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Teora de Conjuntos Difusos una Aproximacin a la Optimizacin
Multi-Respuesta.
Jorge Domnguez Domnguez J. Axel Domnguez Lpez
RESUMEN
La calidad en el desarrollo de productos est en funcin de varias
caractersticas que determinan su utilidad. Es necesario encontrar
un valor ptimo que integre todas las respuestas para que el
producto tenga la mejor calidad posible, entonces el problema se
puede plantear como un problema de optimizacin multi-objetivo. As
la programacin matemtica se usa para la toma de decisiones en
varios niveles: gerencia, produccin, entre otros, en estos casos se
emplean las funciones objetivo y restricciones. En problemas reales
hay trminos en los que las funciones expresan cuestiones tales como
ganancias y prdidas y las restricciones formulan temas relacionados
con la inversin. Una mejor representacin de tales consideraciones
es necesaria para manejar tales imprecisiones. Varias formas de la
programacin matemtica de la teora de conjuntos difusos se han
propuesto para atender estas situaciones.
En este trabajo se desarrolla modelo de optimizacin
multi-objetivo que incorpora los conceptos de la teora difusa. Se
ilustra la eficiencia del procedimiento mediante un ejemplo
real.
INTRODUCCIN
El proceso de optimizacin multi-respuesta tiene aplicacin en
muchas reas del conocimiento y con mayor frecuencia en problemas de
diseo en ingeniera, y en los que se incluyen ms de una
caracterstica de inters. La optimizacin multi-respuesta requiere
encontrar caractersticas de la variable de control que generen un
ptimo, o cerca del ptimo, tal que produzcan valores para cada una
de las respuestas que se estn considerando. Aqu la palabra ptimo se
usa como referencia para considerar las condiciones ms aceptables o
ms deseables, que las otras respuestas con respecto a ciertas
condiciones. Las tcnicas de optimizacin multi-respuesta se pueden
estudiar mediante mtodos grficos y analticos.
La utilidad de la graficacin multi-respuesta se discute en [4],
ah se presentan y comparan las ventajas y desventajas de la tcnica
grfica con algunos mtodos analticos. Una de las ventajas del mtodo
grfico es que permite generar varios escenarios de posibles
soluciones ptimas [7], una lnea abierta en esta direccin es
incorporar la graficacin dinmica.
Otros caminos que han ido ocupando la atencin de los
investigadores en la optimizacin multi-respuesta tiene que ver con
las tcnicas multi-objetivo, las de lgica difusa y algoritmos
genticos, las que citaremos a continuacin.
El desarrollo de nuevos procesos y productos o la mejora de
estos dependen de un conjunto de factores de control; mediante
estrategias experimentales estos generan varias respuestas para
describir las caractersticas de los productos. Entonces en el
proceso de optimizacin multi-respuesta, el objetivo es determinar
la mejor combinacin de los valores en los factores de control que
den lugar a un ptimo global sobre las respuestas. Para tomar una
decisin multi-objetivo, en cada respuesta se define por separado la
funcin objetivo en en trminos de los factores de control. Las
tcnicas multi-objetivo se utilizan para resolver una amplia
variedad de problemas en la ingeniera de desarrollo de productos y
mejora de estos [8].
En problemas optimizacin multi-objetivo, es raro encontrar que
las soluciones factibles den lugar a que todas las respuestas
cumplan con su valor ptimo. Una alternativa al estudio de
respuestas con ciertas metas establecidas se puede enfocar mediante
la naturaleza de la lgica difusa [9]. Esta teora proporciona un
camino natural para tratar problemas en la cual la fuente de
imprecisin es la ausencia de criterios bien definidos. La lgica
difusa proporciona una herramienta matemtica para tratar problemas
multi-respuesta.
Cuando el nmero de factores crece aun de manera moderada en sus
factores de control y de respuestas, los algoritmos de optimizacin
convencional pueden fallar para encontrar un ptimo global. Una
aproximacin alternativa es un procedimiento de bsqueda heurstica
tal como los algoritmos genticos mediante la lgica difusa [12].
Este trabajo tiene por objetivo desarrollar el modelo de
optimizacin multi-objetivo utilizando los conceptos de la lgica
difusa. Se aplica el mtodo a un ejemplo ampliamente usando en la
literatura para ilustrar los resultados. Mediante el mtodo grfico
se resaltaran las soluciones alternativas que se pueden generar con
el mtodo.
OPTIMIZACIN MULTI-OBJETIVO
Descripcin del problema
El diseo de experimentos se ha aplicado de manera importante
para mejorar la calidad de procesos y productos, adicionalmente
para hacer que estos productos sean robustos ante condiciones
extremas. Las caractersticas de respuesta para evaluar la calidad
tienen un enfoque multi-respuesta. Es frecuente encontrar muchas
aplicaciones industriales con varias respuestas. La finalidad es
alcanzar la calidad global de un producto, por lo que es necesario
optimizar de manera simultanea las respuestas de inters. En
esencia, el problema de optimizacin de varias respuestas involucra
la seleccin de un conjunto de condiciones o variables
independientes tales que den como resultado un producto o servicio
conveniente. Es decir, se desea seleccionar los niveles de las
variables independientes que optimicen todas las respuestas a la
vez.
Varios esquemas experimentales se pueden plantear para este
proyecto, tales como, diseos factoriales, diseos factoriales
fraccionados, diseo Box - Benhken o diseo central compuesto [2].
Una matriz D(nxk) representa alguno de estos esquemas, donde n es
el nmero de combinaciones (tratamientos), de valores de los k
factores (variables de entrada al proceso). Se tienen r respuestas
para cada respuesta en las n combinaciones, con la informacin
generada por el experimento se pueden modelar de manea individual
cada una de las r respuestas. Por lo general estos modelos son
lineales y de forma cuadrtica, estos estn en funcin de los k
factores. As para r respuestas se tienen r modelos, el i-simo
modelo para esa respuesta se escribe como:
donde k factores, la constante, un vector de parmetros matriz de
parmetros de segundo orden, y
El problema consiste en determinar la mejor combinacin de los
factores tal que produzcan el ptimo global. Es decir que todas las
respuestas den su mejor valor. Generalmente, el problema de
programacin multi-objetivo se plantea como sigue:
donde los representan consideraciones importantes o
restricciones para las respuestas. Entre otros aspectos relevantes
de las tiene que ver con los costos asociados al producto o a
especificaciones. La idea bsica inicial al procedimiento
optimizacin es ajustar un modelo por mnimos cuadrados para cada
respuesta (j=1,,n) a los resultados de una estrategia experimental,
[2] y [11]. Entonces cada modelo se estima por se sustituyen estos
modelos ajustados a el planteamiento de optimizacin.
Procedimientos de optimizacin
A continuacin se indican las referencias de algunos
procedimientos de optimizacin desarrollados por diferentes autores.
La expresin (2) describe el planteamiento tpico de un problema de
programacin lineal, la solucin es un valor de , que genera una
respuesta ptima global bajo estas condiciones. Entre las ventajas
de este procedimiento es su planteamiento matemtico y que puede ser
resuelto mediante una hoja de clculo. Existen otros procedimientos
analticos eficientes, cmo el de la funcin de deseabilidad (DE)
propuesto por [5] analizado y aplicado [6]. El mtodo citado permite
crear varios escenarios para posibles soluciones. El procedimiento
denominado funcin distancia (DI) fue propuesto por [10], con ste
tambin se obtienen una solucin ptima puntual. Varios investigadores
han producido trabajos interesantes en esta direccin, ver [3]. Un
enfoque que considera a la funcin de prdida (PE) es propuesto por
[1].
No obstante que el mtodo grfico (MG) es un procedimiento
descriptivo, ste contiene o ilustra a todos los resultados que se
obtienen con los mtodos anteriormente citados [4]. ste funciona
relativamente fcil ante situaciones cuando existen dos o tres
factores, se complica un poco con cuatro. Se considera como una
buena prctica que en la estrategias de optimizacin primero realizar
experimentos para eliminar factores que aportan poca informacin a
la respuesta de inters. As que en la estrategia experimental para
obtener un ptimo se trabaja con un nmero reducido de factores.
Modelo de optimizacin multi-objetivo difuso.
El problema tpico del modelo multi-objetivo involucra la
seleccin de una alternativa , para un conjunto dado de alternativas
y un conjunto de r objetivos , considerados mediante las r
funciones objetivo . A continuacin se define los miembros de la
funcin para cada una de las funciones objetivo, tal que para el
peor valor () posible de la de una funcin objetivo tiene un grado
de membresa igual 0, y el mejor valor posible () tiene una grado de
membresa igual a 1. La funcin nmero de miembros se puede expresar
por:
Entonces el grado de la funcin membresa de una alternativa en
denotada por , es el grado en el que la alternativa a satisface el
criterio especificado para ste objetivo. Buscamos una funcin
decisin que satisface simultneamente todas las decisiones objetivo,
por lo tanto, la funcin decisin, D, est dada por la interseccin de
los objetivos, as . Por lo tanto, el grado de la funcin membresa
que la funcin, D, tiene para cada alternativa est dada por: .
La decisin ptima, , ser entonces la alternativa que satisface:
_{D}(a_{o})=max(_{D}(a)). Para alcanzar esta meta se define el
modelo de optimizacin multi-objetivo que se puede re-escribir
como:
Ejemplo de estudio
El procedimiento que se resume en la expresin (4) se ilustra con
un problema de un compuesto para bandas en llantas, ste fue
expuesto y discutido en [5]. El propsito del problema es mejorar el
desempeo en la banda de las llantas medido por cuatro variables de
respuesta controladas por tres ingredientes qumicos. Las respuestas
son: ndice de abrasin: , el modulo 200%: , la elongacin: , y la
dureza: . Las variables de entrada son: slice: , seleno: el azufre:
. Se realiz la estrategia experimental bajo un diseo central
compuesto, los modelos cuadrticos estimados que generan los
resultados experimentales son:
Los valores objetivos de cada una de las respuesta obedece las
condiciones:
Resultado y conclusiones
Se aplicaron los criterios para alcanzar las mejores condiciones
enseguida se aplic la expresin (4). Los resultados se muestran a
continuacin:
Valor ptimoRespuestas ptimas
Es conveniente resaltar que los todas las respuestas cumplen con
los valores establecidos. Aplicar este procedimiento es sencillo y
tiene la ventaja de proponer varias alternativas. Para complementar
este mtodo ser interesante incorporar una estrategia grafica.
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