La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

 

{ a, b, c, ..., x, y, z}

 

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

 

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

 

 

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

 

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

 

 

MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo  indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como  .

 Ejemplo:

Sea B={ a, e, i, o, u }, a B y c  B

 

 

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B  A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal  .

Note que  se utiliza solo para elementos de un conjunto y  solo para conjuntos.

 

 

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

 

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

 

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

 

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x  N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

 

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x  Z ; -20  x  30 }

 

También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 }

P={ x/x  N ; X  L }

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

 

 

 

 

OPERACIONES CON CONJUNTOS

 

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A  B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A  B = { x/x  A ó x  B }

 

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A  B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

 

INTERSECCION

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A  B, algebraicamente se escribe así:

A  B = { x/x  A y x  B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

 

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q  P={ a, b, o, r, s, y }

 

 

CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo  .

 

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A  B.

A  B= { }

El resultado de A  B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A  B=

 

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A  B =  entonces A y B son ajenos.

 

 

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x  U/x y x  A }

 

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A  U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

 

 

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x  A ; X  B }

 

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

 

 

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

dos

Decimos que un conjunto está definido por compresión , si sus elementos se describen a través de propiedades que tienen en común.

Un conjunto está definido por extensión, si se enumeran sus elementos.

Por ejemplo: A = {x / x es un número obtenido al lanzar un dado corriente} es un conjunto definido por comprensión ya que sus elementos “x” se describen a través de una propiedad “es un número obtenido al lanzar un dado corriente”.

Esa expresión se lee: “A es el conjunto formado por todos aquellos números que se obtengan al lanzar un dado”.

Date cuenta que la frase escrita entre las llaves ({...}) está en singular y, sin embargo, se lee en plural.

Ese conjunto, expresado por extensión, es A = {1,2,3,4,5,6}.

TresConjunto potencia

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto.

¿OK? ¿Lo entendiste? A lo mejor te ayuda un ejemplo...

Todos los subconjuntos

Si tenemos un conjunto {a,b,c}:

Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,c}, o los demás Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c} (sí, es verdad, pero no es un

"subconjunto propio") Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}

De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}:

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.

Cuántos subconjuntos

¡Fácil! Si el conjunto original tiene n elementos, el conjunto potencia

tendrá 2n elementos

Ejemplo: en el ejemplo {a,b,c} de arriba hay tres elementos (a,b y c, claro).Así que el conjunto potencia tendrá 23 = 8, ¡y así es!

Notación

El número de elementos de un conjunto se suele escribir |S|, así que ahora escribimos:

|P(S)| = 2n

Ejemplo: ¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de S={1,2,3,4,5}?Bien, S tiene 5 elementos, así que:

|P(S)| = 2n = 25 = 32

Verás en un momento porqué el número de elementos es una potencia de 2.

¡Es binario!

Y esto es lo más sorprendente. Si quieres crear un conjunto potencia, escribe la sucesión de números binarios de n cifras, y con cada número haz un subconjunto: cuando haya un "1", añade el elemento que corresponde. Se entiende mejor con un ejemplo:

  abc Subconjunto

0 000 { }

1 001 {c}

2 010 {b}

3 011 {b,c}

4 100 {a}

5 101 {a,c}

6 110 {a,b}

7 111 {a,b,c}

Bueno, no están ordenados, pero están todos.

Otro ejemplo

¡Vamos a comer! Tenemos cuatro sabores de helado: banana, chocolate, limón y fresa. ¿De cuántas maneras podemos combinarlos?

Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f}. Algunos ejemplos de combinaciones son

{} (ninguno, estás a dieta) {b, c, l, f} (todos los sabores) {b, c} (banana y chocolate van bien juntos)

Vamos a hacer una tabla:

  bcls Subconjunto

0 0000 {}

1 0001 {f}

2 0010 {l}

3 0011 {l,f}

... ... etc .. ... etc ...

12 1100 {b,c}

13 1101 {b,c,f}

14 1110 {b,c,l}

15 1111 {b,c,l,f}

Y el resultado es (después de ordenar):

P = { {}, {b}, {c}, {l}, {f}, {b,c}, {b,l}, {b,f}, {c,l}, {c,f}, {l,f}, {b,c,l}, {b,c,f},

{b,l,f}, {c,l,f}, {b,c,l,f} }

Simetría

¿Te has fijado en que en la tabla de arriba el primer subconjunto es

vacío y el último tiene todos los elementos?

¿Y te has dado cuenta de que el segundo subconjunto es "f", y el

penúltimo tiene todos excepto "f"?

   

De hecho si pones un espejo en medio de la tabla verás que hay una

especie de simetría.

Esto es porque los números binarios que hemos usado tienen una

simetría bonita y elegante.

Un ejemplo primordial

El conjunto potencia es útil en áreas donde no lo esperamos. Quiero calcular todos los factores (no sólo los factores primos, sino todos los factores) de un número.

Una manera sería probar todas las posibilidades. Así que para encontrar todos los factores de, digamos 330, podríamos probar con 2,3,4,5,6,7,8,9,10... ¡etc! Se puede mejorar, claro, pero aun así llevaría mucho tiempocon números grandes (en mis experimentos el ordenador trabajaba durante horas).

Pero los factores primos se pueden calcular rápidamente, ¿no puedo combinar los factores primos de alguna manera para construir todos los factores?

Vamos a ver, 330 = 2×3×5×11 (usando números primos).

Así que los factores de 330 serían: 2,3,5 y 11... y 2×3, 2×5 y 2×11 también, y 2×3×5 y 2×3×11... ¿? ¡Ajá! ¡Necesito un conjunto potencia!

Así que mi conjunto original es {2,3,5,11}:

  2,3,5,11 Subset Factor

0 0000 { } 1

1 0001 {11} 11

2 0010 {5} 5

3 0011 {5,11} 5 × 11 = 55

4 0100 {3} 3

5 0101 {3,11} 3 × 11 = 33

  ... etc ... ... etc ... ... etc ...

15 1111 {2,3,5,11} 2 × 3 × 5 × 11 = 330

¿Y el resultado? Los factores de 990 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330, y -1, -2, -3, etc. también (puedes usar la herramienta para calcular todos los factores).

CuatroUnión de conjuntos: 

Dados los conjuntos A, B, llamaremos unión de A, B y escribiremos A U B al conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B o a ambos. Con símbolos: 

AUB = {x|x€A ó x€B} 

Propiedades: asociativa, conmutativa, neutro (el vacío) 

Intersección de conjuntos: 

Dados los conjuntos A, B, llamaremos intersección de A, B y escribiremos A ∩ B al conjunto cuyos elementos pertenecen a ambos. Con símbolos: 

A ∩ B = {x|x€A y x€B} 

Propiedades: asociativa, conmutativa, neutro (el total) 

Diferencia: 

Dados los conjuntos A, B, llamaremos diferencia de A, B y escribiremos A - B al conjunto cuyos elementos pertenecen a A pero no a B. Con símbolos: 

A - B = {x|x€A y x no €B} 

Diferencia simétrica 

Dados los conjuntos A, B, llamaremos diferencia de A, B y escribiremos A B al conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B, pero no a ambos. Con símbolos: 

A B = AUB - A∩B 

Aunque no son estrictamente operaciones se suelen incluir la complementación: 

Dado el conjuntos A llamaremos complementario de A en E al conjunto E – A. 

Y el producto cartesiano. 

Dados los conjuntos A, B, llamaremos producto cartesiano A, B y escribiremos A x B al conjunto cuyos elementos son pares con la primera componente de A y la segunda de B. Con símbolos: 

A x B = { (x,y) | x€A, y€B } 

Nota: no sale en el editor el signo de la diferencia simétrica: es una delta mayúscula.

3.3 Tipos de conjuntos numéricos Conjunto Descripción Representación Naturales Conjunto de números enteros positivos incluyendo el cero N = {0,1,2,3,4,...} Enteros • Conjunto de números enteros positivos y negativos • Conjunto de números enteros positivos (no incluye el cero) • Z = {... − 3,−2,−2,0,1,2,3,...} = {1,2,3,...} = { ∈ > 0} + Z x Z x = = { ∈ = 0,1,2,3,..., −1} + Zn n Z Zn n Racionales • Conjunto de aquellos números que se pueden representar por medio de una fracción b a • Conjunto de números racionales positivos • Conjunto de números racionales distintos de cero Q = { b a ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0} a = { ∈ ∧ > 0} + Q r r Q r { 0} * Q = r r ∈Q ∧ r ≠ Reales • Números enteros o fracción, positivos o negativos incluyendo el cero • Números reales positivos • Reales distintos de cero = { ∈ ∧ > 0} + R x x R x { 0} * R = x x ∈ R ∧ x ≠ Complejos Conjunto de números que son reales e imaginarios { , 1} 2 C = x + yi x y ∈ R ∧ i = − { , , 0} * C = x + yi x y ∈ R ∧ x y ≠ Intervalos Cerrado Semicerrado Semiabierto Abierto [a,b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } intervalo cerrado [a,b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } intervalo semiabierto (a,b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } intervalo semiabierto (a,b) = { x ∈ R / a < x < b } intervalo abierto Irracionales Un número irracional no puede expresarse de la forma a/b siendo a y b enteros. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. Algunos de éstos son: π (pi): relación entre el perímetro de una

Operaciones con conjuntos Unión: A∪ B = { } x / x ∈ A∨ x ∈ B Intersección: A∩ B = { } x / x ∈ A∧ x ∈ B Diferencia sintética: { ( ) } { } ( )( ) ( )( ) A B A B A B A B x A B x A B A B x x A x B x A B = ∪ − ∩ = ∪ ∩ ∩ = ∈ ∪ ∧ ∉ ∩ Δ = / ∈ ∨ ∈ ∧ ∉ ∩ Complemento: A = { } x / x ∉ A Complemento relativo de A en B (resta): { } A B

Producto cartesiano Para el producto cartesiano de dos conjuntos A y B: A× B (en este orden), es el conjunto de todos los posibles pares ordenados, tales que la primer componente del par ordenado es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. La expresión

A× B se le “A cruz B” y se expresa por descripción: A× B = {(x, y) x ∈ A ∧ y ∈ B} que se lee: el producto A cruz B es el conjunto de parejas ordenadas (x, y) tal que x pertenece a A y pertenece a B . De tal forma que para A = {1,2,3} y B = {a,b,c,d} A× B = {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(3,a),(3,b),(3,c),(3,d)} en donde en la pareja (1,a) 1, es la primer componente y a es la segunda componente. Si los elementos de los conjuntos A y B son números reales, se acostumbra llamar a las componentes (x, y) como (abscisa y orden

Propiedades de la teoría de conjuntos Para cualquier conjunto A, B y C tomados de un universo U: 1. A = A Ley del doble complemento 2. A B A B A B A B ∩ = ∪ ∪ = ∩ Leyes de Morgan 3. A B B A A B B A ∩ = ∩ ∪ = ∪ Propiedades conmutativas 4. ( )( ) A ( )( ) B C A B C A B C A B C ∩ ∩ = ∩ ∩ ∪ ∪ = ∪ ∪ Propiedades asociativas 5. ( ) ( )( ) A ( ) ( )( ) B C A B A C A B C A B A C ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ Propiedades distributivas 6. A A A A A A ∩ = ∪ = Propiedades idempotentes 7. A U A A A ∩ = ∪φ = Propiedades del neutro 8. ∩ = φ ∪ = A A A A U Propiedades del inverso 9. ∩φ = φ ∪ = A A U U Propiedades de dominación 10. ( ) A ( ) A B A A A B A ∩ ∪ = ∪ ∩ = Propiedades de absorción 11. A − B = A∩ B Definición de resta 12. AΔB = ( )( ) A ∪ B − A ∩ B Definición de diferencia Ngj/v2008 3. Conjuntos 9 Matemáticas Discretas Tc1003 Conjuntos 3.6 Historia8 El álgebra de la teoría de conjuntos se desarrolló durante los siglos diecinueve y veinte. En Inglaterra, George Peacock (1806 – 1858) fue un pionero en reformas matemáticas y uno de los primeros en revolucionar el concepto del álgebra y la aritmética. Sus ideas fueron desarrolladas más tarde por Duncan Gregory ( 1813 – 1844 ) , William Rowan Hamilton ( 1805 – 1865 ) y Augustus de Morgan ( 1806 – 1871 ), quien intentó eliminar la ambigüedad del álgebra elemental para ponerla en forma de postulados estrictos. Sin embargo fue en 1845, año en que Boole logró formalizar el álgebra de conjuntos y la lógica y se extendió el trabajo de Peacock y sus contemporáneos. El enfoque intuitivo de la teoría de conjuntos se realizó en tiempos del matemático ruso Geroge Cantor ( 1845 – 1918 ), quien definió un conjunto, en 1895, en forma intuitiva. En la década de 1870, cuando Cantor estaba estudiando las series trigonométricas y las series de números reales, necesitaba una forma para comparar el tamaño de los conjuntos infinitos de números. Su estudio de lo infinito como una realidad, que está en el mismo nivel de lo infinito, fue en su momento revolucionario. Parte de su trabajo fue rechazado ya que resultó ser más abstracto de lo acostumbrado por muchos matemáticos de su tiempo. Pero con el tiempo, ganó aceptación para que en 1890 la teoría de conjuntos, tanto finita como infinita, fuera considerada una rama de las matemáticas como derecho propio. Al terminar el siglo XIX la teoría era aceptada. Sin embargo, en 1901 Russell mostró que esta teoría de conjuntos, propuesta originalmente, tenía una inconsistencia interna: la falta de restricción para definir los conjuntos (paradoja de Russell). Los matemáticos británicos Lord Bertrand Arthur William Russell ( 1872 – 1970) y Alfred North Whitehead ( 1861 – 1947 ) desarrollaron una jerarquía en la teoría de conjuntos conocida como la teoría de tipos. Con esta teoría, se definían los conjuntos. El descubrimiento de la paradoja de Russell aun cuando se pudo remediar, tuvo un profundo impacto en la comunidad matemática, ya que muchos comenzaron a preguntarse si había otras contradicciones ocultas. En 1931, el matemático austriaco Kart Göel ( 1906 – 1978 ) formuló la idea de que en una condición de consistencia dada, cualquier sistema axiomático formal suficientemente fuerte debe de contener una proposición tal que ni ésta ni su negación sea demostrable y tal que cualquier demostración de consistencia del sistema debe usar ideas de métodos que están más allá de los propios del sistema en sí. Esto quiere decir que no podemos establecer que no existen contradicciones en matemáticas. La importancia del papel de la teoría de conjuntos en el desarrollo de las matemáticas del siglo XX la define el matemático alemán David Hilbert ( 1862 – 1943 ) al decir: “Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para