Conceptos Teóricos de La Integral de Riemann

10/1/2015 ConceptostericosdelaIntegraldeRiemann

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CONCEPTOSTERICOSSOBRELAINTEGRALDERIEMANN

CONTENIDO:

IntroduccinParticindeunintervaloSumadeRiemannsuperioreinferiorVariacindelassumasdeRiemannIntegraldeRiemannsuperioreinferior.FuncionesRiemannIntegrablesCaracterizacindelasfuncionesRiemannIntegrablesSumasdeRiemannTiposdeaproximacindelaintegralFuncionesRiemannIntegrablesTeoremaFundamentaldelClculoEvaluacindelaintegral:regladeBarrowIntegraldeRiemanndefuncionesnopositivasPropiedadesdelaintegraldeRiemannAplicaciones

Introduccin

Consideraremosunafuncinrealy=f(x)positivayacotada,definidaenelintervalocerrado[a,b].

Sellamaintegraldefinidadelafuncinf(x) 0entreayb(loslmitesdeintegracin),alreadelaporcindeplanolimitadaporlagrficadelafuncin,elejeXylasrectasparalelasx=ayx=b.

ComenzaremosconlasdefinicionesdesumasuperiorysumainferiordeDarbouxdeunafuncindefinidaenunintervalo[a,b],asociadasaunaparticindelmismo.Estassumassonaproximacionesalreaquequeremoscalcular.

Veremosalgunasdesuspropiedades,enparticularlasreferentesalarelacinentreambassumasyasucomportamientocuandoseconsideranparticionescadavezmsfinas(quecorrespondernaaproximacionesdelreacadavezmejores).Estaspropiedadesnosgarantizanlaexistenciadelsupremodelassumasinferioresydelnfimodelassumassuperiores,siendoestosvaloreslasintegralesinferiorysuperior,respectivamente,deDarboux,enelintervalo[a,b].

Alserfpositivaen[a,b],estosvaloresnosproporcionanestimaciones,pordebajoyporarribadelreaencerradaporfen[a,b].SedirquefesintegrableDarbouxen[a,b]si"ambasaproximacionescoinciden".LaintegraldeRiemannsedefinedeformaligeramentediferente,apartirdeparticionesevaluadas.LaintegraldeRiemannyladeDarbouxsonequivalentes.DebidoaestehechonosreferiremoscomoIntegraldeRiemannatodasellas.Enestecasosedefinelaintegraldefenelintervalo[a,b]comoelvalorcomndelasintegralesinferiorysuperior.

DaremoselcriteriodeintegrabilidaddeRiemannquenospermiteestudiarlaintegrabilidaddeunafuncinsinnecesidaddecalcularlasintegralessuperioreinferior.Estonospermitehacerdiferentestiposdeaproximacindelaintegral.

Entrelaspropiedadesfundamentalesdelaintegralveremoslalinealidad,lamonotonaylaaditividadrespectodelintervalo.



Daremostambin,unodelosresultadoscentralesdetodalaMatemtica,elTeoremaFundamentaldelClculo,querelacionadosramascentralesdelAnlisis:elClculoDiferencialyelClculoIntegral.Asmismo,veremoslaregladeBarrowquepermitecalcularlaintegraldeRiemanndeunafuncinintegrableapartirdeunaprimitivadelafuncin.

Algunasdelasaplicacionesprcticassonelclculodelmitesdealgunassucesionescuyostrminosestnformadosporsumasconunnmerocrecientedetrminos,mtodosparacalcularreas,longitudesdearcosdecurva,reasyvolmenesderevolucin.

Particindeunintervalo

UnaparticinPdelintervalocerrado[a,b]esunconjuntofinitodepuntosP={x0,x1,x2,...,xn}talque:

a=x0



I(f,P) I(f,P')paratodorefinamientoP'delaparticinP

Grficamente,sepuedeverencolornaranjaelreaqueaumenta:

LasumasuperiordisminuyeamedidaquesevantomandorefinamientosdelaparticinP,porquecadarectngulosedivideenotrosdealturaigualoinferior,yelreasiempredisminuye.Esdecir:

S(f,P') S(f,P)paratodorefinamientoP'delaparticinP

Grficamente,sepuedeverencolornaranjaelreaquedisminuye.

IntegraldeRiemannsuperioreinferior.FuncionesRiemannIntegrables

Seafunafuncinacotadadefinidaenunintervalocerrado[a,b].Sedefine:

laintegralsuperiorI*(f)=inf{S(f,P):Pesparticinde[a,b]}

laintegralinferiorI*(f)=sup{I(f,P):Pesparticinde[a,b]}

EntoncessiI*(f)=I*(f)lafuncinfesRiemannIntegrableylaintegraldeRiemanndefsobreelintervalo[a,b]sedenotapor:

f(x)dx

Hayquedestacarquelassumassuperioreinferiordependendelaparticinparticularescogida,mientrasquelasintegralessuperioreinferiorsonindependientesdelasparticioneselegidas.Sinembargo,estadefinicinesdifcilparaseraplicadadeformaprctica,puesesnecesarioconocerelnfimoyelsupremosobrecualquierparticin.

CaracterizacindelasfuncionesRiemannIntegrables



Supongamosquefesunafuncinacotadadefinidaenelintervalocerrado[a,b].EntoncesfesintegrableRiemannsiyslosiparatodo >0existealmenosunaparticinPtalque

|S(f,P)I(f,P)|



Puntomedio:setomacomovalortjelpuntomedioentreloslmitesdelsubintervalo,esdecir,(xj1+xj)/2.Grficamente:

Puntoaleatorio:setomacomovalortjunpuntoelegidoaleatoriamenteentretodoslospuntosdelsubintervalo.Grficamente:

Puntonfimo:setomacomovalortjaquelpuntodelsubintervalotalquef(tj)eselnfimoenesesubintervalo.Grficamente:

Puntosupremo:setomacomovalortjaquelpuntodelsubintervalotalquef(tj)eselsupremoenesesubintervalo.Grficamente:



Losdosltimostiposdeaproximacinnosontilesenlaprctica,puesparaaplicarlosseranecesariocalcularelnfimooelsupremodef(tj),teniendoquerecorrertodoelsubintervalo.PeroestonoesnecesarioPorqu?

SiunafuncinesRiemannIntegrable,podemosaproximarlaintegralporsumasdeRiemannR(f,P)tomandotjcomoqueramos.

Veamosesto:silafuncinesRiemannIntegrable,cualquiersumadeRiemannR(f,P)tiendealvalordelaintegral,porqueparacualquierpuntotjtenemosquedj f(tj) cj(siendodjelnfimoycjelsupremoenesesubintervalo),luegoI(f,P) R(f,P) S(f,P).

FuncionesRiemannIntegrables

TodafuncincontinuaenunintervalocerradoyacotadoesRiemannIntegrable.

Todafuncincontinuayacotadaenunintervalocerradoyacotado,exceptoenunacantidadnumerabledepuntos,esRiemannIntegrable.

Recprocamente,siunafuncinacotadadefinidaenunintervalocerradoyacotadoesRiemannIntegrable,entocesescontinuaeneseintervaloexceptocomomuchoenunacantidadnumerabledepuntos.

TodafuncinmontonayacotadaenunintervalocerradoyacotadoesRiemannIntegrable.

VeamosunejemplodeunafuncinRiemannIntegrablenocontinua.Definamoslafuncin:

Larepresentacingrficadeestafuncines:

EstafuncinesRiemannIntegrable,porquesepuedencalcularlasreasdelosrectngulosescalonados.Ysinembargo,noescontinuaenunacantidadnumerabledepuntos,esdecir,en1/n,siendonunnmeronatural.



TeoremaFundamentaldelClculo

Seafunafuncinintegrabledefinidaenelintervalocerradoyacotado[a,b],sedefineunanuevafuncin:

F(x)= f(t)dt

EntoncesFescontinuaen[a,b].Esms,sifescontinuaenunpuntocdelintervalo(a,b),entoncesFesderivableency

F'(c)=f(c)

Evaluacindelaintegral:RegladeBarrow

RelacionaelClculoIntegralconelClculoDiferencial.

SeafunafuncinRiemannIntegrabledefinidaenelintervalocerradoyacotado[a,b].

YseaFunaprimitivadefen[a,b],esdecir,F'(x)=f(x)paratodoxpertenecientea[a,b].

Entonces:

f(x)dx=F(b)F(a)

IntegraldeRiemanndefuncionesnopositivas

Hastaahorasehaanalizadolaintegraldefuncionespositivas.Paralasfuncionespositivas,elvalordelaintegralcoincideconelreaquedelimitanconelejeXylasrectasx=ayx=b

Seestudiarnenestepuntolasfuncionesnopositivas.

Dadaunafuncinrealnopositivadefinidaenelintervalo[a,b],sepuededescomponerendosfuncionesf+(x)yf(x)definidasas:

f+(x)=max{f(x),0}

f(x)=max{f(x),0}

As,tenemosqueambasfuncionessonpositivasyfsepuededefinirenbaseaellasdeestamanera:

f(x)=f+(x)f(x)

Asqueelproblemasereduceacalcularlaintegraldedosfuncionespositivas.Tenemos,portanto,que:

f(x)dx= f+(x)dx f(x)dx



PropiedadesdelaintegraldeRiemann

Seanf,gfuncionesintegrablesRiemanndefinidasenelintervalo[a,b].Entoncessecumplenlassiguientespropiedades:

1.Propiedadesdelinealidad:

f(x)dx= f(x)dx

Sicesunnmeroreal,entoncescf(x)esintegrableen[a,b],ysecumple:

cf(x)dx=c f(x)dxLafuncin(f+g)(x)esintegrableen[a,b],ysecumple:

[f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+ g(x)dx

2.Propiedaddeaditividadrespectodelintervalo:

Sia



algirarentornoalejeX,elrecintolimitadoporlasrectasx=a,x=b,elejeXylagrficadef(x)vienedadopor:

V= [f(x)]2dx

Clculodelalongituddeunacurva:

Seafunafuncinrealcontinuaen[a,b],talquesuderivadaf'tambinescontinuaen[a,b]entonceslalongituddelagrficadefentrex=ayx=bes:

Encoordenadasparamtricas,unacurvavienedefinidaporlaexpresin:

Enestecaso,lalongituddelacurvavienedadapor:

Clculodelrealateraldeunasuperficiederevolucin:

Seafunafuncinrealcontinuaen[a,b],talquesuderivadaf'tambinescontinuaen[a,b]entonceselrealateralderevolucinengendradaporf(x)algirarentornoalejeX,entrelasrectasx=ayx=b,es:

Volveralapginaprincipal

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