Relación de la conjetura de Goldbach con los números primos en los intervalos y .

José Acevedo Jiménez

Santiago, Rep. Dominicana

Abstract.

¿Es cierta la conjetura fuerte de Goldbach? De ser cierta la conjetura planteada por Goldbach en 1742, también otras aseveraciones sobre los números primos resultarían ciertas, como la conjetura de los primos gemelos, por citar alguna, dada la estrecha relación que guardan con la primera. En este documento se muestra lo estrechamente relacionadas que están la conjetura de Goldbach y lo que hoy se considera como un teorema, la versión fuerte del postulado de Bertrand- Chebyshev.

Han sido muchos los esfuerzos realizados por los matemáticos para tratar de demostrar la conjetura de Goldbach, que hasta ahora se ha resistido a develarnos sus misterios. Al tratar conjeturas que guardan una estrecha relación con la de Goldbach, quizás podremos encontrar la prueba definitiva que nos permita resolver el antiguo enigma.

Keywords: conjetura de Goldbach, números primos, postulado de Bertrand.

Introducción:

El 7 de de junio de 1742, en una carta dirigida a Euler, Goldbach redactó:

“todo número par mayor que dos puede ser expresado como la suma de dos números primos.”

Dicha conjetura, aunque sencilla en apariencia, no ha cedido pese a la insistencia de los matemáticos que hasta el día de hoy no han sido capaces de resolverla.

En 1845 Joseph L. Bertrand conjeturó que existe por lo menos un número primo en el intervalo , posteriormente dicho enunciado fue demostrado por

Pafnuty Chebyshev consiguiendo de esta manera dar un gran paso hacia adelante en la carrera de los matemáticos por entender la distribución de los números primos entre los números naturales. En este papel se presenta como deben estar agrupados los números primos entre intervalos de números naturales si asumimos que es cierta la conjetura de Goldbach al presentar la distribución de los números primos entre los intervalos y

.

Conjetura fuerte de Goldbach.

“Todo número par mayor que dos puede ser expresado como la suma de dos números primos.”

Christian Goldbach, junio de 1742

Matemáticamente se puede expresar como:

Postulado de Bertrand.

En todo intervalo: ]

Existe una estrecha relación entre la conjetura fuerte de Goldbach y la versión fuerte del postulado de Bertrand ya que para dar una respuesta positiva a la primera, necesariamente debe cumplirse lo siguiente:

1. Justificación.

Sean números naturales consecutivos de una sucesión finita, con: Entonces se cumple que:

Por lo que:

Por el postulado de Bertrand sabemos que:

La existencia de un número primo en el intervalo resulta más que evidente puesto que existe un número primo en el intervalo . A medida que aumenta , también aumenta la cantidad de números primos en el intervalo tendiendo dicho valor al infinito.

Aunque ambas afirmaciones resultan ciertas, esto de ninguna manera demuestra lo que expresó Goldbach en su carta dirigida a Euler en 1742, puesto que para que la misma sea verdadera, como ya se ha expresado, se debe cumplir que:

Generalizando la conjetura de Goldbach siguiendo el razonamiento mostrado en 1. Debe cumplirse que:

Donde:

Como se puede observar en la igualdad, la demostración de la existencia de los primos en los intervalos mostrados, resulta más que suficiente para afirmar la conjetura fuerte de Goldbach. Entonces queda más que evidente que estamos ante una versión más fuerte que la dada por Christian Goldbach en 1742.

Haciendo se deduce que:

La existencia de por lo menos un número primo en el intervalo fue demostrada en el año 2006 por el matemático M. El Bachraoui. Aproximadamente cinco años más tarde, Andy Loo demostró la existencia de por lo menos un primo en el intervalo ; sin embargo ellos no trataron de dar una respuesta a la conjetura que en este documento de ha planteado, sino que dieron respuesta, por lo menos de manera parcial, al problema de la existencia de por lo menos un número primo en el intervalo . Aunque a simple vista, el problema de los intervalos y el que hemos tratado parecen estar estrechamente relacionados existen marcadas diferencias entre uno y otro, ya que en el problema de los intervalos sólo es importante demostrar que existe un primo

para los diferentes valores permitidos, sin tomar en cuenta el valor de la suma de los números primos entre los intervalos.

Ejemplos.

Haciendo y para valores de , tenemos:

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Haciendo y para valores de , tenemos:

4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20

Haciendo y para valores de , tenemos:

6 7 8 9 10 11 12

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Haciendo y para valores de , tenemos:

8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Se puede observar que cuando , entonces tiene que ser mayor que 1, puesto que sólo tendríamos un número primo entre el intervalo , este caso se podría considerar como un caso especial ya que la conjetura de Goldbach permite que se repita el mismo número primo. De no ser válido el caso, entonces, la conjetura de Goldbach sólo sería afirmativas para todos los números pares mayores que 6.