Consorcio de Doctorado en Matemática, Valparaíso - A ......3. Manejar algunas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales No-lineales. 4. Establecer resultados de existencia

A).CURSOSESPECÍFICOSOCOMPLEMENTARIOS

1. LíneaAnálisisNoLinealyEcuacionesDiferencialesParcialesNombredelcurso

ECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES

Descripcióndelcurso

Este es un curso formal de Ecuaciones Diferenciales Parciales, fundamental en unprogramadeestudioparainiciarunDoctoradoenCienciasMatemáticas.Eldesarrollodelostemaslepermitealestudiantecomprenderlarelaciónquehayentrelasmatemáticasy lasciencias físicasode la ingeniería,abordarproblemassemilineales principalmenteelípticosyparabólicosconvaloresenlafronterayresolverlos.

Elprogramasedesarrollaen64horaspresencialesycomprendeunaampliavariedaddetemas de la teoría elemental de Ecuaciones Diferenciales Parciales: orígenes, algunosproblemas aplicados a la física e ingeniería, relación entre los conceptos básicos quedefinen las ecuaciones. Además, se estudian los espacios de Sobolev, la teoría de laecuacioneselípticasde segundoorden y algunasextensiones a la teoríadeecuacionesparabólicas.

Objetivos Objetivogeneral:Alaprobarlaasignaturaelalumnodeberásercapazdecomprenderlosfundamentosdelateoríadeecuacionesdiferencialesparciales.Objetivosespecíficos:1. Comprenderlosfundamentosdelateoríadeecuacionesdiferencialesparciales;2. Aplicar la teoría a problemas concretos provenientes del ámbito de la Física eIngeniería.3. Manejaralgunastécnicasparasolucionarecuacionesdiferenciales.4. Establecerresultadosdeexistenciayunicidaddesoluciones,yotraspropiedadescualitativasdelassoluciones.

Contenidos 1. Algunasecuaciones importantes:Ecuacióndel transporte,EcuacióndeLaplace,Ecuacióndelcalor,Ecuacióndeonda.2. EspaciosdeSobolev:Derivadasdébiles,propiedadeselementales, extensiones,trazas,desigualdadesdeSobolev,Compacidad,Otrosespaciosdefunciones,aplicaciones.3. Ecuaciones elípticas de segundo orden: Soluciones débiles, existencia,regularidad,principiosdelmáximo,valorespropiosyfuncionespropias.4. Ecuaciones Parabólicas de segundo orden: soluciones débiles, existencia yunicidad,regularidad,principiosdelmáximo.

Modalidaddeevaluación

Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos

contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:

• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas

específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,

desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.

En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientode losestudiantes,alcomienzodelcurso, lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldelcursocorrespondeaunpromedioponderadodelasnotasobtenidasenlasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El resto de las actividades definidas por el profesor para la evaluación del estudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:

• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcualincluya

preguntasdeniveldeexamendecalificación.Antiguo:Metodología:Clasesexpositivas,combinadascontécnicasdetrabajogrupal.Evaluación:2Certámenes,6tareasyunaexposicióndelosestudiantes.

Bibliografía

Básica:1. Evans,L.C.,PartialDifferentialEquations.AmericanMathematicalSociety.1998.2. GilbargT., "Ellipticpartialdifferentialequationsofsecondorder".Springer,Berlin,

Heidelberg,NY,Tokyo1983.Recomendada:1. John,F.,"Partialdifferentialequations".Springer,1982.2. Folland,B.,"Lecturesonpartialdifferentialequations”.Springer.1983.3. Ikeda,W."Stochasticdifferentialequationanddiffusionprocesses".North-Holland,

1983.4. Krylov, V."Nonlinearellipticandparabolicequationsofthesecondorder”.Reidel

1987

Nombredelcurso

MÉTODOSENANÁLISISNOLINEALPARAECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES


Este es un curso formal de Ecuaciones Diferenciales Parciales, que es una continuaciónnatural de un curso básico de esta teoría en un programa de estudio de Doctorado enCienciasMatemáticas. El desarrollo de los temas le permite al estudiante comprender laimportanciadelinealizarecuacionesdiferencialesparcialesno-lineales,abordarproblemasyresolverlos.Elprogramasedesarrollaen64horaspresencialesy comprendeunaampliavariedaddetemas de la teoría elemental de Ecuaciones Diferenciales Parciales No-lineales:Linealización, Técnicas no-variacionales y análisis no-lineal se incorporan para resolverEcuacionesDiferencialesNo-lineales.

Objetivos Objetivogeneral:AlaprobarlaasignaturaelalumnodeberásercapazdecomprenderlosfundamentosdelateoríadeEcuacionesDiferencialesParcialesNo-lineales.Objetivosespecíficos:

1. ComprenderlosfundamentosdelateoríadeEcuacionesDiferencialesParcialesNo-

lineales;2. Aplicar la teoría a problemas concretos provenientes del ámbito de la Física e

Ingeniería.3. ManejaralgunastécnicaspararesolverecuacionesdiferencialesNo-lineales.4. Establecer resultados de existencia y unicidad de soluciones, y otras propiedades

cualitativasdelassoluciones.Contenidos 1. Linealización: Cálculo Diferencial en Espacios Banach, Teorema de la función

implícitaymétodosdecontinuidad,ReduccióndeLyapunov-Schmidtybifurcación2. Teoremas de Punto Fijo: Métodos de orden, Funciones convexas, Convexidad y

Compacidad,Aplicacionesmonótonas.3. Otrastécnicasno-variacionales:Métododesub-ysuper-soluciones,No-existencia:

Blow-up, Identidad de Derrick-Pohozaev, Flujos gradientes, propiedadesgeométricasdelassoluciones

4. Gradotopológicoyaplicaciones:PropiedadesfundamentalesdelgradodeBrouwer

y aplicaciones, El grado de Leray-Schauder, Bifurcación Global, Aplicaciones yextensiones.


Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadeloscontenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Estetrabajosecombinaconotrasmetodologíasmásparticipativas,dondeelactorprincipal

eselestudiante,comoporejemplo:

• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudioindependienteyexposicionesdeestudiantesacercadetemasespecíficos.

• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,


Encualquiercaso,lasmetodologíascentradasenlaparticipacióndelestudiantenopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:El profesor define y pon en conocimiento de los estudiantes, al comienzo del curso, lasactividadesquedebendesarrollarpara suevaluación, y sus respectivaponderaciónen lanota finaldel curso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7y lanota finaldelcursocorrespondeaunpromedioponderadodelasnotasobtenidasenlasactividades.Dentrodelasactividadesparalaevaluaciónseincluyedosotrespruebasparcialesescritas,cuya ponderación corresponde por lo menos al 70% de la evaluación del curso. Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.Elrestodelasactividadesdefinidasporelprofesorparalaevaluacióndelestudiante,tieneunaponderaciónde, a lomás, el 30%de lanota finaldel curso. Entre estas actividadesalternativassecuentanporejemplo:

• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcual incluya

preguntasdeniveldeexamendecalificación.ANTIGUO:Metodología:Clasesexpositivas,combinadascontécnicasdetrabajogrupal.Evaluación:2Certámenes,6tareasyunaexposicióndelosestudiantes.

Bibliografía

Básica:1. Chang,K-CH.,MethodsinNonlinearAnalysis.Springer,2005.2. Evans,L.C.,PartialDifferentialEquations.AmericanMathematicalSociety.1998.

Recomendada:1. S. Kesavan, Nonlinear Functional Analysis, A First Course, Texts and Readings in

Mathematics,2004.

2. LíneadeOptimización

Nombredelcurso

AnálisisConvexo


En este curso se presentan los conceptos básicos del análisis convexo, así como lastécnicasmásutilizadasenelestudiodeproblemasdeoptimizaciónenespaciosdeBanachysusaplicaciones.

Objetivos Objetivogeneral:

Entregarlasherramientasbásicasdeanálisisconvexoysusaplicacionesalaoptimizaciónyelanálisisnolineal.

Objetivosespecíficos:

Elestudiantealfinaldelcursodeberá:

• Aplicar las herramientas del análisis convexo y dualidad a problemas deoptimizaciónyanálisisfuncional(linealynolineal).

• Analizar problemas en cálculo de variaciones y ecuaciones en derivadasparcialesprovenientesdelafísicaatravésdelanálisisconvexo.

Contenidos 1. Propiedadesdeconjuntosconvexos:Convexidadytopología;Interiorrelativo;

TeoremasdeHahn-BanachGeométricos;TeoremadeMazur;Conoderecesión;TeoremadeKrein-Milman.

2. Funcionesconvexas:ContinuidadySemi-continuidadinferior;TeoremadeWeierstrass-Hilbert-Tonelli;ConjugadadeFenchel;Subdiferencial;Cálculosubdiferencial;Condicionesdeoptimalidad;Funciónderecesión;AproximacióndeMoreau-Yosida;Inclusionesdiferenciales.

3. Dualidadenoptimizaciónconvexa:Funcionesdeperturbación;Teoremadedualidad

Fuerte;TeoremadeFenchel-Rockafellar;DualidadLagrangiana;TeoremadeFritz-John;TeoremaMinimax.

4. Algunodelossiguientestópicos:

a. Controlóptimoconvexo;b. Métodositerativos;c. Subdiferencialesdefuncionesnoconvexas;d. Optimizaciónestocástica.

Metodología Los cursos tienen una programación de dos sesiones de cátedra y una ayudantía por

semana.Almenosun70%delasclaseslectivasestáncentradasenlaexposiciónsistemáticadeloscontenidosteóricosdelcursoporpartedelprofesordecátedra(clasespresenciales)yenlaparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actor

principaleselestudiante,comoporejemplo:

• Trabajogrupal.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Estudioindependienteyexposicionesdeestudiantesacercadetemasespecíficos.

• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,

desarrollocomputacionalenelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.

Encualquiercaso,lasmetodologíascentradasenlaparticipacióndelestudiantenopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestre.

Evaluación Elprofesordefineyponeenconocimientode losestudiantes,alcomienzodelcurso, lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade0a100(UTFSM)ylanotafinal del curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluyen dos o tres pruebas parcialesescritas, cuyaponderacióncorrespondepor lomenosal70%de laevaluacióndel curso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.Elrestodelasactividadesdefinidasporelprofesorparalaevaluacióndelestudiante,tieneunaponderaciónde,a lomás,el30%de lanota finaldelcurso.Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:

• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcualincluya

preguntasdeniveldeexamendecalificación.

Bibliografía

Básica:

1. J.Peypouquet,Convexoptimizationinnormedspaces:theory,methodsandexamples.Springer,2015.

2. HBauschke,PCombettes, Convexanalysisandmonotoneoperator theory inHilbertspaces.Springer,NewYork,2011.

3. J.M.Borwein,A. S. Lewis,ConvexAnalysis andNonlinearOptimization. Theory andExamples,CMSBooksinMathematics,Springer-Verlag,NewYork,2000.

4. J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms,Springer-Verlag,Berlin,1993.

Recomendada:

5. H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.

Universitext.Springer,NewYork,2011.

6. R.T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, NewJersey,1970.

Nombredelcurso

InclusionesDiferencialesyAplicacionesenOptimización


Enestaasignaturaelestudianteconocerálasprincipalespropiedadesdeinclusionesdiferenciales.Entenderáunainclusióndiferencialcomounaextensiónnaturaldeunaecuacióndiferencialordinaria.Aprenderálastécnicasquepermitendeterminarlaexistenciadesolucionesypropiedadesglobalesdelconjuntodesoluciones,ylasaplicaráparaanalizarproblemasdeOptimizaciónConvexayControlÓptimo.

Objetivos Objetivogeneral:

Conocer losconceptosbásicosde las inclusionesdiferencialesyaplicarlosalestudiodeproblemasdeOptimizaciónyControlÓptimo.

Objetivosespecíficos:

Elestudiantealfinaldelcursodeberá:

• Comprenderyutilizarlosconceptosrelacionadosconmultifunciones;• Deducirpropiedadesglobalesdetrajectoriassolucionesdeunainclusiondiferencial

(existencia,compacidad,comportamientoasintótico,etc);• Aplicar el enfoque para encontrar soluciones de problemas de Optimización

Convexa,CálculodeVariacionesyControlÓptimo.

Contenidos 1. Multifunciones:Definiciones,ejemplosypropiedadesdecontinuidadymonotonía;TeoremasdeSelección(medible,continuayLipschitz).

2. Inclusiones diferenciales: Ejemplos (sistema controlados, procesos de arrastre,ecuacióndeEuler-Lagrange,sistemasHamiltonianos);Existenciayotraspropiedadesdelassoluciones;Trayectoriasrelajadas;LemadeGronwallyTeoremasdeFilippov.

3. AplicacionesenCálculodeVariaciones(casoconvexo):Definicióndeproblemadual;SistemasHamiltonianosyexistenciadesoluciones.

4. AplicacionesenControlÓptimo:Existenciadesolucionesóptimasdeproblemasno-lineales;Propiedadesdecontinuidaddelafunciónvalor.

5. Algunodelossiguientestemasa. Inclusióndiferencialgobernadaporunoperadormonótono;b. Viabilidadeinvarianza.

Metodología Los cursos tienen una programación de dos sesiones de cátedra y una ayudantía porsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestáncentradasenlaexposiciónsistemáticadeloscontenidosteóricosdelcursoporpartedelprofesordecátedra(clasespresenciales)yenlaparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:

• Trabajogrupal.

• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas


desarrollocomputacionalenelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.

En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestre.

Evaluación Elprofesordefineyponeenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanota finaldel curso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade0a100 (UTFSM)y lanotafinaldelcursocorrespondeaunpromedioponderadodelasnotasobtenidasenlasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluyen dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El resto de las actividades definidas por el profesor para la evaluación del estudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:

• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcualincluya

preguntasdeniveldeexamendecalificación.

Bibliografía

Básica:1. J P Aubin, A Cellina, Differential Inclusions: Set-valued maps and Viability Theory.

Springer-Verlag1984.

2. HBrézis,Opérateursmaximauxmonotonesetsemi-groupesdecontractionsdanslesespacesdeHilbert.North-HollandPublishingCo.,Amsterdam-London,1973.

3. R.Vinter,OptimalControl.BirkhäusenBoston,2000

Recomendada:4. F Clarke, Y Ledyaev, R Stern, PWolenski,NonsmoothAnalysis and Control Theory.

Springer-VerlagNewYork,1998

5. RRockafellar,GeneralizedHamiltonianequations forconvexproblemsofLagrange.PacificJournalofMathematics,33(3):411-427,1970

3.LíneadeSistemasDinámicos

Nombredelcurso

INTRODUCCIÓNALATEORIAERGODICA


AsignaturaqueintroducelosconceptosbásicosdeTeoríaErgódica.Elcursocomienzacondiversosejemplodetransformacionesquepreservanmedidasylasconsecuenciasdinámicasquesepuedendeducirdeestetipodetransformaciones,comoelTeoremadeRecurrenciadePoincaré.Luegosepresentaelconceptodeergodicidad,ysurolfundamentalenlateoríaatravésdelosTeoremasErgódicosyelTeoremadeDescomposiciónErgódica.Finalmenteelcursosededicaalestudiodelaentropíatopológicaymétrica,estableciéndosediversaspropiedadesyconsecuencias,finalizandoconelprincipiovariacionalquerelacionaambosconceptos.

Objetivos PresentarlasherramientasbásicaslaTeoríaErgódicaysuaplicaciónalossistemasdinámicos.

Contenidos 1.Transformacionesquepreservanmedida1.1.EjemplosdeTransformacionesquepreservanmedidas:Rotaciones,ShiftdeBernoulli,TransformaciondeGauss,transformacioneslinealeseneltoro,flujosconservativos,otros.1.2.TeoremaderecurrenciadePoincaré1.3.Existenciademedidasinvarianteparatransformacionescontinuas.1.4.Inducción.TransformacióndeManeville-Pomeau2.Ergodicidad.2.1.TeoremasdevonNeumann,deBirkhoff,Kingman:Enunciados,aplicacionesyejemplos.2.2.Ergodicidadyejemplos:rotacioneseneltoro,shift,transformacióndeGauss,endomorfismosenelToro.2.3.TeoremadeDescomposiciónErgódica.2.4Consecuenciasdelaunicidadergódica.2.5.Transformacionesmixingydecrecimientodelascorrelaciones.3.Entropía.3.1.Entropíatopológicaymétrica.3.2.TeoremasTeoremadeKolmogorov-Sinai,deShannonMcMillanBreimanparalaentropialocal:Enunciados,aplicacionesyejemplos.

3.3.PrincipioVariacionaldelaentropía:Enunciado,aplicacionesyejemplos.Modalidaddeevaluación

Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:

• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería.

• Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temasespecíficos.

• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.

• Otros.En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:

• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual

incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.

Bibliografía

Básica:1.Mañé,Ricardo.Ergodictheoryanddifferentiabledynamics.TranslatedfromthePortuguesebySilvioLevy.ErgebnissederMathematikundihrerGrenzgebiete(3)[ResultsinMathematicsandRelatedAreas(3)],8.Springer-Verlag,Berlin,1987.2.Walters,PeterAnintroductiontoergodictheory.GraduateTextsinMathematics,79.Springer-Verlag,NewYork-Berlin,1982.3.Viana,Marcelo;Oliveira,Krerley.Foundationsofergodictheory.CambridgeStudiesinAdvancedMathematics,151.CambridgeUniversityPress,Cambridge,2016.xvi+530pp.ISBN:978-1-107-12696-1

Complementaria:4.Katok,Anatole;Hasselblatt,BorisIntroductiontothemoderntheoryofdynamicalsystems.WithasupplementarychapterbyKatokandLeonardoMendoza.EncyclopediaofMathematicsanditsApplications,54.Cambridge

UniversityPress,Cambridge,1995.5.Brin,Michael;Stuck,Garrett.Introductiontodynamicalsystems.CambridgeUniversityPress,Cambridge,2002.xii+240pp.ISBN:0-521-80841-36.Einsiedler,Manfred;Ward,Thomas.Ergodictheorywithaviewtowardsnumbertheory.GraduateTextsinMathematics,259.Springer-VerlagLondon,Ltd.,London,2011.xviii+481pp.ISBN:978-0-85729-020-5

Nombredelcurso

INTRODUCCIONALOSSISTEMASDINÁMICOSDIFERENCIABLES


AsignaturaqueintroducelosconceptosbásicosdeSistemasDinámicosdiferenciables,particularmentehiperbólicos.Elcursocomienzaconunarevisióndelateoríacualitativadeecuacionesdiferenciales,ylasprimerasnocionesdedinámicaasociadasaestosobjetosformalizadosenunsegundocapítulodedicadoaformalizarnocionesdedinámicatopológicaypresentarejemplosenelcontextodiscreto.Lasegundapartedelcurso,correspondientealcapítulo3,estadedicadaalateoríalocaldelossistemasdinámicosdiferenciables,dondesemuestrancondetallesalgunosteoremasquedancuentadeladescripciónlocaldeladinámicaalrededorlospuntosfijosyórbitasperiódicashiperbólicas,supersistenciaysuabundancia.Elúltimoterciodelcurso,capítulo4,estádedicadoalestudiodelosconjuntoshiperbólicos,presentandodistintosejemplosylosprincipalesresultadosquedancuentadelaspropiedadesdinámicasdedichosobjetosmatemáticos.

Objetivos Presentarlasherramientasbásicasdeladinámicadiferenciable.Teoríalocalyglobal.

Contenidos 1.Nocionesdelateoriacualitativadelasecuacionesdiferenciales.1.1Sistemaslineales.Clasificación.1.2Equilibrio,estabilidadyconjuntoslimites.TeoremadePoincareBendixon.1.3ConjugaciónyEquivalencia.Puntosfijoshiperbólicos.TeoremadeHartman:EnunciadoyAplicaciones.1.4TransformaciónderetornodePoincaré.Transformacióndetiempo1.Flujodesuspensión.2.Nocionesdedinámicatopológicadiscreta:2.1Puntosperiódicos,transitividad,minimalidad,conjuntoslímites,mixing,conjugación.2.2Ejemplos.Logística,shift,doublingmap,rotaciones,sistemaslineales.2.3Bifurcacionesytransiciónhaciaelcaosenlafamilialogística.3.Teoríahiperbólicalocal3.1.Puntosfijoshiperbólicos.TeoremadeHartman.3.2.TeoremadelaVariedadestable.3.3LemadelaInclinaciónyaplicaciones.3.4.TeoremadeKupka-Smale:Enunciadoeideasdelademostración.4.Conjuntosuniformementehiperbólicos.4.1.Ejemplos:Herradura,Solenoide,difeomorfismosdeAnosov.Morse-Smale.4.2Campodeconosyrobustezdeconjuntoshiperbólicos4.3.Existenciadefoliacionesinvariantes:Enunciadoyejemplos.4.4Expansividad,sombreamiento,estructuradeproductolocal,estabilidaddedifemorfismosdeAnosov.4.5.TeoremadeDescomposiciónEspectralyOmegaestabilidad:Enunciadosyejemplos.4.6ParticionesdeMarkov.Codificaciónydinámicasimbolica.






En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:



Bibliografía

Básica:1.Shub,MichaelGlobalstabilityofdynamicalsystems.WiththecollaborationofAlbertFathiandRémiLangevin.TranslatedfromtheFrenchbyJosephChristy.Springer-Verlag,NewYork,1987.2.Sambarino,Martín.Hiperbolicidadyestabilidad.InstitutoVenezolanodeInvestigacionesCientíficas,2009.http://evm.ivic.gob.ve/LibroSambarino.pdf3.M.W.Hirsch,S.SmaleandR.L.Devaney,DifferentialEquations,DynamicalSystemsandanIntroductiontoChaos(PureandAppliedMathematics)

ElsevierAcademicPress(2004).4.Barreira,Luis;Valls,ClaudiaDynamicalsystems.Anintroduction.Translatedfromthe2012Portugueseoriginal.Universitext.Springer,London,2013.x+209pp.ISBN:978-1-4471-4834-0;978-1-4471-4835-737-015.Brin,Michael;Stuck,Garrett.Introductiontodynamicalsystems.CambridgeUniversityPress,Cambridge,2002.xii+240pp.ISBN:0-521-80841-3.6.Robinson,ClarkDynamicalsystems.Stability,symbolicdynamics,andchaos.Secondedition.StudiesinAdvancedMathematics.CRCPress,BocaRaton,FL,1999.xiv+506pp.ISBN:0-8493-8495-837-01.Complementaria:

1.Palis,Jacob,Jr.;deMeloWelington.Geometrictheoryofdynamicalsystems.Anintroduction.TranslatedfromthePortuguesebyA.K.Manning.Springer-Verlag,NewYork-Berlin,1982.2.Katok,Anatole;Hasselblatt,Boris.Introductiontothemoderntheoryofdynamicalsystems.WithasupplementarychapterbyKatokandLeonardoMendoza.EncyclopediaofMathematicsanditsApplications,54.CambridgeUniversityPress,Cambridge,1995.3.Perko,Lawrence.Differentialequationsanddynamicalsystems.(Englishsummary)Thirdedition.TextsinAppliedMathematics,7.Springer-Verlag,NewYork,2001.xiv+553pp.ISBN:0-387-95116-4.4.Sotomayor,JorgeLiçõesdeequaçõesdiferenciaisordinárias.(Portuguese)[Lessonsonordinarydifferentialequations]ProjetoEuclides[EuclidProject],11.InstitutodeMatemáticaPuraeAplicada,RiodeJaneiro,1979.xvi+327pp.5.Dumortier,FreddySingularitiesofvectorfields.MonografíasdeMatemática[MathematicalMonographs],32.InstitutodeMatemáticaPuraeAplicada,RiodeJaneiro,1978.iv+191pp.

4.LíneadeAnálisisNumérico

Nombredelcurso

ÁLGEBRALINEALNUMÉRICA


LosMétodosNuméricoscomprendeneldesarrolloylaimplementaciónyusodealgoritmosnuméricosydesoftwareparalaresolucióndeunproblemafísico,apartirdeunmodelomatemáticodelsistemafísicoencuestión.EstosMétodosNuméricosseimplementanconalgoritmosenmáquinasdecálculocomopuedeserunordenadorpersonalconunsoftwareadecuado.Enestemarco,elálgebralinealnuméricaesunaherramientafundamentalparaeltratamientodesistemasdeecuacioneslinealesgigantesprovenientesdediversosproblemas.Conestoenperspectiva,estaasignaturaesuncomplementonaturaldelcursodemétodosnuméricosparaEcuacionesenDerivadasParciales(EDPs),desumaimportanciaenmuchasáreasdeinvestigacióndentrodelasmatemáticasaplicadas,dadalagrancapacidaddelasEDPSpararepresentarvariadosmodelosmatemáticosdefenómenosdelanaturaleza.Así,estecursoentregaherramientasindispensablesenlaresoluciónnuméricadeproblemasdedistintasáreasdelconocimiento(Biología,Física,Ingeniería,Química,etc.).

Objetivos ObjetivogeneralElobjetivodeestaasignaturaesentregarcompetenciasparadesarrollarunmétododetrabajoyunametodologíalógicaenlaaplicacióndelálgebralinealnuméricapararesolucióndegrandessistemasdeecuacionesprovenientesdediversosproblemasrepresentadosporEDPs.Objetivosespecíficos●Desarrollarlateoríamediayavanzadadelálgebralinealnumérica.●Desarrollarvariadosmétodosnuméricosparaaproximardiferentesproblemasmatemáticos.●AplicarlosresultadosprincipalesdelateoríadelálgebralinealnuméricaagrandessistemasdeecuacionesprovenientesdeproblemaspuntualesdeEDPs.●Representareintegrarconceptosendiferentesformas:numérica,geométrica,analíticayalgebraica.●Reconocerdiversosesquemasnuméricosparaaproximardeterminadosproblemas.●Implementarcomputacionalmenteestosesquemasnuméricos●Procesar,analizareinterpretarresultadosnuméricosyoptimizarestrategiasysoluciones.● Asociar los métodos numéricos como una alternativa de solución de problemasreales.

Contenidos 1.VectoresyMatrices1.1.MatricesyAplicacionesLineales1.1.1.Algunostiposdematrices:Diagonales,Triangulares,dePermutación1.1.2.Aplicacioneslineales1.1.3.Submatrices1.2.ImagenyNúcleodeunamatriz1.2.1.Rangoynulidad1.3.FactorizaciónLU2.NormasdeVectoresyMatrices2.1.NormasdeVectores2.2.1.DefiniciónyEjemplos

2.2.2.Equivalenciadenormas2.3.NormasdeMatrices2.3.1.Definiciones,EjemplosyPrimerasPropiedades2.3.2.NormasdeMatrizInducidas2.4.SucesionesySeriesdeMatrices3.Valoressingulares3.1.Introducción3.2.MatricesOrtogonalesyUnitarias3.3.Valoressingulares3.4.Propiedadesdelosvaloressingulares3.5.Aproximaciónamatricesdemenorrango3.6.LainversadeMoorePenrose4.Condicionamiento4.1.Condicionamientodeunproblema4.2.Elnúmerodecondiciónparaelproductodematricesyvectores4.3.Lacondicióndelossistemasdeecuacioneslineales5.Proyeccionesybasesortonormales5.1Proyecciones5.2Proyeccionesortogonales5.3ElalgoritmoclásicodeGramSchmidt5.4ElalgoritmomodificadodeGramSchmidt5.5ExistenciayunicidaddelafactorizaciónQR5.6FactorizaciónQRreducidaycompleta5.7UnanálisisexperimentaldelaestabilidaddelosalgoritmosdeGramSchmidt5.8Pérdidanuméricadeortogonalidad6.AlgoritmoQRyelProblemadeMınimosCuadrados6.1LasreflexionesdeHouseholder6.2RotacionesdeGivens6.3Elproblemademınimoscuadrados6.3.1.Lasolucióndelproblemademınimoscuadrados6.3.2.ElproblemademınimoscuadradosylainversaMoorePenrose6.4.Condicionamientoyestabilidaddelosalgoritmosdemınimoscuadrados6.4.1.Condicionamientodelproblemademınimoscuadrados7.Elálgebradelosvalorespropios7.1Valoresyvectorespropios7.2SemejanzaUnitaria7.3Vectorespropiosalaizquierda7.4Matricesunitariamentediagonalizables7.5TeorıadePerturbación7.5.1.Continuidaddelosvalorespropios7.5.2.Localizacióndelosvalorespropios7.5.3.Diferenciabilidaddelosvalorespropiossimples7.5.4.Elnúmerodecondicióndelosvalorespropiossimples8Elproblemadelosvalorespropios8.1ElMétododelasPotencias8.2IteraciónInversa8.3IteracióndelcocientedeRayleigh8.4ElAlgoritmoQRparavalorespropios9.MétododeGradientesConjugados9.1.MétodosdeKrylovypropiedaddeminimización9.2.Consecuenciasdelapropiedaddeminimización9.3.Criteriodedetencióndelprocesoiterativo9.4.Implementacióndegradientesconjugados

9.5.MétodosCGNRyCGNE10.ElmétodoGMRES10.1.LapropiedaddeminimizaciónparaGMRESyconsecuencias10.2.Criteriodedetención10.3.Precondicionamiento10.4.ImplementaciónbásicadeGMRES10.5.Implementaciónenunabaseortogonal10.5.1.ColapsodeGMRES(Breakdown)10.6.ElalgoritmodeGramSchmidtmodificado10.7.Implementacióneficiente10.8.Estrategiasdereortogonalización






En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode las actividades definidas por el profesor para la evaluacióndel estudiantetiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:



Bibliografía

Básica:1.Golub&Gérard:“Matrices,momentsandquadraturewithapplications".PrincetonSeriesinAppliedMathematics,PrincetonUniversityPress(December27,2009).2.Golub&VanLoan.“MatrixComputations".JohnsHopkinsStudiesintheMathematicalSciences(Book3),JohnsHopkinsUniversityPress;fourtheditionedition(December27,2012).3.Quarteronietal..:“NumericalMathematics”.TextsinAppliedMathematics(Book37),Springer;2ndedition(November10,2006).4.Stoer&Burlisch:“IntroductiontoNumericalAnalysis".TextsinAppliedMathematics,Vol.12,3ra.Ed.,Spinger,2010.5.Trefethen&Bau:“NumericalLinealAlgebra”.SIAM:SocietyforIndustrialandAppliedMathematics(June1,1997)6.Allaire&Kaber:“NumericalLinearAlgebra”,TextsinAppliedMathematics(Book55),Springer;2008edition(December5,2007).7.Ciarlet:“IntroductiontoNumericalLinearAlgebraandOptimization”,CambridgeTextsinAppliedMathematics(Book4),CambridgeUniversityPress;1edition(August25,1989).Complementaria:Noaplica

Nombredelcurso

ANÁLISISNUMÉRICODEECUACIONESDERIVADASPARCIALES


Asignaturateóricapracticaqueentregalosfundamentosdelosmétodosnuméricosparaecuacionesdiferenciales.Eneldesarrollodelaasignaturaseestudiaránmétodosdeaproximacióndesolucionesdeproblemasdeltipoelíptico,parabólicoehiperbólico,ademásciertasecuacionesaestudiarcomputacionalmenteseránladelCalor,OndayPoisson.Losalgoritmosaimplementarsebasanenelmétododeelementosfinitosasícomodiferenciasfinitas,seestudiaranenparaleloalgunasvariantesdeestosmétodosytemasrelacionadosconelordendeaproximaciónyexactituddelaSolución.

Objetivos ObjetivogeneralElpropósitodeestecursoesproveeralosestudiantesunconocimientoyanálisisdemétodosyherramientaspararesolvercomputacionalmenteproblemasprovenientesdelaingenieríaylacienciasmodeladosporecuacionesdiferencialesparciales.Objetivosespecíficos1.Formularyanalizarproblemasdeecuacionesdiferencialeseningenieríayeconomía.2.Utilizarelmétododeelementosfinitosparalasolucióndeproblemasdeecuacionesdiferenciales.3.Manejodelateoríadeinterpolaciónpararealizarunestudioapropiadodelerrordeaproximacióndemanerateóricayalavezpráctica.4.Utilizarelmétododediferenciasfinitasparalasolucióndeproblemasdeecuacionesdiferenciales.5.Implementaralgoritmosparalaresolucióndeproblemasconcretos

Contenidos 1.Introducciónynocionesbásicas.Problemamodelo,revisiónespaciosdeSobolev,TeoríadeTrazas,inclusiones.2.ProblemasdeFronteraelípticos.Ejemplos(ProblemasdeDirichlet,NeumannyMixtos).Problemasvariacionalesabstractos,Existenciayunicidad,LemadeLax-Milgram.EstimacióndeCea.3.AproximaciónusandoElementosFinitos.Teoríadeaproximaciónabstracta:MétododeGalerkin.Aplicaciónaproblemas2D.Implementación.4.TeoríadeInterpolación.E.F.deLagrange(simplex–paralelepipédicos).ResultadosgeneralesdeaproximaciónenespaciosdeSobolev.LemadeBramble-Hilbert.5.Aproximacióndeproblemasdeautovalores.6.AproximaciónporelementosfinitosdeProblemasparabólicos,ecuacióndelcalor.esquemasdediferenciasfinitaseneltiempo.Estabilidad.métodosdeeuleryeltheta-métodos.7.AproximaciónporelementosfinitosdeProblemashiperbólicos.EcuacióndeOnda,esquemasNewmark.



• Trabajogrupal.

• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas






Bibliografía

Básica:Textosespecificadosporelprofesor.Complementaria:Noaplica

5. LíneadeTeoríadeNúmeros

Nombredelcurso

Aritmética


ElTeoremaFundamentalde laAritméticaafirmaque todoenteropositivo seescribedemanera única (salvo ordenaciones) como potencias de números primos. Másgeneralmente,siconsideramosKuncuerpodenúmeros(unaextensiónfinitadeQ)yZKsuanillodeenteros,resultanaturalpreguntarsesiestosanillostienenfactorizaciónúnica.LaTeoríaalgebraicadenúmerostratadelestudiodecuerposdenúmeros,susanillosdeenterosyunidades.UnimportantehechoquemotivóesteestudioprovienedeKummer,quien motivado por demostrar el último teorema de Fermat, introdujo el concepto de"números ideales", siendo éstos aquellos que se pueden factorizar como producto deidealesprimos.EsteconceptofuereemplazadoporlosidealesenZK.

Objetivos Comprenderelconceptodecuerposdenúmeros,susanillosdeenterosyunidades.

Contenidos • Cuerposdenúmeros,anillosdeenteros,discriminantedeuncuerpodenúmeros.• Anillo Noetherianos y Dominios de Dedekind, factorización única de ideales,

teoríaderamificación.• Finitud del grupo de clases de ideales: Geometría de números, Teorema de

Minkowski.• TeoremadelasunidadesdeDirichlet.• Valuaciones,cuerposp-ádicos.• FunciónzetadeDedekind,continuaciónanalítica,fórmuladelnúmerodeclases.

Metodología Clasesexpositivas.

Evaluación Dospruebasescritasyunexamenfinal

Bibliografía

Básica:1. S.Lang,AlgebraicNumberTheory,Springer(1994).2. D.Marcus,NumberFields,Universitext,Springer,(1995).3. R.MurtyandJ.Esmonde,ProblemsinAlgebraicNumberTheory,Springer-Verlag,

(2004).4. J.Neukirch,AlgebraicNumberTheory,Springer-Verlag,Berlin,(1999).5. P.Samuel,AlgebraicTheoryofNumbers,Dover(2008).

Complementaria:Noaplica

Nombredelcurso

TeoríaAnalíticadeNúmeros


Los métodos analíticos juegan un importante rol en teoría de números. En particular,estudiarelcomportamientoanalíticodelasseriesLhasidoclaveparaobtenerresultadosconrespectoa ladistribucióndenúmerosprimos(Teoremadelnúmeroprimo,Teoremadelaprogresiónaritmética).

Objetivos PresentarlosmétodosanalíticosapartirdelestudiodelasseriesL.

Contenidos • CaracteresdeDirichlet• SeriesLdeDirichlet:continuaciónanalítica,ecuaciónfuncional.• Noanulaciónens=1:teoremadelaprogresiónaritmética.• Teoremasdedensidad• FunciónzetadeDedekind:continuaciónanalítica,ecuaciónfuncional,fórmula

paraelnúmerodeclases.• FunciónzetadeRiemann.• TesisdeTate.• FuncionesLdeArtin.• FórmulasexplícitasdefuncionesLysusaplicaciones(sesgodeChebyschev,

TeoremadelNúmeroPrimo).

Metodología Clasesexpositivas

Evaluación Dospruebasescritas,unexamenfinal.

Bibliografía

Básica:

1. Davenport,H.MultiplicativeNumberTheory,Springer-Verlag,2000.2. NeukirchJ.,AlgebraicNumberTheory,Springer-Verlag,Berlin,1999.3. Serre,J-P.,ACourseinArithmetic,Springer-VerlagNewYork,1973.4. ProblemsinAnalyticNumberTheory(GraduateTextsinMathematics),Springer,

2007.5. D.RamakrishnanandR.Valenza,FourierAnalysisonNumberFileds,Springer,

1999.6. G.Tenenbaum,Introductiontoanalyticandprobabilisticnumbertheory,

CambridgeUniversityPress,1995.


6. LíneadeModelaciónEstadística

Nombredelcurso

ModelosLineales


El propósito de este curso es proveer de una introducción rigurosa a los aspectosbásicosdelateoríadeestimaciónlinealypruebasdehipótesis.Alolargodelcursosondesarrollados los pre-requisitos necesarios referentes a la distribución normalmultivariadaydistribucionesdeformascuadráticas.Elcursoseplanteacomounmarcounificador para la inferencia en modelos lineales con un mínimo de suposiciones,discutiendolaconexióndelametodologíapresentadacontécnicasmáximoverosímilessólo en ciertas circunstancias. Algunos tópicos adicionales en los que se realiza unénfasis especial son extensiones al contexto multivariado y a modelos con efectosmixtos

Objetivos Objetivogeneral

Estudiarlateoríadeestimaciónlinealypruebadehipótesis.

Objetivosespecíficos

- Estudiar los aspectos básicos de la teoría de estimación lineal y pruebas dehipótesis.

- Estudiar la distribución normal multivariada y distribuciones de formascuadráticas.

- Aplicacar técnicas de estimación de parámetros como estimación máximoverosímiles.

- Estudiaralgunostópicosadicionalesenlosqueserealizaunénfasisespecialsonextensionesalcontextomultivariadoyamodelosconefectosmixtos.

Contenidos 1.Introducción

1.1.Vectoresaleatoriosymatrices.

1.2.Distribuciónnormalmultivariada.

1.3.Distribucióndeformascuadráticas.

1.4.Modelolinealgeneral.

2.Estimaciónypruebasdehipótesis

2.1.Identificabilidadyestimabilidad.

2.2.Estimaciónmínimoscuadrados.

2.3.EstimacióninsesgadadevarianzamínimayteoremadeGauss-Markov.

2.4.Mínimoscuadradosgeneralizadosymáximaverosimilitud.

2.5.Clasificacionesone-wayytwo-way.

2.6.Hipótesislinealesgeneralesyregionesdecon_anza.

3.Tópicosenmodeloslineales

3.1.Modelolinealmultivariado.

3.2.Modelolinealconefectosmixtos.


Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestáncentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:





• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.

• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cualincluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.

Bibliografía

Básica:- Christensen, R. (2010). Plane Answers to Complex Questions: The Theory of LinearModels.Springer,NewYork.-Eaton,M.L.(2007).MultivariateStatistics:AVectorSpaceApproach.Lecture--NotesVol. 53. InstituteofMathematical Statistics, Beachwood,Ohio.Gro_, J. (2003). LinearRegression.Springer,NewYork.- Wichura, M.J. (2006). The Coordinate-free Approach to Linear Models. CambridgeUniversityPress,Cambridge.


Nombredelcurso

TeoríaEstadística


Estecursoproveedeunafundamentaciónmatemáticarigurosaparaelmaterialesencialde teoría estadística. Se adopta los enfoques de teoría de decisión e inferenciaestadística para introducir el tópico de estimación puntual. Se presenta una serie decriterios de optimalidad, tal como insesgamiento, equivarianza y admisibilidad. Serealiza un estudio detallado del problema general de test de hipótesis. A lo largo delcursosediscuteconparticular interés laaplicaciónde lametodologíapresentadaa lafamiliaexponencial.

Objetivos ObjetivogeneralEstudiarlateoríadeestimaciónypruebadehipótesis.Objetivosespecíficos

1. Comprender los fundamentosque sustentan la teoría deestimaciónpuntual,testdehipótesiseintervalosdeconfianza.

2. Integrar el conocimiento previo de inferencia estadística con la teoríadesarrolladaenestecurso.

3. Entenderlossupuestosylimitacionesdelosprocedimientosinferencialesysurelaciónconlateoríadedecisiones

Contenidos 1. Modeloestadístico,estimadores,familiasdedistribución.2. Insesgamiento,familiasnoparamétricas,desigualdadesdeinformación.3. Elprincipiodeequivarianzaenmodelos.4. Formulación del problema de decisión estadística, riesgo Bayesiano,

Estimadoresrobustos.5. Conjuntos de confianza, intervalos de confianza, Formulación general del

problemadetestdehipótesis.6. Convergenciadébilyfuertedeestimadores,teoremasdeSlutsky.7. Teoremascentraldellímite.Elmétododeltaytransformacionesestabilizadoras

devarianza




específicos.

• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.

• Otros.En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:



Bibliografía

Básica:-Keener,R.W.(2010).TheoreticalStatistics.Springer,NewYork.-Lehmann,E.L.,andCasella,G.(1998).TheoryofPointEstimation.Springer,NewYork.-Lehmann,E.L.,andRomano, J.P. (2005).TestingStatisticalHypotheses.Springer,NewYork.-Lehmann,E.L.(1999).ElementsofLarge-SampleTheory.Springer,NewYork.-Schervish,M.J.(1995).TheoryofStatistics.Springer,NewYork.-Serfling,R.J. (1980).ApproximationTheoremsofMathematical statistics.Wiley,NewYork.Complementaria:Noaplica

7. LíneadeControlyProblemasInversosdeEDP

Nombredelcurso

PROBLEMASINVERSOS


Asignatura que introduce los conceptos básicos de la teoría matemática de losproblemas inversos y conceptos relacionados. En el desarrollo de la asignatura seestudiarándistintostiposdeproblemasinversosymétodospararesolverlos.

Objetivos ObjetivogeneralIntroduciralalumnoentemasdeinvestigaciónrelacionadosconelestudiodelateoríamatemáticadelosproblemasinversos.Objetivosespecíficos

1. SefamiliarizaráconlasherramientasmatemáticasdelosespaciosdeSobolevylastransformacionesintegrales.

2. Conocerá la relación entre transformaciones integrales y problemas inversosdeobservacionesmúltiples.

3. Conocerá laspropiedadesmás importantesde laTransformadadeRadón,asícomométodosyfórmulasdeinversión.

4. Conocerá el planteamiento del problema de Calderón, así como distintosmétodosparaobtenerresultadosdeunicidadyestabilidad.

5. Identificaráyresolveráproblemasinversosrelacionadosconladeterminacióndecoeficientesyfuentesdeecuacionesenderivadasparciales.

Contenidos 1. Introducciónypreliminares.1.1. IntroducciónalosProblemasInversos.1.2. TransformacionesintegralesyespaciosdeSobolev.

2. TransformadadeRadon.

2.1Introducción:LaTomografíaComputarizada.2.2.Definicionesypropiedadesbásicas.2.3Unicidadyrango2.4Fórmulasdeinversión.

3. ProblemasdeCalderón.3.1Introducción:Elproblemadeimpedanciaeléctrica.3.2.EcuacionesElípticas.3.3.Unicidad.3.4Estabilidad.

4. ProblemasInversosdeobservaciónúnica.4.1Laecuacióndeondas.4.2MétododeBukhgeim-Klibanov.4.3DesigualdadesdeCarlemanglobales.


Metodología:

Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:







BibliografíaBásica:1.M.Salo.CalderónProblem(Lecturenotes,http://www.rni.helsinki.fi/~msa/teaching/calderon/calderon_lectures.pdf).

2.Helgason.TheRadontransform.BirkhäuserBoston,Inc.,Boston,MA,1999.3.F.Natterer.TheMathematicsofComputerizedTomography.SIAM,2001.4.G.Uhlmann.DevelopmentsininverseproblemssinceCalderón'sfoundationalpaper.ChicagoLecturesinMath.,Univ.ChicagoPress,Chicago,IL,1999.

Complementaria:

1. M.Bellassoued,M.Yamamoto.CarlemanEstimatesandApplicationstoInverseProblemsforHyperbolicSystems.Springer2017.

Nombredelcurso

CONTROLDEECUACIONESENDERIVADASPARCIALES(EDP)


Asignatura que introduce los conceptos básicos de teoría de control aplicados asistemas descritos por ecuaciones en derivas parciales lineales. En el desarrollo de laasignaturaestudiaremoslacontrolabilidadyestabilizacióndeestetipodesistemasysepresentarándiferentesmétodosderesolución.

Objetivos Objetivogeneral

Introducir las herramientas matemáticas y los métodos básicos que se utilizan en elestudiodelaTeoríadeControldeecuacionesenderivadasparciales.

Objetivosespecíficos

⋅ IdentificarycomprenderlosdistintostiposdeproblemasquesonestudiadosporlaTeoríadeControl.

⋅ Introducir las herramientas matemáticas utilizadas por diferentes métodos decontrol.

⋅ Aplicar los diferentes métodos de control para analizar problemas decontrolabilidad y estabilización para sistemas lineales descritos por ecuacionesenderivadasparciales.

Contenidos

1. Introducción.2. Conceptos preliminares: Control interno y control frontera; Tipos de

controlabilidad; Estabilidad y estabilización; Caracterización por dualidad delcontrolexacto,delcontrolaproximadoydelcontrolacero.

3. Control exacto de la ecuación de transporte: Método directo; Método pordualidad.

4. Controlabilidadexactade laecuacióndeondas:Métodode losmultiplicadores;MétododeFourieryDesigualdadesdeIngham.

5. Controlabilidad aproximada y a cero de la ecuación del calor: Principios decontinuaciónúnica;Métododemomentos;DesigualdadesdeCarlemanglobales.

6. EstabilizacióndeEDP:Estabilizaciónapartirdelaobservabilidadparalaecuacióndeondas;Métodode amortiguamientopara la ecuacióndeondas.Métododelocalización de polos para la ecuación del calor no estable; Método deBacksteppingparalasecuacionesdelcalorydeondas.



• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.

• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas






Bibliografía

Básica:

1. S.A.AvdoninandS.A.Ivanov,Familiesofexponentials.Themethodofmomentsin controllability problems for distributed parameter systems, Cambridge Univ.Press,1995.

2. J.-M.Coron,ControlandNonlinearity,AmericanMathematicalSociety,2007.

3. J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmesdistribués,Vol.1&2,Masson,RMA,Paris,1988.

4. S. Micu and E. Zuazua, An introduction to the controllability of linear PDE. InContrôle non linéaire et applications. Sari, T., ed., Collection Travaux en CoursHermann,2005.

5. V.KomornikandP.Loreti,FourierSeriesinControlTheory,SpringerVerlag,2004.

6. M. Krstic and A. Smyshlyaev, Boundary Control of PDEs: A Course onBacksteppingDesigns,SIAM,2008.

Complementaria:Noaplica.

8.LíneadeProcesosEstocásticos

Nombredelcurso

AnálisisEstocásticoI


Objetivos Contenidos

I.Introducción:ElementosbásicosdelaTeoríadeSistemasAbiertos.1.Dinámicasclásicascerradas,aperturaynecesidaddelasprobabilidades.2.Construccióndemedidasenproductosdeespaciosmedibles.3.Lanocióndeprocesoestocástico.II.LosobjetosbásicosdelAnálisisEstocástico1.Filtracionesytiemposdeparada2.Procesosestocásticosadaptados,previsibles.3.Procesosgaussianos.4.Espaciosgaussianos.Espaciosdenúcleoautorproductor.5.Descomposiciónencaos.III.ElementosdeTeoríadeMartingalas1.Martingalas(atiempodiscretoycontinuo)2.DesigualdadesdeDoob3.Resultadosdeconvergencia4.TeoremademuestreoopcionaldeDoob5.DescomposiciónDoob-Meyer6.Martingalasdecuadradointegrables7.MartingalaslocalesIV.MovimientoBrowniano1.ConstrucciónysimulacióndelmovimientoBrowniano(mB)2.PropiedadesdeMarkovyprincipiodereflexión3.FiltracionesBrownianas4.PropiedadesdelastrayectoriasdelmBV.Integraciónestocástica1.ConstruccióndelaintegralestocásticadeItôparaelmByparamartingalaslocalesdecuadradointegrable.2.FormuladeItôyaplicaciones.MartingalaExponencial.3.TeoremadeRepresentaciónPrevisible


Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actor

principaleselestudiante,comoporejemplo:







Bibliografía

Básica:1.KaratzasandShreve.BrownianMotionandStochasticCalculus.SpringerVerlagNewYork1988.2.ProtterP.E.-StochasticIntegrationandDifferentialEquations.Springer.3.P.Bald,L.MazliakandP.Priouret.MartingalesandMarkovChains.Chapma&Hall/CRC.4.Kuo,H.,IntroductiontoStochasticIntegration.Springer,2006.5.KussmaulA.U.StochasticIntegrationandGeneralizedMartingales.6. S.N. Ethier and T.G. Kurtz Markov Processes: Characterization and Convergence,

Wiley,2005.7.A.Friedman,StochasticDifferentialEquationsandApplications(Twovolumesinone),Broché,2007.8.N.IkedaandS.Watanabe,StochasticDifferentialEquationsandDiffusionProcesses,Broché,1988.9.B.Oksendal,StochasticDifferentialEquations:AnIntroductionwithApplications,Springer,2010.10. D.W. Stroock and S.R.S. Varadhan,Multidimensional Diffusion Processes, Broché,2014.Complementaria:Noaplica

Nombredelcurso

AnálisisEstocásticoII


Objetivos Contenidos

I.EcuacionesDiferencialesEstocásticas.1.SobrelosprocesosdedifusióndeItô.2.NocióndesoluciónfuerteaunaEDE,elproblemadelaexistenciayunicidadasociadoymétododeresolución.3.NocióndesolucióndébilaunaEDE,elproblemadelaexistenciayunicidadasociadoymétododeresolución (TransformacióndeGirsanov,métododecambiodetiempo).4.Aplicaciones:ElmodelodeOrnstein-Ulhenbeck,elpuentebrowniano.5.Tiemposlocales6.TeoremadeYamada-Watanabeyelenlaceentresolucióndébilysoluciónentrayectorias.7.ElproblemasdemartingalasdeStroock&Varadhan.8.Enlacesconecuacionesenderivadasparciales:ecuacióndeFokker-Planck,formuladeFeynman-Kacparaecuaciónenderivadasparcialesparabólicasoelíptica.9.FuncionesdeLyapunovII.SemigruposMarkovianos1.Semigruposdecontracciones,ElTeoremadeHille-Yosida.2.SemigruposMarkovianos,elcasodelasubclasedeFeller3.ProcesosMarkovianosdeSalto(evolucionesdebajafrecuencia)4.ProcesosysemigruposdeLévy.III.Topologíasdébilesdemedidas1.Lastopologíasdébilyestrechademedidasdeprobabilidad2.TeoremadeProkhorov3.Losespaciosmétricosdefuncionescontinuasycontinuasaladerecha,conlímitesalaizquierdaencadapuntodesudominio(cadlai).4.Criteriodecompacidadestrecha(contiemposdeparada)paraleyesdeprocesoscontrayectoriascadlai.5.Aplicacionesalaresolucióndeproblemasdemartingalas.



• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo.

• Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas






Bibliografía

Básica:1.KaratzasandShreve.BrownianMotionandStochasticCalculus.SpringerVerlagNewYork1988.2.ProtterP.E.-StochasticIntegrationandDifferentialEquations.Springer.3.P.Bald,L.MazliakandP.Priouret.MartingalesandMarkovChains.Chapma&Hall/CRC.4.Kuo,H.,IntroductiontoStochasticIntegration.Springer,2006.5.KussmaulA.U.StochasticIntegrationandGeneralizedMartingales.6. S.N. Ethier and T.G. Kurtz Markov Processes: Characterization and Convergence,Wiley,2005.7.A.Friedman,StochasticDifferentialEquationsandApplications(Twovolumesinone),Broché,2007.8.N.IkedaandS.Watanabe,StochasticDifferentialEquationsandDiffusionProcesses,Broché,1988.

9.B.Oksendal,StochasticDifferentialEquations:AnIntroductionwithApplications,Springer,2010.10. D.W. Stroock and S.R.S. Varadhan,Multidimensional Diffusion Processes, Broché,2014.Complementaria:Noaplica

B).SEMINARIOSDEINVESTIGACIÓN

Nombre delcurso

SeminariodeInvestigación(I,II,IIIyIV)


ElcursoSeminariodeInvestigación,promueveeldesarrollodehabilidadesdeordencientíficoodeinvestigaciónenlosestudiantes.Eldesarrollodesustemas,dependeráde la líneade Investigaciónde interésdelalumno,yse llevaráacabosegún laguíaproporcionadaporelprofesortutoroelprofesorqueimpartalaasignatura.Elcursosuponeunadedicacióndealmenos2horaspresencialesdondeelestudiantedará cuentade susaprendizajesa travésde laexposiciónde los temasestudiados,juntoconladedicacióndehorasdeestudioalosrespectivostemasabordadosenelcurso.

Objetivos Alaprobarlaasignatura,elestudiantedebesercapazdecomprenderlosdistintosfundamentosasociadosaloscontenidosdelcursoydesarrollarsushabilidadesdeInvestigación.

Contenidos Loscontenidosdependerándelalíneadeinvestigacióndeinterésdelestudiante.Estosseránasignadossegúnlaplanificacióncurriculardecadaalumno.


MetodologíaLadinámicadelcursoestarácentradaenlaexposiciónsistemáticadelostemasporparte del alumno (clases presenciales) en donde este mostrará sus respectivosavances.Seráelprofesorquienviertasobreestasexposiciones laretroalimentaciónadecuadaquelepermitaevidenciarsusrespectivosaprendizajes

Ademássereforzaráen:

a) ladiscusióndelosresultadosteóricos,suinterpretaciónyejemplosb) laresolucióndeproblemas.

Evaluación

LaformadeevaluarlaasignaturadependeráabsolutamentedelcriteriodelProfesoryserásegúnlasexposicionesdelestudiante.

Bibliografía

Básica:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaeltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalineadetrabajodelestudiante.

Recomendada:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaeltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalineadetrabajodelestudiante.

C).PROYECTODETESIS

Nombre delcurso

ProyectodeTesis


Consisteenlarealizacióndelestudiodelestadodelartedeunaproblemáticapropiadentro de la línea de investigación escogida por el estudiante. El proyecto de tesisdebe contener los aspectos fundamentales que serán desarrollados en la tesisdoctoralyseráunaasignaturacursadaenparaleloalosSeminariosdeInvestigación.Ladefensadel proyectode tesis debe ser presentada amás tardar el quinto semestredel programa ante una comisión ad---hoc designada por el ComitéAcadémicodelprograma.Unavezaprobadoelproyectodetesis,el estudianteadquierelacategoríadecandidatoadoctor.

Objetivos Al aprobar la asignatura, el estudiante deberá dar cuenta de la formulación de unproyectodetesisdoctoral,elcualdebeestardirectamenterelacionadoconeltrabajode tesis a desarrollar. Estará fundamentado a partir de referencias bibliográficas,paperuotrostrabajosdeinvestigaciónasociadosaltemaencuestión.

Contenidos Elproyectodetesisdeberáadscribirseaalgunadelaslíneasdeinvestigaciónvigentesen el Programa, luego los contenidos dependerán de dicha línea de investigación.Estosseránasignadossegúnlaplanificacióncurriculardecadaalumno.


MetodologíaLadinámicadelcursoestarácentradaenlaexposiciónsistemáticadelostemasporparte del alumno (clases presenciales) en donde este mostrará sus respectivosavances.Seráelprofesorquienviertasobreestasexposiciones laretroalimentaciónadecuadaquelepermitaevidenciarsusrespectivosaprendizajes

Ademássereforzaráen:

a) ladiscusióndelosresultadosteóricos,suinterpretaciónyejemplos,b) factibilidaddelproyectodetesis.

Evaluación:EvaluacióndelmanuscritodelProyectodeTesis(100%)

Bibliografía

Básica:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaaltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.

Recomendada:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaaltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.

D).TESIS

Nombre delcurso

Tesis


Esta asignatura tiene comopropósito que el estudiante elabore suTesis Doctoral,que consiste en un trabajo de investigación individual y original, que permita darorigen,a lomenos,aunapublicaciónenalgunarevistadecorrienteprincipalyquesea una contribución en el área de lamatemática. La actividad de desarrollo de laTesisDoctoralcomienzaunavezaprobadoelproyectodetesisyseextiendeentreelcuartoyeloctavosemestredelprograma.

Objetivos Al aprobar la asignatura, el estudiante debe presentar una tesis doctoral la cualevidencieuntrabajodeinvestigaciónindividualyoriginalenelámbitodealgunadelaslíneasdeinvestigaciónimplementadasporelPrograma.

Contenidos Los contenidos dependerán de la línea de investigación de interés del estudiante,serán asignados según la planificación curricular de cada alumno en vista de lospresentadoenelProyectodeTesis.


MetodologíaEn esta asignatura, la metodología consistirá en la discusión periódica entre elalumno y su respectivo Director de Tesis. Dicha discusión, estará basada en losdiferentestrabajosrelacionadosaltemadelatesis,elavancerespectoalProyectodeTesis, estudio de trabajos presentados en revistas indexadas, contraste conresultadosanteriores,trabajosexperimentales,entreotrosaspectos.

EvaluaciónLaevaluacióndelaasignaturaconcluiráconlarevisióndelmanuscritodelatesisyconelexamendegrado.

Bibliografía

Básica:SeráasignadaporelDirectordeTesisyestarárelacionadaaltemadeinvestigación,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.

Recomendada:SeráasignadaporelDirectordeTesisyestarárelacionadaaltemadeinvestigación,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.

Documents

Consorcio de Doctorado en Matemática, Valparaíso - A ......3. Manejar algunas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales No-lineales. 4. Establecer resultados de existencia