Un conjunto es una agrupación de objetos que serán llamados elementos, se denotan con letras mayúsculas mientras que sus elementos son denotados en minúscula los cuales son encerrados entre llaves o un círculo lo que llamamos diagrama de Venn. El conjunto será universal (U) cuando contiene todos los elementos a considerar.

• Por Extensión : Aquí se enumera cada uno de los elementos que conforman el conjunto.

A={a, b, c, d} Los elementos del conjunto A son a, b, c y d

• Por Comprensión: Se indica el rango dentro del cual se encuentran contenidos los elementos del conjunto.

B = {x Z / x = 2n siendo n un entero∈ } Enteros pares

Un subconjunto es aquel que esta contenido dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto de B si todos los elementos de A pertenecen a B y es expresado de la manera:

A ⊂ B ⇔ ( ∀ x ∈ U) ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )

A esto se le llama relación de inclusión y por teorema esta puede ser de tres maneras:

Reflexiva: A  ⊂  A, para todo conjunto A.Antisimétrica: A ⊂ B ⋀ B ⊂ A ⇒ A = B.Transitiva: A ⊂ B ⋀ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Un conjunto A estará incluido propiamente en un conjunto B será subconjunto propio de B si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.

El conjunto vacío de A (ɸA) es el conjunto ɸA =  { x  ⊂ A / x ≠ x } el cual no posee elementos ya que para todo  x  ⊂ A se cumple que x = x . Este por definición es subconjunto de A.

El conjunto potencia o conjunto partes de A es aquel que esta formado por todos los subconjuntos de A. Sea A = {a, b, c} entontes el conjunto potencia de A será:

p(A)={{ɸ},{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}

Como puede observarse todos sus elementos son conjuntos y si A tiene n elementos entonces su conjunto potencia p(A) tendrá 2n elementos.

Este conjunto por teorema mantiene la relación de inclusión

Teorema: A ⊂ B ⇔ p(A) ⊂ p(A)

Se dice que dos conjuntos son iguales si poseen los mismos elementos, lo cual puede comprobarse mediante el siguiente teorema:

Teorema: A = B ⇔ A ⊂ B ⋀ B ⊂ A

La unión entre dos conjuntos A y B se define como todos aquellos elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

A U B = { x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}

Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:

     i. A U A = A

     ii. A U U = U

     iii. A U ɸ = A

     iv. A U B = B U A

La intersección de dos conjuntos A y B esta definida por todos aquellos elementos que pertenezcan a ambos conjuntos.

A  ⋂  B = { x ∈ U / x ∈ A ⋀ x ∈ B}

Propiedades de la Intersección de Conjuntos

Sean A y B conjuntos, luego se cumple:

      i. A ⋂ A = A

      ii. A ⋂ U = A , donde U es el conjunto universal

      iii. A ⋂  ɸ  =  ɸ

      iv. A  ⋂  B = B ⋂ A

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se nota por A - B.

A - B = {x ∈ U / x ∈ A x ∧ ∉ B}

El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se nota C(A).

C(A) = {x ∈ U / x ∉ A}

Diferencia simétrica

AD B = (A-B) U (B-A)

Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:

(AUB) - C = (A - C) U (B - C)

(A ⋂ B) - C = (A - C) ⋂ (B - C)

(AD B) - C = (A - C) D (B - C)

A ⋂ ( B - C) = (A ⋂ B) - (A ⋂ C)

(B - C) ⋂ A = (B ⋂ A) - (C ⋂ A)

Sean A y B dos conjuntos luego:A - B = A ⋂ C(B)C(C(A)) = AAUC(A) = UAI C(A) = ɸC(U) = ɸC(ɸ) = ULeyes de De Morgan para conjuntosi. C(AUB) = C(A) ⋂ C(B) ii. C(A ⋂ B) = C(A) U C(B)

El conjunto producto ó producto cartesiano de dos conjuntos A y B, el cual se denota AxB, es l conjunto formado por pares ordenados (a,b) de la forma:

AxB = {(a, b) / a A ∈ ⋀ b B∈ }

Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:A x (BUC) = (A x B) U (A x C)A x (B ⋂ C) = (A x B) ⋂ (A x C)A x(B -C) = (A x B) - (A x C)

Se refiere a la familia de conjuntos {A1, A2,…, An} la cual será denotada de la forma {Ai}i∈I donde I es el conjunto de índices I = {1,2,…,n}

Para cualquier familia indizada de conjuntos, se define:•La unión de esta familia como el conjunto U Ai = {x ∈ U / i I : x ∃ ∈ ∈ Ai} i I∈

•La intersección de esta familia como el conjunto ⋂ Ai = {x ∈ U / i I : x ∀ ∈ ∈ Ai} i I∈

Se refiere a una familia de conjuntos {Ai}i∈I  de U donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da U.

Un conjunto se dice que es finito si se pueden contar sus elementos, es decir, contiene n elementos donde n representa un número natural.

El cardinal de un conjunto finito A denotado #A será n si A tiene n elementos #A = n. Para un conjunto vacío su cardinal será 0Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos:       i. B - A) = #B - #(A ⋂ B)       ii. #(AUB) = #A + #B - #(A ⋂ B)

Teorema: Si A, B y C son tres conjuntos finitos entonces#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A ⋂ B) - #(A ⋂ C) - #(B ⋂ C) + #(A ⋂ B ⋂ C).