CONJUNTO Intuitivamente un conjunto es una colección de elementos bien definidos Notación de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayúsculas y sus elementos con letra minúscula. Los conjuntos se enuncian por extensión (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensión (Se enuncia una o más propiedades del conjunto) A = {a, e i, o, u}; por extensión A= {x/x es una letra vocal}; por comprensión Tipos de Conjuntos

Los conjuntos pueden ser: Finitos: Se pueden contar sus elementos. Infinitos: No se pueden contar sus elementos. Vacío: No tiene elementos. Universal: Conjunto de referencia Relación entre Conjuntos

Dos conjuntos pueden ser: Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos: No tienen elementos en comunes Representación Gráfica de un Conjunto

Diagrama de Venn-Euler (Diagrama Sagital) Es una herramienta que ilustra las relaciones entre conjuntos, se representa en un área plana, por lo general delimitada por un círculo.

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Operación entre Conjuntos 1. Unión: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 2. Intersección: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 3. Diferencia: 𝐴 – 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∋ 𝐵} 4. Complemento: 𝐴𝐶 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∋ 𝐴} 5. Diferencia Simétrica: 𝐴 𝛥 𝐵 = {𝑥/𝑥 Є (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∋ (𝐴 ∩ 𝐵)} Ejercicio Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9} C= {2, 4, 6, 8, 10} Determinar

A U C C n B B – C Ac C Δ A 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 (A n B) c 𝐵𝑐 ∪ 𝐶𝑐 (B U C) c (C - B) c A c – (B n C c) A n (C – B) c

Ejercicio Sean 𝑈 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 𝐴 = {1,3,5,6,8,9}, 𝐵 = {0,2,4,5,7,9} 𝑦 𝐶 = {1,3,5,7,8,9} Determinar 1. 𝐴∆𝐶 2. 𝐴 ∪ 𝐵𝑐 3. 𝐵 ∩ 𝐶𝑐 4. 𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵) 5. (𝐴 ∩ 𝐶𝐶) − (𝐴𝑐 ∪ 𝐶) Ejercicio Escriba la expresión del conjunto cuya área se encuentra sombreada

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Ejercicio Representa en el diagrama dado (por separado) los siguientes conjuntos

1. 𝐵 ∩ 𝐶

2. (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶

3. 𝐴𝑐 ∩ 𝐶

4. (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

5. (𝐵 − 𝐶)𝑐

Número de Elementos de un Conjunto El conjunto A es finito si podemos determinar su número de elementos. Notamos n(A) al número de elementos o cardinal de un conjunto A Dados dos conjuntos finitos A y B podemos considerar 2 posibilidades Si A y B son disyuntos es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces 𝑛(𝐴 𝑈 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) Si A y B tienen elementos comunes es decir 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, entonces 𝑛(𝐴 𝑈 𝐵) =

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) – 𝑛(𝐴 𝑛 𝐵) Si tenemos 3 conjuntos

𝑛(𝐴 𝑈 𝐵 𝑈 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) – 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐶 ∩ 𝐵)+ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

Problemas 1. De un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las

siguientes respuestas, 80 tomaban jugos y leche, 100 tomaban café con leche, 190 tomaban leche, 220 tomaban jugo o leche, 210 tomaba café o leche, 20 toman jugo y café pero no leche y 50 tomaban café con leche y no jugo. Se pregunta a. ¿Cuántas personas toman de los tres alimentos? b. ¿Cuántas personas toman solo jugo? c. ¿Cuántas personas toman solo leche? d. ¿Cuántas personas toman solo café? e. ¿Cuántas personas no toman ninguna de las tres cosas al desayuno?

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/conjuntos_y_operaciones_agsm/ejercicios.pdf

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Por datos ① 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 +𝑥8 = 250 ②𝑥4 + 𝑥5 = 80 ③𝑥4 + 𝑥6 = 100 ④𝑥4 + 𝑥5+𝑥6 + 𝑥7 = 190 ⑤𝑥1 + 𝑥2+𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 220 ⑥𝑥3 + 𝑥4+𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 210 ⑦𝑥2 = 20 ⑧𝑥6 = 50 De ⑦ en ③

𝑥4 + 50 = 100 , entonces 𝑥4 = 50 Remplazando en ② 𝑥5 + 50 = 80, entonces 𝑥5 = 30 Remplazando en ④ 50 + 30 + 50 + 𝑥7 = 190, entonces 𝑥7 = 60 Remplazando en ⑥ 𝑥3 + 50 + 50 + 30 + 60 = 210, entonces 𝑥3 = 20 Remplazando en ① 10 + 20 + 20 + 50 + 30 + 50 + 60 + 𝑥8 = 250, entonces 𝑥8 = 10 Respuesta

a. 50 de los encuestados toman los tres alimentos. b. 10 de los encuestados toman solo jugos. c. 60 de los encuestados toman solo leche. d. 20 de los encuestados toman solo café. e. 10 de los encuestados no toman ninguno de los tres alimentos.

2. En una batalla campal intervinieron 1200 hombres, de los cuales:

420 fueron heridos en la cabeza 430 fueron heridos en los brazos 320 fueron heridos en las piernas 80 fueron heridos en ambos miembros (brazos y piernas) 50 fueron heridos en la cabeza y en brazos 60 fueron heridos en piernas y cabezas 20 fueron heridos en las tres partes 200 no fueron heridos

J

L

C

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Se pregunta ¿Cuántos fueron heridos solo en un lugar? Consideremos el conjunto C los heridos en la cabeza, B los heridos en los brazos y P los heridos en las piernas, Representamos gráficamente el problema así Por datos ∩ (𝐶 ∪ 𝐵 ∪ 𝑃) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6+𝑥7 + 𝑥8 = 1200 (1) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 = 420 (2) 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = 430 (3) 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 320 (4) 𝑥4 + 𝑥6 = 80 (5) 𝑥2 + 𝑥4 = 50 (6) 𝑥4 + 𝑥5 = 60 (7) 𝑥4 = 20 (8) 𝑥8 = 200 (9) Remplazando (8) en (7): 20 + 𝑥5 = 60; 𝑥5 = 40 Remplazando (8) en (6): 𝑥2 + 20 = 50; 𝑥2 = 30 Remplazando (8) en (5): 20 + 𝑥6 = 80; 𝑥6 = 60 Remplazando en (4): 20 + 40 + 60 + 𝑥7 = 320; 𝑥7 = 200 Remplazando en (3): 30 + 𝑥3 + 20 + 60 = 430 ; 𝑥3 = 320 Remplazando en (2): 𝑥1 + 30 + 20 + 40 = 420 ; 𝑥1 = 330 Verificando en (1): ∩ (𝐶 ∪ 𝐵 ∪ 𝑃) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6+𝑥7 + 𝑥8 = 1200 330 + 30 + 320 + 20 + 40 + 60 + 200 + 200 = 1200 1200 = 1200 ¿Cuántos fueron heridos solo en un lugar?

C

P

B

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330 Fueron heridos solo en la cabeza 320 fueron heridos solo en los brazos 200 fueron heridos solo en las piernas Por lo tanto 850 fueron heridos solo en un lugar

3. Una encuesta a un grupo de 100 estudiantes acerca de los gustos en la lectura aporta

los siguientes datos; 65 leen novelas, 75 poesía, 55 leen novelas y poesía, 20 novelas y diarios, 30 diarios y poesía; 10 leen los tres temas y 5 no leen ninguno de los tres temas Se pregunta a. ¿Cuántos estudiantes leen solo poesía? b. ¿Cuántos estudiantes leen solo diario? c. ¿Cuántos estudiantes leen solo novela?

Gráficamente

r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8=100 r4+r5+r6+r7=65 r1+r2+r4+r5=75 r5+r4=55 r6+r4=20 r2+r4=30 r4=10 r8=5

Por (7) y (4): r5 + 10 = 55; r5 = 55 – 10= 45 (9) Por (7) y (5): r6 + 10 = 20; r6 = 20 – 10 = 10 (10) Por (7) y (6): r2 + 10 = 30; r2 = 30 – 10=20 (11) Por (7), (9) y (10): 10 + 45 + 10 + r7 = 65; r7 = 0 (12) Por (11), (7) y (9):r1 + 20 + 10 + 45 = 75; r1 = 0 (13) Por todo: 0 + 20 + r3 + 10 + 45 + 10 + 0 + 5 = 100; r3=10

Respuesta: 10 estudiantes leen solo diario, y ningún estudiante lee solo poesía o novelas

4. En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la

Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen ninguna de las revistas. Se pregunta a. ¿Qué porcentaje leen las tres revistas?

N

P D

r8

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b. ¿Qué porcentaje leen la revista A y la C, pero no la B? c. ¿Qué porcentaje leen solo la revista B?

Representamos gráficamente

Por datos 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 = 48 (1) 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = 50 (2) 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 30 (3) 𝑥2 + 𝑥4 = 20 (4) 𝑥4 + 𝑥6 = 10 (5) 𝑥4 + 𝑥5 = 13 (6) 𝑥8 = 10 (7) ¿Qué pregunta? 𝑥4 = 𝑥5 = 𝑥3 =

Sabemos que: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 = 100 (8) De (6) 𝑥5 = 13 − 𝑥4 De (5) 𝑥6 = 10 − 𝑥4 De (4) 𝑥2 = 20 − 𝑥4 Remplazando 𝑥5 𝑦 𝑥6 en (3) 𝑥4 + 13 − 𝑥4 + 10 − 𝑥4 + 𝑥7 = 30 despejando 𝑥7 =7 + 𝑥4 Remplazando 𝑥2 𝑦 𝑥6 en (2) 20 − 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥4 + 10 − 𝑥4 = 50 despejando 𝑥3 =20 + 𝑥4 Remplazando 𝑥2 𝑦 𝑥5 en (1) 𝑥1 + 20 − 𝑥4 + 𝑥4 + 13 − 𝑥4 = 48 despejando 𝑥1 =15 + 𝑥4 Remplazando en (8)

15 − 𝑥4 + 20 − 𝑥4 + 20 − 𝑥4 + 𝑥4 + 13 − 𝑥4 + 10 − 𝑥4 + 7 − 𝑥4 + 10 = 100 , despejando 𝑥4 = 5 Por tanto

𝑥1 = 15 + 5 = 20 𝑥2 = 20 − 5 = 15 𝑥3 = 20 + 5 = 25 𝑥5 = 13 − 8 = 8 𝑥6 = 10 − 5 = 5 𝑥7 = 7 + 5 = 12

En conclusión a. El 5% leen las tres revistas. b. El 8% leen la revista A y la C, pero no la B. c. El 25% leen solo la revista B.

A B

C

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5. Una universidad aplica una encuesta entre un grupo de egresados del programa de ciencias empresariales para conocer sus preferencias en 3 especializaciones, obteniendo los siguientes resultados 29 no quieren estudiar Administración de Negocios, 11 prefieren Administración de Negocios y Comercio Internacional; 8 prefieren Administración de Negocios y Logística; 10 prefieren Comercio Internacional solamente; 5 prefieren Comercio Internacional y Logística; 8 Administración de negocios y Comercio Internacional pero no logística. 5 no le gusta ninguna de las tres.

Se pregunta: a. ¿Cuántos fueron los encuestados? b. ¿Cuántos no quieren estudiar Administración de negocios? c. ¿Cuántos prefieren estudiar Administración de Negocios y Logística pero no

Comercio Internacional?

6. En un estudio realizado sobre los pacientes adultos admitidos durante un mes se encontró: 57 con problemas cardiacos 57 con problemas Renales 57 con problemas respiratorios 8 ninguna de las tres 44 con problemas cardiacos y renales 32 con problemas renales y respiratorios 31 cardiacos y respiratorios 21 las tres enfermedades Se pregunta a. ¿cuántos pacientes ingresaron? b. ¿cuántos tienen problemas solo cardiacos? c. ¿cuántos tienen problemas solo renales? d. ¿cuántos tienen problemas solo respiratorios?

7. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios

de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil) los datos de la encuesta fueron los siguientes Motocicleta solamente: 5 Motocicleta: 38 No gustan del automóvil: 9 Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: 3 Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 No gustan de bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la motocicleta: 61

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Se pregunta a. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? b. ¿A cuántos les gusta la bicicleta solamente? c. ¿A cuántos les gusta el automóvil solamente? d. ¿A cuántos les gusta las tres cosas? e. ¿A cuántos les gusta la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

8. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente información

391 ven programas deportivos 230 ven programas cómicos 545 ven programas sobre el mundo animal 98 ven programas cómicos y deportivos 152 ven programas cómicos y sobre el mundo animal 88 ven programas deportivos y sobre mundo animal 90 ninguno de los tres programas 50 ven programas deportivos y cómicos pero no sobre el mundo animal Se pregunta a. ¿Cuántos de los entrevistados ven los tres tipos de programas? b. ¿Cuántos de los entrevistados ven sólo uno de los tres tipos de programas?

9. En una sección de 45 estudiantes, 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo juegan

futbol, 25 juegan basquetbol, 10 solo basquetbol, 19 juegan vóley bol y 9 juegan futbol y basquetbol. Si todos práctica por lo menos un deporte, se pregunta a. ¿Cuántos juegan basquetbol y vóley bol? b. ¿Cuántos juegan futbol y no basquetbol? c. ¿Cuántos juegan vóley bol y no basquetbol?

10. Un colegio realiza tres pruebas a 100 estudiantes y ésta arroja los siguientes

resultados 2 Estudiantes fracasaron en las tres pruebas 7 Estudiantes fracasaron en la primera y segunda prueba 8 Estudiantes fracasaron en la segunda y tercera 10 Estudiantes fracasaron en la primera y tercera 25 Estudiantes fracasaron en la primera prueba 30 Estudiantes fracasaron en la segunda prueba 25 Estudiantes fracasaron en la tercera prueba

Se Pregunta a. ¿Cuántos fracasaron solamente en la primera prueba? b. ¿Cuántos fracasaron en la segunda y en la tercera pero no en la primera? c. ¿Cuántos aprobaron las tres pruebas?

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11. En una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 297 tenían casa propia; 273 poseían automóvil; 405 hijos; 165 automóvil e hijos; 120 automóvil y casa; 190 casa y hijos 15 tenían casa, automóvil e hijos. Se pregunta: a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen solo casa propia? c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa e hijos?

12. Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: futbol en

el otoño, basquetbol en el invierno y beisbol en la primavera. Algunos de los atletas juegan solamente un deporte, otros dos y otros tres. 40 personas juegan futbol, 15 los tres deportes, 5 basquetbol y futbol pero no beisbol y 10 solamente futbol. ¿Cuántas personas juegan tanto beisbol como futbol?

13. Una empresa de servicios va a ampliar su red comercial y por ello necesita

incorporar a 26 asesores. La empresa requiere fundamentalmente personas que posean, al menos, una de las características siguientes Alguna experiencia en el área de ventas Formación técnica Conocimiento del inglés

En concreto, la empresa ofrece 12 plazas para los de la característica a; 14 para la los de características b; 11 plazas para los de característica c. Ahora bien la empresa quiere que 5 asesores posean características a y b, que 3 posean características a y c, que 6 asesores posean b y c, y 3 asesores con b y c y no con a. a. ¿Cuánto de esos 26 asesores quiere la empresa que posean las tres

características citadas? b. ¿A cuántos asesores se les erige tener solo conocimientos del inglés? c. ¿Cuántos tienen experiencia en ventas y conocimiento en inglés y no tienen

formación técnica?

14. Una universidad aplica una encuesta a los 60 de sus egresados en Salud para conocer sus preferencias en 3 especializaciones, obteniendo los siguientes resultados 15 prefieren pediatría solamente, 11 prefieren pediatría e cirugía; 12 prefieren cardiología solamente; 8 prefieren pediatría y cardiología; 10 prefieren cirugía solamente; 5 prefieren cirugía y cardiología; 3 las tres especializaciones.

Se pregunta: d. ¿Cuántos no quieren estudiar ninguna de las especializaciones propuestas? e. ¿Cuántos no quieren estudiar pediatría?

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f. ¿Cuántos quieren estudiar pediatría y cardiología pero no cirugía?

15. De un total de 60 estudiantes de un colegio: 15 prefieren francés solamente, 11 prefieren francés e inglés; 12 prefieren alemán solamente; 8 prefieren francés y alemán; 10 prefieren inglés solamente; 5 prefieren inglés y alemán; y 3 los tres idiomas.

Se pregunta a. ¿Cuántos no prefieren ningún idioma? b. ¿Cuántos prefieren alemán? c. ¿Cuántos prefieren alemán e inglés solamente? d. ¿Cuántos prefieren francés?

16. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:

68 se comportan bien. 138 son inteligentes. 160 son habladores. 120 son habladores e inteligentes. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes. 13 se comportan bien y no son habladores. 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.

Se pregunta ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes?

17. Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los siguientes datos: Prefieren Física 40, álgebra 55, geometría 55, física y álgebra 15, física y geometría 20, álgebra y geometría 30, prefieren las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca 5. ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

18. En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultó

lo siguiente: Hablan inglés 27; francés 22; italiano 12; inglés y francés 10; francés y alemán 9; inglés, francés y alemán 6; alemán e italiano 5; 19 hablan inglés pero no alemán; el número de los que hablan alemán es el triple de los que hablan únicamente francés; ninguno de los que hablan italiano hablan ni francés ni inglés.

Se pregunta a. ¿Cuántos no hablan ninguno de los 4 idiomas? b. ¿Cuántos hablan únicamente alemán?

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c. ¿Cuántos saben al menos 2 idiomas? d. ¿Cuántos saben italiano o francés pero no inglés? e. ¿Cuántos no saben alemán y no saben inglés, pero saben francés?

19. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores

se obtuvo la siguiente información : Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil , también querían estudiar

Ingeniería de Procesos Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Preescolar 10 estudiantes preferían estudiar otras carreras 60 querían estudiar Educación Preescolar e Ingeniería de Procesos 440 quieren estudiar Ingeniería de Procesos 180 quieren estudiar Ingeniería Civil a. Represente la situación de forma gráfica. b. ¿Cuántos estudiantes desean estudiar solamente Educación de Preescolar?

20. Una encuesta aplicada a 75 pacientes admitidos en la unidad de cardiología de un

hospital durante un periodo de dos semanas, arrojo los siguientes resultados: 47 llegaron con presión arterial alta 12 tenía problemas de presión arterial alta y respiratorios pero no con colesterol

alto 46 llegaron con nivel de colesterol alto 31 llegaron con problemas de presión arterial alta y nivel de colesterol alto 52 llegaron con problemas respiratorios 29 llegaron con problemas de nivel de colesterol alto y problemas respiratorios 33 llegaron con problemas de presión arterial alta y problemas respiratorios Se pregunta: a. ¿Cuántos pacientes llegaron con las tres dificultades? b. ¿Cuántos pacientes llegaron con ninguna de las tres dificultades?