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CONSTITUCIÓN DE FONDOS
ING OSCAR REVILLA
E. S. O. A. C.
CPGE
DEFINICIONES BÁSICAS Fondo: Es la cantidad de dinero que se acumula con pagos periódicos devengando intereses para lograr un monto acumulado, previamente preestablecido generalmente.
Algunas de las ventajas de constituir fondos son:
Al pagar de contado puede conseguirse un descuento considerable.
Se elude el pago de altos intereses y cargos por comprar a crédito, aunque en la actualidad muchos comerciantes ofrecen sus artículos a crédito y supuestamente sin intereses, aunque lo más importante es que el deudor se acostumbra y adquiere el hábito del ahorro.
La mayoría de las personas liquida sus obligaciones más fácilmente con abonos parciales que con un pago único al hacer la compra.
CLASIFICACIÓN
El tipo de fondo a constituir depende de la RENTA que
se depositará, la cual puede ser:
Tipo de Renta
Fija
Variable
Aritmética
Geométrica
Variable Unitaria
Variable por Grupo
FONDO DE RENTA FIJA
En esta clase de fondos se utiliza la ecuación para el
monto de las anualidades anticipadas.
EJEMPLO.
¿Cuánto debe depositar cada trimestre el ingeniero
Carlos Ignacio en un fondo de reposición de maquinaria
de construcción pesada para acumular US$950,000 en
2.75 años? Suponga que se ganan intereses del 9.2%
anual capitalizable por trimestres, y obtenga los
intereses..
La incógnita es R, que se obtiene al sustituir en la ecuación los
valores dados.
de donde
R = 950,000/12.64063038
o R = US $75,154.48
b) Los intereses son la diferencia entre el monto y las 11 rentas
I = 950,000 – 11(75,154.48)
o I = US$123,300.72
FONDO DE RENTA FIJA
EJERCICIOS
1. Un empresario consigue un crédito de $1,665, que pagará al final de
2 años con intereses a una tasa del 12.6% nominal bimestral.
Simultáneamente constituye un fondo de amortización en un banco
que le reditúa el 9% de interés capitalizable por meses. Obtenga la
renta mensual y los intereses del fondo.
2. La señora Aguilar pone a disposición de una casa de empeño un
televisor, por el que le prestan $1,500, incluyendo los intereses de 6
meses de plazo, ¿cuánto deberá depositar cada quincena en un
fondo que le genera intereses a una tasa del 11.04% compuesto por
quincenas durante los 6 meses?
3. Con una duración de 22 meses, hoy se inician las obras de una línea
de tren ligero en la ciudad. Para comprar los carros se crea, también
hoy, un fondo de reservas cuyos depósitos mensuales son de
US$115,000 cada uno, a una tasa de interés del 11.28% nominal
mensual. ¿Cuánto se acumula en los 22 meses?
FONDO DE RENTA FIJA
FONDO DE RENTA VARIABLE
Estos fondos son más usuales cuando los índices
inflacionarios son considerablemente altos, ya que la
variación en las rentas se mantiene al ritmo de
crecimiento o decrecimiento, del valor del dinero con
el paso del tiempo.
De manera similar a las amortizaciones, las rentas
varían aritméticamente, con una diferencia común o
varían geométricamente, con una razón constante,
aunque también es posible que varíen una por una o
por grupos.
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
El monto M del fondo constituido con np pagos anticipados
que varían con una diferencia común d está dado por
además:
R1 es el primer depósito en el fondo, i es la tasa de interés
anual capitalizable en p periodos por año y n es el plazo en
años.
Observación:
Si las rentas son vencidas, este monto se anticipa un
periodo dividiéndolo entre (1 + i/p), es decir, que
siendo así el monto será simplemente como:
M = A + B
La fórmula para A en este teorema es semejante a la
que se utiliza para hallar el valor acumulado de las
anualidades ordinarias como si R1 fuera la renta fija.
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
EJEMPLO:
La compañía Cerámicas del Noreste prevé la necesidad de renovar parte de su equipo de producción en un plazo de 1.5 años, con un estimado de 1.75 millones de pesos para esas fechas.
a) Obtenga los primeros 3 y el último de los 18 depósitos mensuales en un fondo, que reditúa con intereses a una tasa del 19.2% compuesto por meses, considerando que crecen con una diferencia común igual al 25% del primer pago.
b) Calcule también los intereses.
c) Elabore el cuadro del fondo en sus primeros tres renglones y el último.
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
SOLUCIÓN:
a) Los valores para reemplazar en las ecuaciones del último teorema
son:
M = 1.75 millones, p = 12, n = 1.5 años, np = 18
e i/p = 0.192/12 = 0.016
La diferencia común es el 25% de la primera renta, por eso d = 0.25 R1
de donde R1 = d/0.25 o R1 = 4d. Entonces,
𝐴 = 4𝑑 (1.016)18−1
0.016
A = 4d(20.67001131) o A = 82.68004524(d)
𝐵 = 𝑑(1.016)18−1 − (18)(0.016)
(0.016)2
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
B = d(166.8757071) y al sustituir queda
1.75 = (1.016)[82.68004524(d) + 166.8757071(d)]
1.75 = (1.016)[(249.5557523(d)]
1.75 = 253.5486443(d)
de donde d = 1.75/253.5486443
d = 0.006902029 millones o d = $6,902.03
El primer depósito en el fondo es, por lo tanto,
R1= 4d = $27,608.11
Para el segundo y los siguientes se suma sucesivamente la diferencia,
en tanto que para el último se suma 17 veces la misma diferencia.
R2 = 27,608.11 + 6,902.03 = $34,510.14
R3 = 34,510.14 + 6,902.03 = $41,412.17 y
. . . . . . .
R18 = 27,608.11 + 17(6,902.03) = $144,942.62
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
b) Los intereses son la diferencia entre el monto acumulado y el capital
que se invierte con las 18 rentas. Este capital constituye una serie
aritmética; por lo tanto, la suma es:
Sn = (18/2)(27 608,11 + 144 942,62), ya que Sn = (n/2)(a1 + an)
Sn = $1 552 956,57
Entonces, los intereses son:
I = 1 750 000 – 1 552 956,57
I = $197 043,43
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
c) Los primeros renglones del cuadro del fondo son los siguientes. Se
inicia anotando las primeras rentas en la segunda columna.
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
EJERCICIOS
a) Haga el cuadro del fondo constituido con 8 rentas mensuales que
crecen aritméticamente, la primera es de $3,500, el monto equivale
a $60,000 y los intereses se devengan a una tasa anual compuesta
por meses del 8.4%.
b) La compañía Consorcio de Edificadores constituye un fondo de
reservas para maquinaria que crece en forma aritmética durante 5
años. ¿De cuánto son las rentas bimestrales si el monto que se
pretende es de US$750,000, siendo la primera de ellas de
US$10,000, y se gana una tasa del 17.46% de interés anual
capitalizable por bimestres? ¿Cuánto se gana por concepto de
intereses?
c) ¿Cuánto acumula en 6 meses una ama de casa en un fondo de
ahorro con depósitos semanales que crecen $7.50, el primero es de
$150 y se ganan intereses a una tasa del 9 .03% compuesto por
semanas?
FONDO DE RENTA VARIABLE ARITMÉTICA
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
El monto acumulado M en un fondo con depósitos
anticipados que crecen geométricamente es:
donde R1 es el primer depósito, f es la tasa con la que
crecen los depósitos, es decir, es el gradiente
geométrico, n es el plazo en años, p la frecuencia de
conversión y de pagos e i es la tasa de interés anual
capitalizable en p periodos por año.
EJEMPLO:
Para el mantenimiento de un tramo de carretera de
cuota que hoy se pone en servicio, la entidad
gubernamental encargada constituye un fondo de
reservas bimestrales que crecen 4%. ¿De cuánto
deberán ser las primeras 3 para acumular 90 millones
de pesos en 3 años y 4 meses, si se ganan intereses a
una tasa del 15% compuesto por bimestres?
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
SOLUCIÓN:
Los datos a utilizar para la ecuación es:
El monto M = 90 millones de pesos.
La tasa de interés i = 0.15, compuesto por bimestres.
La frecuencia de conversión y de pagos, p = 6.
El plazo en años es n = 20/6 o 20 bimestres.
La razón con la que crecen los pagos es f = 0.04.
Además, i/p = 0.025, np = 20 y 1 + f = 1.04.
Entonces
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
de donde
90 = R1(1.025)(36.8337802)
R1 = 90/(1.025)(36.83337802) o R1 = 2.383813922 millones
Es decir que la primera reserva es
R1 = $2’383,813.92
La segunda es un 4% más grande
R2 = 2’383,813.92(1.04) o R2 = $2’479,166.48
y la tercera es:
R3 = 2’479,166.48(1.04) o R3 = $2’578,333,14
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
La tabla de
constitución
de fondo
queda
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
EJEMPLO CÁLCULO DEL PLAZO.
¿En cuánto tiempo acumula $10,000 un empleado que constituye un fondo de ahorro con intereses a una tasa del 20.4% compuesto por quincenas, pagos quincenales que crecen un 2% y el primero es por $550?
SOLUCIÓN.
En la ecuación usaremos:
Rl = $550, el primer pago en el fondo
M = $10,000, el monto acumulado
p = 24, porque son rentas quincenales
i = 0.204 de donde i/p = 0.204/24 = 0.0085 la tasa quincenal compuesta por quincenas
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
La incógnita es x = np, el número de rentas.
Entonces,
de donde (1.02)x – (1.0085)x = 0.207328616
o bien (1.02)x − (1.0085)x = 0.20732816
Problemas similares hemos resuelto con la fórmula de interpolación, usando valores para x de 14 y 16 tenemos factores de 0.193675156 y 0.2277629097, respectivamente;
Interpolando tenemos un valor para x de 14.8, por lo que se ajusta x=15 y el monto para que quede como sigue:
M = 550(87.69565217)[(1.02)15 – (1.0085)15]
M = 550(87.69565217)(0.210495401) o M = $10,152.74
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
La tabla de constitución de fondo queda como sigue:
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
EJERCICIOS
a) ¿Cuánto acumula el ingeniero Pérez durante 6 meses en un fondo
vacacional con depósitos quincenales que crecen 3%, siendo el
primero de $3,500, y ganando intereses a una tasa del 13.2% anual
compuesto por quincenas?
b) La Lotería Nacional constituye un fondo de ayuda con depósitos
bimestrales que crecen un 5%, siendo el primero de $25,000, y
devengan intereses a una tasa del 18.6% compuesto por bimestres.
¿Cuánto acumula en 3 años? ¿Cuánto gana por intereses?
c) Para ampliar su planta de producción al cabo de 3 años, la
Troqueladora del Norte crea un fondo con reservas mensuales que
crecen 3%, la primera mensualidad es por $50,000 y los intereses
se devengan a una tasa del 19.8% nominal mensual. ¿Cuánto
acumula en los 3 años? ¿Cuánto tiene en el fondo 2 años después
de que comenzó?
FONDO DE RENTA VARIABLE GEOMÉTRICA
