Cónicas

6-1 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato

Fig.6.1

6CURVAS CÓNICAS

Secciones cónicas. ELIPSE. Construcción de la elipse conociendo los ejes. Método de los puntos. Método de la afinidad. Métodode la circunferencia focal. HIPÉRBOLA. Construcción de la hipérbola. Tangente a la hipérbola. PARÁBOLA. Construcción de laparábola. Tangente a la parábola.TEMPORALIZACION: 6 horas

Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por laintersección de un plano con una superficie cónica de revolución (una superficie cónicade revolución está engendrada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta;esta segunda recta es el eje de la superficie y la recta que gira es la generatriz. Elpunto de intersección de ambas es el vértice de la superficie). Según la posición delplano secante respecto al eje del cono, en relación con el ángulo en el vértice, seobtienen tres curvas planas: elipse, parábola e hipérbola. Fig.6.1

Si el plano secante (de corte) es oblicuo al eje de la superficie cónica y corta a todaslas generatrices la sección que produce es una curva cerrada llamada elipse.Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie cónica o lo que es igual esparalelo a dos generatrices, la sección es una curva abierta con dos ramas, llamadahipérbola.Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie, la curva seráabierta y la sección que se produce es una parábola.Caso particular es la circunferencia cuando el plano secante es perpendicular al eje.

Curvas cónicas 6-2

ELIPSE

Los elementos fundamentales de la curva cónica son:Focos: cada curva cónica tiene por lo menos un foco real. Es un punto que posee

características particulares en cada tipo de cónica. La elipse y la hipérbola tienen dos focos, mientras que la parábola tiene unsólo foco.

Centro: Punto donde se cortan todos los diámetros de la curva cónicaLas elipses y las hipérbolas tienen como centro un punto propio (del dibujo).Las parábolas tienen como centro un punto impropio (del infinito).

Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.Diámetros: Cualquier cuerda que pasa por el centro. Son rectas conjugadas

dos a dos que tienen la propiedad de que las tangentes trazadasa la curva cónica, en los extremos de un diámetro, son paralelasal segundo diámetro conjugado del primero.

Diámetros conjugados: Par de diámetros cada uno de los cuales corta a lascuerdas paralelas al otro en dos partes iguales.

Ejes: Son el único par de diámetros perpendiculares que tiene la elipse. En generalson los ejes de simetría de toda cónica.

Vértices: Corte de la curva cónica con los ejes mayor y menor.

Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas lasgeneratrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada querecibe el nombre de elipse.La elipse se define pues como la curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntosdel plano, cuya suma de distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamadosfocos, es constante. La distancia entre los focos recibe el nombre de distancia focal.La suma de distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al ejemayor, llamado también eje real, y se designa por 2a. El eje menor se llama ejeimaginario y se representa por 2b. La distancia focal se designa por 2c. Fig.6.2Las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos se llaman radiosvectores, r y r' . Según hemos dicho, para cualquier punto de la elipse se verifica quer + r' = 2aEntre a, b y c existe la relación a =b +c2 2 2

pCircunferencia principal (C ) es aquella que tiene por diámetro el eje mayor.

f f'Circunferencias focales o directrices (C y C ) son aquellas que tienen por centro unode los focos y de radio la longitud del eje mayor 2a.


Fig.6.2 Fig.6.3

Fig.6.4

Construcción de la elipse conociendo los ejes.

Método de los puntos. Fig.6.3Dibujados los ejes, trazamos desde el vértice C o D del eje menor, dos arcos quecorten al eje mayor con radio r = a. Se sitúan arbitrariamente unos puntos en el ejemayor, 1, 2, 3, etc. entre uno de los focos y el centro de la elipse, y con radio A-1 y

1 2 1 2centros en F y F se describen arcos. Haciendo centro nuevamente en F y F y conradio B-1, se trazan arcos que cortarán a los

1 2 3 4anteriores en M , M , M y M que sonpuntos de la curva.La suma de distancias de estos puntos a losfocos es siempre 2a.Repítase la misma operación, tomandocomo radios las distancias de los puntos 2,3, etc. a A y B, obteniéndose así otrospuntos de la curva. Los puntos obtenidos seunen a mano alzada.

Método de la proyección de puntos.Afinidad. Fig.6.4Describimos dos circunferencias concéntricas de diámetros iguales a los ejes de laelipse. A continuación se traza, en cualquier punto, un radio común a ambascircunferencias con lo que obtendremos sobre ellas los puntos M y N.Por M se traza una perpendicular al eje mayor AB y por N una paralela a dicho ejemayor. Ambas rectas se cortan en el punto P, que es un punto de la elipse.Obtenemos la elipse repitiendo el proceso indefinidamente.

Curvas cónicas 6-4

Fig.6.5

Fig.6.7

Fig.6.6

Método de la circunferencia focal. Fig.6.5

1Con centro en uno de los focos, por ejemplo F ,se describe la circunferencia focal cuyo radio

1es igual al eje mayor. Trácese desde F unarecta cualquiera que corte a la circunferencia

f'focal (C ) en el punto P. Si unimos dicho punto

2P con el foco F cortaremos en M a lacircunferencia principal. Levantando una

2perpendicular a P-F por el punto M (estaperpendicular es también la mediatriz de dichosegmento) obtendremos el punto 1 que es unode los puntos de paso de la elipse. Además de

2la mediatriz al segmento P-F , la tangente es

2bisectriz del ángulo formado F -1- P.En realidad con la construcción realizada, las mediatrices trazadas son sucesivastangentes de la elipse, y lo que se determina son los puntos de tangencia que, por ello,pertenecen a la curva. Las tangentes son también las bisectrices exteriores del ángulo que forman los radios

1 2vectores 1-F y 1-F .

Caso particular de la circunferencia focal. Fig.6.6

2La perpendicular a la recta P-F por el punto M es la mediatriz y también la tangentea la elipse en el punto 1.

2La distancia 1-P es igual a la distancia 1-F . Si tomamos un punto N cualquiera de la

2tangente seguirá observandose que la distancia N-P es igual a la distancia N-F .Con lo expuesto podemos obtener una elipse simplemente conociendo el eje mayor,los focos y un punto cualquiera de la tangente.

Trazar las tangentes a la elipse desde un punto exterior Q. Fig.6.7

2Con centro en el punto dado Q, trazar una circunferencia de radio Q F que se cortará

1con la focal de centro en F en los puntos S y T. Las mediatrices de los segmentos S

2 2F y T F serán las tangentes a la elipse, que pasan por Q. Para determinar los puntos

1de tangencia se unen S y T con F .


Fig.6.8

Construir una elipse dados un par de diámetros conjugados. Fig.6.8

Sean los diámetros conjugados CC'y DD'. Se traza lacircunferencia de diámetro CC', la cual dividimosarbitrariamente por medio de perpendiculares quecorten a la circunferencia descrita.Seguidamente, se dibujan paralelas al diámetromenor DD' por los puntos de división del diámetroCC'.La perpendicular trazada al diámetro mayor por elcentro O, intersección de los dos diámetros dados,corta a la circunferencia en los puntos A y B, loscuales se unen con D y D', respectivamente. Lasparalelas trazadas a estos segmentos (AD y BD') porlos puntos donde la circunferencia ha sido cortada porlas perpendiculares al diámetro CC', cortaránrespectivamente a las paralelas trazadas al diámetro DD', siendo estos puntos deintersección los que definen la elipse.

Trazar las tangentes a la elipse paralelas a unadirección dada. Fig.6.9

Para dibujar las tangentes paralelas a la recta d bastasaber que toda tangente es perpendicular a una recta

2 pque une el foco F con un punto cualquiera de la C ;

2por tanto, trazando desde F una perpendicular a larecta d, obtendremos con la circunferencia principal lospuntos de paso 1 y 2, puntos por donde pasan lastangentes a la elipse paralelas a d.

Fig.6.9

Curvas cónicas 6-6

Intersección de una recta con una elipse conocidos los ejes mayor y menor.Fig.6.9bis

Se hallan los focos de la elipse, con radio a, desde uno de los extremos del eje menor.

2Para hallar la intersección de la elipse con la recta dada trazaremos desde F una

2 2perpendicular a la recta con lo que obtendremos el punto SF ', simétrico del F . Se

f 1 2 2dibuja la C de F . Se dibuja una circunferencia auxiliar que pase por F y SF '.

2 2Hallamos su eje radical con la circunferencia focal, que se cortará con la recta F -SF 'en el punto c.r., centro radical de las circunferencias buscadas y las dibujadas.Trazamos las tangentes a la circunferencia focal desde el centro radical c.r. Con lo que

1 2 1 1obtendremos los puntos de tangencia T y T . La recta T -F corta a la recta r en el

2punto P, uno de los puntos solución. El otro punto solución es el Q, intersección de T -

1F con la recta r.


HIPÉRBOLA

La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Se define como el lugargeométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijosllamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor. Tiene dos ejes de simetría, perpendiculares entre sí, al igual que en la elipse. El ejemayor o real es la distancia entre los dos vértices, A y B, de cada una de las dos ramasde la hipérbola. El eje menor es perpendicular al mayor en su punto medio, que sedenomina centro de la curva. La distancia focal se designa por 2c. Radios vectores son los segmentos que unen cualquier punto de la curva con los dosfocos y por definición se verifica: r - r' = 2a ÿ ÿ r = r' + 2a. Fig.6.10

Entre a, b y c existe la relación:c = a + b2 2 2

La circunferencia principal de la hipérbola esla que tiene por centro el de la curva y radioa. Se define como el lugar geométrico de lospies de las perpendiculares trazadas por losfocos a cada una de las tangentes. Lascircunferencias focales tienen por centroslos focos y radio 2a.La hipérbola es simétrica respecto de losdos ejes y, por tanto, respecto del centro dela hipérbola.Asíntota es la tangente a la curva en el infinito, y diagonal del rectángulo 2a, 2b. Todaasíntota pasa por el centro de la curva. Se denomina hipérbola equilátera cuando estasasíntotas forman 45° respecto a los ejes.La obtención de los focos a partir de los ejes se reduce a tomar la circunferenciacircunscrita a un rectángulo del cual los ejes son las paralelas medias de sus lados. Elcorte de esta circunferencia con la prolongación del eje real está constituido por dospuntos, que son los focos de la hipérbola.

Construcción de la hipérbola.

Primer procedimiento. Por puntos. Fig.6.11Se toman arbitrariamente unos puntos en el eje real, 1, 2, 3, etc. no situados entre los

1 2focos. Con radios 1A y 1B y centro en F y F respectivamente, trazaremos arcos quese cortarán en el punto 1' perteneciente a la curva.Proceder de la misma manera con los puntos siguientes para obtener otros puntos dela curva. En todos ellos se verificará que la diferencia de sus distancias a los focos esAB = 2a, constante.

Fig.6.10

Curvas cónicas 6-8

Fig.6.11 Fig.6.12

Fig.6.13

Segundo procedimiento. Fig.6.12

1Llévese desde el foco F una recta cualquiera que corte a la circunferencia focal o

2directriz c.d. y únase dicho punto de corte con el foco F , que a su vez cortará a la c.p.en M.

2Levántese desde M una perpendicular a la recta que une la c.d. con F que serátangente a la curva.

Tercer procedimiento, dado un punto de latangente. Fig.6.13

2La perpendicular a la recta P-F por el punto Mes la mediatriz y también la tangente a lahipérbola en el punto 1.

2La distancia 1-P es igual a la distancia 1-F . Sitomamos un punto N cualquiera de la tangenteseguirá observándose que la distancia N-P es

2igual a la distancia N-F .Con lo expuesto podemos obtener unahipérbola conociendo el eje mayor, los focos yun punto cualquiera de la tangente.

Trazado de la tangente a la hipérbola en un punto P de ella. Fig.6.14

La tangente a la hipérbola en un punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectoresr y r'.

Fig.6.14


Tangentes a la hipérbola desde un puntoexterior Q. Fig. 6.15

El sistema de construcción es igual que para laelipse. Con centro en el punto dado Q, trazar una

2circunferencia de radio Q F que se cortará con

1la focal de centro en F en los puntos S y T. Las

2 2mediatrices de los segmentos S F y T F seránlas tangentes a la elipse, que pasan por Q. Paradeterminar los puntos de tangencia se unen S y

1T con F .

Tangentes a la hipérbola paralelas a unadirección dada. Fig.6.16

Como en la elipse, para dibujar las tangentesparalelas a la recta d basta saber que toda tangente

2es perpendicular a una recta que une el foco F con

pun punto cualquiera de la C ; por tanto, trazando

2desde F una perpendicular a la recta d,obtendremos con la circunferencia principal los

puntos de paso 1 y 2, puntos por donde pasan las tangentes a la elipse paralelas a d.

Trazar las asíntotas de la hipérbola a partir de la circunferencia principal. Fig.6.17

Las asíntotas pasan por el centro O de la curva, por lo tanto, se trata de trazar lastangentes a la hipérbola desde el punto O.

Primer procedimiento: Dibujar la circunferenciaprincipal de diámetro igual al eje mayor.A continuación dibujar una circunferencia de diámetro

2igual a OF que cortará a la circunferencia principal enlos puntos M y N. Por M y N pasarán las asíntotas.

Segundo procedimiento (con el eje menor o los focos):

1 2Dibujar la circunferencia F -F . Levantar por uno de losextremos del eje mayor una perpendicular a este ejeque al cortar a la circunferencia descrita nosproporcionará los puntos de paso 1 y 2 de lasasíntotas.

Fig.6.15

Fig.6.16

Fig.6.17

Curvas cónicas 6-10

PARÁBOLA

Fig.6.19

Fig.6.18

La parábola es una curva abierta y plana, de una sola rama. Se define como el lugargeométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco yde una recta fija d, llamada directriz. Tiene un eje de simetría que pasa por el vérticeo punto de intersección del eje con la curva, siendo la tangente en dicho vérticeparalela a la directriz y, por tanto, perpendicular al eje. Fig.6.18El vértice, por ser un punto de la curva,

equidista del foco y de la directriz, siendo la distancia del mismo a cada uno igual alsemiparámetro (VA = VF = P/2). Se llama parámetro 2p de la parábola, a la longitudde la cuerda que, pasando por el foco, es perpendicular al eje. La circunferenciaprincipal es la tangente a la curva en el vértice. Los radios vectores de la parábola sonFM y MN, de forma que FM = MN.La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso deradio infinito. Según esto, la directriz es lugar geométrico de los puntos simétricos delfoco respecto de cada tangente.La tangente a la parábola es la bisectriz de los radios vectores r y r'El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta cortaal eje de la curva. Fig.6.19

Construcción de la parábola conociendo el foco y la directriz.

Primer procedimiento. Fig.6.201.- Se toma una distancia cualquiera d>p/2.2.- A partir de la directriz se lleva esa distancia sobre el eje y se traza perpendicular aéste.3.- Desde el foco se traza una circunferencia de radio d. Donde corte a la recta trazadaanteriormente tendremos puntos de la parábola.


Fig.6.20Fig.6.21

Fig.6.22

Método de los puntos. Fig.6.21Para determinar el vértice, hallar el punto medio V entre F y la directriz. A partir de V,dividir el eje, arbitrariamente, en cualquier número de partes, trazando por estasdivisiones perpendiculares al eje. Con centro en F y radio 1A, describir arcos quecortarán a la perpendicular al eje trazada por el punto 1 en 1' y 1"; esta operación deberepetirse para obtener nuevos puntos que se pueden unir con plantilla de curvas.

Trazar la tangente a la parábola por un puntodado de la curva, dados el foco y la directriz.Fig.6.22

Trácese por el foco una perpendicular a ladirectriz. Desde el punto P se dibuja unaperpendicular a la directriz y se obtiene M. Lamediatriz del segmento MF será la tangente a laparábola que pase por el punto P.

Tangentes a la parábola desde un puntoexterior. Fig.6.23

Sea el punto Q. Se traza la circunferencia de radio QF y centro en Q, la cual corta a larecta directriz que en la parábola hace de circunferencia focal deradio infinito, en los puntos 1 y 2. Las mediatrices de los

1 2segmentos 1F y 2F son las tangentes t y t . Los puntos de

1 2tangencia T y T se obtienen trazando por 1 y 2 los radiosvectores que son paralelos al eje.

Fig.6.23

Curvas cónicas 6-12

Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada. Fig.6.24

La tangente ha de ser paralela a la dirección D.Para ello por el foco se traza la perpendicular a D,la cual corta en 1 a la recta directriz. El punto detangencia es T, en la paralela por M al eje de lacurva.

Fig.6.24

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