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1. CONJUNTOS NÚMERICOS Y SU REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA EN LA RECTA REAL

1.1 NÚMEROS NATURALES

En aritmética trabajamos con los números naturales, que son básicamente aquellos números

que se inician en el número y todos los demás números que se obtienen a partir de él,

agregando sucesivamente la unidad1. (Correa Restrepo, 2015)

El conjunto de los números naturales se representa por el símbolo , ejemplo:

Desde tiempos muy remotos, estos números se han utilizado para contar; y con ellos se

sumaban naturalmente los objetos. Cuando se presentaba el manejo de cantidades demasiado

grandes, el hombre optó por agrupar algunas cantidades, para luego sumarlas, facilitando así

el manejo de la operación SUMA; de esta manera se dio origen al producto o multiplicación

intuitivamente2. (Ver figura 1.)

Figura 1.Representación geométrica en la recta real de los números naturales.

Fuente: elaboración en Geogebra.

1 Recordar que la palabra unidad se refiere siempre al número uno

2 Intuitivo significa en este caso, que lo hacían guiados por la observación inmediata de las cosas, es decir,

sin utilizar ninguna clase de razonamiento.

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El conjunto de la sucesión fundamental de los números, a los que usualmente llamamos: cero,

uno, dos, tres, cuatro, cinco, etc., y los representamos en el lenguaje matemático

así: de este modo: (Baldor, 2005)

CONJUNTO NULO:

UNO :

DOS :

TRES :

CUATRO : ;…………......

NOTA ESPECIAL: Esta sucesión o serie infinita es lo que se llama SERIE DE LOS NÚMEROS

NATURALES. Las palabras y los signos NO son los números naturales, sino solamente el medio del

cual nos valemos para expresar y representar los números naturales. Para comprender mejor

esta aclaración podemos tomar el siguiente ejemplo: una vaca representada en un cuadro; NO ES

UNA VACA, sino simplemente la representación o imagen de una vaca.

En el caso en el cual nos ocupamos, es decir los números naturales; CUATRO es una palabra con la

cual expresamos la pluralidad común a toda la serie de conjuntos coordinables entre sí y con el

conjunto de la sucesión fundamental.

1.1.1 OPERACIÓN DE CONTAR

La coordinación de conjuntos es una operación que realizamos con demasiada frecuencia.

Observemos el siguiente ejemplo para poder comprender mejor esta operación:

El rector de un colegio, quiere repartir entre cada uno de los estudiantes, una silla

universitaria, de tal modo que no queden estudiantes de pie, ni tampoco sillas vacías, tiene

que coordinar el conjunto de estudiantes, con el conjunto de los sillas. Para ello, ordena a cada

director de grupo realizar el listado de los alumnos matriculados, y luego se va entregando a

cada estudiante su correspondiente silla universitaria. Cuando se llegue al último estudiante

del listado, ya todas las sillas estarán ocupadas; esto nos dice, que el conjunto de alumnos

matriculados para el año lectivo y el conjunto de sillas universitarias repartidas, estarán

coordinados.

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En este ejemplo, lo que ha hecho el rector del colegio, ha sido coordinar el conjunto de los

estudiantes, con el conjunto el conjunto de alumnos distribuidos en cada grupo, que a su vez

eran coordinables con el conjunto de sillas universitarias disponibles en el colegio.

NOTA ESPECIAL: Para contar los objetos y coordinar conjuntos cuando sea necesario, se utiliza

como conjunto de referencia un conjunto fijo, que es el conjunto de los números naturales.

Dicho de otra manera, contar un conjunto, es coordinar sus elementos con una serie de los

números naturales, comenzando a partir del número uno . (Baldor, 2005)

1.2 NÚMEROS ENTEROS

Con los números naturales se resolvían ecuaciones de la forma: , con la

característica de que , es decir: dados los números naturales:

y , con se trataba de hallar otro número que sumado a y

apareció de esta manera lo que hoy conocemos como la resta, la cual representamos con la

simbología del lenguaje matemático de la siguiente manera:

Ahora llevemos estos dos ejemplos de suma y resta al campo de la aritmética, CUANDO EL

RESULTADO DE LA SUMA, ES MAYOR QUE EL VALOR DE CUALQUIERA DE LOS SUMANDOS y

podrán observar que lo dicho en el párrafo anterior tiene absoluta validez:

Observemos que los sumandos y son menores que el total ; por lo tanto si de este

resultado obtenido restamos cualquiera de estos sumandos, obtenemos el otro sumando, así:

Ahora vamos a remplazar uno de los sumandos por un término, el cual desconocemos, y para

ello en este caso utilizaremos la letra PARA ESCRIBIR CON ALFABETO MATEMÁTICO EL

TÉRMINO DESCONOCIDO, y procedemos así:

Procedemos a realizar la operación algebraica con la cual sabremos cual es el valor de la

incógnita , dicho en otras palabras: lo desconocido es igual al número mayor (el resultado

de la suma) MENOS el término conocido, y con símbolos matemáticos el enunciado escrito

en tinta roja, lo traducimos así:

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Ahora realizamos la operación indicada con los términos que hasta el momento conocemos,

los cuales están ubicados al lado derecho del signo igual , es decir, efectuamos la resta, y

nos queda:

En este momento, ya podemos verificar si el resultado obtenido es válido, y para ello

reemplazamos la letra , por el valor obtenido al efectuar la resta , ENTONCES

ESCRIBIMOS:

Realizando la resta ubicada al lado derecho del signo igual tenemos:

ESTA IGUALDAD SE CUMPLE

1.2.1 APARICIÓN DEL NÚMERO CERO

Ante todo recordemos los nombres de cada uno de los términos de la resta mediante el

siguiente ejemplo:

El número recibe el nombre de MINUENDO

El número recibe el nombre de SUSTRAENDO

El número recibe el nombre de DIFERENCIA

Cuando el valor del MINUENDO es igual al valor del SUSTRAENDO; entonces podemos afirmar

que si realizamos la operación RESTA, el valor de la incógnita (es decir, el valor de cantidad

desconocida, que la representamos con la letra NO EXISTE), lo dicho en este párrafo, lo

representamos de la siguiente forma utilizando la simbología matemática, así:

Ahora llevemos este enunciado al campo de la aritmética, así:

Ahora procedemos a realizar la resta indicada al derecha del signo igual , y tendremos:

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En este momento, ya podemos verificar si el resultado obtenido es válido, y para ello

reemplazamos la letra , por el valor obtenido al efectuar la resta , ENTONCES

ESCRIBIMOS:

Esta es la forma como aparece el número cero, ES DECIR LA AUSENCIA DE CANTIDAD

RECORDERIS: llevando la explicación anterior al lenguaje corriente, podemos afirmar: si a una

cantidad positiva determinada RESTAMOS la misma cantidad, NO obtenemos ningún

resultado, y esta ausencia de cantidad la representamos con la palabra cero, que en

simbología matemática se representa así,

1.2.2 SOLUCIÓN A SITUACIONES CUANDO EL MINUENDO ES MAYOR QUE LA DIFERENCIA.

(Acá es necesario regresar al numeral 1.2.1 para recordar los nombres de los términos de la

operación resta)

SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE LA FORMA

En este caso, y son números NATURALES pero existe una condición especial, y es QUE

es menor que , LO CUAL ES LO MISMO QUE DECIR mayor que . Para dar solución a este

tipo de situaciones, se crearon los números ENTEROS NEGATIVOS.

Entonces al dar solución a la ecuación teniendo en cuenta de que es mayor que

; podemos ampliar la resta a los casos en que el minuendo es un número MENOR que el

sustraendo. Ahora verifiquemos este enunciado utilizando la aritmética:

NOTA ESPECIAL: los números enteros negativos tienen la propiedad de que al sumarse con

los correspondientes números naturales (es decir, el mismo número, pero positivo) dan como

resultado cero , ejemplo:

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Si invertimos el orden en el que están escritos los SUMANDOS, es decir: SI AL NÚMERO

ENTERO NEGATIVO SE LE SUMA EL MISMO NATURAL (el mismo número pero positivo); EL

RESULTADO ES EL MISMO. (CERO): RETOMEMOS EL EJEMPLO ANTERIOR:

NOTA ESPECIAL: el anterior procedimiento se conoce con el nombre de OPUESTOS ADITIVOS

DE LOS NÚMEROS NATURALES

CONCLUSIÓN GENERAL

El conjunto conformado por los NUMEROS NATURALES, EL CERO, y LOS OPUESTOS ADITIVOS

DE LOS NÚMEROS NATURALES (ES DECIR ENTEROS NEGATIVOS), FORMAN EL CONJUNTO DE

LOS NUMEROS ENTEROS, cuya representación con la simbología matemática es: . Es decir:

De lo anterior, podemos afirmar que los números naturales (números positivos que van

desde UNO hasta INFINITO), ESTÁN INCLUIDOS dentro del conjunto de los números

ENTEROS (números negativos y positivos, que van desde MENOS INFINITO hasta INFINITO);

esto lo representamos con la simbología del lenguaje matemático, de la siguiente manera:

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS ENTEROS

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BIBLIOGRAFÍA

Baldor, A. (2005). Aritmética teórico práctica. Medellín: Novoa garfic.

Correa Restrepo, B. E. (2015). Álgebra. Medellín: Universidad Nacional de Colombia .