales
de
10−2
y
−52−3
?.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
EJEMPLO: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u +√5v , 0, u, 3v , u − v son
vectores de V .
EJERCICIO ¿El vector
302
pertenece a Gen
101
,
00−1
?.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
EJERCICIO Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.EJERCICIO Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.EJERCICIO Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
EJERCICIO Determine un conjunto generador de
V =
3r − sr + 5s
r
, r , s ∈ R
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJERCICIO: Demostremos que
13−2
,
−1−54
,
1−20
, es un
conjunto l.i.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJERCICIO: Demostremos que
13−2
,
−123
,
21−5
, es un
conjunto l.d.EJERCICIO: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector0 es un conjunto l.d.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJERCICIO: Dados
21−5
,
130
,
−2−1−1
, Calcule
u · v , u · w , v · w , (3u) · v , (u + v) · w y v · u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJERCICIO: Suponga que un fabricante produce cuatro art́ıculos. La
demanda para los art́ıculos está dada por d =
30204010
. Los precios
unitarios para los articulos están dados por el vector p =
20151840
. Si
satisface su demanda. ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema (Ejer. 50 del Taller2ParteB)
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v + w) = u · v + u · w. Ley dist3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,
‖u‖ =√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,
‖u‖ =√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
EJERCICIO: Dados u =
21−5
, y los puntos P =
523
, Q =
1−13
,
Calcule ‖u‖ y ‖PQ‖,
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,
‖u‖ =√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
Teorema
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algún λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.(e) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv
con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(
− b2a, c − b2
4a
)
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(
− b2a, c − b2
4a
)
entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)
2
4‖u‖2
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(
− b2a, c − b2
4a
)
entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)
2
4‖u‖2
Además, si u = λv entonces
|u · v | = |λv · v | = |λ||v · v | = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriángulo como el de la siguiente figura
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos
‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entoncescos θ =
u · v‖u‖‖v‖
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos
‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entoncescos θ =
u · v‖u‖‖v‖
EJEMPLO: Calcule el ángulo de u =
1−1−11
y v =
1−1−1−1
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
EJEMPLOS: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal au (Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:
(a) u =
1−1−1
y v =
1−11
(b) u = e1 y v =
2−103
proyvu =( v · u‖v‖2
)
v
Algebra lineal Básica
Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Definición
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,
y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal
Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.
Algebra lineal Básica
Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Definición
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,
y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal
Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.
EJEM: Dado A =
−1 0 32 1 13 5 −2
y x =
013
, tenemos
Ax = 0
−123
+ 1
015
+ 3
31−2
=??
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a)
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn).
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Observe que el sistema lineal
{
3x − 2y + z = −2x − 3z = 1
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Observe que el sistema lineal
{
3x − 2y + z = −2x − 3z = 1
⇔ x(
3
1
)
+y
(−20
)
+z
(
1
−3
)
=
(−21
)
⇔(
3 −2 11 0 −3
)
xyz
=
(
−21
)
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Definición (Espacio nulo)
El espacio nulo de una matriz A esta dado por
NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}
Algebra lineal Básica
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
Algebra lineal Básica
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Algebra lineal Básica
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM
Algebra lineal Básica
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0;
Algebra lineal Básica
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0; entonces,(a) A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, por tanto, x + y ∈ NA.(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA.Ix = x donde I es la matriz n × n dada por [e1 e2 · · · en] y x ∈ Rn
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
M.Aum =
−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4
M.Esc =
−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
M.Aum =
−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4
M.Esc =
−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1
Entonces 1ro SI, 2do NOAlgebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c .
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.
Corolario (1)
si el vector u es solución del sistema Ax = b y el vector v es solución delsistema homogéneo asociado (Ax = 0), entonces (u + v) es solución delsistema Ax = b.
DEMA(u + v) = Au + Av = b + 0 = b.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
DEM Sea v una solución del sistema Ax = b, entonces h = v − u essolución del sistema homogéneo asociado (Coro 2) y por tantov = h + u. La otra implicación es el resultado del Coro 1.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (4)
Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitassoluciones.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (4)
Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitassoluciones.
DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u − v 6= 0 es solución del sistema homogéneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, también es solución delsistema homogéneo, lo que nos indica que el sistema homogéneo tieneinfinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh + u es también solución delsistema Ax = b. Aśı que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.
Algebra lineal Básica
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que larecta que contiene a P y tiene dirección d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d .
Algebra lineal Básica
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que larecta que contiene a P y tiene dirección d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d . Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x − p = td ⇒ x = p + td
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuación vectorial L :(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuación vectorial L :(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
2 Determine si R =
(
3−1−2
)
y S =
(
4−10
)
pertenecen a la recta L.
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuación vectorial L :(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d .
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
3−21
y Q =
530
y
L2 es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
3−21
y tiene vector
dirección v =
23−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
321
y Q =
130
y L2
es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
5−41
+ t
22−2
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
0−20
y tiene vector
dirección v =
13−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
1−21
y R =
23−1
Algebra lineal Básica
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal Básica
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
2 L2 es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal Básica
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
2 L2 es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
3 L2 es la recta que pasa por los puntos Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal Básica
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ Rn diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .
Algebra lineal Básica
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ Rn diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .
Observe que PX = tc + sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R
x − p = tc + sd x = p + tc + sdEsta es la ecuación vectorial del plano.
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
4 ¿Los puntos M =
221−2
N =
64−9−2
se encuentran en el plano P?.
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinación lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinación lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Teorema (Planos iguales- Ejer. 71 Taller2ParteB)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto común
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.⇒:Si L ⊂ P entonces P ∈ P (P ∩ L 6= ∅). Entonces otra ecuaciónvectorial de P es P + rc1 + sd1. Además, como P + td ∈ L ∀t ∈ Rentonces P + td = P + r0c1 + s0d1, t ∈ R. En particular, si t = 1tenemos d = r0c1 + s0d1, es decir, d ∈ Gen{c1, d1}. Por lo tanto, L||P.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.⇐:Si L||P y ∃M ∈ P ∩ L. Entonces existen α, β ∈ R tales qued = αc1 + βd1. Ahora, note que L : M + td ∀t ∈ R y P : M + rc1 + sd1,r , s ∈ R. Demostremos que L ⊂ P. Para ello, sea X ∈ L entoncesX = M + t0d = M + t0(αc1 + βd1) = M + r0c1 + s0d1 lo que implica queX ∈ P.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
xyz
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
xyz
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
PREG: Existe otra recta contenida
en P? Cuántas rectas contenidas en P existen? Ejer. 75 Taller2ParteC
Algebra lineal Básica
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal alplano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal Básica
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal alplano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal Básica
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
xyz
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: No
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
xyz
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: Śı
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.
.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)
donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)
donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.A esta ecuación la llamamosecuación general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R2 son rectas (Ejer. 87 Taller2parteC)-Hiperplanos en R3 son planos.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuación es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuación es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer.85 Taller2ParteC
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema (Propiedades-Ejer. 88 del Taller2ParteC)
Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3= 0
De manera análoga u× v · v = 0
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
-Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 =
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0
.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 ó θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
Corolario
El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por losvectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
Corolario
El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por losvectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.
DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, está dada porh = ‖u‖ sin θ y el área del paralelogramo, es base por altura, tenemos
A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM:
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Observemos que h, la altura del paraleleṕıpedo, es la norma del vector
proyv×wu =u · (v × w)‖v × w‖2
v × w
Vol=(área del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y sólo si, u · (v×w) = 0
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,
PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0
por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que
PX = αc + βd .
Luego, X ∈ P.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =
−253
y
tiene vectores directores c1 =
27−2
y d1 =
4−5−6
es paralelo o es
ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.
EJEM: Determine si la recta L :
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela u
ortogonal al plano P que contiene al punto M =
5−23
y tiene vectores
directores c1 =
0−21
y d1 =
20−3
.
Algebra lineal Básica
QUIZ 1
1 Deduzca una fórmula para determinar la distancia más corta delpunto P(x0, y0) a la recta L cuya ecuación es ax + by + d = 0
2 Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos alhiperplano H : x1 + x2 − 2 = x4
x = 1 + t − 2sy = −3s + 2tz = 1− t + sw = 2 + t
x =
1−150
+ s
−2010
+ t
−201−4
x = 2− ty = −2s + 1z = 1 + t + sw = −t − 2s − 2
3 Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x · (y × z) = z · (x × y)demuestre la identidad de Lagrange. Es decir,
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2
Algebra lineal Básica