CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 1

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ny

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ducció

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ncit

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ry

pro

cedencia

.Se

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híb

esu

venta

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rizació

nexpre

sadel

auto

r.

A AB B

Gruesa continua

Media continua

Fina continua

Fina discontinua

Fina de trazo y punto

Fina de trazo y dos puntos

Media discontinua

MEDIR UN SEGMENTO

exactamente 0Se utiliza la regla, que debe tener bien visibles los números y marcas de centímetros y milímetros. Paramedir correctamente un segmento hacemos coincidir el “ ” con un extremo delsegmento. Después miramos el otro extremo y leemos en centímetros el número que esté más cercapor la izquierda. Por último, contamos los milímetros y se los añadimos, como en el ejemplo.

REPRESENTACIÓN DE RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS EN DIBUJO TÉCNICO.

SIEMPREExisten varios tipos de línea en dibujo técnico, pero dibujando a mano, con lápiz, escuadra, cartabón ycompás, se hacen con línea muy fina. Se trazan con la escuadra y el cartabón, no con la regla.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Cuando se pasa un dibujo técnico a tinta o se imprime por ordenador, se utilizan diferentes grosores delínea, según las normas del dibujo técnico.Al conjunto de normas se le llama “normalización”.

Hacemos coincidir el extremo con el de la regla.El número más cercano al extremo por la izquierdaes el . Hasta aquí serán centímetros; ahoracontamos las rayas pequeñas desde el y vemosque hay rayas, luego habrá que sumar milímetrosa los centímetros.

La medida del segmento será 6,7 , obien 67 .

A 0

B

6

6

7 7

6

AB centímetros

milímetros

1Son procedimientos básicos necesarios para la construcción y resolución de la mayoría de losproblemas y trazados geométricos.

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ve

MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO

Transportador semicircular

Transportador circular

Centros bien definidos.

0º

En esta posición tomamos la lectura del lado final del ángulo, que será la medida del ángulo. Paraevitar errores al tomar la lectura, es preferible contar las divisiones en lugar de mirar directamente lacifra en el transportador.

Para medir un ángulo correctamente es necesario hacer dos cosas1. Hacer coincidir el del ángulo con el del transportador.2. Hacer coincidir el del ángulo con el del transportador.

simultáneamente:vértice centroado origen 0ºl

Para medir un ángulo es necesario el . Para transportar un ángulo podemosutilizar bien el transportador, bien el compás.

transportador de ángulos

Básicamente hay dos tipos de transportador: semicircular y circular. El circular es más cómodo ya quepodemos medir ángulos mayores de 180º sin modificar su posición. Pueden venir divididos en 360º(sexagesimal) o en 400 g (centesimal). Los ángulos suelen ir representados en sentido contrario a lasagujas del reloj, aunque pueden tener una segunda escala en el sentido de las agujas del reloj; esto aveces provoca confusiones a la hora de “leer” el ángulo.

MUY IMPORTANTE: independientemente de la forma que tenga, es imprescindible que el transportadorlleve clara, precisa e inequívocamente marcado el CENTRO. Puede venir marcado con una cruz, uncírculo, una raya, combinaciones de estas cosas, etc.

VVLADO ORIGEN LADO ORIGEN

LADO

FINAL

41º


A veces el centro viene enel borde del transportador.

Centro con un agujero:poca precisión.

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Si cualquiera de las dos cosas, vértice o lado origen, no coinciden, la medida estará mal.

V

V V 0º

0º

V

VV

SÍ

SÍ

NO

NO

NONO

58º

58º

Vértice del ángulo y centrod e l t r a n s p o r t a d o r n ocoinciden.

El 0º del transportador y ellado origen del ángulo nocoinciden.

LADO ORIGENLADO ORIGEN

¿ 37º

?

¿ 45º

?

LADO

FINAL

LADO

FINAL

Finalmente, para hacer una lectura correcta es muy importante que los lados del ángulono deben quedar nunca por debajo o por dentro.

sobrepasen elborde exterior del transportador,

MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO (continuación)

TRASLACIÓN DE UN ÁNGULO CON EL TRANSPORTADORDibujar un ángulo con una medida concreta o trasladar una medida de un ángulo a otro son lamisma operación. Supongamos que se quiere trasladar o dibujar un ángulo de 58º:

Dibujamos el lado origen del ángulo,marcando claramente el vértice.

Buscamos la medidacorrespondiente contando,y marcamos con el lápiz.

Unimos la marca con el vérticetrazando el lado final del ángulo.

Hacemos coincidir el centro y los 0ºcon el vértice y el lado origen.

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MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO (continuación)

TRASLACIÓN DE UN ÁNGULO MAYOR DE 180ºSi el ángulo a trasladar es mayor de 180º y disponemos de un transportador circular se realizaexactamente igual que cualquier otro ángulo.

Si el transportador es semicircular no podremos hacer la traslación directamente, sino que habráque hacer una operación previa. Supongamos que debemos trasladar un ángulo de 285º:

Dibujamos un ángulo de 180º,marcando claramente el vértice.

Colocamos el transportador por la parteinferior y marcamos el ángulo que nosdio la diferencia, es decir, 105º.

Unimos la marca con el vértice,trazando el lado final del ángulo yseñalando con un pequeño arco elángulo total.

Al ángulo pedido, 285º, le restamos 180º.

Restamos 285º a 360º: Marcamos el ángulo de 75º desde ellado origen, pero hacia abajo, ensentido contrario al del jercicioanterior.

285º - 180º = 105º

360º - 285º = 75º

V

V V

V V

V

105º

285º

(75º)

285º

Podemos hacerlo igualmente restando el ángulo pedido a 360º, y marcando el ángulo resultante desdeel lado origen, pero en sentido contrario.

LADO ORIGEN

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TRANSPORTE DE UN ÁNGULO CON ELCOMPÁS

V

V

V W

W

W

W

V W W

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1

2

2 2

22 2

2 2 2

3

3

Es la forma más precisa para trasladar un ángulo; no se necesita saber su medida. Supongamos quenos dan un ángulo original de vértice y tenemos que hacer otro igual, de vértice .V W

Si el ángulo a trasladar es cercano a 180 , para evitar errores de dibujo es mejor dividirlo en dos partesmás o menos iguales y trasladar los dos ángulos, uno a continuación del otro.

º

Sobre el ángulo original dibujamos un arco concentro en y radio cualquiera. Obtenemos lospuntos y .

V1 2

Tomamos la distancia con el compás en elángulo original .

1-2V

Uniendo el punto con el construimos el ladofinal del ángulo, que será igual a .

1 2V

En realidad estamos “inventando” un triánguloisósceles en , que luego construimos en , yaque conocemos los tres lados.

V W

Con la medida hacemos centro en el puntodel ángulo y cortamos con el arco,obteniendo el punto .

1-2 1W

2

Sobre el lado origen del nuevo ángulo, convértice en , trazamosun arco igual al anterior, obteniendo el punto .

W y sin mover el compás1

Dividimos el ángulo en dos ytrazamos un arco, obteniendo ahora

V Con la medida de y centro en elpunto del , obtenemos el .

1-2 V1 W 2

Con la medida del ángulo y centroen el punto de , trazamos un arcoobteniendo el .Unimos con para

2-3 V2 W

3 W 3

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POSICIÓN BÁSICADE ESCUADRAY CARTABÓN

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON ESCUADRAY CARTABÓNEl uso más frecuente e importante es el trazado de paralelas y perpendiculares.

PARALELASSe utiliza normalmente el cartabón como regla de apoyo y la escuadra como regla de dibujo, perosegún el dibujo a realizar se pueden colocar de muchas formas distintas:

PERPENDICULARESPOSICIÓN BÁSICA,Adiferencia de lo anterior, las perpendiculares se hacen siempre a partir de la como

se indica debajo, con el cartabón como regla de apoyo y la escuadra en posición de “V”.

Para trazar perpendicular a una recta dada haremos coincidir primero la escuadra, despuéscolocaremos el cartabón y finalmente giraremos la escuadra 90º.


Se hace coincidir ellado largo de la escuadra(hipotenusa) con la recta dada.

exactamente Se sujeta bien la escuadra y seadosa el cartabón ,sin golpes, procurando que laescuadra no se mueva.

perfectamenteGiramos la escuadra sujetando elcartabón, apoyándola sobre el otrolado igual (cateto). Sujetamos bienl a s d o s y t r a z a m o s l aperpendicular.

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90º

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ÁNGULOS CON ESCUADRAY CARTABÓNLos ángulos más importantes y más utilizados se construyen con rapidez y precisión con la escuadra y elcartabón, si se utilizan correctamente.

ÁNGULO

semirrectas

origenfinal

Un ángulo es la parte del plano comprendida entredos . Consta de un vértice y dos lados,se mide en grados utilizando el transportador deángulos, normalmente en el sentido contrario a lasagujas del reloj. Al primer lado se le llama yal segundo .

ÁNGULO CUALQUIERANo es necesaria ninguna construcción especial. Se dibuja el vértice, con un punto. Con la escuadra o elcartabón se traza una semirrecta por el vértice y después una segunda semirrecta.

ÁNGULO DE 90ºperpendiculares posición básicaSe trazan dos por el vértice, utilizando la de escuadra y cartabón.

VÉRTICE

VÉRTICE

LADO ORIGEN

LADO


Los ángulos rectos llevan el símbolo

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ÁNGULO DE 45ºSe construye a partir de la posición básica de escuadra y cartabón, similar a las perpendiculares perodibujando sobre el lado superior de la escuadra, como en el ejemplo.

ÁNGULO DE 30ºEl lado origen se construye con la posición básica, se baja un poco la escuadra y después se dibuja elángulo con el cartabón, como en el ejemplo.


45º

45º

Trazamos el primer lado con laposición básica, desde el vértice delángulo.

Desplazamos hacia abajo uno o doscentímetros la escuadra, sin moverel cartabón.

Para hacerlo en sentido contrario, eldebe colocarse en el

otro lado.cartabón al principio

Situamos el cartabón sobre laescuadra, que es ahora la regla deapoyo, y trazamos el lado final.

Para hacerlo orientado en sentidocontrario sólo hay que colocar elcartabón hacia el otro lado.

30º

30º

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ÁNGULO DE 60ºEs similar al de treinta grados pero utilizando el ángulo de 60º del cartabón.

ÁNGULO DE 120ºSe parte de la posición del de sesenta, pero con el cartabón orientado hacia el otro lado, como en elejemplo.


Trazamos el primer lado con laposición básica, desde el vértice delángulo.

Desplazamos hacia abajo uno o doscentímetros la escuadra, sin moverel cartabón.



Nos basamos en 60º a 180º,con lo que nos queda 120º.

restar

60º

60º

120

60º

Para hacerlo orientado en sentidocontrario sólo hay que colocar elcartabón mirando hacia el otro lado.

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ÁNGULO DE 150ºEl mismo método que para 120º, restando 30º a 180º, nos quedan 150º

ÁNGULO DE 135ºTrazamos el lado origen con el cartabón y colocamos la escuadra como en el ejemplo.


Colocamos el cartabón con los 30ºmirando hacia el lado contrario.

Trazamos el lado origen con elcartabón, dejando el vértice por elcentro.

Deslizamos el cartabón uno o doscentímetros sobre la escuadra.

Deslizamos el cartabón uno o doscentímetros sobre la escuadra.

150

135

45º

30º

Nos basamos en 30º a 180º,con lo que nos queda 150º.

restar

Nos basamos en 45º a 180º, conlo que nos queda 135º.

restar

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ÁNGULOS mediante sumas y restasPueden conseguirse otros ángulos como combinaciones de sumas y restas de los anteriores.

ÁNGULO DE 75ºSe consigue sumando el de 45º de la escuadra más el de 30º del cartabón.

ÁNGULO DE 15ºNo es una ángulo muy utilizado y se puede conseguir restando 75º al de 90º. Pero puede construirsedirectamente colocando las reglas de esta forma:

75º

15º

Colocamos el cartabón sobre ellado origen.

Ahora colocamos la escuadra comoen el dibujo y trazamos el lado final.

D e s p l a z a m o s e l c a r t a b ó napoyándolo en la escuadra para

Como en los casos anteriores, si sequiere hacer hacia el otro lado secolocan las reglas en sentidocontrario.


Trazamos el lado origen por debajodel cartabón y colocamos encimala escuadra.

Su je tamos la escuad ra ycambiamos el cartabón de lugar,contra el otro de laescuadra.

cateto

Usamos el cartabón ahora comoregla de apoyo y deslizamos laescuadra hasta que pase por elvértice, trazando el lado final.

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Dos de las más importantes y sencillas construcciones son la mediatriz y la bisectriz. La mediatrizsiempre se refiere a un segmento y la bisectriz siempre a un ángulo.

MEDIATRIZ de un segmento:Recta perpendicular al segmento y que pasapor su punto medio.

PARALELA MEDIACuando tenemos dos rectas paralelas, se llama paralela media a otra recta paralela a las anteriores yque está a la misma distancia de ambas.

BISECTRIZ de un ángulo:Recta que divide al ángulo en dos ángulosiguales, pasando por el vértice.

A

A

B

B

V

2

2

2

1

1

1

Se toma con el compás una medidaclaramente mayor que la mitad delsegmento. Haciendo centro en los extremos

y del segmento trazamos dos arcos quese cortan en los puntos y . La recta quepasa por ellos es la mediatriz.

A B1 2

Con se traza unaperpendicular a las dos rectas paralelas, quecortará en los puntos y . Se traza ahora lamediatriz del segmento , que será laparalela media buscada.

escuadra y cartabón

A BAB

Se toma con el compás una medidacualquiera y se traza un arco con centro en elvértide del ángulo, obteniendo los puntos y

. Se traza la mediatriz del segmento queresulta ser la bisectriz.

12 1-2

PARALELA

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DIVISIÓN DE UN ÁNGULO en 2,4,8,16... partes iguales

bisectriz;

Podemos dividir cualquier ángulo en partes iguales siempre que sean pares y múltiplo de 2 al cuadrado,es decir: 2, 4, 8, 16... siempre el doble del anterior. Se divide el ángulo en dos iguales con una

cada uno se vuelve a dividir en dos de nuevo, tantas veces hasta el número requerido.

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO EN TRES PARTES IGUALES ( )TRISECCIÓNTrisección bisecciónsignifica división en tres partes, como significa división en dos partes. Algunosángulos se pueden dividir en tres partes iguales, el más sencillo e importante el de 90º.

V

V V

V V

V

Con centro en y una medida cualquieratrazamos un arco, que cortará en los puntos y

V1 2.

Depués con centro en el punto y sin cambiar laabertura del compás, trazamos otro arco desdehasta cortar al primer arco en el punto .

2V

4

Ahora con centro en el punto y sin cambiar laabertura del compás, trazamos otro arco desde

hasta que corte al anterir en el punto

1

V 3.

Uniendo el vértice V con los puntos yobtenemos la trisección del ángulo.

3 4

2

2

2

2

1

1

1

1

4 4

3

3

3

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ÁNGULOS CON COMPÁS Y REGLAEn muchas ocasiones debemos dibujar ciertos ángulos con compás, aunque puedan trazarse tambiéncon escuadra y cartabón. Lo más idóneo dependerá del tipo de trabajo de estemos ejecutando. Sonsencillos ya que se basan en conocer el de 60º, la bisectriz y la suma o resta de ángulos.

ÁNGULO de 60ºSe basa en la construcción de un triángulo equilátero, que no es necesario dibujar (2º paso), peroquitando un lado.

ÁNGULO de 30ºHacemos la bisectriz del de sesenta.

ÁNGULO de 45ºHacemos la bisectriz del de noventa.

ÁNGULO de 15ºHacemos la bisectriz del de sesenta y despuésla del de 30º.

ÁNGULO de 135ºHacemos la bisectriz del de 90º pero por el ladocontrario. La suma de 90 más 45 nos da el de135º

Dibujamos el lado origen. Concentro en el vértice trazamos unarco que se corte en el punto con ellado.

V1

Con centro en el punto yhacemos otro

arco que pase por y se corte con elanterior en .

1

V2

sinmover el compás,

Uniendo con obtenemos el ladofinal y el ángulo de 60º. Si uniéramos1 con 2 nos saldría un triánguloequilátero.

V 2


V V

60º

30º

45º135º

15º

V

V V

2 2

2 2

1 1 1

1

1

V V

2 2

1 1

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ÁNGULO de 120ºSe consigue sumando dos de sesenta, es decir, construyendo uno de sesenta sobre otro de sesenta.

ÁNGULO de 75ºPartimos de uno de 90º y sobre el lado origen construimos uno de 60º. El que nos queda medirá 30º.Haciendo la bisectriz del de 30º nos quedará uno de 15º, que sumado al anterior de 60º nos da el de 75º.

Realizamos la misma construcción que para elde sesenta, pero prolongando el primer arco.

Uniendo el vértice con el punto obtenemos elángulo de 120º.

V 3

Dibujamos un ángulo de 90º. Sobre el ladoorigen dibujamos otro de Se observa que elpequeño debe medir 30º.

60º.

Con centro en el punto y, hacemos otro arco que pase por y se

corte con el primero en .

2V

3

sin mover elcompás

Se puede conseguir también restando a 180ºuno de sesenta. Construimos el de 60º mirandohacia la izquierda; el de la derecha son 120º.

Trazamos la mediatriz del de 30º, quedando dosángulos de 15º. Se observa que, el de 60º más elde 15º situado a continuación , nos dan un total


V V

V V

120º 120º

2 3

3

2

2 2

1 1

1

1

60º

60º

30º 15º

75º

V V

15

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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES (Aplicación del teorema de Tales).Tales de Mileto fue un matemático griego que vivió en el siglo VI antes de Cristo. Enunció dos teoremas,el más conocido tiene que ver con la semejanza de triángulos y se verá en otro apartado. Pero de esteteorema extraemos una aplicación útil e importante, que es cómo dividir cualquier segmento en elnúmero de partes iguales que se desee.

El problema es dividir el segmento en cierto número de partes iguales. En el ejemplo lo vamos adividir en siete partes iguales, es decir, N=7. No es necesario saber la medida de AB, pero necesitamosregla, escuadra y cartabón.

AB N

Para evitar errores de dibujo es convenienteque el ángulo con el que trazamos elsegundo segmento no sea ni muy pequeño nimuy grande, aproximadamente unos 45º.

Si el número de partes a dividir es muy alto,por ejemplo 20, no podemos utilizarcentímetros. Utilizaremos otra medida, porejemplo 5 mm. Lo importante es que seaniguales entre sí.


Supongamos que es el segmento a dividir.AB

Unimos el punto con el extremo del segmento.7 B

Ángulo demasiado grande: error dedibujo

Ángulo demasiado pequeño: error dedibujo

Todas

iguales,no

la

medida

importa

Apartir del extremo trazamos otro segmento quemida 7 cm y marcamos cada una de las partes endicho segmento, esto es, una marca cadacentímetro.

A

Trazamos paralelas a la dirección , pasandopor las divisiones 6, 5, 4... El segmento AB quedaasí dividido también en 7 partes.

B7

A A

A

A

A

1

1

1

1

2

2

20

2

3

3 3

4

4 4

5

5 5

6

6 6

7

7 7

B B

B

B

B

16

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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 1