Conjunto de Los Números Naturales

INSTITUCIN EDUCATIVA JOS MARA HERRN CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES

AQUILEO VLEZ G.

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1. CONJUNTOS NMERICOS Y SU REPRESENTACIN EN LA RECTA REAL

1.1 NMEROS NATURALES

En aritmtica trabajamos con los nmeros naturales, que son bsicamente aquellos nmeros

que se inician en el nmero y todos los dems nmeros que se obtienen a partir de l,

agregando sucesivamente la unidad1. (Correa Restrepo, 2015)

El conjunto de los nmeros naturales se representa por el smbolo , ejemplo:

* + * +

Desde tiempos muy remotos, estos nmeros se han utilizado para contar; y con ellos se

sumaban naturalmente los objetos. Cuando se presentaba el manejo de cantidades demasiado

grandes, el hombre opt por agrupar algunas cantidades, para luego sumarlas, facilitando as

el manejo de la operacin SUMA; de esta manera se dio origen al producto o multiplicacin

intuitivamente2. (Ver figura 1.)

Figura 1.Representacin en la recta real de los nmeros naturales.

Fuente: elaboracin en Geogebra.

1 Recordar que la palabra unidad se refiere siempre al nmero uno

2 Intuitivo significa en este caso, que lo hacan guiados por la observacin inmediata de las cosas, es decir,

sin utilizar ninguna clase de razonamiento.


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2

En la grfica podemos observar las siguientes propiedades de los nmeros naturales:

a) Tienen primer elemento.

b) Todo nmero tiene sucesor.

c) No existe ltimo elemento.

Si ampliamos la explicacin de la figura 1. Podemos observar que el conjunto de los nmeros

naturales. Comienza con el cero y despus del nmero trece hay puntos suspensivos, lo que nos

indica claramente que ese listado contina y nunca termina, lo cual podemos sintetizar diciendo:

la serie de los nmeros naturales, va desde cero hasta infinito

Si tomamos cualquier nmero natural diferente de cero, podremos observar que hay un nmero

antes; al cual llamaremos antecesor; y otro inmediatamente despus al cual llamaremos sucesor

del nmero natural previamente seleccionado. (Ros Gallego, 2013)

Ejemplos:

a) Si tomamos el nmero natural su antecesor es el nmero , ya que es el nmero

natural que va antes; y su sucesor es el nmero el cual va inmediatamente despus.

b) Si escogemos el nmero natural su antecesor es y su sucesor es

c) Si tomamos el nmero su antecesor es y su sucesor es

NOTA ESPECIAL: al sucesor de un nmero natural, tambin se le llama CONSECUTIVO; entonces el

consecutivo de es .

Podemos destacar que el nico nmero natural que NO TIENE ANTECESOR en el conjunto de los

nmeros naturales, es el cero; peros si podemos asegurar que todos los nmeros naturales si

tienen un nmero sucesor o lo que es los mismo, si tienen un nmero consecutivo.

En el conjunto de los nmeros naturales cabe destacar el subconjunto de los nmeros que tienen

una sola cifra y que reciben el nombre de dgitos; este subconjunto lo podremos denotar con la

letra D:

* +

Con estos diez dgitos, podremos formar cualquier nmero natural sin importar cuntas cifras

tenga el nmero que vamos a elegir.

1.1.2 VALOR POSICIONAL DE CADA CIFRA O DGITO

Cuando empleamos varios dgitos para formar un nmero natural; cada uno de los dgitos

empleados, adquiere un valor diferente de acuerdo al lugar que ocupe en dicho nmero, a esto se

le llama valor posicional de cada cifra o dgito. (Ver figura 2.)


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NOTA ESPECIAL: es muy importante tener en cuenta que si el cero va a la izquierda del nmero

natural formado, CARECE DE VALOR y por lo tanto puede omitirse; ejemplo: el nmero puede

escribirse simplemente como .

Con los dgitos y podemos formar el nmero natural , sabemos que el dgito es menor

que el dgito , lo cual se escribe matemticamente de la siguiente manera: ; pero en el

nmero natural el tiene mayor valor posicional que el dgito , esto tiene su explicacin en

que el dgito ocupa la posicin de las decenas; mientras que el dgito ocupa la posicin de las

unidades, recuerde siempre que tres decenas corresponden a treinta unidades, y esa cantidad es

mayor a unidades.

Ejemplos de valor posicional de un nmero natural de cinco dgitos (Ver figura 2)

Con los dgitos podremos formar el nmero natural (Ver tabla 1.)

Tabla 1: valor posicional del nmero

Fuente: elaboracin propia.

Decena de Mil Unidad de Mil Centena Decena Unidad

DM UM C D U

De acuerdo a la tabla, podemos establecer que , lo cual representamos con la

simbologa matemtica de la siguiente forma: pero en el nmero natural , el dgito

tiene mayor valor posicional que el dgito es decir: mientras el dgito ocupa el lugar de las

centenas; el dgito ocupa el lugar de las decenas de mil, en otras palabras tres decenas de mil

equivalen a y cuatro centenas equivalen a . Simblicamente

lo representamos de la siguiente manera:

Porque


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Figura 2: Valor posicional de un nmero natural

FUENTE: elaboracin propia en geogebra org.

Estamos en capacidad de afirmar que el nmero treinta y cinco mil cuatrocientos setenta y tres

( ) se compone de: tres decenas de mil ( ), cinco unidades de mil ( ), cuatro

centenas ( ), siete decenas ( ), y tres unidades ( ).

Dicho de otra manera, que el nmero natural , es la reunin de cinco grupos as: uno de

treinta mil unidades ( ); otro de cinco mil unidades ( ); otro de cuatrocientas

unidades ( ); otro de setenta unidades ( ) y un ltimo grupo de tres unidades ( ).

1.1.3 LEY DE TRICOTOMA

Con respecto a los nmeros naturales la ley de la tricotoma3 nos expresa que si comparamos dos

nmeros naturales, se cumple una de las tres posibilidades siguientes:

a) Que el primer nmero sea mayor ( ) que el segundo nmero

b) Que el primer nmero sea igual ( ) al segundo nmero

3 Dividir en tres partes


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c) Que el primer nmero sea menor ( ) que el segundo nmero (Ver figura 3)

Ejemplos:

a) cuatro es mayor que dos

b) cuatro es menor que cinco

c) cuatro es igual a cuatro

FIGURA 3: representacin grfica de la ley de la tricotoma de los nmeros naturales.



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1.1.4 OPERACIONES BSICAS CON LOS NMEROS NATURALES

Los nmeros naturales tienen cuatro operaciones bsicas, son ellas: suma, resta multiplicacin y

divisin.

1.1.4.1 OPERACIN SUMA

Se conoce tambin con el nombre de adicin, se representa con el signo ( ), es la operacin que

nos permite agrupar o reunir los elementos de dos o ms conjuntos, representados en este caso

por los nmeros naturales. Los nmeros que participan en esta operacin reciben el nombre de

sumandos, y el total de elementos que obtenemos reciben el nombre de resultado o suma

(Ros Gallego, 2013)

Ejemplo:

Si reunimos un conjunto que posee seis elementos con otro de cinco elementos, obtenemos un

nuevo conjunto que tiene once elementos; esta operacin de reunir, juntar o en otras palabras

sumar, la simbolizamos matemticamente de la siguiente manera: (ver figura 4)

FIGURA 4. Representacin grfica de la suma de nmeros naturales



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Para sumar cantidades ms grandes, es ms indicado escribirlas en forma vertical, de tal manera

que las unidades queden perfectamente alineadas entre s, lo mismo que las decenas, las

centenas, las unidades de mil, etc. Ejemplo: (ver tabla 2)

Tabla 2. Suma de nmeros naturales

Fuente: elaboracin propia

Centenas Decenas Unidades Operacin

Suma ( )

Si observamos bien la tabla 2. Nos damos cuenta de que iniciamos a resolver la operacin

sumando primero la columna de las unidades como el resultado obtenido tiene dos

dgitos, lo descomponemos as: equivalen a ( ),

entonces escribimos el y el correspondiente a

las decenas lo llevamos a la columna siguiente y lo sumamos con los sumandos existentes en

dicha columna como este resultado que acabamos de obtener tiene solamente

un dgito, lo escribimos normalmente en la columna de las decenas; por lo tanto NO SE LLEVA

NINGUNA DECENA A LA COLUMNA DE LAS CENTENAS, entonces continuamos con la suma de la

columna de las centenas, que en este caso tiene los sumandos , puesto que si a

cualquier nmero natural, le sumamos cero, el resultado obtenido es el mismo nmero natural.

De esta forma hemos terminado con la resolucin del ejercicio propuesto en la tabla 2.

1.1.4.1.1 APLICACIONES DE LA SUMA

a) En el mundo real hay situaciones que para encontrarles una respuesta exacta es necesario

valernos de la operacin suma. Ejemplo:


AQUILEO VLEZ G.

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Solucin: escribimos los sumandos en forma vertical, podremos llenar los espacios vacos con

ceros, sin alterar la operacin propuesta.

b) Se pueden establecer comparaciones de determinadas cantidades donde est involucrada

la operacin suma, estas comparaciones se utilizan para responder a determinados

interrogantes que diariamente se nos plantean. Ejemplo:

Una compaa embotelladora de gaseosas, tiene como meta realizar en el primer trimestre, una

produccin de 125.000.000 de botellas de gaseosa. Observar la siguiente tabla 3 y definir si la

meta se cumpli?

Tabla 3: produccin de gaseosas en el primer trimestre del ao.

Fuente: elaboracin propia.

MES GASEOSAS PRODUCIDAS

ENERO 70.156.325

FEBRERO 30.155.826

MARZO 12.352.525

Para resolver este problema consignado en la tabla 3, debemos sumar las cantidades all

registradas ( ) este

procedimiento debe realizarse en forma vertical, de acuerdo a lo enunciado en el numeral

1.1.4.1.1 del presente documento.

Esto significa que la produccin de gaseosas en el primer trimestre alcanz un nivel de

unidades de gaseosas, pero si comparamos con el objetivo propuesto de producir

durante el primer trimestre 125.000.000 unidades de gaseosas, podremos concluir, de que el

objetivo NO SE CUMPLI ya que la meta trazada es MAYOR QUE LA CANTIDAD QUE REALMENTE

SE PRODUJO. Esta comparacin la simbolizamos matemticamente de la siguiente forma:


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1.1.4.1.2 PROPIEDADES DE LA SUMA

En la suma de nmeros naturales hay una serie de propiedades que es necesario dominar muy

bien, ellas son:

1.1.4.1.2.1 PROPIEDAD CLAUSURATIVA

Esta propiedad nos dice la suma de nmeros naturales siempre da como resultado otro nmero

natural. Esta propiedad nos indica que la suma de nmeros naturales es un operacin cerrada en

ese conjunto numrico, ya que siempre que sumemos dos o ms nmeros naturales, vamos a

obtener como resultado otro nmero natural. Ejemplo:

Los sumandos ( ) son nmeros naturales y el resultado o suma ( ) tambin es un

nmero natural.

1.1.4.1.2.2 PROPIEDAD CONMUTATIVA

Esta propiedad nos dice el orden de los sumandos no altera el resultado. Esta propiedad nos

permite ordenar los sumandos a nuestro antojo, con la certeza de que el resultado de la suma

siempre ser el mismo. Ejemplo:

1.1.4.1.2.3 PROPIEDAD ASOCIATIVA

Esta propiedad nos dice el resultado de sumar tres o ms nmeros es el mismo, independiente

de la manera como se agrupen los sumandos.

Esta propiedad nos permite formar grupos de nmeros, cuando tenemos que sumar tres o ms

cantidades. Para ello nos valemos de los signos de agrupacin, tales como: parntesis ( ) ,

corchetes , - , llaves * + . Ejemplo:

Para resolver esta suma podremos aplicar la propiedad asociativa de la suma. Podemos encerrar

entre parntesis los dos primeros sumandos:

( )


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Hemos resuelto primero la operacin indicada dentro del parntesis, y observamos que de los

tres sumandos que tenamos en el ejercicio inicial, la suma se nos reduce a dos sumandos, lo que

facilita realizar operaciones aun ms largas.

Simblicamente, la operacin suma nos queda expresada as:

( )

Observemos que al escribir el resultado de la suma indicada entre parntesis, los sumandos

desaparecen.

La segunda forma de agrupar estos sumandos es:

( )

Se ha demostrado de esta manera de que no importa la manera como realicemos la agrupacin

de los nmeros, el resultado siempre ser el mismo.

1.1.4.1.2.4 PROPIEDAD MODULATIVA

Esta propiedad nos dice que al sumar cualquier nmero natural con CERO se obtiene el mismo

nmero natural. Esta propiedad considera al CERO como elemento neutro o mdulo de la

operacin suma, es decir cuando el CERO participa como sumando, NO MODIFICA EL

RESULTADO. Ejemplo:


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2. OPERACIN RESTA

Esta operacin se representa con el signo ( ) es la operacin que nos permite averiguar

cunto nos queda despus de retirar determinada cantidad. Los nmeros que intervienen en

esta operacin de restar son: EL MINUENDO, EL SUSTRAENDO (que cantidad que retiramos o

quitamos al minuendo) y la DIFERENCIA (que es el resultado que finalmente nos queda,

despus de retirar o quitar al minuendo determinada cantidad). (Ver figura 5)

FIGURA 5: representacin grfica de la resta de nmeros naturales



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Como el tema que en este momento nos ocupa son los nmeros naturales, es necesario

recordar que stos van desde cero hasta infinito, por lo tanto para realizar la operacin resta

en los nmeros naturales, es necesario tener en cuenta que el minuendo debe ser siempre

mayor o igual que el sustraendo, simblicamente esta condicin la representamos as:

Dado el caso de que el minuendo sea menor que el sustraendo, esta operacin no se puede

realizar en el contexto de los nmeros naturales.

Para verificar si la operacin resta que hemos realizado ha quedado bien resuelta, simplemente

sumamos el sustraendo ms la diferencia y debemos obtener la cifra que aparece como

minuendo; simblicamente este enunciado lo representamos as:

Ejemplo:

Esta operacin de restar puede venir enunciada de dos maneras:

De nueve restar cinco

Restar cinco DE nueve


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Podemos concluir que el nmero que va despus de la palabra DE siempre es el minuendo, y el

nmero que va despus de la palabra RESTAR es el sustraendo. Ejemplo:

De

De acuerdo a la anterior explicacin, tenemos que en este ejemplo el minuendo es y el

sustraendo es y la diferencia es . Simblicamente esto lo expresamos as:

Ahora verificamos mediante la prueba de la resta si la operacin realizada es correcta, y para ello,

sumamos la diferencia con el sustraendo ( ), y debemos obtener el minuendo ( ),

siempre y cuando el ejercicio est bien realizado.

En efecto por lo tanto la operacin realizada es correcta.

2.1 PRSTAMOS EN LA RESTA

Hay situaciones en las que uno de los dgitos del minuendo es menor que el dgito del

sustraendo; por lo tanto tenemos que recurrir al prstamo a la columna ubicada al lado izquierdo

del lugar donde tenemos esta dificultad. Para este tipo de operaciones es ms conveniente

organizarlas en forma vertical. Ejemplo:

C D U

Diferencia


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Para la solucin de este ejercicio de resta en los nmeros naturales, iniciamos restando primero

la columna de las unidades, ac nos encontramos con la dificultad de restarle al dgito

para ello nos vamos hacia la columna de las decenas y PRESTAMOS UNA DECENA (diez

unidades), estas diez unidades se las sumamos a las seis unidades que tenemos en la comuna de

la derecha, por lo tanto ya tenemos y de este nmero ya podemos restar las

, realizando la operacin escribimos .

Como la columna de las decenas muy generosamente nos prest una decena ( ) ,

ya esta columna tiene solamente ( ) , de acuerdo al ejercicio, a las decenas les

restamos cero unidades ( ), recordemos en este caso que si a un nmero natural le restamos

CERO, EL RESULTADO ES EL MISMO NMERO NATURAL. Por ltimo hacemos la resta en la

columna de las centenas; y de esta manera hemos terminado la operacin. Simblicamente

representamos la operacin resta de la siguiente manera:

C D U

Diferencia

El siguiente paso consiste en verificar si la diferencia obtenida en la operacin realizada es

correcta; y para ello simplemente sumamos la diferencia ( ) con el sustraendo ( ) y de

esta forma el resultado de la operacin suma, debe ser el minuendo ( ) . Simblicamente esta

escribimos as:


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3. LA MULTIPLICACIN POR UN DGITO

La multiplicacin se representa por el signo por el cual se representa simblicamente por

una o por un punto. La multiplicacin nos permite hallar ms rpidamente el total de

sumar varias veces una misma cantidad. Los nmeros que intervienen en la operacin de

multiplicar, reciben el nombre de FACTORES y al resultado obtenido SE LE LLAMA PRODUCTO.

(Ver figura 6)

FIGURA 6: interpretacin de la multiplicacin

Fuente: elaboracin propia en geogebra org


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3.1 MULTIPLICACION DE LOS NUMEROS NATURALES

La multiplicacin entre nmeros naturales aparece con la necesidad de abreviar adiciones

repetidas de un mismo nmero.

Ejemplo:

3.1.1 LA MULTIPLICACION COMO OPERACIN BINARIA

La multiplicacin es una operacin binaria, es decir que se realiza entre dos nmeros naturales, y

da como resultado otro nmero natural. Ejemplo:

En la suma esta suma la podemos interpretar con nuestras propias

palabras, diciendo que hemos sumado el nmero tres seis veces; si llevamos esta interpretacin al

plano de las matemticas la escribimos de la siguiente forma: que se lee tres por seis,

es igual a dieciocho; y a partir de este momento hemos cambiado la operacin suma por la

operacin multiplicacin recordemos que la multiplicacin es una suma abreviada

Otro ejemplo de multiplicacin, puede ser: que tambin se pueden escribir como

o tambin se pueden escribir ( )( ) , Y QUE SE LEE SEIS POR CINCO IGUAL A

TREINTA; en esta ltima forma en la que hemos representado simblicamente la multiplicacin

de los factores seis y cinco encerrando cada factor entre parntesis, destacamos el hecho de que

no existe entre ellos (nos referimos a los parntesis) ningn otro signo que nos indique alguna

operacin distinta a realizarse, POR LO TANTO SE TOMA COMO MULTIPLICACIN.

Podemos resaltar el hecho de que como resultado de la multiplicacin de dos nmeros de un slo

dgito o mejor una sola cifra, resultan las ya conocidas tablas de multiplicar, que nos son ms

que el resumen de varias sumas abreviadas, las cuales nos ayudan a guardar en nuestra memoria


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determinados resultados que nos facilitan el ahorro de tiempo y evitan nuestro desgaste, en la

solucin de mltiples situaciones que se presentan en nuestra vida diaria. (Ver tabla 4)

Tabla 4. TABLAS DE MULTIPLICAR DEL CERO AL NUEVE

FUENTE: elaboracin propia

TABLA DEL

TABLA DEL

TABLA DEL

TABALA DEL 3


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TABLA DEL

TABLA DEL

TABLA DEL

TABALA DEL 7


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TABLA DEL

TABLA DEL


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3.1.2 MULTIPLICACIN DE NMEROS CON VARIOS DGITOS

Para realizar este tipo de multiplicaciones, es recomendable realizar la operacin en forma

vertical, para comprender mucho mejor el valor posicional de cada uno de los dgitos que

intervienen en la multiplicacin escribimos la multiplicacin as; ejemplo:

D.mil U.mil Centena Decena Unidad

En la anterior multiplicacin, tanto el nmero como el nmero reciben el nombre de

factores, pero para efectos de comprender mejor el procedimiento realizado, llamaremos al

nmero multiplicando mientras que al nmero le diremos multiplicador y al

resultado obtenido una vez sumados los productos parciales, lo llamaremos producto.

Iniciamos a desarrollar nuestra operacin multiplicando primero las unidades del multiplicador,

en este caso ( ) por cada uno de los dgitos del multiplicando, as:

Como observamos que el producto obtenido es un nmero de dos dgitos, donde el

nmero representa treinta unidades; las mismas que reuniremos en grupos de a diez

unidades, donde cada grupo recibir el nombre de decena, es decir que en treinta unidades hay

tres decenas, por lo tanto en la multiplicacin que estamos realizando, escribimos el cero en la

casilla de las unidades, mientras que las tres decenas obtenidas, las llevamos a la casilla de las

decenas para posteriormente sumarlas al producto obtenido de seis por dos ( ),

entonces como seis por dos es doce y a esto le sumamos las tres decenas que traemos, ac

entonces el resultado obtenido es quince decenas, pero como el paso siguiente es operar en la

casilla de las centenas, entonces con estas quince decenas formamos grupos de a diez decenas

esto equivale a una centena y me sobran cinco decenas porque con ellas no puedo formar otro

grupo de diez decenas, entonces escribo en la casilla de las decenas las cinco decenas que me

sobraron, y paso a la casilla siguiente que es la de las centenas, el grupo de diez decenas (una

centena) obtenidas en el paso anterior.


AQUILEO VLEZ G.

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Corresponde ahora multiplicar al nmero seis por el nmero cuatro, as ( ), como ya es

el ltimo digito del multiplicando, a este nuevo producto le sumo la centena que traigo del paso

anterior y el resultado es ( ), este nmero se escribe completo ya que no hay ms dgitos por

los cuales multiplicar.

Continuando con la operacin, procedemos a multiplicar por el nmero tres, correspondiente en

el multiplicador a la casilla de las decenas; por lo tanto el primer producto obtenido lo

descomponemos de igual manera que lo hicimos cuando estbamos multiplicando por seis

unidades. Hay que tener mucho cuidado en la posicin de los nuevos valores, puesto que ahora

estamos multiplicando por la representacin de las decenas en el multiplicador empezamos a

escribir el nuevo resultado escribiendo la ltima cifra debajo de las unidades, y as

sucesivamente hasta terminar la operacin. Por ltimo sumamos los productos parciales,

TENIENDO MUCHO CUIDADO DE NO CAMBIAR EL VALOR POSICIONAL DE LOS DGITOS, y de esta

manera hemos terminado esta multiplicacin.

Segundo ejemplo de multiplicacin entre nmeros grandes:

D. Milln U. milln Centena

de mil

Decena

de mil

Unidad

De mil

Centena Decena Unidad

2


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En esta multiplicacin se tienen en cuenta las mismas consideraciones del ejemplo anterior, con el

fin de conservar el valor posicional de los dgitos que en cada caso especfico representan un valor

posicional diferente.

Observemos adems que cada vez que nos desplacemos un lugar hacia la izquierda en los dgitos

del multiplicador, no desplazamos tambin un lugar hacia la izquierda para empezar a escribir el

nuevo producto parcial.

3.1.3 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

3.1.3.1 PROPIEDAD ASOCIATIVA:

Al igual que la suma, la multiplicacin es una operacin que se efecta entre dos nmeros a la vez.

La propiedad asociativa nos permite hallar el producto de tres nmeros se puede realizar de tres

formas distintas sin cambiar el orden de los factores; en ambos casos se obtiene el mismo

resultado.

Ejemplo:

( ) ( )

En ambos casos el resultado es el mismo, esto se indica escribiendo la igualdad:

( ) ( )

NOTA:

Si ( ) ( )

MULTIPLICACION DE TRES O MAS NUMEROS

Al multiplicar tres o ms nmeros naturales, se pueden asociar sin el uso de los parntesis, puesto

que la propiedad asociativa nos dice que cualquier forma de asociar, nos lleva al mismo resultado.

Ejemplo:


AQUILEO VLEZ G.

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3.1.3.2 PROPIEDAD MODULATIVA

En la multiplicacin, cuando uno de los factores es , el resultado es igual al otro factor; es decir el

nmero , multiplicado a derecha o a izquierda con cualquier nmero lo deja igual.

El nmero Recibe el nombre de elemento idntico o mdulo de la multiplicacin entre nmeros naturales.

3.1.3.3 PROPIEDAD CONMUTATIVA

Al cambiar el orden de los factores en la multiplicacin, no se altera el resultado.

Ejemplo:

Es decir:

3.2 APLICACIONES DE LA MULTIPLICACIN DE LOS NMEROS NATURALES

a) Se aplica para la comparacin de dos cantidades. Ejemplo:

b) En la solucin de un problema que debe resolverse multiplicando cantidades. Ejemplo:


AQUILEO VLEZ G.

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El profesor Fredy compr cinco cajas de marcadores; si cada caja contiene ocho marcadores y si

cada unidad tiene un costo de . Cuntos marcadores compr y cunto dinero gast el

citado profesor?

Para dar respuesta a este problema, debemos realizar dos multiplicaciones, ya que se trata de dos

preguntas diferentes. La primera indaga sobre la cantidad de marcadores adquiridos; sabemos que

el profesor compr cinco cajas de marcadores y sabemos adems que cada caja trae ocho

marcadores, por lo tanto para conocer cuntos marcadores compr el profesor, simplemente

realizamos la siguiente multiplicacin:

Entonces el profesor compr

La segunda pregunta es cunto dinero gast; como ya sabemos que compr cuarenta

marcadores, y que el costo de cada marcador es de . Entonces multiplicamos la cantidad

de marcadores comprados por el precio de costo, y de esta manera conoceremos la cantidad de

dinero gastado.

Se puede afirmar que el profesor compr marcadores con un costo total de

3.3 Ejercicios de aplicacin de la multiplicacin de nmeros naturales

MULTIPLICACION DE LOS NUMEROS NATURALES

Realizar las multiplicaciones indicadas entre cada par de factores y escribir los resultados

correspondientes a cada casilla.


AQUILEO VLEZ G.

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De acuerdo al anterior ejercicio podemos podremos concluir que las tablas de multiplicar, surgen

de la multiplicacin entre un par de nmeros de un solo dgito

Escribe como multiplicacin las siguientes sumas:

SUMAS ESCRIBIR EN FORMA DE MULTIPLICACIN

a)

b)

c)

d)

e)


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4. LA DIVISIN

La divisin es una operacin inversa de la multiplicacin.

Es una operacin inversa de la multiplicacin, ya que conociendo el producto de dos nmeros, y conociendo adems uno de los factores; dividir es hallar el otro factor; es decir es hallar el nmero por el que debo multiplicar al factor conocido para obtener el producto dado. Ejemplo:

( )

Si dividimos al producto entre el factor conocido tenemos:

Acabo de obtener el nmero que finalmente es el nmero que debo multiplicar por el factor conocido para obtener el producto

4.1 LA DIVISIN POR UNA CIFRA

La divisin se representa por el smbolo ( ) y se lee dividido por, o, dividido entre, la

podemos representar tambin por una barra diagonal ( ). Es la operacin que nos permite

repartir una cantidad en varias partes iguales. (Ver figura 7)

FIGURA 7: divisin por una cifra

FUENTE: elaboracin propia en geogebra. org


AQUILEO VLEZ G.

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Ahora vamos a llevar la divisin que acabamos de representar grficamente, a la simbologa

matemtica, en esta representacin daremos el nombre correspondiente a cada uno de los

trminos que intervienen en la operacin que estamos realizando. (Ver figura 8)

FIGURA 8. Representacin matemtica de la divisin

FUENTE: elaboracin propia en geogebra.org

Esto lo podemos leer diciendo: Cuntas veces cabe el nmero cinco en el nmero diecisis?

Tambin podremos leerlo de otra manera diciendo: Cuntas veces contiene el nmero diecisis al

nmero cinco?

Si observamos bien la figura 8, podremos concluir que nos sobra una unidad ( ), a este sobrante

lo llamaremos residuo, por lo tanto la divisin NO ES EXACTA.

Decimos adems que para que la divisin pueda realizarse en el conjunto de los nmeros

naturales; entonces el dividendo tiene que ser mayor o igual al divisor, esto lo representamos en

la simbologa matemtica as: (ver figuras 9-10)


AQUILEO VLEZ G.

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Ejemplo 1: cuando el dividendo es mayor que el divisor, matemticamente lo representamos as:

FIGURA 9: dividendo mayor que el divisor



AQUILEO VLEZ G.

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Ejemplo 2. Cuando el dividendo es igual al divisor. Matemticamente lo representamos as:

FIGURA 10: dividendo igual al divisor


Cuando el dividendo es igual al divisor, como es el caso de la grfica 10. Podremos afirmar que

todo nmero se contiene a s mismo una sola vez y que no tenemos NINGN RESIDUO, por lo

tanto la divisin ES EXACTA.


AQUILEO VLEZ G.

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Las matemticas nos brindan la oportunidad de verificar si en la operacin divisin que hemos

realizado, el resultado obtenido es correcto, y para ello nos valemos de otra herramienta que se

llama prueba de la divisin, la cual presenta dos condiciones especiales:

a) SI LA DIVISIN ES EXACTA

Cuando la divisin es exacta, no hay ningn residuo, en otras palabras el residuo es cero, por lo

tanto para realizar esta prueba de la divisin; simplemente multiplicamos el cociente por el divisor

y el producto obtenido en esta multiplicacin, debe ser el mismo valor numrico que tiene el

dividendo, siempre y cuando la divisin realizada est correcta. Este enunciado lo podremos

representar simblicamente de la siguiente manera: (ver figura 11)

FIGURA 11. Divisin exacta



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b) SI LA DIVISIN ES INEXACTA

Cuando la divisin es inexacta, hay algn residuo. Es necesario tener muy presente, que el

residuo debe ser un nmero menor que el divisor; por lo tanto para realizar esta prueba de la

divisin; simplemente multiplicamos el cociente por el divisor y al producto obtenido en esta

multiplicacin, se debe sumar el valor del residuo; de esta manera obtenemos el valor del

dividendo, siempre y cuando la divisin realizada est correcta.

FIGURA 12. Divisin inexacta



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4.1 EL NMERO CERO NOS ENVA DOS MENSAJES URGENTES

PRIMER MENSAJE: NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO

Supongamos que se nos presenta una situacin donde el divisor es el nmero cero ,

matemticamente el resultado no lo podramos hallar, porque se nos presenta COMO COCIENTE

UNA CANTIDAD QUE NO PODREMOS DETERMINAR, situacin por la cual afirmaremos que el

cociente en este tipo de divisiones es indeterminado. Este caso especial lo entenderemos mejor

mediante el siguiente caso de la vida real:

PARA NO OLVIDAR JAMS: NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO

En la sociedad actual, los seres humanos nos hemos dejado arrastrar por el consumismo, muchas

veces adquirimos artculos que para nada necesitamos.

En determinada ocasin, haciendo un recorrido por la calle, nos detenemos ante un aviso

publicitario de un establecimiento, cuyo nombre comercial es: ALMACEN TODO A MIL. El

nombre nos resulta demasiado atrayente, y por supuesto, entramos a realizar compras.

La cantidad de dinero que portamos en nuestra billetera, es solamente eso, mil pesos;

lgicamente con esta cantidad de dinero, lo nico que podemos comprar es un artculo. Pero

suponiendo que cada artculo costara solamente $ 500, entonces con nuestro dinero podramos

obtener dos artculos. (Paenza, 2005)

Continuando con el razonamiento, supongamos que cada artculo cuesta un peso, entonces ahora

podramos comprar mil artculos.

De esto podemos concluir: a medida que disminuye el precio, se aumenta la cantidad de

artculos que podemos comprar: Continuando con la misma idea, qu ocurre si cada artculo

nos costara diez centavos?; cuntos artculos podramos comprar con los mismos mil pesos?

Y si los artculos costaran un centavo? Cuntos artculos podramos comprar con los mismos

mil pesos?

Ahora, suponiendo que los artculos son gratis; cuntos artculos nos podramos llevar con los

mismos mil pesos? Ac, las cosas cambian totalmente, pues si los artculos nos los entregan en

forma gratuita; para qu necesitamos tener los mil pesos en la billetera?


AQUILEO VLEZ G.

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De acuerdo a esto, es que podemos afirmar que no tiene sentido dividir mil pesos entre objetos

que nada nos cuestan. (Ver tabla 4)

Tabla 4. Cantidad de artculos en funcin del precio, teniendo solamente mil pesos como capital.

FUENTE: elaboracin propia

PRECIO POR ARTCULO (EN PESOS) CANTIDAD DE ARTCULOS A COMPRAR

1000 1

500 2

100 10

10 100

1 1000

0 No se pueden determinar

0,1 10000

0,01 100000

De los resultados mostrados en la tabla, podemos concluir: a medida que disminuye el precio;

aumenta la cantidad de artculos que podremos comprar siempre con los mil pesos originales.

Si se contina disminuyendo el precio, llegaramos a un punto donde el valor del artculo es

CERO, entonces la cantidad que habra que poner en la columna de la derecha, sera infinito;

dicho de otra manera; NOS PODRAMOS LLEVAR TODO

Para comprender mejor la divisin por cero ( ), miremos el ejemplo de la siguiente figura, para

ello debemos regresar en caso de ser necesario, a repasar nuevamente la tabla del cero (ver

pgina 17). (Ver figura 13)


AQUILEO VLEZ G.

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FIGURA 13: divisor cero


CONCLUSIN. NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO!, NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO!, NO SE

PUEDE DIVIDIR POR CERO!, NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO!......


AQUILEO VLEZ G.

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SEGUNDO MENSAJE

AHORA OBSERVEMOS QU PASA SI EL DIVIDENDO ES CERO ( )? (Ver figura 14)

FIGURA 14: cuando el dividendo es cero


De acuerdo a los dos mensajes especiales que el nmero cero nos acaba de enviar, debemos tener

mucho cuidado cuando estas situaciones se nos presenten.

Recordemos siempre que ste nmero ( ) es el smbolo matemtico con el cual representamos

la ausencia de cantidad, y por lo tanto el ejemplo del segundo mensaje, lo podremos

comprender ms fcilmente, si nos imaginamos que no tenemos dinero en nuestro bolsillo y lo

que NO TENEMOS, lo vamos a repartir entre ocho personas; entonces es lgico concluir que: SI

NADA TENEMOS EN NUESTRO BOLSILLO, NADA PODREMOS REPARTIR ENTRE ESTAS OCHO

PERSONAS, este caso concreto es el que estamos simbolizando matemticamente en la figura 14.


AQUILEO VLEZ G.

36

4.2 LEYES DE LA DIVISION EXACTA

Las leyes de la divisin exacta son tres: ley de uniformidad, ley de monotona y ley distributiva.

4.2.1 LEY DE UNIFORMIDAD: esta ley se puede enunciar de dos maneras:

a) El cociente de dos nmeros tiene un valor nico o siempre igual.

Ejemplo: porque es el nico nmero que multiplicado

por

b) Puesto que dos nmeros iguales son el mismo nmero, se tiene que dividiendo miembro a

miembro dos igualdades, resulta otra igualdad.

c) Ejemplo:

Resulta:

4.2.2 LEY DE LA MONOTONIA

Primer caso:

Si a una desigualdad (dividendo), se divide entre una igualdad (divisor); siempre que la divisin

sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido, que la desigualdad dividendo. Ejemplo:

Segundo ejemplo:


AQUILEO VLEZ G.

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Tercer ejemplo:

Segundo caso:

Si una igualdad (dividendo), se divide entre una desigualdad (divisor); siempre que la divisin sea

posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad del divisor.

Ejemplo uno:

Resulta

Ejemplo 2


AQUILEO VLEZ G.

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Resulta

Tercer caso:

Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad de sentido contrario (divisor);

siempre que la divisin sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la

desigualdad (dividendo)

Ejemplo uno

Resulta

Ejemplo dos

Resulta

NOTA: si se dividen miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado no

puede anticiparse, pues el resultado puede ser una desigualdad de ese mismo sentido, o de

sentido contrario, o una igualdad. Ejemplo:


AQUILEO VLEZ G.

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Ejemplo uno

Resulta

Ejemplo 2

Resulta

Tercer ejemplo:

Resulta


AQUILEO VLEZ G.

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4.2.3 LEY DISTRIBUTIVA DE LA DIVISION RESPECTO DE LA SUMA

Para dividir una suma indicada por un nmero, se divide cada sumando por este nmero, y se

suman los cocientes parciales.

Ejemplo:

( )

4.2.4 LEY DISTRIBUTIVA DE LA DIVISION RESPECTO DE LA RESTA

Para dividir una resta indicada entre un nmero, se dividen el minuendo y el sustraendo por este

nmero, y se restan los cocientes parciales.

Ejemplo:

( )

Bibliografa

Baldor, A. (2005). Aritmtica terico prctica. Medelln: Novoa garfic.

Correa Restrepo, B. E. (2015). lgebra. Medelln: Universidad Nacional de Colombia .

Paenza, A. (2005). En Matemticas.estas ah? (pg. 28). Buenos Aires, Argentina: Siglo XXI

Editores Argentina S.A.

Ros Gallego, J. (2013). Los nmeros naturales y sus operaciones bsicas. En Nociones de

aritmtica (pgs. 7-12). Sociedad Colombiana de Matemticas.

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