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Construcción del diagrama de fasesUn diagrama ternario, es un diagrama en tres variables que suman una constante. Representa gráficamente los valores de tres variables como las posiciones en un triángulo equilátero, y se utiliza en química para mostrar la composición de sistemas o soluciones compuestas de tres especies.
En un diagrama ternario, la suma de las proporciones de las variables a, b y c es igual a una constante K, que se suele representar como 1,0 o 100%. Como aunque hay tres variables hay una que depende de las otras (por ejemplo, se puede representar c como K-a-b), sólo se requiere de dos coordenadas para encontrar el punto correspondiente a una muestra, es decir, se pueden representar las tres variables en un gráfico bidimensional.
Ya teniendo los datos obtenidos por el algoritmo de Rachford y Rice, se procede con los datos obtenidos en Excel a ubicarlos en un diagrama ternario, para esto se requieren varios pasos:
1. Construcción del marco exterior.2. Construcción de la cuadricula interna.3. Construcción de las líneas de atadura.4. Construcción de la envolvente.
El marco es la parte exterior del diagrama ternario, un ejemplo de un marco se puede observar en la siguiente imagen:
Figura. .. Parte externa de un diagrama ternario
La cuadricula es la parte del diagrama que nos ayudará a ubicar con mayor facilidad cada uno de los puntos, que demarcan un composición propia,
Figura. .. Cuadricula del diagrama ternario
En la siguiente imagen se explica cómo se lee el diagrama ternario de fases, para el componente que se encuentra en composición igual a 0 o 0% en la base y a composición igual 1 o 100% en fracción molar o másica o volumétrica en la punta.
.
Figura. .. Ejemplo de lectura del diagrama de fases.
Se sabe que si se leen dos coordenadas la otra queda especificada, entonces para el componente que se encuentra en la base del triangulo se explica cómo es la lectura del diagrama.
Figura. .. Ejemplo de lectura del diagrama de fases.
Por último para leer a cabalidad el diagrama, se necesita la composición de la sustancia que se encuentra sobre la diagonal izquierda:
Figura. .. Ejemplo de lectura del diagrama de fases.
Ejemplo:
Se requiere ubicar la composición del ejemplo anterior de Arcilla 80%, materia organica 10% y arena 10%.
Figura. .. Ejemplo de colocación de un punto en el diagrama ternario.
Las líneas de atadura se dan como origen de dos puntos de composición en la fase alfa y en la fase beta. Por ejemplo para el sistema ternario de Tolueno, Acido Acético, Agua, modelado con UNIFAC, en Aspen Plus, cada una de las líneas de atadura, salen como resultado de unir el punto de composición en el liquido 1 (fase alfa), con el punto de composición del liquido 2 (Fase beta).
En la siguiente tabla se muestran los valores de composición en la fase alfa y beta para el sistema anteriormente nombrado.
Numero de línea de atadura
Fracción molarFase alfa Fase alfa Fase alfa Fase beta Fase beta Fase betaTolueno Acido acético Agua Tolueno Acido acético Agua
1 8,31E-05 0 0,9999169 0,9983478 0 0,001652182 0,00017961 0,0372623 0,9625581 0,9795913 0,0179475 0,00246113 0,00036841 0,0764056 0,923226 0,9621525 0,0345091 0,003338284 0,00071786 0,1171976 0,8820846 0,945789 0,0499443 0,004266685 0,0013301 0,1592843 0,8393856 0,9301452 0,0646093 0,005245516 0,00234867 0,2022547 0,7953967 0,9148052 0,0789063 0,00628857 0,00396684 0,2456945 0,7503387 0,8993403 0,0932389 0,007420748 0,00643891 0,2892132 0,7043479 0,8833364 0,1079874 0,008676239 0,0100979 0,33244 0,6574621 0,8663984 0,1235041 0,0100975
10 0,8481376 0,1401249 0,0117374 0,0153843 0,3749978 0,609617811 0,8281455 0,1581906 0,0136639 0,0228929 0,4164587 0,560648312 0,8059519 0,1780797 0,0159683 0,0334517 0,456274 0,510274313 0,7809524 0,2002654 0,0187822 0,0482578 0,4936613 0,4580808
Materia Orgánica
ArenaArcilla
14 0,7522638 0,2254244 0,0223117 0,0691321 0,5273963 0,403471515 0,718384 0,2546937 0,0269222 0,0990355 0,5553875 0,345576916 0,6762302 0,2903805 0,0333893 0,143312 0,5736667 0,283021317 0,6173967 0,3386472 0,0439561 0,2138145 0,573208 0,212977518 0,4866185 0,437579 0,0758025 0,3708743 0,511114 0,1180117
Tabla No. .. Valores del equilibrio L-L obtenidos por el simulador comercial Aspen Plus.
Los puntos que se unen, son el punto de composición en la fase alfa y el punto de composición en la fase beta. Por ejemplo para la línea de atadura numero 18, la composición en la fase alfa está marcada en rojo en la tabla anterior, y está encerrada en un círculo rojo en el siguiente diagrama de fases; Para la composición en la fase beta, está marcada con vinotinto en la tabla anterior y está encerrada en naranja en el diagrama de fases, al unir estos dos puntos se obtiene la línea de atadura numero 18.
Figura. .. Diagrama de fases de tolueno, acido acético y agua, obtenido en Aspen Plus.
Cada una de las composiciones en la fase alfa y la fase beta, dan como resultado una línea de atadura.
Ternary map for C7H8/C2H4O-01/H2O
Molefrac C7H8
Mol
efra
c H
2OM
olefrac C2H
4O-01
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.95
0.90.85
0.80.75
0.70.65
0.60.55
0.50.45
0.40.35
0.30.25
0.20.15
0.10.05
La binodal, o también conocida como la curva de coexistencia, denota la condición en que distintas fases coexisten, en el caso del diagrama L-L para Tolueno, acido acético agua de bajo de la binodal coexisten dos fases, por encima de esta, coexiste una sola fase, esta se construye uniendo todos los puntos de las líneas de atadura. Como se puede ver en la figura .. .
Construcción del marco exterior:
Para el triangulo exterior que contiene el diagrama de fases es necesario saber que la altura es 1, entonces si cada uno de los lados mide una longitud L como se muestra en el siguiente grafico, la longitud de L se puede saber por el teorema de Pitágoras.
Figura. .. Diagrama de fases exterior.
Planteando el teorema de Pitágoras:
12+( L2 )2
=L2
Ec. .. Teorema de Pitágoras.
Resolviendo para L, da:
L=2√33
Ec. .. Resultado de haber aplicado el teorema de Pitágoras
Xa Xb
Xc
L
H=1
L/2
Con esto ya se saben las coordenadas rectangulares para el triangulo exterior del diagrama de fases.
Contruir diagrama ternarioPara el triangulo
X Y Origen 0 0Extremo derecho 1,15470054 0Punta 0,57735027 1
Con estas coordenadas se crea el triangulo exterior del diagrama de fases en Excel.
Construcción de la cuadricula interna.
Para la construcción de la cuadricula interna es necesario entender un poco de cómo transformar las coordenadas triangulares en coordenadas rectangulares, que son con las que trabaja Excel.
Se sabe que la composición en C, aumenta de manera vertical y no diagonal por lo cual, la composición en C, o “XC”, va a ser nuestra misma coordenada en Y.
X c=Y Ec. .. Transformación de coordenada en el eje Y.
En el otro caso y para el eje X, las cosas son diferentes ya que ninguna coordenada rectangular avanza de manera horizontal, más bien avanzan de manera diagonal, por lo cual es necesario trazar una paralela al lado izquierdo del triangulo, por el punto al cual deseamos transformar para que nos dé una coordenada en X.
Figura. .. Diagrama paratransformar coordenadas
Como se puede observar se forman 2 triángulos los cuales tienen, el primero una hipotenusa igual a X1, y el segundo un cateto igual a X2, por lo que se puede inferir que el punto en X, será igual a X1 + X2.
Sabiendo que como son rectas paralelas el Angulo θ, es el mismo entonces se contruyen las propiedades trigonométricas de estos triángulos para hallar X1 y X2, y por ende X total.
Para X1:
tan (60 )=XcX1
Entonces:
X1=Xc
tan(60)
Ec. .. y .. Para obtener X1, por propiedades trigonométricas.
Para X2:
Sen (60 )=XbX2
Entonces:
X2=Xb
Sen(60)
Ec. .. y .. Para obtener X2, por propiedades trigonométricas.
Ya sabiendo esto podemos concluir que X total es:
X=X b
Sen(60)+
Xctan(60)
Ec. .. Para obtener X total a partir de coordenadas triangulares.
Ya sabiendo esto podemos explicar cómo se hicieron las cuadriculas internas.
Las cuadriculas internas se hacen uniendo concentraciones en diferentes puntos, es necesario hacer 3 clases de cuadriculas para que la interpretación del diagrama sea lo más exacta posible, como primera medida se tienen que hacer las horizontales uniendo puntos de concentraciones diferentes, entonces por ejemplo se necesita unir el punto Xa=0.05, Xb=0, Xc=0.95, con el punto Xa=0, Xb=0.05, Xc=0.95, de este modo se crea la primera línea o cuadricula, pero para esto es necesario transformar las coordenadas, las cuales se transforman de la siguiente manera.
Para el primer punto, Xc=Y, entonces la altura es 0.95, es la coordenada en el ejer Y y para el eje X, se transforman como sigue:
X= 0Sen(60)
+ 0.95tan(60)
=0,548482756
Ec. .. para pasar las coordenadas de un punto de triangulares a rectangulares
Ya teniendo esta coordenada se requiere hallar la otra coordenada a composición de Xa=0, Xb=0.05, Xc=0.95, para lo cual Y, sigue siendo 0.95, ya que solo depende de Xc, y X es igual a:
X= 0.05Sen(60)
+ 0.95tan(60)
=0,606217783
Ec. .. para pasar las coordenadas de un punto de triangulares a rectangulares
Uniendo estos dos puntos en Excel se obtiene la primera línea de cuadricula, y se puede ver en la siguiente imagen.
Imagen. .. Primera línea horizontal de división para poder optimizar lectura del diagrama de fases.
Se crea una tabla con cada uno de los puntos en Excel y se opera para obtener las transformaciones adecuadas para hacer cada uno de las 19 líneas de la cuadricula horizontal y se obtiene lo siguiente:
Tabla para cuadricula 1Xa Xb Xc x y Xa Xb Xc x y
0,05 0 0,950,5484827
6 0,95 0 0,05 0,95 0,60621778 0,95
0,1 0 0,90,5196152
4 0,9 0 0,1 0,9 0,6350853 0,9
0,15 0 0,850,4907477
3 0,85 0 0,15 0,85 0,66395281 0,85
0,2 0 0,80,4618802
2 0,8 0 0,2 0,8 0,69282032 0,80,25 0 0,75 0,4330127 0,75 0 0,25 0,75 0,72168784 0,75
0,3 0 0,70,4041451
9 0,7 0 0,3 0,7 0,75055535 0,7
0,35 0 0,650,3752776
7 0,65 0 0,35 0,65 0,77942286 0,65
0,4 0 0,60,3464101
6 0,6 0 0,4 0,6 0,80829038 0,6
0,45 0 0,550,3175426
5 0,55 0 0,45 0,55 0,83715789 0,55
0,5 0 0,50,2886751
3 0,5 0 0,5 0,5 0,8660254 0,5
0,55 0 0,450,2598076
2 0,45 0 0,55 0,45 0,89489292 0,45
0,6 0 0,40,2309401
1 0,4 0 0,6 0,4 0,92376043 0,4
0,65 0 0,350,2020725
9 0,35 0 0,65 0,35 0,95262794 0,35
0,7 0 0,30,1732050
8 0,3 0 0,7 0,3 0,98149546 0,3
0,75 0 0,250,1443375
7 0,25 0 0,75 0,25 1,01036297 0,25
0,8 0 0,20,1154700
5 0,2 0 0,8 0,2 1,03923048 0,2
0,85 0 0,150,0866025
4 0,15 0 0,85 0,15 1,068098 0,15
0,9 0 0,10,0577350
3 0,1 0 0,9 0,1 1,09696551 0,1
0,95 0 0,050,0288675
1 0,05 0 0,95 0,05 1,12583302 0,05Tabla. .. Tabla que muestra las transformaciones de coordenadas para la cuadricula 1.
Para cada cuadricula se crean coordenadas de la mismo forma y se transforman las coordenadas del modo que muestran en las tablas siguientes.
Tabla para cuadricula 2xa xb xc x y xa xb xc x y0 0,05 0,95 0,60621778 0,95 0,95 0,1 0 0,05773503 00 0,1 0,9 0,6350853 0,9 0,9 0,1 0 0,11547005 0
0 0,15 0,85 0,66395281 0,85 0,85 0,2 0 0,17320508 00 0,2 0,8 0,69282032 0,8 0,8 0,2 0 0,23094011 00 0,25 0,75 0,72168784 0,75 0,75 0,3 0 0,28867513 00 0,3 0,7 0,75055535 0,7 0,7 0,3 0 0,34641016 00 0,35 0,65 0,77942286 0,65 0,65 0,4 0 0,40414519 00 0,4 0,6 0,80829038 0,6 0,6 0,4 0 0,46188022 00 0,45 0,55 0,83715789 0,55 0,55 0,5 0 0,51961524 00 0,5 0,5 0,8660254 0,5 0,5 0,5 0 0,57735027 00 0,55 0,45 0,89489292 0,45 0,45 0,6 0 0,6350853 00 0,6 0,4 0,92376043 0,4 0,4 0,6 0 0,69282032 00 0,65 0,35 0,95262794 0,35 0,35 0,7 0 0,75055535 00 0,7 0,3 0,98149546 0,3 0,3 0,7 0 0,80829038 00 0,75 0,25 1,01036297 0,25 0,25 0,8 0 0,8660254 00 0,8 0,2 1,03923048 0,2 0,2 0,8 0 0,92376043 00 0,85 0,15 1,068098 0,15 0,15 0,9 0 0,98149546 00 0,9 0,1 1,09696551 0,1 0,1 0,9 0 1,03923048 00 0,95 0,05 1,12583302 0,05 0,05 1 0 1,09696551 0
Tabla. .. Tabla que muestra las transformaciones de coordenadas para la cuadricula 2.
Tabla para cuadricula 3xa xb xc x y xa xb xc x y0 0 0,95 0,54848276 0,95 0,05 1 0 1,09696551 00 0 0,9 0,51961524 0,9 0,1 0,9 0 1,03923048 00 0 0,85 0,49074773 0,85 0,15 0,9 0 0,98149546 00 0 0,8 0,46188022 0,8 0,2 0,8 0 0,92376043 00 0 0,75 0,4330127 0,75 0,25 0,8 0 0,8660254 00 0 0,7 0,40414519 0,7 0,3 0,7 0 0,80829038 00 0 0,65 0,37527767 0,65 0,35 0,7 0 0,75055535 00 0 0,6 0,34641016 0,6 0,4 0,6 0 0,69282032 00 0 0,55 0,31754265 0,55 0,45 0,6 0 0,6350853 01 0 0,5 0,28867513 0,5 0,5 0,5 0 0,57735027 01 0 0,45 0,25980762 0,45 0,55 0,5 0 0,51961524 01 0 0,4 0,23094011 0,4 0,6 0,4 0 0,46188022 01 0 0,35 0,20207259 0,35 0,65 0,4 0 0,40414519 01 0 0,3 0,17320508 0,3 0,7 0,3 0 0,34641016 01 0 0,25 0,14433757 0,25 0,75 0,3 0 0,28867513 01 0 0,2 0,11547005 0,2 0,8 0,2 0 0,23094011 01 0 0,15 0,08660254 0,15 0,85 0,2 0 0,17320508 01 0 0,1 0,05773503 0,1 0,9 0,1 0 0,11547005 01 0 0,05 0,02886751 0,05 0,95 0,1 0 0,05773503 0
Tabla. .. Tabla que muestra las transformaciones de coordenadas para la cuadricula 3.
Teniendo esto se traza la cuadricula en Excel uniendo cada uno de los puntos y queda como se observa en la figura .. Que muestra la cuadricula de un diagrama ternario.
Construcción de las líneas de atadura.
Como ya se había explicado antes cada línea de atadura se da como resultado de unir a diferentes composiciones iníciales, las composiciones de dos fases que dan como resultado una línea recta. En la siguientes 2 hojas se muéstrala tabla que contiene cada una de las 18 líneas de atadura que se hicieron para obtener el diagrama de fases de nuestro equilibrio líquido-líquido, esta tabla contiene el numero de la línea de atadura, la composición de entrada al Flash (Z), las transformaciones de coordenadas triangulares a rectangulares de las composiciones de Z, las composiciones de salida de la fase alfa y beta, las transformaciones de coordenadas triangulares a rectangulares de las composiciones de la fase alfa y beta, y la fracción de la fase alfa en el total de la mezcla ψ.
Numero de línea de atadura
Z Grafica Xα Grafica
Z1 Z2 Z3 x y Xα1 Xα2 Xα3 x y
1 0,49965 0,0007 0,49965 0,57735027 0,0007 1,2443E-05 0,00106269 0,99892487 0,00062791 0,00106269
2 0,465 0,07 0,465 0,57735027 0,07 0,00022237 0,10927902 0,89049861 0,06334904 0,10927902
3 0,43 0,14 0,43 0,57735027 0,14 0,00132916 0,21853942 0,78013142 0,12770858 0,21853942
4 0,395 0,21 0,395 0,57735027 0,21 0,00447874 0,32060628 0,67491499 0,19027372 0,32060628
5 0,36 0,28 0,36 0,57735027 0,28 0,01081449 0,41200313 0,57718238 0,25035762 0,41200313
6 0,325 0,35 0,325 0,57735027 0,35 0,02120796 0,49141784 0,4873742 0,30820906 0,49141784
7 0,29 0,42 0,29 0,57735027 0,42 0,03620992 0,55842933 0,40536074 0,36422094 0,55842933
8 0,255 0,49 0,255 0,57735027 0,49 0,05607525 0,61300424 0,33092051 0,41866828 0,61300424
9 0,22 0,56 0,22 0,57735027 0,56 0,08080862 0,65533414 0,26385724 0,4716671 0,65533414
10 0,2 0,6 0,2 0,57735027 0,6 0,90607469 0,0913456 0,00257971 1,09898334 0,0913456
11 0,19 0,62 0,19 0,57735027 0,62 0,90399275 0,09343333 0,00257391 1,09778468 0,09343333
12 0,7 0,25 0,05 0,95262794 0,25 0,12007611 0,69275064 0,18717325 0,53861172 0,69275064
13 0,77 0,22 0,03 1,01613647 0,22 0,1485079 0,70636209 0,14513001 0,57930049 0,70636209
14 0,75 0,23 0,02 0,99881597 0,23 0,19228397 0,71322333 0,09449269 0,63381009 0,71322333
15 0,75 0,24 0,01 1,00458947 0,24 0,25029389 0,70413962 0,04556649 0,69554968 0,70413962
16 0,75 0,245 0,005 1,00747622 0,245 0,28751648 0,69029499 0,02218853 0,73053743 0,69029499
17 0,75 0,2475 0,0025 1,0089196 0,2475 0,30921204 0,67987869 0,01090928 0,74957545 0,67987869
18 0,75 0,24875 0,00125 1,00964128 0,24875 0,32106708 0,67353088 0,00540204 0,75959957 0,67353088
Numero de línea de atadura
Xβ Graficaψ
Xβ1 Xβ2 Xβ3 x y
1 0,99907583 0,00033747 0,0005867 1,15382823 0,00033747 0,49989404
2 0,97157069 0,02718899 0,00124032 1,13757077 0,02718899 0,52151291
3 0,95436651 0,04392759 0,0017059 1,12736912 0,04392759 0,55020562
4 0,94328256 0,05471142 0,00200602 1,12079653 0,05471142 0,5840225
5 0,9352577 0,06253446 0,00220785 1,11604685 0,06253446 0,62227479
6 0,92865277 0,06899438 0,00235285 1,11214977 0,06899438 0,66522257
7 0,9225778 0,0749616 0,0024606 1,10858019 0,0749616 0,71367411
8 0,91649682 0,08096638 0,0025368 1,10502533 0,08096638 0,76880548
9 0,91004274 0,08737997 0,00257728 1,1012757 0,08737997 0,83214466
10 0,09706268 0,67415578 0,22878154 0,50130235 0,67415578 0,8727617
11 0,1057467 0,68213646 0,21211684 0,51593744 0,68213646 0,89445265
12 0,90058859 0,09685796 0,00255345 1,0958311 0,09685796 0,256996
13 0,89381799 0,10370983 0,00247218 1,09196901 0,10370983 0,19296397
14 0,88304842 0,11472252 0,00222907 1,08589156 0,11472252 0,1926104
15 0,86756005 0,13080727 0,00163268 1,07729367 0,13080727 0,19045277
16 0,856606 0,14235609 0,00103791 1,07131274 0,14235609 0,18732726
17 0,84977343 0,14963003 0,00059654 1,06762278 0,14963003 0,18457366
18 0,84588449 0,15379366 0,00032185 1,06553609 0,15379366 0,18270059
Tabla. .. Tabla de transformación de coordenadas.
Graficando la tabla anterior se obtiene cada una de las 18 líneas de atadura y se muestran en el siguiente grafico.
Frac
ción
mo-
lar
Agu
aFracción m
olar
Etanol
Fracción molar Ciclohexano
0.75
10.950.9
0.850.8
0.70.650.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.10.050 10.950.90.850.80.75
Grafico. .. Líneas de atadura del diagrama L-L para sistema Ciclohexano, Etanol, Agua.
Este grafico muestra cada una de las líneas de atadura obtenidas, como la composición inicial tiene que estar contenida en cada una de las líneas de atadura, esta se muestra con una línea vertical en rojo, no están en todo el diagrama de fases ya que para que las últimas líneas de atadura convergieran fue necesario desplazar los Z a la derecha del grafico y dejarlos todos muy unidos, por lo cual casi no se alcanza a ver la composición de todos los Z en las últimas líneas de atadura.
Construcción de la binodal o envolvente:
Para la construcción de la binodal, fue necesario unir todos los extremos de las líneas de atadura, aunque en el caso de esta grafica curva queda muy pegada sobre las composiciones de línea de composiciones de etanol. Sin embargo da la siguiente grafica ya terminada:
Grafico. ..Diagrama L-L para el sistemaCiclohexano, Etanol, Agua.
Habiendo terminado de construir el diagrama de fases, queda explicarlo, y es muy simple la explicación, debajo de la binodal hay dos fases en equilibrio con diferentes composiciones, por arriba de la binodal hay una sola fase que no se divide en dos. Para saber la composición de ambas fases a determinada composición es necesario hacer todo el algoritmo de Rachford y rice, para que este entregue a uno las composiciones y la fracción de fase alfa en el total de la mezcla.
El diagrama hecho en Aspen plus, a las mismas condiciones de temperatura, presión, y usando el mismo modelo de actividad es el siguiente:
Este diagrama es muy parecido, por no decir el mismo, que el obtenido por Excel con el algoritmo de Rachford y Rice, se concluye que se obtuvieron buenos resultados y aproximaciones.
