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Lgica 2013

Consecuencia semntica

Miguel Molina

A esta altura del curso ya tenemos las herramientas suficientes como para dar

cuenta, al menos parcialmente, de cmo servir el lenguaje formal que hemos

desarrollado para nuestros propsitos al embarcarnos en el estudio de la lgica.

Habamos dicho que esta ciencia tiene como uno de sus objetos principales la

inferencia correcta, y estamos en condiciones de clasificar cientficamente es

decir, segn la ciencia de la lgica- algunas inferencias como correctas.

Todos los conceptos que necesitamos para esto han sido ya expuestos y

desarrollados, y lo nico que resta es combinarlos de determinada manera que

recoja la idea de correccin argumental.

Repasemos entonces esos elementos e introduzcamos algunas nuevas definiciones:

I. Una interpretacin es una valuacin (o sea, una asignacin de un valor de

verdad a cada frmula del lenguaje) de manera que se contemplen las

restricciones impuestas por la semntica del lenguaje proposicional. (Ver

Cap. 4 del texto Lgica y Argumento de Seoane y las notas sobre Semntica

del lenguaje proposicional ya presentadas).

II. Un modelo de una frmula A es una interpretacin que le asigna valor de

verdad V.

III. Una frmula a la que todas las interpretaciones le asignan el valor de verdad

V se llama tautologa.

IV. Un modelo de un conjunto de frmulas es una interpretacin que asigna el

valor de verdad V a cada frmula del conjunto.

V. Un conjunto de frmulas se llama satisfacible si tiene al menos un modelo e

insatisfacible en caso contrario.

Para iniciar nuestro recorrido estudiemos una inferencia que consideramos

correcta a nivel intuitivo:

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En Hechos de los Apstoles 5:33-39 se lee:

33 Ellos [se refiere a los miembros del Sanedrn], al or esto, se consuman de rabia y trataban de matarlos [se refiere a los apstoles]. 34 Entonces un fariseo llamado Gamaliel, doctor de la ley, con prestigio ante todo el pueblo, se levant en el Sanedrn. Mand que se hiciera salir un momento a aquellos hombres, 35 y les dijo: Israelitas, mirad bien lo que vais a hacer con estos hombres. 36 Porque hace algn tiempo se levant Teudas, que pretenda ser alguien y que reuni a su alrededor unos cuatrocientos hombres; fue muerto y todos los que le seguan se disgregaron y quedaron en nada. 37 Despus de ste, en los das del empadronamiento, se levant Judas el Galileo, que arrastr al pueblo en pos de s; tambin ste pereci y todos los que le haban seguido se dispersaron. 38 Os digo, pues, ahora: desentendeos de estos hombres y dejadlos. Porque si esta idea o esta obra es de los hombres, se destruir; 39 pero si es de Dios, no conseguiris destruirles. No sea que os encontris luchando contra Dios. Y aceptaron su parecer.

En el libro Introduction to Logic, de Harry Gensler, se dice que este argumento es el

ms complejo que la Biblia presenta y se lo reconstruye (en ingls, aunque

obviamente aqu lo traducimos al espaol) de la siguiente manera:

La enseanza de los apstoles viene de Dios o es de origen humano.

Si viene de Dios y matamos a los apstoles, entonces estaremos luchando contra

Dios.

Si es de origen humano, se destruir por s misma.

Si se destruye por s misma y matamos a los apstoles, entonces esas muertes

sern innecesarias.

______________________________________________________________________________________

Si matamos a los apstoles, entonces esas muertes sern innecesarias o estaremos

luchando contra Dios.

(Observe la enorme distancia que hay entre el texto bblico y la reconstruccin de

Gensler. Sin embargo, es una buena reconstruccin ya que captura el sentido de lo

dicho y las condiciones de verdad involucradas). Si procedemos a la traduccin al

lenguaje de la lgica proposicional siendo:

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p: La enseanza de los apstoles viene de Dios.

q: La enseanza de los apstoles es de origen humano.

r: Matamos a los apstoles

s: La enseanza de los apstoles se destruir por s misma.

t: Estaremos luchando contra Dios.

u: La muerte de los apstoles ser innecesaria.

Obtenemos:

(p q)

((p r)t)

(q s)

((s r) u)

(r (u t))

Cmo podemos, con los elementos a nuestra disposicin, mostrar que la

inferencia de Gamaliel es correcta? Habamos dicho, a nivel intuitivo, que una

inferencia es lgicamente correcta cuando no es posible que la conclusin sea falsa

si las premisas son verdaderas. Esto debera quedar reflejado en la semntica de

nuestro lenguaje formal de la siguiente manera: ninguna interpretacin que asigne

V a todas las premisas puede asignar F a la conclusin o, dicho de otro modo, todo

modelo de las premisas debe ser modelo de la conclusin. Mostraremos que todo

modelo del conjunto

P = { (p q), ((p r)t), (q s), ((s r) u) }

es modelo de

(r (u t)).

Para hacer esto, consideraremos una interpretacin que NO sea modelo de

(r(ut)) y mostremos que es IMPOSIBLE que esa interpretacin sea modelo de

todas las premisas. Es decir, mostraremos que, suponer que hay una interpretacin

que es modelo de todas las premisas y no es modelo de (r (u t)), lleva a una

contradiccin.

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Sea I una interpretacin tal que

(a) es modelo de todas las premisas

(b) es contramodelo de (r (u t)).

Por (b):

1. I(r) = V y

2. I (u t) = F

Como I es interpretacin es necesario que (por 2)

3. I(u) = I(t) = F

Considere la premisa ((p r)t). Segn (a) es V, y dado que (por 3) I(t) = F, debe

ser

4. I(p r) = F

Pero por 1 sabemos que I(r) =V de modo que 4 y 1 juntos hacen necesario que

5. I(p)=F

Considere ahora la premisa ((s r) u). Segn (a) es V y dado que (por 3) I(u)=F,

debe ser

6. I(s r) = F.

Pero por 1 sabemos que I(r) =V de modo que 6 y 1 juntos hacen necesario que

7. I(s)=F

Considere ahora la premisa (q s). Segn (a) es V y dado que (por 7) I(s) =F, debe

ser

8. I(q) = F

Pero entonces por 8 y 5, tenemos que necesariamente

9. I(pq)= F

Pero (pq) es una premisa, de modo que se contradice nuestra suposicin en (a)

de que todas las premisas eran V bajo I, con lo que queda demostrado que ninguna

interpretacin que asigne F a la conclusin asignar V a todas las premisas, o lo

que es lo mismo, que si una interpretacin hace V a todas las premisas har V

tambin a la conclusin, o dicho de otra manera, que todos los modelos del

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conjunto de las premisas son modelos de la conclusin. Y es por esto que decimos

que la inferencia es correcta y diremos que cualquier inferencia que cumpla eso

ser correcta.

Tenemos entonces la posibilidad de describir cmo se refleja en nuestro lenguaje

formal la correccin argumental del lenguaje natural. Lo haremos a travs del

concepto de consecuencia semntica.

Definicin. Sea un conjunto de frmulas y una frmula. Se dice que es

consecuencia semntica de (Notacin: ) si todo modelo de es tambin

modelo de .

Es esta una de las nociones centrales de la Lgica (existe otra manera de capturar

la nocin intuitiva de correccin argumental que veremos ms adelante).

Dedicaremos el resto de este trabajo a estudiarla.

Observemos en primer lugar que en un nivel preformal decamos que una

inferencia es correcta si su conclusin NECESARIAMENTE es verdadera si sus

premisas lo son. Ahora que hemos matematizado la nocin al sumergirla en un

lenguaje formal la necesidad queda reflejada al decir que TODA interpretacin que

asigne V a las premisas asignar V a la conclusin.

Consideremos ahora algunos de los aspectos ms salientes del concepto que

acabamos de definir.

1. La consecuencia semntica es una relacin.

Se trata de una relacin entre conjuntos de frmulas y frmulas aisladas. Dado un

conjunto de frmulas y una frmula, esta relacin se da o no se da1. (Para significar

que no es consecuencia semntica de escribiremos ) Por ejemplo,

{ (p r), q, p } r ya que todo modelo de { (p r), q, p } es modelo de r.

(Verificarlo).

{ (p r), q, p } (q p) ya que existen interpretaciones que asignan V a cada

frmula del conjunto { (p r), q, p } y F a la frmula (q p). (Verificarlo).

1Por qu sera incorrecto expresar Si es un conjunto de frmulas y una frmula, entonces

(( ) ())?

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2. Conjuntos insatisfacibles y contradicciones.

Supongamos que no tiene modelos, o sea que es un conjunto insatisfacible, y sea

una frmula cualquiera. Es o no es consecuencia semntica de ? No es simple

responder a la pregunta de si todos los modelos de son modelos de si es que

no tiene modelos. Preguntmonos qu es necesario para que no sea

consecuencia semntica de . La respuesta obvia es: para que no sea

consecuencia semntica de , debe existir una interpretacin que sea modelo de

y no sea modelo de . Pero es claro que si es insatisfacible esto no puede

cumplirse porque ninguna interpretacin es modelo de . Dado que no puede

cumplirse que no sea consecuencia semntica de , aceptamos que lo es.

Ejemplo. Sea = {p, q, (p q) }. Es la frmula (r t) consecuencia semntica

de ?

Segn lo que acabamos de decir, y dado que es insatisfacible (verifquelo),

entonces

(rt)

con lo que decimos que ninguno de los modelos de es contramodelo de (rt),

cosa que se cumple trivialmente porque no tiene modelos.

Si es insatisfacible, entonces sea cual sea la frmula .

Relacionada con esto se encuentra la siguiente pregunta: Una contradiccin no

tiene modelos. Cules conjuntos tienen a una contradiccin como consecuencia

semntica?

Sea una contradiccin, y supongamos que

Es claro que como todas las interpretaciones son contramodelos de , si tuviese

un modelo, la relacin de consecuencia semntica no podra darse. Por eso y lo

anterior tenemos:

Siendo una contradiccin, si y solo si es insatisfacible.

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3. Conjunto vaco y tautologas.

De qu conjuntos sern consecuencias semnticas las tautologas? La intuicin

nos dice que una tautologa no necesita de otras razones para que la

consideremos verdadera. Examinemos la posibilidad de decir que una tautologa es

consecuencia semntica de cualquier conjunto de frmulas. Sea una tautologa y

un conjunto cualquiera de frmulas. Es claro que es algo que debemos

aceptar siempre que contenga al menos una frmula, ya que es imposible hallar

contramodelos de y a fortiori, contramodelos de que sean modelos de . Pero

este argumento sirve de la misma manera en el caso de que sea el conjunto vaco.

Diremos entonces que una tautologa es consecuencia semntica del conjunto

vaco y lo notaremos as:

o simplemente

Sin embargo queda por tratar el problema de si el conjunto vaco tiene alguna otra

consecuencia semntica aparte de las tautologas. Optamos convencionalmente por

decir que cualquier interpretacin satisface el conjunto vaco (ya que para que una

interpretacin no satisfaga un conjunto es necesario que exista una frmula en el

conjunto que no sea verdadera bajo esa interpretacin). Por lo tanto, ninguna

contingencia o contradiccin puede ser consecuencia del conjunto vaco y se tiene

es tautologa si y solo si

4. Monotona

Supongamos que tenemos y tales que . Modifiquemos ahora el conjunto

agregndole frmulas. Llamemos al conjunto de las frmulas que agregamos

obteniendo un conjunto que ser la unin de y . En smbolos de la teora de

conjuntos, = . Nos preguntamos si se cumple .

Tenemos dos casos. Si es insatisfacible, entonces (por el punto 2, Conjuntos

insatisfacibles y contradicciones) se tiene que . Si tiene modelos entonces

esos modelos tienen que asignar V a todas las frmulas de y por lo tanto sern

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tambin modelos de . De modo que todo modelo de es tambin modelo de y

como , es tambin modelo de . La conclusin es que, sea cual sea , si

tenemos tendremos .

Si , entonces .

Consideremos un ejemplo. Sea = {p}. Cualquier interpretacin que asigne V a p

es obviamente modelo de . Agreguemos ahora la frmula (pq) obteniendo

={p, (p q)}.

Se observa que TODOS los modelos de son modelos de (porque en todos los

modelos de , p es V); pero lo recproco no es verdad: hay modelos de que no

son modelos de (a saber, aquellos que asignan V a p y F a q). Es fcil ver que al

agregar frmulas a un conjunto se pueden perder modelos pero nunca obtener

modelos nuevos.

Este aspecto llamado monotona merece una pequea digresin.

Es sabido que desde los filsofos griegos se ha distinguido un tipo de conocimiento

llamado a veces racional, que podramos decir es el que se obtiene a travs de

inferencias correctas a partir de determinados supuestos (que se consideran

verdaderos). Algunos estudiosos han dicho que una de las caractersticas ms

salientes de ese tipo de conocimiento es que es inconmovible. Esto quiere decir, que

una vez que alguien ha adquirido un conocimiento a travs de inferencias

deductivas partiendo de supuestos que tiene por verdaderos, ningn razonamiento

har que cambie el valor de verdad que le asigna a la proposicin que representa

su conocimiento en tanto mantenga esos supuestos. Y esto queda bien reflejado en

lo que acabamos de decir. Supongamos que alguien partiendo de un conjunto de

premisas infiere correctamente . En nuestro marco esto es lo mismo que decir

que ha advertido que . Supongamos ahora que aprende nuevos hechos, o

sea, que acepta nuevas proposiciones a cuyo conjunto llamaremos . Su

conocimiento de es inconmovible porque sea cual sea , ser consecuencia

semntica de . O sea, que una vez que se ha aceptado una proposicin por

medios deductivos, la aceptacin de nuevas premisas, sean estas cuales sean, no

harn cambiar la aceptacin de . Y esto puede parecer extrao pero un poco de

reflexin muestra que no lo es. La inconmovibilidad se da solamente en tanto se

mantengan todas las premisas que llevaron a . Supongamos el caso extremo en el

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que lo nuevo que se acepta es . Segn lo que venimos diciendo, continuar

siendo consecuencia semntica del nuevo conjunto. En smbolos:

(i)

y el sujeto acepta porque lo ha deducido de las proposiciones contenidas en .

Ahora el sujeto acepta a la vez que mantiene su creencia en todas las

proposiciones de . Como

{}

resulta ser que sigue siendo una conclusin correctamente extrada de su

(nuevo) conjunto de premisas, y si el sujeto se apega a la regla de creer todo

aquello que puede deducir a partir de sus supuestos aceptados, debe continuar

creyendo a pesar de haber supuesto .

Esto es as porque (i) indica que si una interpretacin es modelo de entonces es

modelo de o lo que es lo mismo, es contramodelo de . Por eso, no hay modelos

de {}, o sea, que el nuevo conjunto es insatisfacible y por lo tanto, toda

proposicin es consecuencia semntica de {}. En particular, {} .

En este caso, lo que tenemos es que el razonador alberga creencias inconsistentes

(el conjunto de frmulas que representa sus creencias es insatisfacible).

Por supuesto que se puede cambiar de creencias obtenidas racionalmente por

medios tambin racionales, es decir, se puede dejar de creer una proposicin que

previamente ha sido aceptada porque se ha llegado a ella a travs de inferencias

correctas, pero para esto es necesario abandonar alguna de las premisas que

llevaron a su aceptacin. Nunca se abandona una conclusin obtenida lgicamente

por medios puramente deductivos a causa del agregado de nuevas premisas.

5. Condicional asociado

Cmo evaluar si una proposicin dada es consecuencia semntica de un conjunto

dado? Hicimos esa evaluacin para la formalizacin del argumento de Gamaliel

ms arriba, pero el mtodo que usamos, si bien concluyente, no podemos decir que

haya sido sistemtico. Intentemos desarrollar un mtodo sistemtico para el caso

en que sea un conjunto finito. Sea = {A1, A2,, An} y consideremos el problema

de determinar si .

Es obvio que un modelo de ser modelo de la frmula (A1A2An), ya que

tiene que hacer verdaderas a todas las Aes y por lo tanto a su conjuncin. Y

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tambin se cumple lo recproco: un modelo de la conjuncin ser modelo de

porque para que la conjuncin sea verdadera debe serlo cada una de las Aes, es

decir, cada una de las frmulas de . Esto permite reducir el problema de la

consecuencia semntica a la relacin de valores de verdad de dos frmulas:

(A1A2An) y .

Supongamos que se da la relacin de consecuencia semntica. Decir que todo

modelo de es modelo de es equivalente a decir que toda interpretacin que

asigne V a la frmula (A1A2An) tambin asignar V a la frmula , o lo que es

lo mismo, que toda interpretacin que asigne F a , asignar F a (A1A2An). La

relacin de consecuencia semntica impone restricciones a las combinaciones de

valores de verdad de esas dos frmulas que se muestran en la siguiente tabla:

(A1A2An) Si (A1A2An) tenemos

V V Caso permitido

V F Caso prohibido

F V Caso permitido

F F Caso permitido

Cmo distinguir el caso prohibido de los restantes? Es obvia la similitud de

esta metatabla con la tabla de verdad del condicional. Si consideramos el

condicional

(C) (A1A2An)

vemos que ser falso si y solo si estamos en el caso prohibido, o sea si existe

una interpretacin que sea modelo de y no lo sea de .

Esto nos lleva a decir que si ese condicional no puede ser falso entonces

necesariamente , y recprocamente si entonces el condicional no

puede ser falso. Hemos demostrado entonces que, siendo finito, se cumple:

{A1, A2,,An} si y solo si ((A1A2An)) es una tautologa.

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Siendo = {A1, A2,,An}, el condicional ((A1A2An)) se llama condicional

asociado al par (, ).

No es ocioso repetir que encontrar una sola interpretacin que hace falso al

condicional asociado es encontrar una interpretacin que hace verdadera a la

conjuncin que le sirve de antecedente a la vez que hace falsa a la frmula que le

sirve de consecuente, y esto equivale a encontrar un modelo de que no es

modelo de . Si ninguna interpretacin logra eso es porque todos los modelos

de son modelos de . De ah que surge este fortsimo resultado que nos

permite reducir el problema de evaluar si una frmula es consecuencia

semntica de un conjunto a determinar si una frmula (el condicional asociado)

es una tautologa.

En el caso en que sea insatisfacible, la conjuncin que sirve de antecedente al

condicional asociado ser una contradiccin (porque ninguna interpretacin

puede hacer simultneamente verdaderas a todas las Aes) y entonces el

condicional asociado, al tener como antecedente una contradiccin ser

necesariamente tautolgico sin importar cul sea la frmula que le sirva de

consecuente. Esperbamos este resultado ya que habamos afirmado que

cualquier frmula es consecuencia semntica de un conjunto insatisfacible.

Ejemplo. Determinar si se cumple:

{ (p1 p2), (p1 (p4 p3)) } (p4 p3)

Construyamos el condicional asociado al par que tenemos entre manos:

(((p1 p2) (p1 (p4 p3))) (p4 p3))

Debemos investigar si es una tautologa. Podramos hacerlo desarrollando la

tabla de verdad, lo que sera muy trabajoso ya que en este caso sera una tabla

con 16 lneas. Qu procedimiento alternativo tenemos para saber si ese

condicional es o no tautolgico? Recordemos el inicio de este trabajo cuando

analizamos el argumento de Gamaliel. En esa ocasin consideramos que una

interpretacin haca V a las premisas y F a la conclusin. De ah obtenamos una

contradiccin. Anlogamente ahora podemos buscar una interpretacin que

haga F el consecuente y V el antecedente. Si la encontramos, el condicional

asociado no es tautolgico y si arribamos a una contradiccin el condicional

asociado es tautolgico.

Desarrollaremos el procedimiento en mucho mayor detalle que el necesario,

para que se comprenda su funcionamiento.

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(((p1 p2) (p1 (p4 p3))) (p4 p3))

1 F

2 V F

3 V V F F

4 V V F F F

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F

Auch!

Explicacin: En cada fila se va desarrollando un paso del razonamiento hecho en el

orden en que fue realizado.

Fila 1: Suponemos que el condicional asociado es F.

Fila 2: Si el condicional asociado es falso, su antecedente es V y su consecuente es

F, lo que se marca bajo cada uno de los conectivos principales.

Fila 3: Al ser falsa la disyuncin del consecuente, p4 y p3 son falsas, y al ser

verdadera la conjuncin del antecedente, las frmulas (p1 p2) y (p1 (p4 p3))

son verdaderas.

Fila 4: al ser verdadera (p1 p2), tanto p1 como p2 son verdaderas. Adems, en la

fila 3 habamos deducido que p4 y p3 son falsas, por lo que (p4 p3) es falsa.

Fila 5: El condicional (p1 (p4 p3)) es verdadero (fila 3) y su consecuente es

falso (fila 4). Entonces su antecedente p1 es falso. Pero p1 es verdadero (fila 4).

Contradiccin.

No podemos hacer que el antecedente del condicional asociado sea verdadero y a

la vez su consecuente falso, o sea que el condicional asociado es tautolgico y hay

relacin de consecuencia semntica.

6. (Meta)Teorema de deduccin (versin semntica)

El teorema de deduccin es un muy importante resultado metaterico que expresa

algo que puede parecer una perogrullada, pero tiene consecuencias muy

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importantes. Antes de enunciarlo, expliquemos una notacin que simplificar las

cosas. En vez de {A} escribamos

, A

lo que resulta ms cmodo.

Supongamos que se cumple

(i) , A B

o sea, B es consecuencia semntica del conjunto formado por las frmulas de ms

la frmula A. El teorema de deduccin afirma que en esas circunstancias se cumple

(ii) (A B)

y recprocamente, que si cumple (ii) se cumple (i).

Veamos qu idea recoge el teorema de deduccin con un ejemplo tomado de la

historia de la matemtica. El ltimo Teorema de Fermat (UTF) fue enunciado por

Pierre de Fermat2 en 1637. El enunciado del teorema es muy fcil de comprender.

Dice que no hay nmeros enteros x, y, z todos distintos de 0 y n natural mayor que

2 tales que xn + yn = zn.

Obsrvese la similitud estructural de esa frmula matemtica con la relacin que

se da por el famossimo Teorema de Pitgoras (la suma de los cuadrados de los

catetos es igual al cateto de la hipotenusa) si x e y son catetos de un tringulo

rectngulo y z es su hipotenusa, o sea x2+y2=z2. UTF dice que una relacin as no se

da jams para x, y, z enteros diferentes de 0 y con exponentes de 3 en adelante.

Fermat escribi eso en el margen de un libro de matemtica que estaba estudiando

y enseguida anot algo que constituira un enigma en los siglos por venir:

He encontrado una demostracin realmente admirable, pero el margen del libro es

muy pequeo para ponerla.

La demostracin nunca fue publicada por Fermat. Sus hijos, despus de su muerte,

publicaron una buena cantidad del trabajo de este matemtico pero esa

demostracin no apareci entre sus papeles. El trabajo conjunto de muchos

matemticos brillantes llev, a travs de los siglos, a la demostracin de resultados

parciales pero alejados de la total generalidad de UTF. As, pronto se demostr el

enunciado para n=3, n=4, etc. Luego aparecieron resultados que aseguraban que el

enunciado era vlido para amplias clases de exponentes. Sin embargo nadie fue 2 Uno de los ms grandes matemticos de todos los tiempos, abogado de profesin, dedicaba a la

matemtica sus tiempos libres. Descubri la geometra analtica antes que Descartes, e hizo

aportaciones fundamentales a la teora de nmeros.

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capaz de mostrar que el enunciado vala para todos los n3, ni tampoco fue nadie

capaz de encontrar una terna de enteros y un exponente que refutara UTF. Sin

embargo toda esta investigacin se revel muy fructfera: en su intento de

demostrar UTF, muchos matemticos hicieron profundos descubrimientos que

enriquecieron enormemente la matemtica, aun cuando no lograron su objetivo.

En el siglo XX con el advenimiento de las computadoras y el desarrollo matemtico

se saba que de existir un contraejemplo a UTF, sera uno formado por nmeros

increblemente grandes.

Casi nadie cree hoy que Fermat haya tenido realmente una demostracin. El

consenso entre los estudiosos es que Fermat crey tener una demostracin pero

haba algn error en su razonamiento (la demostracin en el caso de n=3 es

relativamente sencilla y se considera muy probable que Fermat la haya encontrado

y haya credo errneamente que se poda generalizar a todos los exponentes

mayores). Esto es as porque el teorema fue finalmente demostrado por Andrew

Wiles en 1995, o sea 358 aos despus, y usando tcnicas matemticas muchsimo

ms poderosas que cualquier cosa que Fermat pudiera haber imaginado.

La idea de consecuencia en matemtica es mucho ms compleja que en nuestro

lenguaje proposicional (sera imposible hacer matemtica utilizando solo lgica

proposicional), pero por supuesto que la consecuencia matemtica tiene las

propiedades que nos parecen razonables intuitivamente, entre ellas, un anlogo al

teorema de deduccin. En lo que sigue usaremos el smbolo para significar lo

siguiente: quiere decir que se sigue de conocimiento matemtico aceptado

cuyas proposiciones forman el conjunto . Debe quedar claro que demostrar

cualquier teorema TEO consiste en mostrar que

TEO.

Por lo tanto, lo que se buscaba era mostrar que

UTF

pero todos los esfuerzos haban resultado infructuosos en ms de tres siglos.

Se debe aclarar algo muy evidente: el conocimiento matemtico aceptado cambia

con el tiempo. O sea, en la medida en que la humanidad va aprendiendo ms

matemtica el conjunto incorpora nuevas proposiciones. Para que una

proposicin X sea aceptada como conocimiento matemtico debe mostrarse que

X siendo el conocimiento matemtico que se tiene al momento de hacer la

demostracin.

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En 1957 se formul una conjetura (algo que se supona poda ingresar al

conocimiento matemtico pero nadie haba demostrado; estrictamente hablando,

hasta la demostracin de Wiles, el UTF era tambin una conjetura aunque se lo

llamaba teorema en forma impropia delatando la fe de la comunidad matemtica

en que el enigma centenario propuesto por Fermat sera finalmente respondido en

forma afirmativa). Esa conjetura se llam Conjetura de Taniyama-Shimura (CTS).

En principio CTS no parece tener relacin con UTF. Sin embargo, pronto se

demostr lo siguiente: Si CTS era verdadera, entonces UTF tambin lo era. Pero,

qu quiere decir eso? Evidentemente, lo que acabamos de decir significa

(i) (CTSUTF) (El signo est ah porque lo que queda a su derecha fue

demostrado a partir del conocimiento matemtico que se tena en el momento).

Pero tambin quiere decir que si CTS se diera por cierto junto con el conocimiento

matemtico que se tena, se podra asegurar UTF o sea:

(ii) , CTS UTF

y ambas formulaciones son equivalentes. (Esto es el anlogo del Teorema de

deduccin, observe su enunciado al principio de esta seccin).

Sin embargo, los matemticos tenan que demostrar CTS para que esto les

resultase de algn valor, porque en tanto no lo hicieran no podran adjuntar CTS al

conocimiento matemtico.

Wiles es famoso por haber demostrado UTF, aunque estrictamente hablando, lo

que demostr fue CTS. O sea, mostr que

CTS

con lo que CTS pas a estar legtimamente considerado como conocimiento

matemtico. (A partir de ese momento dej de llamarse Conjetura de Taniyama-

Shimura para tomar el nombre de Teorema de modularidad). Entonces Wiles

poda decir, ya que se saba que (CTSUTF), que al plantear

, CTS UTF

todo lo que queda a la izquierda del es slido conocimiento matemtico, con lo

que demostr UTF.

Volvamos a nuestro lenguaje de la lgica proposicional. Veamos ahora por qu el

Teorema de deduccin es correcto.

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Afirmamos que

(i) , A B

es equivalente a

(ii) (A B)

Demostracin. Se debe mostrar que si se cumple (i) se cumple (ii) y

recprocamente, si se cumple (ii) se cumple (i). Trabajaremos con los

contrarrecprocos; demostraremos que si no se cumple (ii) entonces no se

cumple (i) y que si no se cumple (i) entonces no se cumple (ii).

Supongamos que no se cumple (ii), o sea, (A B). En este caso tendramos

un modelo de que sera contramodelo de (A B), o sea, que sera modelo de A

y contramodelo de B. Pero si existe un modelo de que es adems modelo de A

y contramodelo de B, entonces (i) es tambin falso.

Recprocamente, supongamos que no se cumple (i). En ese caso tendramos un

modelo de y de A que es contramodelo de B. Pero esa interpretacin sera

modelo de y contramodelo de (A B), por lo que no se cumple (ii).

, A B si y solo si (A B)

7. El absurdo.

Este (meta)teorema afirma que

(i) .

es equivalente a

(ii) , es insatisfacible

En la direccin de (ii) a (i) es muy usado: si al adjuntar a obtengo un

conjunto insatisfacible (una contradiccin es un caso particular de conjunto

insatisfacible), entonces puedo decir que es consecuencia semntica de . La

forma estndar es: Supongamos que se cumple . Pero as se obtiene una

contradiccin. De esto se concluye . (En este razonamiento se supone un

conocimiento de fondo representado por ).

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Demostracin. Supongamos que se cumple (i). Entonces, todo modelo de es

modelo de y por lo tanto, contramodelo de . Se concluye que , no tiene

modelos, o sea, es insatisfacible, que es lo que (ii) establece.

Recprocamente, supongamos que se cumple (ii). Entonces todo modelo de es

contramodelo de (ya que si hubiera un solo modelo de que no fuera

contramodelo de , sera un modelo de y de a la vez, contrariamente a lo

que (ii) afirma). Pero entonces todo modelo de es modelo de , segn asegura

(i).

si y solo si , es insatisfacible.

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