Conferencia 1

5/18/2018 Conferencia 1

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Funcionamiento de las redes en el campo de laFuncionamiento de las redes en el campo de laFrecuenciaFrecuencia

C. R. Lindo CarrinC. R. Lindo Carrin 1111C. R. Lindo CarrinC. R. Lindo Carrin

Unidad VUnidad V

Funcionamiento de las redes en elFuncionamiento de las redes en el

campo de la frecuenciacampo de la frecuencia

Conferencia 1Conferencia 1


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C. R. Lindo CarrinC. R. Lindo Carrin 22

ObjetivosObjetivos

Defnir el concepto de Funciones de redDefnir el concepto de Funciones de red Defnir la uncin de red en trminos de polos y cerosDefnir la uncin de red en trminos de polos y ceros.. Elaborar diagramas de BODE (agnitud y Fase!" considerandoElaborar diagramas de BODE (agnitud y Fase!" considerando

los siguientes actores# trminos constantes" polos y ceros enlos siguientes actores# trminos constantes" polos y ceros enel origen y de orden $%$" polos y ceros simples" polos y cerosel origen y de orden $%$" polos y ceros simples" polos y ceros

cuadr&ticos de redes elctricas.cuadr&ticos de redes elctricas.

'. )ntroduccin'. )ntroduccin'.* +n&lisis de respuesta de recuencia variable.'.* +n&lisis de respuesta de recuencia variable. Funciones de la red.Funciones de la red. ,olos y ceros.,olos y ceros.'.- +n&lisis de recuencia compleja'.- +n&lisis de recuencia compleja espuesta utili/ando el diagrama de Bode#espuesta utili/ando el diagrama de Bode# 0rminos constantes" ,olo o ceros en el origen de orden 1n10rminos constantes" ,olo o ceros en el origen de orden 1n1 ,olo o cero simple" ,olos o ceros cuadr&ticos,olo o cero simple" ,olos o ceros cuadr&ticos

2ontenido2ontenido


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3na red 4ue contiene un capacitor y una bobina opera de3na red 4ue contiene un capacitor y una bobina opera demanera dierente si se cambia la recuencia. Esto se debe a 4uemanera dierente si se cambia la recuencia. Esto se debe a 4uela impedancia de ambos elementos del circuito dependen de lala impedancia de ambos elementos del circuito dependen de larecuencia. 5i la recuencia de las uentes de la red var6a enrecuencia. 5i la recuencia de las uentes de la red var6a enalg7n rango" podemos esperar 4ue tambin la red e8perimentealg7n rango" podemos esperar 4ue tambin la red e8perimentevariaciones en respuesta a esos cambios de recuencia.variaciones en respuesta a esos cambios de recuencia.

'. )ntroduccin'. )ntroduccin

3n ejemplo concreto es un amplifcador estereonico. 9a3n ejemplo concreto es un amplifcador estereonico. 9ase:al de entrada contiene ondas de sonido con recuenciasse:al de entrada contiene ondas de sonido con recuencias4ue van de principio a fn; y" sin embargo" el amplifcador4ue van de principio a fn; y" sin embargo" el amplifcadordebe ampliar cada componente de recuencia e8actamentedebe ampliar cada componente de recuencia e8actamenteen la misma proporcin a fn de alcan/ar una reproduccinen la misma proporcin a fn de alcan/ar una reproduccinperecta del sonidoperecta del sonido

Esto no es una tarea trivial" y cuando 3sted compra un muyEsto no es una tarea trivial" y cuando 3sted compra un muybuen amplifcador" parte del precio re


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9os dispositivos de comunicacin modernos utili/an9os dispositivos de comunicacin modernos utili/an

dispositivos llamados fltros para separar las se:alesdispositivos llamados fltros para separar las se:aleselctricas en base a su contenido en recuencia. ,or lo tanto"elctricas en base a su contenido en recuencia. ,or lo tanto"es importante describir las relaciones 4ue dependen de laes importante describir las relaciones 4ue dependen de larecuencia" tanto la amplitud como la ase" entre la se:alrecuencia" tanto la amplitud como la ase" entre la se:alsenoidal de entrada y la se:al senoidal de salida.senoidal de entrada y la se:al senoidal de salida.

%uestro estudio consistir& en e8aminar el uncionamiento de%uestro estudio consistir& en e8aminar el uncionamiento deredes elctricas cuando son e8citadas por uentes deredes elctricas cuando son e8citadas por uentes derecuenta variable. Estos eectos son importantes en elrecuenta variable. Estos eectos son importantes en elan&lisis y dise:o de redes reales como fltros" sintoni/adores yan&lisis y dise:o de redes reales como fltros" sintoni/adores yamplifcadores 4ue tienen una e8tensa aplicacin en sistemasamplifcadores 4ue tienen una e8tensa aplicacin en sistemasde comunicacin y control.de comunicacin y control.

9a respuesta en recuencia de un circuito es la relacin9a respuesta en recuencia de un circuito es la relacindependiente de la recuencia" tanto en magnitud como endependiente de la recuencia" tanto en magnitud como enase" entre una entrada senoidal de estado estable y unaase" entre una entrada senoidal de estado estable y unase:al de salida senoidal de estado estable.se:al de salida senoidal de estado estable.


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9a impedancia de la esistencia es#9a impedancia de la esistencia es# ZZRR = = = = >?>?oo" donde la" donde la

magnitud y la ase son constantes e independientes de lamagnitud y la ase son constantes e independientes de larecuencia. 9a gr&fca de magnitud y ase de la impedancia delrecuencia. 9a gr&fca de magnitud y ase de la impedancia delesistor en el dominio de la recuencia se muestra en la Figura .esistor en el dominio de la recuencia se muestra en la Figura .

'.* +n&lisis de la respuesta de recuencia variable'.* +n&lisis de la respuesta de recuencia variable

9a impedancia de la Bobina es#9a impedancia de la Bobina es# ZZLL= j= j9 =9 = 99>@?>@?oo" donde la" donde la

ase es constante a @?A pero la magnitud es directamentease es constante a @?A pero la magnitud es directamenteproporcional a la recuencia. 9a gr&fca de magnitud y ase deproporcional a la recuencia. 9a gr&fca de magnitud y ase dela impedancia de la Bobina en el dominio de la recuencia sela impedancia de la Bobina en el dominio de la recuencia se

muestra en la Figura *.muestra en la Figura *.


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9a impedancia del 2apacitor es#9a impedancia del 2apacitor es# ZZCC = j= j2 = (2 = (2!2!>C@?>C@?oo""

donde la ase es constante a C@?A pero la magnitud esdonde la ase es constante a C@?A pero la magnitud es

inversamente proporcional a la recuencia. 9a gr&fca deinversamente proporcional a la recuencia. 9a gr&fca demagnitud y ase de la impedancia del 2apacitor en el dominiomagnitud y ase de la impedancia del 2apacitor en el dominiode la recuencia se muestra en la Figura -.de la recuencia se muestra en la Figura -.


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+ora veamos el circuito 92 serie+ora veamos el circuito 92 seriemostrado en la Figura " donde lamostrado en la Figura " donde la

impedancia e4uivalente es#impedancia e4uivalente es#

CjLjR

1++=eqZ


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9a Figura ' muestra la magnitud y ase de esta impedancia en9a Figura ' muestra la magnitud y ase de esta impedancia enuncin de la recuencia.uncin de la recuencia.

Cj

RCjLCj

1)( 2 ++=eqZ

Observe 4ue a muy bajas recuencia" el capacitor apareceObserve 4ue a muy bajas recuencia" el capacitor aparececomo un circuito abierto y" por consiguiente la impedancia escomo un circuito abierto y" por consiguiente la impedancia esmuy grande en esta escala. + altas recuencias el capacitormuy grande en esta escala. + altas recuencias el capacitortiene un eecto muy pe4ue:o y la impedancia es dominadatiene un eecto muy pe4ue:o y la impedancia es dominadapor la bobina" cuya impedancia se sigue elevando con lapor la bobina" cuya impedancia se sigue elevando con larecuencia.recuencia.


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+ medida 4ue los circuitos se acen m&s complicados" las+ medida 4ue los circuitos se acen m&s complicados" lasecuaciones se vuelven m&s molestas. En un intento porecuaciones se vuelven m&s molestas. En un intento por

simplifcarlas" acemos la sustitucin s=jsimplifcarlas" acemos la sustitucin s=j (Esta sustitucin(Esta sustitucintiene un signifcado m&s importante!. 2on esta sustitucin" latiene un signifcado m&s importante!. 2on esta sustitucin" lae8presin para la impedanciae8presin para la impedancia ZZeqeqse convierte en#se convierte en#

5i revisamos los cuatros circuitos vistos asta a4u6"5i revisamos los cuatros circuitos vistos asta a4u6"encontramos 4ue en cada caso la impedancia es la ra/n deencontramos 4ue en cada caso la impedancia es la ra/n dedos polinomios en s y es de la orma generaldos polinomios en s y es de la orma general

sC

sRCLCs 12 ++=eqZ

01

1

1

01

1

1

bsbsbsb

asasasa

D(s)

N(s)n

n

n

n

m

m

m

m

++++

++++==

Z(s)

Esta ecuacin es v&lida para impedancias y tambin paraEsta ecuacin es v&lida para impedancias y tambin paratodos los voltajes" las corrientes" las admitancias y lastodos los voltajes" las corrientes" las admitancias y lasganancias en la red. 9a 7nica restriccin es 4ue los valores deganancias en la red. 9a 7nica restriccin es 4ue los valores detodos los elementos de circuito (resistencias" capacitores"todos los elementos de circuito (resistencias" capacitores"bobinas y uentes dependientes! deben ser n7meros reales.bobinas y uentes dependientes! deben ser n7meros reales.


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2onsidere la red 4ue se2onsidere la red 4ue semuestra en la Figura . 5emuestra en la Figura . 5edesea determinar la variacindesea determinar la variacindel voltaje de salida comodel voltaje de salida comouncin de la recuencia en launcin de la recuencia en laescala de ? a GH/.escala de ? a GH/.

EjemploEjemplo

3sando el divisor de voltaje" la salida puede e8presarse como3sando el divisor de voltaje" la salida puede e8presarse como

5olucin5olucin

so

VV

++=

CjLjR

R

1

so VV

++

=1)( 2 CRjLCj

CRj


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3tili/ando los valores de los elementos" la ecuacin se3tili/ando los valores de los elementos" la ecuacin se

convierte en#convierte en#

En este punto podemos sustituir simplemente los dierentesEn este punto podemos sustituir simplemente los dierentesvalores de la recuencia en la escala de inters en la ecuacin"valores de la recuencia en la escala de inters en la ecuacin"

y determinar la magnitud y ase del voltaje de salida.y determinar la magnitud y ase del voltaje de salida.

o

jj

j0|10

1)10*95.37()10*53.2()(

)10*95.37)((342

3

++=

oV

3sando un gran n7mero de esos puntos podemos acer3sando un gran n7mero de esos puntos podemos acergr&fcas de la magnitud y ase del voltaje de salida comogr&fcas de la magnitud y ase del voltaje de salida comouncin de la recuencia. Este eectivo pero tedioso mtodouncin de la recuencia. Este eectivo pero tedioso mtodopuede simplifcarse bastante si se aplica un sotIare (,spice"puede simplifcarse bastante si se aplica un sotIare (,spice"atlab" etc!.atlab" etc!.

9as gr&fcas 4ue resultan de la magnitud y la ase se muestran9as gr&fcas 4ue resultan de la magnitud y la ase se muestranen la Figura J.en la Figura J.


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9a uncin de red es designada generalmente como9a uncin de red es designada generalmente como H(s)H(s)" y" y

defne la ra/n de respuesta a la entrada. 2omo la uncindefne la ra/n de respuesta a la entrada. 2omo la uncindescribe una reaccin debida a una e8citacin en alg7n otrodescribe una reaccin debida a una e8citacin en alg7n otropunto del circuito" las unciones de la red de estacin tambinpunto del circuito" las unciones de la red de estacin tambinse llamanse llaman unciones de transerenciaunciones de transerencia. +dem&s" las unciones. +dem&s" las uncionesde transerencias no est&n limitadas a ra/ones de voltaje. 9ode transerencias no est&n limitadas a ra/ones de voltaje. 9omismo 4ue en redes elctricas" las entradas o salidas puedenmismo 4ue en redes elctricas" las entradas o salidas puedenser voltajes o corrientes ay cuatro posibles de la red" comoser voltajes o corrientes ay cuatro posibles de la red" comose enlista en la siguiente tabla.se enlista en la siguiente tabla.

Funciones de la redFunciones de la red


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EjemploEjemplo

0ambin ay0ambin ay unciones de puntos de entradaunciones de puntos de entrada" 4ue son" 4ue sonimpedancias o admitancias defnidas en un solo par deimpedancias o admitancias defnidas en un solo par determinales. ,or ejemplo" la impedancia de entrada de una redterminales. ,or ejemplo" la impedancia de entrada de una redes una uncin de entrada.es una uncin de entrada.

EntradaEntrada 5alida5alida Funcin deFuncin de0ranserencia0ranserencia

56mbolo56mbolo

KoltajeKoltaje KoltajeKoltaje Lanancia de KoltajeLanancia de Koltaje GGVV(s)(s)

2orrient2orrientee

KoltajeKoltaje 0ransimpedancia0ransimpedancia Z(s)Z(s)

2orrient2orrientee

2orrient2orrientee

Lanancia de 2orrienteLanancia de 2orriente GGII(s)(s)

KoltajeKoltaje 2orrient2orrientee

0ransadmitancia0ransadmitancia Y(s)Y(s)

,ara el circuito mostrado en la,ara el circuito mostrado en laFigura M" determine laFigura M" determine la

0ransadmitancia N0ransadmitancia NII(s)(s)VV11(s)(s) y la y laganancia de voltaje.ganancia de voltaje.


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5olucin5olucin

Haciendo 9GK a la malla seHaciendo 9GK a la malla seobtiene#obtiene#

esolviendo las ecuaciones paraesolviendo las ecuaciones para II(s)(s) se obtiene#se obtiene#

((Ps9!Ps9!II11(s)(s) Q s9Q s9II(s)(s) ==VV11(s)(s)

Haciendo 9GK a la malla * seHaciendo 9GK a la malla * seobtiene#obtiene#

Cs9Cs9II11(s)(s)P (P (**Ps9Ps2!Ps9Ps2!II(s)(s)==??

VV(s)(s)== II(s)(s)**

22

21 )/1)(( LssCsLRsLR

sL

+++=

(s)V(s)I 12

,or lo tanto" la 0ransadmitancia es#,or lo tanto" la 0ransadmitancia es#

121

2

21

2

)()()( RsCRRLLCsRR

LCs

s ++++==

1

2

V

(s)IY(s)


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R la ganancia de voltaje es#R la ganancia de voltaje es#

,olos y 2eros,olos y 2eros

2omo emos indicado anteriormente" la uncin de red puede2omo emos indicado anteriormente" la uncin de red puedee8presarse como la ra/n de los dos polinomios en s. +dem&se8presarse como la ra/n de los dos polinomios en s. +dem&snotamos 4ue como los valores de nuestros elementos denotamos 4ue como los valores de nuestros elementos decircuitos" o uentes controladas" son n7meros reales" loscircuitos" o uentes controladas" son n7meros reales" loscoefcientes de los dos polinomios ser&n reales. ,or lo tanto"coefcientes de los dos polinomios ser&n reales. ,or lo tanto"e8presamos una uncin de red en la orma#e8presamos una uncin de red en la orma#

121

2

21

2

)()()( RsCRRLLCsRR

LCRs

s ++++==

1

2

V

(s)VG(s)

01

1

1

01

1

1

bsbsbsb

asasasa

D(s)

N(s)n

n

n

n

m

m

m

m

++++

++++==

H(s)


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donde %(s! es el polinomio del numerador de orden m y D(s! esdonde %(s! es el polinomio del numerador de orden m y D(s! esel polinomio del denominador de orden n. 9a ecuacin anteriorel polinomio del denominador de orden n. 9a ecuacin anteriortambin puede escribirse en la orma siguiente#tambin puede escribirse en la orma siguiente#

Donde GDonde Gooes una constante" /es una constante" /"" " /" /mmson las ra6ces de %(s!" yson las ra6ces de %(s!" ypp"" " p" pnnson las ra6ces de D(s!.son las ra6ces de D(s!.

)())((

)())((

21

21

n

mo

pspsps

zszszsK

=

H(s)

Observe 4ue si s=/Observe 4ue si s=/" o /" o /**"" " /" /mm" entonces" entonces H(s)H(s)se ace cero yse ace cero yde a4u6 /de a4u6 /"" " /" /mm se llaman ceros de la uncin dese llaman ceros de la uncin detranserencia. De manera similar" si s=ptranserencia. De manera similar" si s=p" o p" o p**"" " p" pnn""

entoncesentonces H(s)H(s)se ace infnito y" por consiguiente pse ace infnito y" por consiguiente p"" " p" pmmsesellaman ceros polos de la uncin de transerencia.llaman ceros polos de la uncin de transerencia.

9os ceros o polos realmente son complejos. 5in embargo" si9os ceros o polos realmente son complejos. 5in embargo" siellos son complejos deben presentarse en pares conjugados"ellos son complejos deben presentarse en pares conjugados"ya 4ue los coefcientes de los polinomios son realesya 4ue los coefcientes de los polinomios son reales


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9a representacin de la uncin de la red especifcada en9a representacin de la uncin de la red especifcada entrminos de polos y ceros" es e8tremadamente importante y entrminos de polos y ceros" es e8tremadamente importante y engeneral se emplea para representar cual4uier sistema linealgeneral se emplea para representar cual4uier sistema linealinvariante en el tiempo. 9a importancia de esta orma se derivainvariante en el tiempo. 9a importancia de esta orma se derivadel eco de 4ue las propiedades din&micas de un sistemadel eco de 4ue las propiedades din&micas de un sistemapueden recogerse de un e8amen de los polos del sistema.pueden recogerse de un e8amen de los polos del sistema.

'.- +n&lisis de recuencia senoidal'.- +n&lisis de recuencia senoidal

+un4ue ay casos espec6fcos en los 4ue una red opera a slo+un4ue ay casos espec6fcos en los 4ue una red opera a slouna recuencia (por ejemplo" la red del sistema de potencia!"una recuencia (por ejemplo" la red del sistema de potencia!"en general estamos interesados en el comportamiento de unaen general estamos interesados en el comportamiento de unared como uncin de la recuencia. En an&lisis senoidal dered como uncin de la recuencia. En an&lisis senoidal deestado estable" la uncin de la red puede e8presarse como#estado estable" la uncin de la red puede e8presarse como#

)(

)(

j

eM=H(s) donde (donde (!=>!=>HH(j(j!> y!> y ((! es la ase. 3na gr&fca de esas dos! es la ase. 3na gr&fca de esas dos

unciones" 4ue se llaman com7nmenteunciones" 4ue se llaman com7nmente magnitud ymagnitud ycaracter6stica de asecaracter6stica de ase" despliega la orma en 4ue la respuesta" despliega la orma en 4ue la respuestavar6a con la recuencia de entradavar6a con la recuencia de entrada ..


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5i las caracter6sticas de la red son tra/adas en una escala5i las caracter6sticas de la red son tra/adas en una escalasemilogar6tmica" es decir" una escala lineal para la ordenada ysemilogar6tmica" es decir" una escala lineal para la ordenada yuna escala logar6tmica para la abscisa" se conocen comouna escala logar6tmica para la abscisa" se conocen comogr&fcas de Bodegr&fcas de Bode (llamadas as6 en recuerdo de HendriS T.(llamadas as6 en recuerdo de HendriS T.Bode!.Bode!.

espuesta de recuencia usando una gr&fca de Bodeespuesta de recuencia usando una gr&fca de Bode

Esta gr&fca es una erramienta poderosa en el an&lisis yEsta gr&fca es una erramienta poderosa en el an&lisis ydise:o de sistemas dependientes de la recuencia y de lasdise:o de sistemas dependientes de la recuencia y de lasredes" como fltros" sintoni/adores y amplifcadores.redes" como fltros" sintoni/adores y amplifcadores.

+l usar la gr&fca" acemos gr&fcas de *?log+l usar la gr&fca" acemos gr&fcas de *?log??((! contra! contraloglog??((! en ve/ de (! en ve/ de (! contra (! contra (!. 9a ventaja de esta tcnica!. 9a ventaja de esta tcnicaes 4ue m&s 4ue tra/ar las caracter6sticas punto por punto"es 4ue m&s 4ue tra/ar las caracter6sticas punto por punto"podemos emplear apro8imaciones en l6nea recta para obtenerpodemos emplear apro8imaciones en l6nea recta para obtener

la caracter6stica de manera muy efciente.la caracter6stica de manera muy efciente. 9a ordenada para la gr&fca de la magnitud es el decibel (dB!.9a ordenada para la gr&fca de la magnitud es el decibel (dB!.

Esta unidad ue empleada originalmente para medir la ra/nEsta unidad ue empleada originalmente para medir la ra/nde potencias" es decir#de potencias" es decir#

n7mero en dB =?logn7mero en dB =?log??(,(,**,,!!


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5i las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales"5i las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales"entoncesentonces

El trmino UdBV a llegado a ser tan popular 4ue aora se usaEl trmino UdBV a llegado a ser tan popular 4ue aora se usapara ra/ones de voltaje y corriente" como se ilustra en lapara ra/ones de voltaje y corriente" como se ilustra en laecuacin anterior" aciendo caso omiso de la impedanciaecuacin anterior" aciendo caso omiso de la impedanciaempleada en cada caso.empleada en cada caso.

En el caso senoidal en estado estable"En el caso senoidal en estado estable" HH(j(j! puede escribirse! puede escribirseen general como#en general como#

RR

RR

2

2

102

2

10||||log10

/||/||log10dBdenumero

1

2

1

2

II

VV ==

||

||log20

||

||log20dBdenumero 1010

1

2

1

2

I

I

V

V==

])()(21)[1(

])()(21)[1()(2

2

3331

bbba

N

o

jjj

jjjjK

+++

+++=

)H(j


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ecuerde 4ue s=jecuerde 4ue s=j yy ==" entonces la ecuacin anterior se" entonces la ecuacin anterior sepuede escribir como#puede escribir como#

Observe 4ue ambas ecuaciones contienen los siguientesObserve 4ue ambas ecuaciones contienen los siguientesactores t6picos#actores t6picos#

. 3n actor G. 3n actor GooW? independiente de la recuencia.W? independiente de la recuencia.

])/()/(21)[/1(

])/()/(21)[/1()(2

2

3331

bbba

N

o

sss

ssssK

+++

+++=

)H(j

*. ,olos o ceros en el origen de la orma j*. ,olos o ceros en el origen de la orma j" es decir" (j" es decir" (j!!P%P%para ceros y (jpara ceros y (j!!C%C%para polos.para polos.

-. ,olos o ceros de la orma (Pj-. ,olos o ceros de la orma (Pj!.!. . ,olos o ceros cuadr&ticos de la orma P *. ,olos o ceros cuadr&ticos de la orma P *(j(j! P (j! P (j!!**..


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0omando el logaritmo de la magnitud de la uncin0omando el logaritmo de la magnitud de la uncin HH(j(j! se! seobtiene#obtiene#

*?log*?log??>>HH(j(j!> = *?log!> = *?log??GGoo*?%log*?%log??>j>j> P *?log> P *?log??>Pj>Pj>>

Observe 4ue emos usado el eco de 4ue el logaritmo delObserve 4ue emos usado el eco de 4ue el logaritmo delproducto de dos o m&s trminos es igual a la suma de losproducto de dos o m&s trminos es igual a la suma de lostrminos individuales" el logaritmo del cociente de dostrminos individuales" el logaritmo del cociente de dostrminos es igual a la dierencia de los logaritmos individuales"trminos es igual a la dierencia de los logaritmos individuales"y el eco de 4ue logy el eco de 4ue log??++

nn= nlog= nlog??+.+. El &ngulo de ase paraEl &ngulo de ase para HH(j(j! es#! es#

P *?logP *?log??>P*>P*--(j(j--!P(j!P(j--!!**> P> P

C *?logC *?log??>Pj>Pjaa> C *?log> C *?log??>P*>P*bb(j(jbb!P(j!P(jbb!!**> C> C

>>HH(j(j!!= ?= ? %(@?A! Ptan%(@?A! PtanCC

+

+ 2

3

2

331

1

2tan

22

11

1

2tantan

b

bb

a


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E8aminemos algunos de los trminos individuales e ilustremosE8aminemos algunos de los trminos individuales e ilustremosuna manera efciente de grafcarlos en un diagrama de Bode.una manera efciente de grafcarlos en un diagrama de Bode.

El diagrama deEl diagrama demagnitud es una l6neamagnitud es una l6neaori/ontal puesta a#ori/ontal puesta a#

? dB si >G? dB si >Goo> => =

bajo de ? dB si >Gbajo de ? dB si >Goo> X> Xarriba del ? dB si >Garriba del ? dB si >Goo> W> W

Funciones con recuencia invariante (0ermino constante!Funciones con recuencia invariante (0ermino constante!

HH(s! = Go" entonces >(s! = Go" entonces >HH(s!>(s!>dBdB= *?log= *?log??GGoo


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El diagrama de ase esEl diagrama de ase esuna l6nea ori/ontaluna l6nea ori/ontal

puesta a#puesta a# ??oo si G si Gooes positivaes positiva

CM?A si GCM?A si Gooes negativaes negativa


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El diagrama deEl diagrama demagnitud es una l6neamagnitud es una l6neacon pendiente de P*?con pendiente de P*?dBdcada sobre tododBdcada sobre todoel rango de recuencias"el rango de recuencias"para el caso de un cero.para el caso de un cero.5i5i oo = " la curva= " la curvapasa por ? dB.pasa por ? dB.

Funciones con ra6ces en el origen (polos o ceros en el origen!Funciones con ra6ces en el origen (polos o ceros en el origen!

HH(s! = (s(s! = (soo!!" el signo P si la ra6/ es un cero y el signo Q si la" el signo P si la ra6/ es un cero y el signo Q si la

ra6/ es un polora6/ es un polo

>>HH(s!>(s!>dBdB== *?log*?log??((oo!!


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El diagrama deEl diagrama demagnitud es una l6neamagnitud es una l6neacon pendiente de C*?con pendiente de C*?dBdcada sobre tododBdcada sobre todoel rango de recuencias"el rango de recuencias"para el caso de un polo.para el caso de un polo.

*? dBdec =*? dBdec = dBoct dBoct


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El diagrama de ase esEl diagrama de ase esuna l6nea ori/ontal auna l6nea ori/ontal aP@?A sobre todo elP@?A sobre todo elrango de recuencias"rango de recuencias"para el caso de un cero.para el caso de un cero.


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El diagrama de ase esEl diagrama de ase esuna l6nea ori/ontal auna l6nea ori/ontal aC@?A sobre todo elC@?A sobre todo elrango de recuencias"rango de recuencias"para el caso de un polo.para el caso de un polo.


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El diagrama de magnitudEl diagrama de magnitud

tiene dos as6ntotas" unatiene dos as6ntotas" unade baja recuencia (a.b.!de baja recuencia (a.b.!y una de alta recuenciay una de alta recuencia(a.a.!.(a.a.!.

a.b. >a.b. >HH(s!>=? para(s!>=? para oo

a.a. >a.a. >HH(s!>(s!>==*?log*?log??((oo! para! paraoo

Funciones de ra6ces reales negativas (polo o cero simple!Funciones de ra6ces reales negativas (polo o cero simple!

HH(s! = (s(s! = (sooP!P!" el signo P si la ra6/ es un cero y el signo Q si" el signo P si la ra6/ es un cero y el signo Q sila ra6/ es un polola ra6/ es un polo

>>HH(s!>(s!>dBdB== *?log*?log??NP(NP(oo!!**

parapara oo==

>>HH(s!>(s!>dBdB==-dB-dB


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El diagrama de magnitudEl diagrama de magnitudtiene dos as6ntotas" unatiene dos as6ntotas" unade baja recuencia (a.b.!de baja recuencia (a.b.!y una de alta recuenciay una de alta recuencia(a.a.!.(a.a.!.

a.b. >a.b. >HH(s!>=? para(s!>=? para oo

a.a. >a.a. >HH(s!>(s!>==*?log*?log??((oo! para! paraoo

parapara oo==

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El diagrama de ase tieneEl diagrama de ase tiene

dos as6ntotas" una de bajados as6ntotas" una de bajarecuencia (a.b.! y una derecuencia (a.b.! y una dealta recuencia (a.a.!.alta recuencia (a.a.!.

a.b.a.b. HH(s!=?(s!=?oo parapara oo?.?.

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desviaciones de cerca A.desviaciones de cerca A.


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pendientes dependientes de 'A'Aparapara oo==

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parapara oo= ?. y= ?. y oo ==? la ase tiene? la ase tiene

desviaciones de cerca A.desviaciones de cerca A.


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El diagrama de magnitud tiene dos as6ntotas" una de bajaEl diagrama de magnitud tiene dos as6ntotas" una de bajarecuencia (a.b.! y una de alta recuencia (a.a.!.recuencia (a.b.! y una de alta recuencia (a.a.!.

a.b. >a.b. >HH(s!>=? para(s!>=? para oo a.a. >a.a. >HH(s!>=(s!>=?log?log??((oo! para! para oo

Funciones con pares de ra6ces complejas (polos o cerosFunciones con pares de ra6ces complejas (polos o ceroscuadr&ticos!cuadr&ticos!

HH(s! = N(s(s! = N(soo!!**P*P*(s(soo!P!P" el signo P si la ra6/ es un cero y el" el signo P si la ra6/ es un cero y elsigno Q si la ra6/ es un polosigno Q si la ra6/ es un polo

>>HH(s!>(s!>dBdB== ?log?log??YNP(YNP(oo!!****PN*PN*((oo!!*

*ZZ

= 1/ js o

HH(j(j! = NC(! = NC(oo!!**P*P*j(j(oo!!


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pendientes dependientes de @?A@?A


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9as apro8imaciones en l6nea rectas (as6ntotas!" para este caso9as apro8imaciones en l6nea rectas (as6ntotas!" para este casoson satisactorias parason satisactorias para cerca cerca *" pero para pe4ue:os*" pero para pe4ue:os

valores devalores de debemos aplicar correcciones para reHH(s!>dB =(s!>dB = *?log*?log??**

*! a la recuencia donde se da el pico"*! a la recuencia donde se da el pico" oo== (C(C**

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*(C(C**!!

-! una octava debajo de la recuencia de corte" es decir-! una octava debajo de la recuencia de corte" es decir oo==*"*"

entonces >entonces >HH(s!>dB =(s!>dB = ?log?log??((**P?.J'P?.J'**!!

! a la recuencia a la cual la curva de magnitud cru/a el eje de! a la recuencia a la cual la curva de magnitud cru/a el eje de? dB"? dB" oo== N*(C*N*(C***!!

'! a la ase" una octava debajo de la recuencia de corte" es'! a la ase" una octava debajo de la recuencia de corte" esdecir"decir" oo = *" entonces= *" entonces HH(s! =(s! = tantanC

C((?.J'!?.J'!


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! a la ase" una octava arriba de la recuencia de corte" es! a la ase" una octava arriba de la recuencia de corte" esdecir"decir" oo = *" entonces= *" entonces HH(s! =(s! = NM?CtanNM?CtanC

C((?.J'!?.J'!

En las siguientes Figuras se muestran los puntos de lasEn las siguientes Figuras se muestran los puntos de lascorrecciones 4ue se deben acercorrecciones 4ue se deben acer


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2omo estamos usando una oja milimetrada" es necesario2omo estamos usando una oja milimetrada" es necesariointroducir la defnicin de intervalo de dcada o llamadointroducir la defnicin de intervalo de dcada o llamadotambin ciclo. Dado un valor de recuencia espec6fcatambin ciclo. Dado un valor de recuencia espec6fcadentro del ciclo ?dentro del ciclo ?nn ??nPnP rads" su locali/acin UlVrads" su locali/acin UlVdentro del ciclo es#dentro del ciclo es#

7ltiples ra6ces7ltiples ra6ces

5i una ra6/ o una pareja de ra6ces complejas tienen5i una ra6/ o una pareja de ra6ces complejas tienenmultiplicidad r" entonces el trmino correspondiente tiene lamultiplicidad r" entonces el trmino correspondiente tiene laormaorma HHrr. +s6 tenemos#. +s6 tenemos#

>>HHrr(j(j!>!>dBdB= r[>= r[>HH(j(j!>!>dBdB

HHrr(j(j! = r[! = r[HH(j(j!!

nl

10log10 =


40/40


C R Li d C i 40

9ocali/ar -*? rads" y *??? rads9ocali/ar -*? rads" y *??? rads

EjemploEjemplo

5olucin5olucin

??**radsrads -*? rads-*? rads ??--rads" entonces#rads" entonces# 5.010

320log

210320 =l

??--radsrads *??? rads*??? rads ??rads" entonces#rads" entonces# 3.0102000log 3102000 =l

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