conjuntos

5/11/2018 conjuntos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/conjuntos-55a232a1674c3 1/44

Teoría

de conjuntosFrancesc Tiñena Salvañà

1 créditoP00/75004/00189





© FUOC • P00/75004/00189 Teoría de conjuntos

Índice

Teoría de conjuntos.................................................................................. 5

Introducción............................................................................................... 5

Objetivos ...................................................................................................... 5

1. Preliminares .......................................................................................... 7

2. Particiones y relaciones de equivalencia ....................................... 11

3. Relaciones de orden ............................................................................. 14

3.1. Conjuntos ordenados ........................................................................ 14

3.2. Elementos distinguidos en un conjunto ordenado........................... 17

4. Funciones................................................................................................ 21

4.1. Conceptos básicos ............................................................................. 21

4.2. Composición de aplicaciones............................................................ 23

4.3. Tipos de aplicaciones ........................................................................ 24

5. El principio de inducción .................................................................. 26

6. Operaciones y estructuras básicas ................................................... 30

Resumen....................................................................................................... 36

Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 37

Solucionario................................................................................................ 38

Glosario ........................................................................................................ 41

Bibliografía................................................................................................. 43





© FUOC • P00/75004/00189 5 Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Introducción

La descripción, la representación, la clasificación, la ordenación, la operación,

la estructuración... son conceptos muy importantes en cualquier tarea cientí-

fica o técnica. Con la teoría de conjuntos los podemos clasificar y formalizar.

Aquí la teoría de conjuntos no es un fin sino un medio para poder dominar

un lenguaje que es extraordinariamente útil en todas las ramas de la matemá-

tica y en muchos otros campos teóricos o aplicados.

Objetivos

Después de estudiar este módulo didáctico el estudiante tiene que haber alcan-

zado los objetivos siguientes:

1. Conocer el léxico, las operaciones y las propiedades básicas de la teoría de

conjuntos.

2. Conocer las particiones y las relaciones de equivalencia y relacionar ambos

conceptos.

3. Conocer las relaciones de orden estricto y las relaciones de orden parcial.

Saber pasar de las unas a las otras.

4. Reconocer los elementos distinguidos de un conjunto ordenado.

5. Recordar los conceptos básicos y las propiedades más relevantes de las fun-

ciones.

6. Comprender y aplicar correctamente el principio de inducción matemática.

7. Conocer las estructuras de grupo, de anillo y de cuerpo.






1. Preliminares

En este módulo didáctico no pretendemos dar una visión formal ni rigurosadel concepto de conjunto. Más que esto, partimos de una idea intuitiva de

conjunto como colección de elementos, y nos dedicamos a estudiar los dos ti-

pos de relaciones más importantes que se pueden definir en un conjunto: las

relaciones de equivalencia y las relaciones de orden. Se presentan las funciones

como una correspondencia entre dos conjuntos y se recuerdan sus propiedades

básicas. Antes de hablar brevemente de operaciones en un conjunto e introducir

terminología relativa a estructuras, se muestra el principio de inducción.

Antes, sin embargo, hagamos un breve recordatorio de conocimientos preuni-versitarios que seguramente os deben ser familiares:

1) Un conjunto es una colección de elementos, donde todos los elementos

son diferentes entre sí. Si el conjunto A está formado por los elementos 1, 2,

3, 4, 5 escribiremos:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Pondremos 3 ∈ A, y lo leeremos ‘3 pertenece a A´ , para indicar que 3 es un ele-

mento del conjunto A.

El conjunto vacío es el único conjunto que no tiene ningún elemento. La no-

tación que se utiliza para representarlo es: ∅.

2) Se dice que un conjunto B es un subconjunto de A si todo elemento de B

es elemento de A. También puede decirse que B está incluido en A. La notación

que se utiliza para representarlo es: B ⊆ A o B ⊂ A.

Ejemplo 1

B = {1, 3, 5} es subconjunto de A = {1, 2, 3, 4, 5 }.

Formalmente se definiría así: B ⊆ A sii ∀x x ∈ B ⇒ x ∈ A.

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto: ∅ ⊆ A.

3) La reunión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B, que tiene por ele-

mentos todos los elementos de A y todos los de B. Formalmente se expresa de

la forma siguiente:

∀x x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A o x ∈ B.

George Cantor y Giuseppe Peaño

George Cantor (1845-1918)(foto inferior) creó la teoría deconjuntos. La consideró comouna extensión de la teoría denúmeros, e introdujo los nú-meros cardinales y ordinalestransfinitos.

Giuseppe Peano (1858-1932)(foto superior) introdujo la ter-minología simbólica que toda-vía se utiliza actualmente.

Recordad

Un conjunto es una colecciónde elementos.

Relación de inclusión

La relación fundamental que sepuede definir entre conjuntos

es la relación de inclusión.




Ejemplo 2

Si A = {1, 3, 5, 7, 9, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}entonces:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10}.

Si combinamos la reunión con la inclusión obtendremos:

A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B.

4) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B, que tiene

por elementos aquellos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Formal-

mente lo indicamos así:

∀x x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A y x ∈ B.

Ejemplo 3

Si A= {1,3,5,7,9,10} y B = {2,4,6,8,10} entonces A ∩ B = {10}

Si combinamos la intersección con la inclusión obtendremos:

A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B.

Combinando la intersección con la reunión obtendremos las propiedades

distributivas:

A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)

A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)

Las propiedades principales de la reunión de conjuntos son las tres si-guientes:

• Propiedad asociativa: A ∪ ( B ∪ C) = ( A ∪ B) ∪ C.

• Propiedad conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.

• Propiedad de idempotencia : A ∪ A = A.

Las propiedades principales de la intersección de conjuntos son las

siguientes:

• Propiedad asociativa: A ∩ ( B ∩C) = ( A ∩ B) ∩ C.

• Propiedad conmutativa: A ∩ B = B ∩ A.

• Propiedad de idempotencia: A ∩ A = A.

∀x...

... es una forma de indicar ‘pa-ra todo x’. Es decir, ∀ es uncuantificador universal.

Sii o ⇔ .. .

... son dos formas abreviadasde representar en matemáticas´si y sólo si´.

a

Con los diagramas...

... de Venn visualizamos bienlos conjuntos.

Tres conjuntos

Inclusión

Reunión

Intersección

Complementario




Y las propiedades de absorción:

A ∩ ( A ∪ B) = A

A ∪ ( A ∩ B) = A.

5)El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene

por elementos todos los pares ordenados (a,b) con a ∈ A y b ∈ B:

A × B = {(a,b) : a ∈ A,b ∈ B}

Ejemplo 4

si A = {1,2,3} y B = {a,b} entonces:

A× B = {(1 ,a) , (1 ,b) ,(2 ,a) ,(2 ,b) ,(3 ,a) ,(3 ,b)} .

Gráficamente:

6) Una correspondencia entre dos conjuntosA y B consta de los conjuntos

A y B de un subconjunto G ⊆ A × B del producto cartesiano A × B.

Ejemplo 5

A = {1,2,3,4,5 }.

B = {a,e,i,o,u} .

G = {(1 ,a) ,(1 ,o ) , (4 ,o) ,(5 , u)}.

Gráficamente:

Observamos que la definición que hemos dado es ciertamente ambigua: ¿qué

quiere decir consta? Se puede quitar la ambigüedad a costa de complicarla: una

correspondencia es una terna ordenada ( A,B,G ) donde G ⊆ A × B. Habitual-

mente, sin embargo, no trabajamos en este nivel de detalle.

Pares iguales

Los pares ordenados (a,b) y(b,a ) sólo son iguales cuandoa y b coinciden.

Observaciónsobre los símbolos : y |

: y | son dos formas distintasde decir en matemáticas´tal(es) que´

B

b

a

A1 2 3

Una correspondencia...

... entre los conjuntos A y B esun subconjunto del productocartesiano A × B .

A B

1

2

3

4

5

a

e

i

o

u




7) Una relación en un conjunto A es una correspondencia entre A y él mis-

mo. De acuerdo con lo que acabamos de decir, pensaremos una relación como

un subconjunto de A × A.

Ejemplo 6

A={1,2,3,4,5}.

G={(1,2),(2,1),(2,4),(5,5)}.

Gráficamente:

En lugar de poner, por ejemplo, (1,2) ∈ G es más habitual escribir 1 G 2 y esto

se lee diciendo que ‘el elemento 1 está relacionado (por la relación G) con el

elemento 2’.

A veces se utiliza un símbolo y no una letra para designar una relación: 1 ≤ 2,

3/4 ≡ 6/8 ...

En los dos apartados que siguen estudiaremos con cierto detalle los dos tipos

de relaciones más importantes que podemos encontrar: las de equivalencia y

las de orden. Antes de hacer esto repasad bien toda la nomenclatura de con-

juntos vista en este apartado.

Recordad

Una relación en un conjunto A es un subconjunto de A × A.




2. Particiones y relaciones de equivalencia

Sea A un conjunto no vacío. Una partición del conjunto A es una descompo-sición de A en una o más partes, de forma que cada elemento de A pertenece

exactamente a una de las partes.

Ejemplo 7

Sea A el conjunto formado por los 10 primeros números naturales:

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

• Una partición de A es, por ejemplo, la familia P = { A1, A2, A3} donde

A 1 = {1,2} A2 = {3,5,7,9,10} A 3 = {4,6,8}.

• No sería una partición la familia { B1 ,B2} donde

B1={1,3,5,7,9} B2={4,6,8,10}

ya que el elemento 2 no pertenece ni a B1 ni a B2.

• Tampoco sería una partición la familia {C1,C2 ,C3} con

C1 = {2,4,6,8,10} C2 = {3,5,7,9} C3 = {1,4,8}

ya que los elementos 4 y 8 están en C1 y en C3 al mismo tiempo.

Después de haber visto con ejemplos y contraejemplos qué es una partición,

podemos dar una definición más formal de ello.

Con esta definición está claro que se puede hablar de la parte que contiene un ele-

mento a ∈ A. Esta parte la señalaremos de la forma siguiente: . En el ejemplo 7:

1 = 2 = A1·

3 = 5 = 7 = 9 = 10 = A2·

4 = 6 = 8 = A3·

Dada una partición P en un conjunto A podemos definir de forma natural la

relación asociada a esta partición:

Sea A ≠ ∅. Una partición de A es una familia de n subconjuntos de A

(n ≥ 1) { A1, A2 ..., An} tal que:

1) ∀i = 1,2,3, ..., n Ai ≠ ∅

2) ∀i, j ∈ {1,2, ..., n} i ≠ j ⇒ Ai ∩ A j = ∅.

3) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A.

Los conjuntos A1, A2, ..., An se llaman partes de la partición .

x ∼ y si x e y están en la misma parte

Partición

Observad

Una partición con una únicaparte estará formada por el

mismo conjunto A: P = {A}.

Recordad

Hacer una partición en un con-junto A es dividirlo en trozosno vacíos y disyuntos.

a




Desde un punto de vista formal esta relación ~ tiene tres propiedades im-

portantes:

• Reflexiva:

• Simétrica:

• Transitiva :

La proposición siguiente es fundamental. Afirma que una relación en un con-

junto A que es reflexiva, simétrica y transitiva produce, de forma natural, una

partición en A. Esta proposición es importante porque nos muestra una forma

muy cómoda de describir particiones.

Utilizando terminología propia de las relaciones de equivalencia, esta parte

a ={b ∈ A: b ~ a} se llama clase de equivalencia de a; el elemento a es un

representante de a (si b pertenece a la misma clase de equivalencia que a,

b es otro representante de a ).

Está claro que la relación asociada a la partición definida por las clases de equi-

valencia es precisamente la relación original ~: éste es el sentido que tiene el

calificativo “de forma natural” empleado anteriormente.

Demostración de la proposición

Debemos ver que {a: a ∈ A} es una partición del conjunto A. Para esto es ne-

cesario probar dos cosas:

Una relación en un conjunto A que es reflexiva, simétrica y transitiva

recibe el nombre de relación de equivalencia.

Proposición

Sea A un conjunto no vacío y ~ una relación de equivalencia definida

en A. En estas condiciones, existe una partición del conjunto A de for-

ma que la parte que contiene un elemento a ∈ A cualquiera es:

donde ~ es la relación de equivalencia definida en A.

El conjunto que tiene por elementos las clases de equivalencia se llama

conjunto cociente (respecto de la relación de equivalencia) y se repre-senta así:

χ χ χ∼ .∀

χ ,γ χ γ ∼ γ χ∼⇒ .∀

χ ,γ ,z χ γ e γ z χ z∼⇒∼∼∀

Recordad

Las relaciones de equivalenciason el instrumento más cómo-do para definir particiones.

a = b A : b a } .∼∈{

A / a{ : a A }∈=∼




1)

2) Si

La primera es obvia.

Veamos a continuación la segunda: si fuesea ∩ b ≠ ∅ entonces existiría x ∈ A

tal que x ~ a y x ~ b. Por las propiedades simétrica y transitiva se tendría a ~ b,

es decir: a = b.

Ejemplo 8

Sea Ν = {0,1,2,3, ...} el conjunto de los números naturales y definamos en N × N la relación:

.

Haced ahora la actividad 1 para comprobar que ≡ es una relación de equivalencia.

Actividad

1. Sea N ={0,1,2,3, ...} el conjunto de números naturales. En el conjunto N × N la relación:

.

a) Comprobad que ≡ es una relación de equivalencia.

b) Demostrad que si (m,n) ≡ (r,s) entonces:

.

c) Demostrad que en el conjunto cociente N×N/ ≡ se puede definir una operación suma (+)de la forma siguiente:

.

Notad que proponemos definir la suma de las clases (m,n) y (r,s) a partir de dos representantesde las clases mencionadas. Esto quiere decir que será necesario que comprobéis que esta sumano depende de la particular elección de los representantes. En otras palabras, comprobad quesi seleccionamos representantes diferentes

entonces, la clase de equivalencia de la suma es la misma:

.

a: a A } = A.∈{∪

a b a b = ∅∩ ⇒≠

m n( , ) r s( , ) m s n r +=+⇔≡

m n( , ) r s( , ) m s+⇔≡ n r +=

m x+ n y +( , ) r x+ s y +( , ) x y ( , ) N N ×∈∀,≡

Recordad

El conjunto cociente está for-mado por las clases de equiva-lencia.

m n( , ) r s( , )+ m r + n s+( , )=

m 1 n 1( , ) m n( , ) y≡ r 1 s1( , ) r s( , )≡

m1 r 1+ n1 s1+( , ) m r + n s+( , )≡




3. Relaciones de orden

Al principio del módulo hemos identificado una relación en un conjunto Acon el subconjunto G del producto cartesiano A × A. Hemos dicho que es ha-

bitual poner a G b para indicar que ( a,b)∈ G y también hemos visto que se uti-

lizan símbolos en lugar de letras para describir relaciones de equivalencia (a~b ,

a≡b). En este apartado hablaremos de otro tipo de relación que puede encon-

trarse en un conjunto: las relaciones de orden.

3.1. Conjuntos ordenados

La notación x < x que aparece en la primera propiedad se debe entender de la

forma siguiente: ‘no es cierto que x< x’, o ‘x no está <-relacionado (es decir: re-lacionado según la relación <) con x’. Si x< y se dice que ‘x<- precede a y ’ o que

‘x precede a y según la ordenación <’.

Ejemplo 9

El conjunto de los números enteros Z, con la ordenación natural “menor que” (<), es unejemplo de conjunto ordenado.

Ejemplo 10

En el conjunto A = {1,2,3,4,5} consideramos la relación siguiente:

< = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 5)} .

Comprobamos que es un orden estricto.

Lo que debemos hacer es observar que la relación< cumple las propiedades antirreflexiva ytransitiva:

• Antirreflexiva : sólo es necesario observar que no hay pares (x,x ).

• Transitiva: es un ejercicio de paciencia observar que siempre que los pares (x,y ) e ( y,z)están en <, el par (x,z) también está ahí.

En nuestro caso,

(1,3) ∈ < (3,5) ∈ < (1,5) ∈ <(2,1) ∈ < (1,3) ∈ < (2,1) ∈ <(2,1) ∈ < (1,4) ∈ < (2,4) ∈ <(2,3) ∈ < (1,5) ∈ < (2,5) ∈ <(2,3) ∈ < (3,5) ∈ < (2,5) ∈ <

Una relación de orden estricto en un conjunto A es una relación < que

cumple las propiedades siguientes:

• Antirreflexiva: .

• Transitiva: .

Recordad

Para las relaciones de ordenestricto se suele utilizar el sím-bolo <.

x∀ A∈ x x<

x,y,z∀ A∈ x y e< y z< x z<⇒




En lugar de escribir, por ejemplo, (2,1) ∈ <, se pone 2<1. Esta afirmación puede

parecer extraña. Conviene no olvidar, sin embargo, que la relación < presen-

tada en el ejemplo anterior no es, evidentemente, la relación de orden habi-

tual que tenemos entre los números.

Fijémonos también que, en este caso, 3 4 y 4 3. Esto se lee diciendo que

los elementos 3 y 4 no son comparables.

Cuando una relación de orden se escribe con el símbolo < entonces ésta se lee

como menor. En el ejemplo que acabamos de estudiar diríamos que 2 es me-

nor que 1, según la relación de orden definida.

Una forma alternativa de explicar las relaciones de orden, por lo menos en

conjuntos finitos, consiste en dibujar un diagrama. Para definir adecuadamen-

te cómo se construye el diagrama de un conjunto ordenado nos será útil la de-

finición que damos a continuación.

Un conjunto ordenado se puede diagramar de la forma siguiente:

1) Representaremos los elementos con puntos (o pequeños círculos).

2) Dibujaremos una línea hacia arriba desde s hasta t si t cubre a s.

Ejemplo 11

En el ejemplo anterior:

Por lo tanto, el concepto de relación de orden no implica que dados dos

elementos cualesquiera x, y con x ≠ y entonces x<y o y<x

Sea ( A,<) un conjunto ordenado. Diremos que r cubre a s si r>s (esto quie-re decir que s<r ) y no hay ningún elemento entre r y s ( x ∈ A:r>x>s)

< <

∃

Recordad

Los diagramas son un buenmétodo para presentar con-juntos ordenados con pocoselementos.

5

3

1

2

4




También podemos elegir el sentido de las líneas de izquierda a derecha:

Por la propiedad transitiva queda claro qué pares están relacionados.

A partir de una relación de orden estricto < en un conjunto A se puede definir

otra relación ≤, que llamaremos de orden parcial, de la forma siguiente:

Actividad

2. Comprobad que la relación ≤ definida a partir de < es de orden parcial.

Recíprocamente, si en un conjunto A tenemos una relación ≤ que es reflexiva, antisimétricay transitiva, podemos definir una nueva relación de la forma siguiente:

que resulta ser de orden estricto.

Actividad

3. Definamos en el conjunto ordenado ( A, ≤) la relación siguiente:

.

Demostrad que la relación < es de orden estricto.

Hemos visto, de este modo, que hay dos versiones para las relaciones de orden: unacon las propiedades antirreflexiva y transitiva (<) y otra con las p ropiedades reflexiva,antisimétrica y transitiva ( ≤); y que podemos pasar en cualquier momento de una ver-

sión a la otra. Sólo será necesario disponer de dos n ombres diferentes para referirnosa ellas. A las relaciones < las llamaremos, como ya hemos hecho antes, relaciones deorden estricto y a las relaciones ≤, relaciones de orden parcial o, simplemente, relaciones deorden. Con la finalidad de acostumbrarnos a las dos versiones, de ahora en adelantetrabajaremos con ≤.

Una relación de orden parcial en A es una relación ≤ que satisface laspropiedades siguientes:

• Reflexiva: .

• Antisimétrica: .

• Transitiva: .

.

4

2 1 3 5

x∀ x x≤

x,y∀ x y e≤ y x≤ x⇒ y =

x,y,z∀ x y e≤ y z≤ x z≤⇒

x y < x y y≤⇔ x y ≠

a b< a b y≤⇔ a b≠




3.2. Elementos distinguidos en un conjunto ordenado

Observemos que esto no es lo mismo que decir que x es el mayor elemento de

todos (recordemos que en un conjunto ordenado pueden haber elementos no

comparables).

Otra forma de expresar la maximalidad es la siguiente:

En el ejemplo 11, mencionado anteriormente, había dos elementos maxima-

les: el 5 y el 4.

El elemento máximo de un conjunto ordenado no debe existir necesariamen-

te, pero si existe es siempre único.

La demostración es muy sencilla: como x es un elemento máximo, y ≤ x; como

y es también un elemento máximo, x ≤ y. Entonces, por la propiedad antisimé-

trica de la relación de orden, x = y.

Sea ( A, ≤) un conjunto ordenado.

Se dice que x ∈ A es un elemento maximal de A si no existe ningúnelemento de A que sea mayor que x. Formalmente:

.

.

Se dice que x0 de A es el elemento máximo de A (o el último elemento

de A) si es el mayor de todos. La notación que se utiliza es la siguiente:

x0=max A. Formalmente:

.

Proposición

Si x, y ∈ A son máximos de A, entonces x = y .

Recordad

Elemento maximal (en un con-junto ordenado) es todo aquelelemento que no tiene ningúnotro mayor que él.

x A maximal∈ y ∃ A : y x>∈⇔

Maximales

Un maximal (que es el máximo)

Dos maximales (y por lo tantono hay máximo)

Tres maximales

x A maximal∈ y ∀ A∈⇔ y x≥ y ⇒ x=

Recordad

El elemento máximo es el ele-mento que es mayor que todoslos demás.

Máximo

x0 max A y ∀ A∈⇔= y x0≤




De forma análoga se pueden definir los conceptos de elemento minimal y de

mínimo.

Una definición alternativa para la minimalidad es la siguiente:

En el ejemplo 11, mencionado en el subapartado anterior, vemos que hay ele-

mento mínimo: el 2.

Los conceptos de elemento máximo y de elemento mínimo también pueden

aplicarse a subconjuntos B ⊆ A. Observamos en primer lugar que todo subcon-

junto B de un conjunto ordenado ( A, ≤) es también un conjunto ordenado; así

pues, si tenemos que x, y ∈ B ⊆ A, podemos definir la relación de orden en B

como se muestra a continuación:

.

Se dice que la relación de orden ≤ B así definida es la inducida por la relaciónde orden de A (también se dice que B hereda el orden de A).

Las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva de ≤ B son inmediatas a

partir de las propiedades correspondientes de A. En la práctica se suele omitir

el subíndice B para referirse al orden inducido en B.

De este modo, si B es un subconjunto del conjunto ordenado ( A, ≤), tiene sen-

tido que hablemos del primer y/o el último elemento de B (si existen).

Ejemplo 12

Sea A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } con la ordenación definida por el gráfico siguiente:

Se dice que x ∈ A es un elemento minimal del conjunto ordenado A si

no existe ningún elemento de A que sea menor que x. Formalmente:

.

.

Se dice quex0 de A es el elemento mínimo de A (o el primer elemento

de A) si x0 es menor que todos los elementos de A. Formalmente se ex-

presa así:

.

Minimales

Un minimal(que es el mínimo)

Dos minimales (y por lotanto no hay mínimo)

Tres minimales

x A minimal∈ y ∃ A : y x<∈⇔

x A minimal∈ y ∀ A∈⇔ y x≤ y ⇒ x=

x0 min A y ∀ A x0∈ y ≤⇔=

Recordad

El elemento mínimo es el ele-mento que es menor que to-dos los demás.

Mínimo

x y B≤ x y ≤⇔




y sea B = {1,2,3,5,6,7}. Está claro que A no tiene ni primer ni último elemento (ni mínimo nimáximo). En cambio B tiene primer elemento: 1, aunque no tiene último elemento. Para ver-lo mejor recomendamos que escribáis todos los pares ordenados que salen del gráfico.

Si nos fijamos en el ejemplo anterior veremos que hay un elemento de A (el 8)

que es mayor que todos los elementos de B. Esto nos sugiere que podemos in-

troducir un par de conceptos más.

El conjunto de todas las cotas superiores (respectivamente inferiores) de B se

denota con el símbolo B+ (respectivamente B−).Ejemplo 13

En el conjunto de los números naturales no nulos, ordenados según la relación “dividir a”(n≤m sii existe r tal que m = n· r ), cada subconjunto finito tiene supremo e ínfimo.

Actividad

4.a) Demostrad que la relación | (leed: dividir ) definida en el conjunto de los naturales nonulos N∗ = {1,2,3,4...}:

.

es una relación de orden. Comprobad que satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica ytransitiva.

b) ¿Existe en (N ∗, |) el supremo y/o el ínfimo de un par de elementos cualquiera? En caso afir-mativo, decid cuáles son.

Sea ( A, ≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A un subconjunto de A. Se dice

que

x ∈ A es una cota superior de B ⇔ ∀b ∈ B b ≤ x.

y ∈ A es una cota inferior de B ⇔ ∀b ∈ B y ≤ b.

Si B+ es no vacío y tiene primer elemento (mínimo), éste recibe el

nombre de supremo de B. De forma análoga, si B− es no vacío y tiene

elemento último (máximo), éste recibe el nombre de ínfimo de B.

Formalmente:

sup B = min B+ inf B = max B−.

4

3

10

7 8

5

9

61 2

Cotas

}B+

}B

}B-

Sup B

Inf B

n m r ∃ N ∗ : m∈⇔ n r ⋅=




Hasta ahora hemos enfatizado el hecho de que en un conjunto ordenado pue-

de haber pares de elementos (a,b ) que no son comparables (a b, b a). Hemos

insistido en ello porque nuestra idea intuitiva de orden podría no haber sido

ésta. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que todos los elementos son

comparables (esto quiere decir que dadosa, b entonces se cumple una de estas

tres opciones: a<b, a = b o b<a). Estos tipos de orden reciben el nombre de ór-

denes totales.

Actividad

5. Un preorden en un conjunto no vacío A es una relación ≤ que cumple las propiedadesreflexiva y transitiva. Se puede definir una relación ≡ asociada a todo preorden de la formasiguiente:

.

a) Demostrad que ≡ es una relación de equivalencia.

b) Demostrad que, en el conjunto cociente A / ≡, la relación siguiente está bien definida (esdecir, no depende de los representantes elegidos):

.

c) Demostrad que la relación definida en el apartado anterior es de orden.

El procedimiento descrito en esta actividad permite pasar de un conjunto preordenado a unconjunto ordenado mediante una identificación de elementos. Notad que hemos identifica-do (hemos puesto en la misma clase de equivalencia) dos elementos cuando no se cumple lapropiedad antisimétrica.

( A, ≤) es un conjunto totalmente ordenado (también: linealmente or-

denado) si ≤ es una relación de orden en A y para todo a, b ∈ A, a ≤ b o

b ≤ a. También se dice que ( A, ≤) es una cadena o que ≤ es una relación

de orden total en A

< <

Orden total

Orden no total

a b≡ a b y≤⇔ b a≤

a b≤ a b≤⇔




4. Funciones

En el primer apartado se ha presentado el concepto general de corresponden-cia entre dos conjuntos. Entre todos los t ipos de correspondencia que se pue-

den definir, es necesario, sin embargo, destacar uno: las funciones.

4.1. Conceptos básicos

Este subapartado es una recopilación básica de conceptos y propiedades rela-

tivos a funciones.

Traducido a lenguaje gráfico, una correspondencia es funcional si de cada ele-

mento del primer conjunto ( A) sale, como máximo, una flecha.

El dominio de una correspondencia G ⊆ A × B es el subconjunto de A formado

por aquellos elementos que se corresponden con algún elemento de B:

El rango (o recorrido) de una correspondencia G ⊆ A × B es el subconjunto de Bformado por aquellos elementos que se corresponden con algún elemento de A:

Se dice que una correspondencia G ⊆ A × B es funcional si cumple la

propiedad siguiente:

.

Una función (o aplicación) de A en B es una correspondencia funcio-

nal G ⊆ A × B con dom G = A. Desde un punto de vista gráfico, las fun-

ciones son correspondencias con la propiedad característica que

enunciamos a continuación: de cada elemento del primer conjunto ( A)

sale una única flecha.

Ved el concepto general decorrespondencia en el apartado 1de este módulo didáctico.

x∀ A∈ y ,∀ y ́ B∈ x , y ( ) x y ́( , ) G y y ́=⇒∈

Notad que...

... en la definición de corres-pondencia funcional en len-guaje gráfico sólo se habla delprimer conjunto y no del se-gundo.

dom G x A : γ B con x, y ( ) G }∈∈∃∈{=

rang G = γ B : x A∈ con x y ( , ) G∈∃∈{ }.




Para indicar que G ⊆ A × B es una función se escribe: G:A→ B. Sea G:A→ B una

función de A en B y x ∈ A un elemento de A. El único elemento y ∈ B que cum-

ple (x,y ) ∈ G se representa por G(x). Así: y = G (x).

Las funciones también se pueden representar con letras minúsculas. Sea

f: A→ B una función y sean A1 ⊆ A y B1 ⊆ B. Se definen

a)

b)

donde f ( A1) recibe el nombre de imagen de A1 (para f ) y f −1( B1) imagen in-

versa o antiimagen de B1 (para f ).

Ejemplo 14

Sea A = B = R∗ y consideremos f: A → B definida por f (x) = x2, algo que también se puede in-dicar de la forma siguiente:

.

Si A1={1,3,5 }, entonces f ( A1) = {1,9,25}. Si B1 = {1,9,25}, entonces f -1( B1) = {±1,±3,±5}.

Con el ejemplo que acabamos de presentar observamos que, en general,

f −1 (f ( A)) ≠ A.

Escribamos a continuación algunas relaciones que es necesario conocer. En lo

que vamos a presentar f: A→ B será una aplicación entre los conjuntos A y B;

A1 y A2 serán subconjuntos de A, y B1 y B2, subconjuntos de B. En estas con-

diciones, se cumplen las relaciones siguientes:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Actividad

6.Demostrad que las relaciones 1 y 2 son ciertas.

f A1( ) f x( ) : x A1∈{ } B⊆ .=

f 1– B 1( ) x A : f x( ) B1∈∈{ } A .⊆=

* R representa el conjunto de losnúmeros reales.

f : R R→

x x2→

Recordad que aplicación es sinóni-mo de función .

A1 A2 f A1( ) f A2( ).⊆⇒⊆

B1 B2 f 1– B1( ) f 1– B2( ).⊆⇒⊆

f 1– B1 B2∪( ) f 1– B1( ) f 1– B 2( ).∪=

f 1– B1 B2∩( ) f 1– B1( ) f 1– B 2( ).∩=

f A1 A2∪( ) f A1( ) f A2( ).∪=

f A1 A2∩( ) f A1( ) f A2( ).∩⊆




Probemos que son ciertas, por ejemplo, las relaciones 3 y 4:

1) En lo que respecta a la relación 3, para probar que dos conjuntos son igua-

les es necesario ver que tienen los mismos elementos, es decir, que todo ele-

mento del primer conjunto también lo es del segundo y que todo elemento

del segundo conjunto también lo es del primero. En símbolos:

a)

b)

Demostración

a) Sea x ∈ f –1( B1∪ B2). Esto quiere decir que f (x) ∈ B1 ∪ B2, es decir, que

f (x) ∈ B1 o que f (x) ∈ B2. Si f (x) ∈ B1 entonces x ∈ f -1( B1), y, si f (x) ∈ B2 ,

entonces x ∈ f –1( B2). En los dos casos se tiene x ∈ f –1( B1) ∪ f –1( B2).

b) Como B1 ⊆ B1 ∪ B2, entonces, por la relación 2, tenemos que se cumple

f –1( B1) ⊆ f –1 ( B1∪ B2). De forma análoga se tiene que f –1( B2) ⊆ f –1 ( B1∪ B2 )

y, por lo tanto, f –1 ( B1) ∪ f −1 ( B2) ⊆ f −1 ( B1∪ B2).

2) Un razonamiento análogo al anterior nos muestra que se cumple la rela-

ción f (A1∩A2) ⊆ f (A1) ∩ f (A2). Veamos, sin embargo, que en este caso no hay

igualdad. Por ello es suficiente con mostrar un contraejemplo.

Demostración

Sea f : R → R definida por f (x) = x2 y sea A1={1,3} y A2 = {–1,–3}. Está claro que

A1∩ A2 = ∅ y, por lo tanto, f ( A1∩ A2 ) = ∅. En cambio, f ( A1) ∩f ( A2)={1 ,9}.

Actividad7. Probad que son ciertas las relaciones que faltan y descubrid qué relación hay entref (f –1( B1)) y B1. (Un dibujo os puede ayudar a ver que, en general, no hay igualdad).

4.2. Composición de aplicaciones

Sean f: A→ B y g: C→ D aplicaciones. Si f ( A) ⊆ C, se puede definir la com-

posición de f con g como la aplicación siguiente:

f 1– B1 B2 ) f 1– B1( ) f 1– B 2( ) .∪⊆∪(

f 1– B1( ) f 1– B2( ) f 1– B1 B2∪( ).⊆∪

Nota

En la definición de la composi-ción de f con g el orden es im-portante; no es el mismo que

la composición de g con f . g ° f : A D.→

x g f x( )( ).→




Observad que g ° f quiere decir composición de f con g (no de g con f ). En el

caso de la composición se escribe la primera función a la derecha. Notad que

( g ° f ) (x) = g (f (x)).

Ejemplo 15

Sean las funciones siguientes:

a)

b)

En este caso tienen sentido las composiciones g ° f y f ° g . Hagámoslas y veamos que no coin-ciden:

•

•

4.3. Tipos de aplicaciones

Gráficamente, una aplicación es inyectiva si no llega más de una flecha a nin-

gún elemento del segundo conjunto.

Gráficamente, una aplicación es exhaustiva si a todos los elementos de B les llega

alguna flecha de A. En algunos textos se habla de aplicaciones de A sobre B.

Se dice que una función f: A→ B es inyectiva si es cierta la implicación

siguiente:

o, de forma equivalente,

Se dice que una aplicación f: A→ B es exhaustiva∗ si se verifica la con-

dición siguiente:

Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva al mismo tiem-po, es decir, si a cada elemento de B llega exactamente una flecha.

Notación

En el caso de la composición seescribe de derecha a izquierda.Es recomendable que adoptéiseste hábito.

f : R R .→

x x2 .→

g : R R .→

x x 3 .+→

g °f ( ) x( ) g f x( ) ) g x2( ) x2 3.+==(=

f ° g ( ) x( ) f g x( ) ) f x 3+( ) x 3+( )2.==(=

Recordad que los términos función y aplicación son sinónimos.

x x1 A x x 1 f x( ) f x1( ) ) ,≠⇒≠(∈,∀

x x1 A f x( ) f x1( ) x x1 ).=⇒=(∈,∀

*Una aplicación exhaustiva tambiénse llama epiyectiva o sobreyectiva .

y B x A : f x( ) y .=∈∃∈∀

Observad que...

... si la composición de dosaplicaciones es biyectiva, en-tonces la primera es inyectiva yla segunda exhaustiva. Obser-vad también que una aplica-ción puede no ser ni biyectiva,ni inyectiva ni exhaustiva.




Actividades

8. Comprobad que la composición de aplicaciones inyectivas da lugar a una aplicación in-yectiva. Demostrad que, si la composición g + f tiene sentido y es inyectiva, entonces f es in-yectiva. Buscad un contraejemplo donde g no lo sea.

9. Comprobad que la composición de aplicaciones exhaustivas da lugar a una aplicación ex-

haustiva. Demostrad que si la composición g+f tiene sentido y es exhaustiva, entonces g esexhaustiva. Buscad un contrajemplo donde f no lo sea.




5. El principio de inducción

El llamado principio de inducción matemática es una valiosa herramienta que sir-ve para demostrar, bajo hipótesis precisas, que todos los números naturales

cumplen una determinada propiedad.

No nos dedicaremos a deducir el principio de inducción de otros axiomas. En

lugar de ello nos limitaremos a entenderlo y a aplicarlo.

Comenzamos recordando que el conjunto de los números naturales, N , estáformado por 0, 1, 2, 3... A continuación examinamos las dos condiciones que

se deben cumplir para poder afirmar que A = N :

1) 0 ∈ A. Esto quiere decir simplemente que el primer elemento deN debe en-

contrarse en A.

2) n ∈ A ⇒ (n+1 ) ∈ A. Este enunciado es una implicación y el paso 2 consiste en

encontrar la validez de esta implicación. Sin embargo, ¿qué quiere decir que una

implicación es válida? Muy sencillo: que a partir del antecedente (n ∈ A) se puede

deducir el consiguiente ((n+1) ∈ A). Notad que no decimos nada sobre la validez

de las afirmaciones n ∈ A o (n+1 ) ∈ A. Sólo decimos que debemos ser capaces de

deducir (n+1) ∈ A a partir de la suposición de que n ∈ A. La proposición n ∈ A se

llama, en este contexto, hipótesis de inducción.

En su forma más sencilla el principio de inducción puede ser enunciado

del modo siguiente: sea A un conjunto de números naturales A ⊆ N; si

se cumplen las dos propiedades siguientes:

1)

2)

entonces A = N .

Una pequeña modificación del principio de inducción se puede enun-

ciar de la forma siguiente: sea A ⊆ N tal que

1) n0 ∈ A (n0 es un número natural fijo como, por ejemplo, 3).

2)

En estas condiciones,

0 A ,∈

n A n 1+( ) A,∈⇒∈

n A n 1+( ) A.∈⇒∈

A n N : n n 0≥∈{ } .=




Para simplificar, usaremos la notación siguiente:

Ejemplo 16

Aclaremos las cosas con un ejemplo. Demostremos que, para todo n ≥ 1, se verifica que:

Por ello consideramos el conjunto siguiente:

Probar que para todo n ≥ 1 se verifica

equivale a probar que A=(1, → ), y esto se puede probar por inducción.

1) 1 ∈ A. Ciertamente, podemos verlo de la siguiente forma:

2)n ∈ A ⇒ (n+1) ∈ A. Veámoslo: recordemos que debemos demostrar que (n+1) ∈ A par-tiendo del hecho de quen ∈ A (hipótesis de inducción). En otras palabras, debemos pro-bar lo siguiente:

suponiendo que

Hagámoslo:

No os asustéis si os parece demasiado complicado, ya que tiene truco. La mejor forma de ver-lo es seguir los pasos que hemos hecho, que no coinciden (en el orden) con los que hemosescrito. Veámoslo, queremos demostrar lo siguiente:

es decir, debemos ver que dos cosas son iguales entre sí, y por ello la herramienta que debeser utilizada es la hipótesis de inducción:

En la práctica, para ver que dos cosas son iguales entre sí ( A = B ) frecuentemente es más fácilver que las dos cosas son iguales a una tercera ( A = C, B = C ). Después, para dejar acabado el

n0 , → ) n N : n n0≥∈{ } .=[

1 2 … nn n 1+( )

2---------------------- .=+ + +

A n 1 n N ∈( ) : 1 2 … n n n 1+( )2

----------------------=+ + +≥

.=

1 2 … nn n 1+( )

2---------------------- .=+ + +

11 1 1+( )

2---------------------- .=

1 2 … n n 1+( )n 1+( ) n 1+( )( 1 )+

2----------------------------------------------------,=+ + + +

1 2 … nn n 1+( )

2---------------------- .=+ + +

1 2 … n+ + +( ) n 1n n 1+( )

2---------------------- n 1

n2 n+

2--------------- n 1=+ +=+ +=+ +

n n2

2n 2+ + +

2---------------------------------------

n2

3n 2+ +

2-----------------------------

n 1+( ) n 2+( )2

------------------------------------n 1+( ) n 1+( ) 1 )+(

2----------------------------------------------------.====

1 2 … n n 1+( )n 1+( ) n 1+( ) 1 )+(

2----------------------------------------------------,=+ + + +

1 2 … n n n 1+( )2---------------------- .=+ + +




trabajo, pasaremos de A a B a través de C , pero ni siquiera mencionaremos que nos hemosapoyado en este C. Procedamos. Por hipótesis de inducción, tenemos que

Lo que pretendemos ver es que se verifica la igualdad siguiente:

Ojo, sin embargo, porque esta igualdad es la que queremos demostrar: no podemos partir de

ella. Nuestros A, B son, respectivamente,

Para ver que A = B desarrollaremos los dos miembros hasta reducirlos a una expresión común:

Operemos:

,

.

Ya hemos llegado a una expresión común (C). Sólo es necesario arreglar la presentación: a

partir de A, pasar por C y llegar a B (volved a mirar el procedimiento inicial).

Actividad10. Demostrad que la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales (n ≥ 1) es

igual a la expresión siguiente:

De hecho, en problemas sencillos ni siquiera es necesario especificar cuál es el

conjunto A: se sobreentiende. Si, por ejemplo, lo que debemos probar es que

una determinada igualdad, desigualdad o, en general, propiedad, P (n) , se cum-

ple para todos los n´s, entonces

En este caso el principio de inducción adopta la forma siguiente: sea P (n)

una igualdad, desigualdad o, en general, propiedad, cuya validez se quiere

demostrar para todo n≥n0; si se verifican las dos condiciones siguientes:

1) La igualdad, desigualdad o propiedad P se cumple para n≥n0´

2) de la hipótesis de que P se cumple para n se deduce que P también

se cumple para (n+1),

entonces P se cumple para todos los naturales n≥n0.

1 2 … n n( 1 )n n 1+( )

2---------------------- n 1+( ).+=++ + + +

n n 1+( )2

---------------------- n 1+( ) n 1+( ) n 1+( )( 1 )+

2----------------------------------------------------.=+

A n n 1+( )2

----------------------=• n 1+( ).+

B•n 1+( ) n 1+( ) 1 )+(

2----------------------------------------------------.=

Nota

La presencia del interroganteencima de la igualdad nos re-cuerda que esta igualdad no latenemos todavía y que es pre-cisamente lo que queremosprobar.

n n 1+( )2

---------------------- n 1+( )n 1+( ) n 1+( ) 1 )+(

2---------------------------------------------------- .=+

?

n n2+

2--------------- n 1+ +

n 1+( ) n 2+( )2

------------------------------------=?

n n2 2n 2+ + +

2---------------------------------------

n 2 2n n 2+ + +

2---------------------------------------=

?

12 2 2 … n 2+ + +n n 1 ) 2n 1 )+(+(

6----------------------------------------------=

A n N : P n( )∈{ } .=




Ejemplo 17

Sea r ≠ 0. Demostremos, por inducción, la fórmula siguiente:

En este caso, la igualdad, desigualdad o propiedad P(n) es

y lo que nosotros queremos demostrar es que P (n) resulta válida para todo n≥1. Siguiendo elmétodo de inducción, es necesario probar dos cosas:

1)La igualdad P (n) es cierta para n=1. Comprobémoslo: P (1) es simplemente

lo cual es evidentemente cierto.

2)De la hipótesis de que P se cumple para n (hipótesis de inducción) se debe deducir que P se cumple para n+1. Empecemos escribiendo el punto de partida o hipótesis de inducción yel punto de llegada de lo que debe ser la prueba de este paso de la inducción:

a) Hipótesis de inducción:

b)Punto de llegada:

Procediendo, tenemos lo siguiente:

Actividad

11.Demostrad que la suma de los cubos de los primeros números naturales se puede calcularutilizando la fórmula siguiente:

1 r r 2

… r n 1– 1 r

n–

1 r –------------- n∀ 1≥( ).=+ + + +

P n( ):1 r r 2

… r n 1– 1 r

n–

1 r –------------- ,=+ + + +

P 1( ):11 r –

1 r –----------- ,=

1 r r 2

… r n 1– 1 r

n–

1 r –------------- .=+ + + +

1 r r 2

… r n 1–

r n

+ + + + +1 r

n 1+–

1 r –--------------------.=

1 r r 2

… r n 1– r

n+ + + + +

1 r n–

1 r –------------- r

n+

1 r n– r n r n 1+–+

1 r –-----------------------------------------

1 r n 1+

–

1 r –-------------------- .= = =

13

23

33

… n3 n 2 n 1+( )2

4-------------------------- .=+ + + +




6. Operaciones y estructuras básicas

En álgebra elemental (resolución de ecuaciones de primer y de segundo grado,por ejemplo) los objetos que nos interesan principalmente son los números

reales. No nos interesa, sin embargo, la naturaleza de los números reales sino

tan sólo las propiedades, es decir, la forma en que podemos combinarlos y re-

lacionarlos. Si hacemos una abstracción de todo ello llegaremos al concepto

de sistema algebraico , que consiste en un conjunto A en el que se definen

ciertas reglas de operación y manipulación de sus elementos. Este apartado es

una introducción a las estructuras algebraicas básicas.

Normalmente las operaciones se representan con símbolos, como por ejemplo

∗, y el elemento que se asigna al par (a, b) se suele escribir a ∗ b.

Ejemplo 18

Sea el conjunto A = {a, b, c }. Definamos, en A, la operación binaria ∗ de la forma siguiente:

Observemos que en la definición de operación binaria se dice que a cada par

ordenado de elementos de A es necesario asignarle un elemento de A. Una

buena forma de no olvidarse de asignar el resultado de la operación a ningún

par de elementos, en el caso finito, consiste en definir la operación mediante

una tabla. En el ejemplo anterior:

Esta tabla debe entenderse de la forma siguiente: el resultado de operar b ∗ c

(en este orden) se encuentra en la intersección de la fila de b con la columna

de c . En este caso, b ∗ c = a. El resultado de operar c ∗ b estará en la intersección

de la fila de c con la columna de b. En este caso c ∗ b = b. Observemos que es

necesario ir con cuidado en lo que respecta al orden de los operandos: no es

lo mismo b ∗ c que c ∗ b.

Una operación binaria en un conjunto no vacío A es una regla queasigna a cada par ordenado de elementos de A algún elemento de A.

Nota

La propiedad básica que puedetener una operación binaria esla asociatividad.

a*a a b*b c c*c b a*b b b*c a =====c*a c c*b=b b*a=b a*c=c.=

Las tablas...

... son un método cómodo paradescribir operaciones en conjun-tos con pocos elementos.

*a

a a

a

b

b

b b c

c

c

cc b b




El recurso de utilizar una tabla para definir una operación sólo se puede aplicar

en el caso de que A tenga pocos elementos. De otro modo, es necesario buscar

un método alternativo para definir la operación.

El método más importante consiste en caracterizar el elemento a ∗ b mediante

alguna propiedad definida en términos de a y de b, como puede verse en el

ejemplo siguiente.

Ejemplo 19

En el conjunto de los números enteros Z definimos la operación ∗ de la forma siguiente:

Algunos resultados concretos serán: 3∗7 = 5, 4 ∗ 5 = 4, 5 ∗ 4 = 5.

Cuando se defina una operación de este modo se debe ir con cuidado con lo

siguiente:

1) La definición no puede ser ambigua.

2) La definición debe tener sentido para todo par (a ,b) ∈ A × A.

Ejemplo 20

a)Un caso en el que no se cumple la primera condición (y por lo tanto no tendremos definidaninguna operación en Α) sería:

.

Cuánto valdría 3 ∗ 7?

b)Un caso en el que no se cumple la segunda condición (y por lo tanto no tendremos defi-nida ninguna operación en A) sería:

En este caso 4 ∗ 2 = 2. Sin embargo, ¿cuál es el resultado de la operación 4 ∗ 3? (Recordemosque estamos en el conjunto de los enteros). ¿Y 4 ∗ 0?

Hemos dicho al principio del apartado que en álgebra nos interesamos por las

propiedades de los objetos que manipulamos (los elementos del conjunto A).

Será necesario, entonces, que las operaciones cumplan ciertas propiedades. De

todas las propiedades que puede tener una operación, la básica es la asociativa.

Pensemos por ejemplo en los números enteros o en los números racionales y

la operación suma.

n∗mn m+

2-------------- si n m es par+

n si n m es impar+

=

A Z i n * mn+m

2------------- si n m es par+

n s i n m es impar+

= =

A Z i n∗ m nm----- .==




De hecho, la estructura anterior es muy sencilla. Si pensamos en los sistemasnuméricos de los enteros, Z , de los racionales, Q , o de los reales, R, nos damos

cuenta de que estos son mucho más ricos.

Si ( A,∗) tiene elemento neutro, siempre es único.

Para probar que cuando ( A, ∗) tiene elemento neutro éste es único, partimos

de dos elementos neutros e y e1 y vemos que son el mismo. Consideremos la

operación e ∗ e1: por ser e neutro, el resultado de esta operación debe ser e1, y

por ser e1 neutro, el resultado de esta operación debe ser e.

Por lo tanto e = e1, es decir: e1 = e ∗ e1 = e

Si x tiene elemento simétrico, éste es único.

Para hacer la prueba y demostrar que el elemento simétrico es único, conside-ramos x´ y x´´ simétricas de x y entonces tenemos :

A continuación escribimos la definición de grupo sin utilizar los conceptos de

monoide ni de semigrupo.

Un conjunto en el que hay definida una operación que cumple la pro-

piedad asociativa: ∀a, b, c ∈ A (a∗b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) se llama semigrupo.

Sea ( A,∗) un semigrupo. Se dice que e ∈ A es un elemento neutro de A si:

Un semigrupo que tiene elemento neutro se llama monoide.

En un monoide ( A, ∗ , e) se dice que x´ es el elemento simétrico de x si

se verifica que:

Un grupo es un monoide (G,∗ ,e), en el que todo elemento tiene simétrico.

a A e∗a a∗e a .==∈∀

Ejemplo

Un ejemplo de monoide loconstituye el conjunto de losnúmeros naturales N, con laoperación suma.

x∗x ′ x′∗x e.==

Elemento simétrico

Cuando en un grupo se utilizala notación aditiva, el elemen-to simétrico recibe el nombrede elemento opuesto.

Cuando en un grupo se utilizala noción multiplicativa, el ele-mento simétrico se llama in -

verso.

x′ x ′∗e x′∗ x∗x″( ) x′∗x( )∗x″ e∗x ″ x″ .=====




Para mostrar la potencia del concepto de grupo, vemos que en todo grupo se

puede simplificar tanto por la derecha como por la izquierda.

Demostremos, por ejemplo, la propiedad de simplificación por la izquierda. Para

ello operamos por la izquierda los dos miembros de la igualdad x ∗ y = x * z con

el simétrico de x. Tendremos lo siguiente:

Para la propiedad asociativa, esta igualdad puede ser escrita de la forma siguiente:

y por lo tanto e ∗ y = e ∗ z, es decir, y = z .

Un grupo es un conjunto no vacío G en el que tenemos definida una

operación binaria:

que cumple las propiedades siguientes:

• asociativa:

• existencia de neutro:

• existencia de simétrico:

Para indicar la operación y el neutro de G , nos referiremos al grupo

(G, ∗,e).

Simplificación por la izquierda y por la derecha en un grupo

Sea (G, *, e) un grupo y x, y, z ∈ G, entonces:

Simplificación por la izquierda: si x * y = x * z entonces y = z.

Simplificación por la derecha: si y * x = z * x entonces y = z

∗:G G G→×

a b c G a∗ b∗c ( ) a∗b( )∗c ,=∈,,∀

e G: a G a∗e e∗a a .==∈∀∈∃

a G a ′ G: a∗a ′ a ′∗a e.==∈∃∈∀

∃∃e...

... se lee ‘existe e’. Es decir, ∃ esun cuantificador existencial.

x′∗ x∗ y ( ) x′∗ x∗z( ).=

x ′∗x( )∗ y x′∗x( )∗z .=




En los grupos abelianos es habitual utilizar los convenios de notación y las ter-

minologías siguientes:

• La operación se señala por + y se llama suma.

• El elemento neutro se designa por 0 y se llama cero.

• El simétrico de x se llama opuesto de x y se escribe –x.

A veces la operación de grupo se escribe multiplicativamente. Esto quiere decir

que en lugar del símbolo * se utiliza el símbolo del producto · (o, incluso –en

total analogía con el producto ordinario– se omite). En este caso el elemento

neutro se designa por 1 y el elemento simétrico de x se escribe x–1 y se lee in-

verso de x. Pensemos, por ejemplo, en el grupo multiplicativo de los raciona-

les no nulos (Q ,∗,1).

Actividades

12. Sea (G, ·, e) un grupo escrito multiplicativamente y señalemos el elemento inverso (simé-

trico) de x ∈ G por x–1. Demostrad que para cualesquiera x, y ∈ G se cumple

13. Demostrad que si para todo elemento x de un grupo (G, ·, e) se cumple que x2 = e, enton-

ces G es abeliano (x2 significa x · x ).

Hasta ahora hemos definido la estructura de grupo. Pero en los conjuntos nu-

méricos (Z,Q,R) no tenemos una única operación –la suma– sino que tenemos

también el producto. Es decir, los conjuntos numéricos se tendrán que mode-

lar con estructuras algebraicas más complejas. A continuación, considerare-

mos conjuntos con dos operaciones.

Se dice que un grupo (G,∗,e) es abeliano (o conmutativo ) si la opera-

ción * es conmutativa, es decir:

Un anillo ( A, +, ·, 0, 1) es un conjunto con dos operaciones –una a la

que llamaremos suma (+) y otra a la que llamaremos multiplicación o pro-

ducto (·)– que cumple las propiedades siguientes:

1) ( A, +, 0) es un grupo abeliano.

2) El producto es asociativo y tiene como neutro el 1 : 1 · x = x · 1 = x.

3) El producto es distributivo respecto de la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c (distributiva por la izquierda).

(a+b) · c = a· c + b · c (distributiva por la derecha).

x y G x∗ y y ∗x.=∈,∀

Ejemplo

La operación suma ordinariadel conjunto de los enteros Zconfiere estructura de grupoabeliano a (Z, +, 0).

x y ( ) 1– y 1– x 1– .=

Aclaración

Algunos autores, en la defini-ción de anillo, no exigen quehaya elemento neutro del pro-ducto. Estos autores se referi-rían a nuestra definición deanillo con el nombre de anillocon unidad.

Notad que...

... en la definición de anillo,estamos enunciando propieda-des de Z, Q, R o C. Por lo tanto

(Z , +, ·), (Q , +, ·), ( R , +, ·),(C, +, ·) son anillos conmutati-vos. De hecho, Q, R, C tienenpropiedades adicionales.




Un anillo se llama conmutativo si el producto es conmutativo, es decir, si

a · b = b · a, para cualquier par de elementos a, b ∈ A.

Fijémonos en la “extraña” propiedad 1 ≠ 0. No hemos dicho en ningún sitio

que en un anillo el neutro de la suma y el neutro del producto deban ser dife-

rentes. ¿Qué pasaría si 1 = 0? Observemos lo siguiente:

Tendríamos x· 0 = x · 0 + x · 0 y, simplificándolo, x · 0 = 0. Sin embargo, como

x· 0 = x · 1 = x, sucedería que todo elemento del anillo coincidiría con el 0, es

decir, que el anillo estaría formado por un único elemento.

En la definición de cuerpo se evitan “patologías” de este tipo: al exigir 1 ≠ 0

estamos diciendo que todo cuerpo tiene, como mínimo, dos elementos.

Un cuerpo es un anillo conmutativo ( K , +, ·, 0, 1) con 1 ≠ 0 en el que todo

elemento diferente de 0 tiene inverso (simétrico respecto del producto).

Pensad unos momentos...

... y comprobad que Q, R, Ccon la suma y el productousual tienen estructura decuerpo.

x x 1 x 0 x 0 0⋅( ) x 0 x 0.⋅+⋅=⋅=⋅=⋅=




Resumen

Al principio del módulo hemos recordado, de una forma breve, las principalesoperaciones y propiedades de la teoría de conjuntos.

A continuación hemos estudiado las particiones en un conjunto y la forma ha-

bitual de describirlas: mediante las relaciones de equivalencia.

El tema siguiente que hemos tratado ha sido el de las relaciones de orden. Ini-

cialmente hemos presentado las relaciones de orden estricto < y, a continua-

ción, las relaciones de orden parcial ≤. Hemos visto también cómo se puede

pasar de unas a otras, y viceversa.

Finalmente, hemos introducido el concepto de operación binaria en un con-

junto y hemos presentado las estructuras algebraicas más sencillas: el monoi-

de, el grupo, el anillo y el cuerpo.




Ejercicios de autoevaluación

1. Sea ~ una relación definida en un conjunto no vacío A . ¿En qué consisten las propiedadesreflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva?

2. Definid los conceptos de relación de equivalencia y de partición. ¿Qué relación hay entre

estos conceptos?

3. Definid los conceptos de relación de orden estricto < y de relación de orden ≤. ¿Qué rela-ción hay entre ellos? (Las relaciones de orden ≤ también se llaman relaciones de orden par-cial.)

4. Considerad el conjunto ordenado dado por el gráfico siguiente:

a) Decid cuáles son los elementos maximales y los minimales. Decid si tiene máximo y/omínimo.

b) Decid si el subconjunto B = {b, d, h} tiene maximales y minimales, máximo y mínimo.Dad todas las cotas superiores e inferiores de B.

5. Demostrad que todo grupo con exactamente cuatro elementos es abeliano.

c e

db f g

a

h




Solucionario

Actividades

1. a) Reflexiva: (m, n) ≡ (m, n ) ya que m + n = n + m.

Simétrica: si (m, n ) ≡ (r, s ) entonces m + s ≡ n + r , y por lo tanto,

Transitiva: si (m, n) ≡ (r, s) y (r, s) ≡ (x, y ), entonces,

b) Si (m, n ) ≡ (r, s ) entonces m + s = n + r , y por lo tanto,

es decir,

c) Si aplicamos dos veces el apartado b ) obtenemos lo siguiente:

2. a) Reflexiva: para todo x se cumple x = x , y por lo tanto, x ≤ x.

b) Antisimétrica: si x ≤ y entonces x = y o bien x< y . De forma análoga, si y ≤ x, entonces y =x o

bien y <x. Si x = y ya hemos acabado la comprobación. En caso contrario, tendríamos x <y e y<x ,lo cual es imposible, ya que la transitividad de < implicaría x<x.

c) Transitiva: sea x ≤ y e y ≤ z. Debemos probar que x ≤ z : x ≤ y quiere decir x = y o bien x<y .De forma análoga, y ≤ z quiere decir y = z o bien y<z. Hay, de este modo, cuatro casos quees necesario estudiar:

• x = y e y = z. En este caso x = z y por lo tanto x ≤ z .

• x = y e y < z . En este caso x < z y por lo tanto x ≤ z.

• x < y e y = z . Si fuera así entonces sería x < z y por lo tanto, x ≤ y .

• x < y e y < z. En este último caso la transitividad de < nos dice que x < z, y por lo tanto, x ≤ z.

3.

• Antirreflexiva: a < a equivale a a ≤ a y a ≠ a, lo cual no puede ser. Por lo tanto,

a a.

• Transitiva: si a < b y b < c, entonces a ≤ b y a ≠ b, y b ≤ c y b ≠ c .

Por la transitividad de ≤, a ≤ c . Sólo falta ver que a ≠ c : si a = c , la desigualdad b ≤ c se convertiríaen b ≤ a, la cual, junto con a ≤ b, implicaría que a = b (por la antisimetría de ≤, que es de ordenparcial), conclusión que es falsa.

4.

a) Reflexiva: n|n ya que n = n · 1.

Antisimétrica: si n|m y m|n entonces

r s( , ) m n( , ) .≡

m s n r i r y s x .+=+ +=+

m s+( ) r y +( ) n r +( ) s x+( ) .+=+

m y n x m n( , ) x y ( , ).≡⇒+=+

m s x y n r x y m x+( ) s y +( ) n y +( ) r x+( ).+=+⇒+ + +=+ + +

m x n y ) r x s y +,+( ).≡+,+(

m r n s+,+( ) m r 1 ′n s 1+ +( ) m 1 r 1′ n1 s1+ +( ) .≡ ≡

<

m nr y n= m s=




(recordemos que s y r son naturalespositivos)

Transitiva: si n|m y m|l entonces

b) Vemos, a continuación, que inf(m,n) = mcd(m, n) (“mcd” quiere decir: máximo comúndivisor). Por ello, es necesario justificar que d = mcd (m, n ) es:

• Cota inferior: d |m y d |n, por definición de mcd.

• La mínima: si r |m y r |n entonces r |d .

De forma análoga, se justificaría que sup(m, n) = mcm (m, n ) (“mcm” quiere decir mínimocomún múltiple).

5.

a) Vemos que ≡ es una equivalencia:

Reflexiva: a ≡ a, al ser ≤ reflexiva.

Simétrica: si a ≡ b entonces a ≤ b y b ≤ a, es decir, b ≡ a.

Transitiva: sea a ≡ b y b ≡ c. Tendremos:

Para la transitividad de ≤, a ≤ c y c ≤ a, es decir, a ≡ c.

b) Debemos ver que si a1 ≡ a y b1 ≡ b entonces a ≤ b es equivalente a a1 ≤ b1 : al ser a1 ≡ a,tendremos a1 ≤ a y a ≤ a1; al ser b1 ≡ b, tendremos b1 ≤ b y b ≤ b1.

Si a ≤ b, por la transitividad de ≤, será a1 ≤ b1. El recíproco se demostraría del mismo modo.

c) Debemos ver que la relación ≤ definida en el conjunto cociente A / ≡ es de orden.

Las propiedades reflexiva y transitiva son obvias; justifiquemos la antisimétrica: si a ≤ b yb ≤ a entonces a ≤ b y b ≤ a, es decir, a ≡ b o, lo que es lo mismo, a = b.

12.

Debemos ver que:

La primera igualdad:

La segunda:

13.

Observamos, en primer lugar, que la igualdad x2 = e equivale a x = x–1: si xx = e, multiplicandoa la izquierda por x–1 se obtiene:

Ahora, la demostración que nos piden (x, y ∈ G):

(en virtud del ejercicio anterior).

Ejercicios de autoevaluación

1. Reflexiva:

Simétrica:

m m s( )r m sr ( ) sr 1 s r 1 n m .=⇒==⇒=⇒==

m nr y l ms l n r ) s n rs( ) n l.⇒=(=⇒==

a b b a b c c b.≤≤≤≤

x y ( ) y 1– x

1–( ) y

1– x1–

( ) xy ( ) e.==

x y ( ) y 1–x

1–( ) x yy

1–( )x

1–x ex

1–x x

1–e.====

y 1– x 1–( ) xy ( ) y 1– x 1– x( ) y y 1– ey y 1– y e.====

x1– x( )x x

1– e x ex x1– e x

1–.===⇒=

x y ( )2 e xy xy ( ) 1– y 1– x 1– yx===⇒=

x x x .∼∀

x y x y y x .∼⇒~,∀




Antisimétrica:

Transitiva:

2. Relación de equivalencia: relación que cumple las propiedades reflexiva, simétrica ytransitiva.

Partición: subdivisión de un conjunto en partes disyuntas.

Dada una relación de equivalencia en A, la familia de las clases de equivalencia forma unapartición del conjunto A. De forma recíproca, toda partición de A induce una relación deequivalencia en A:

x ~ y ⇔ x e y están en la misma parte.

El conjunto cociente A / ~ está formado por las partes de partición inicial.

3. Orden estricto <: relación antirreflexiva y transitiva.

Orden parcial ≤: relación reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Dada una relación de orden estricto <, se puede definir una relación de orden parcial ≤ dela forma siguiente:

Dada una relación de orden parcial ≤, se puede definir una relación de orden estricto < dela forma siguiente:

4 . a) A = {a, b, c, d, e, f, g, h}

Elementos maximales: c, e, g, h.Elementos minimales: a.Máximo: no tiene.Mínimo: a.

b) B = {b, d, h}

Elementos maximales: d, h .Elementos minimales: b, h .Máximo: no tiene.Mínimo: no tiene.Cotas superiores: B+ = ∅Cotas inferiores: B− = {a}

5. Sea G = {e, a, b, c } (e representa el elemento neutro). Como e ∗ x = x ∗ e ∀x ∈ G, sólo esnecesario ver que conmutan los elementos diferentes del neutro. Tomemos a y b y con-sideremos a ∗ b.

Observemos, primero, que a ∗ b no puede ser a, ya que si lo simplificamos, obtendremos b = e .

Del mismo modo, a ∗ b ≠ b.

Hay, de esta forma, dos posibilidades para a ∗ b, exactamente las mismas que para b ∗ a: c y e.

1) Si a ∗ b = c y b ∗ a = c entonces a ∗ b = b ∗ a.

2) Si a ∗ b = c y b ∗ a = e entonces:

Queda descartada esta posibilidad.

3) Si a ∗ b = e y b ∗ a = c entonces:

También queda descartada esta posibilidad.

x y x y e y x x y .=⇒∼~,∀

x y z x y e y z x z.∼⇒~∼,,∀

x y x y o x y .<=⇔≤

x y x y y x y .≠≤⇔<

a a∗e a∗ b∗a( ) a∗ b( )∗a c ∗a c e .=⇒====

a e∗a a∗b( )∗ a a∗ b∗ a( ) a∗ c c e .=⇒====




4) Si a ∗ b = e y b ∗ a = e entonces a ∗ b = b ∗ a.

Hemos visto entonces que a ∗ b = b ∗ a . Teniendo en cuenta que dea y b sólo hemos utilizadoelementos que no son el neutro, acabamos de probar que G es abeliano.

Glosario

anilloUn anillo ( A , +, 0) es un conjunto con dos operaciones, una que llamaremos suma (+) y otraque llamaremos producto (·), que cumple las propiedades siguientes:• ( A, +, 0) es un grupo abeliano.• El producto es asociativo y tiene un elemento neutro 1.• El producto es distributivo respecto de la suma.

anillo conmutativoAnillo en el que el producto tiene la propiedad conmutativa.

antirreflexivaRelación < (definida en un conjunto A) en la que para todo elementoa ∈ A se cumple a < a.

antisimétrica

Relación en la que de las igualdades a ≤ b y b ≤ a se deduce que a = b.

asociativaOperación binaria ∗ definida en un conjunto no vacío A en la que para cualesquiera a, b, c ∈ A se cumple lo siguiente:

cubrirEn un conjunto ordenado ( A , ≤) se dice que a cubre a b si a> b y no hay ningún elementoentre a y b.

conjunto vacíoÚnico conjunto que no tiene ningún elemento. La notación que se utiliza para expresarlo es∅.

conjunto cociente

Dada una relación de equivalencia ∼ en un conjunto no vacío A , el conjunto cociente A / ∼ esel conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia módulo ∼.

correspondenciaDados dos conjuntos A y B , una correspondencia entre los dos es un subconjunto G del pro-ducto cartesiano A × B.

cota inferiorDado un conjunto ordenado ( A, ≤) se dice que x ∈ A es una cota inferior de B ⊆ A si para todoelemento b ∈ B se cumple que x ≤ b. El conjunto de todas las cotas inferiores de B se repre-senta B−.

cota superiorDado un conjunto ordenado ( A, ≤) se dice que x ∈ A es una cota superior de B ⊆ A si paratodo elemento b ∈ B se cumple que x ≥ b. El conjunto de todas las cotas superiores de B serepresenta B+.

cuerpoAnillo conmutativo ( K, +, ·, 0, 1) con 1 ≠ 0 en el que todo elemento diferente de 0 tiene in-verso (simétrico respecto del p roducto).

elementos no comparablesDado un conjunto ordenado ( A , ≤) se dice que dos elementos a, b ∈ A no son comparables (oson no comparables) cuando a b y b a.

equivalenciaRelación ~ en un conjunto A que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

grupo

Un grupo (G, ∗ , e ) es un conjunto en el que hay definida una operación binaria ∗ que cumplelas propiedades siguientes:• Asociativa.• e es el elemento neutro.• Todo elemento de este conjunto tiene simétrico

a∗ b∗c ( ) a∗b( )∗c .=

≤ ≤




grupo abelianoGrupo (G, ∗ , e ) en el que la operación * tiene la propiedad conmutativa.

incluidoDado un conjunto B, se dice que está incluido en el conjunto A cuando todo elemento de B es también elemento de A . Se representa así: B ⊆ A. También se dice que B es subconjuntode A.

ínfimoDado un conjunto ordenado ( A, ≤) se dice que x ∈ A es el ínfimo de B ⊆ A si x es la cota

inferior máxima de B . Notación x = inf B.

intersecciónDados dos conjuntos A y B su intersección es el conjunto C, cuyos elementos son aquellosque pertenecen simultáneamente a A y a B. Notación: C = A ∩ B .

máximoDado un conjunto ordenado ( A, ≤ ) el elemento máximo es aquel elemento que es mayor que

todos los demás. La notación que se utiliza para expresarlo es: max A.

maximalDado un conjunto ordenado ( A, ≤) se dice que x ∈ Aes un elemento maximal cuando no hay,

en A, elementos mayores que él.

mínimoDado un conjunto ordenado ( A, ≤) el elemento mínimo es aquel que es menor que todos losdemás. La notación que se utiliza para expresarlo es: min A.

minimalDado un conjunto ordenado ( A , ≤) se dice que x ∈ A es un elemento minimal cuando no hay,

en A, elementos menores que él.

monoideSemigrupo que tiene elemento neutro.

neutro

Dado un semigrupo ( A, ∗) se dice que e ∈ A es el elemento neutro si para todoa ∈ A se cumpleque e ∗ a = a ∗ e = a.

operación binariaDado un conjunto no vacío A, una operación binaria es una regla (una aplicación) que asigna

a cada par ordenado de elementos de A algún elemento de A .

orden estrictoDado un conjunto no vacío A , relación < que cumple las propiedades antirreflexiva y tran-sitiva.

orden parcialDado un conjunto no vacío A , relación≤ que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica

y transitiva.

orden totalDado un conjunto A , relación de orden ≤ que cumple la propiedad adicional siguiente: para

cualesquiera a, b ∈ A , se cumple a ≤ b o b ≤ a.

particiónDado un conjunto no vacío A , familia de n subconjuntos de A (n ≥ 1) { A1 , A 2 ..., An} talque:

producto cartesianoDados dos conjuntos no vacíos A y B, su producto cartesiano es el conjunto A × B cuyos ele-

mentos son todos los pares ordenados (a,b ) con a ∈ A y b ∈ B.

reflexivaDada una relaciónG definida en un conjunto no vacío A, tiene la propiedad reflexiva cuando

para todo elemento a ∈ A se cumple aGa .

i 1 2 … n A i, , ,=∀• ∅.≠

i j 1 2 … n, , ,{ }∈,∀• i j Ai A j∩⇒≠ ∅ .=

A 1 A 2∪• … A n A .=∪ ∪




relaciónDado un conjunto no vacío A , una relación es un subconjunto del producto cartesiano A× A.

representanteDado un conjunto no vacío A , sea ∼ una relación de equivalencia definida en él. Si designamospor a para a la clase de equivalencia de a ∈ A, entonces a es un representante de a. Si b ∼ a en-tonces b es otro representante de a.

reuniónDados dos conjuntos A y B , su reunión es el conjunto C cuyos elementos son exactamentelos elementos que pertenecen a A o a B. Notación C = A ∪ B.

semigrupoConjunto A en el que hay definida una operación ∗que es asociativa. Escribiremos ( A, ∗ ) paraindicar que * es la operación que consideramos en A .

simétricoDado un monoide ( A, ∗ , e ) se dice que x´ es el elemento simétrico de x si :

simétrica

Relación ∼ definida en un conjunto no vacío A en la que siempre que a ∼ b se cumple que b ∼ a.

supremoDado un conjunto ordenado ( A, ≤) se dice que x ∈ A es el supremo de B ⊆ A si x es la cotasuperior mínima de B . La notación empleada es la siguiente: x = sup B.

transitivaDado un conjunto no vacío A, relación G definida en él que se cumple si siempre que es aGby bGc se cumple que aGc .

Bibliografía

Birkhoff, G.; McLane, S. (1985). Álgebra moderna. Barcelona: Vicens-Vives.

Fraleigh, J. B. (1988). Álgebra abstracta. México: Addison-Wesley Iberoamericana.

Kuratowski, K. (1973). Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología. Barcelona: Vi-cens-Vives.

x∗x ′ x ′∗x e.==



Documents

conjuntos