Construcion de Una Solucion a Partir de Una Conocida

5/16/2018 Construcion de Una Solucion a Partir de Una Conocida - slidepdf.com

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1

Reducción de orden.

Obtener la solución general de la ED conocida, considerando que y1 es una solución de ella.

1. 2y 00 C 3y 0 2y D 0I y1 D e2x.

11

2. 4y 00 12y 0C 9y D 0I y1 D e3x

2 .

12

3. y 00 C 4y D 0I y1 D sen 2x.

13

4. y 00 C 6y 0 C 9y D 0I y1 D e3x.

14

5. y 00 C 4y 0C 13yD 0I y1 D e2x cos 3x.

15

6. 9y 00 4y D 0I y1 D e2x

3 .

16

7. x2y 00 6xy 0 C 10y D 0I y1 D x2.

17

8. x2y 00 xy 0 3yD 0I y1 D1

x.

18

9. x2y 00C 8xy 0

C 12y D 0I y1 D x3.

19

10. x2y 00C xy 0 C 8y D 0I y1 D x4.

20

11. .1 x/y 00C xy 0 y D 0I y1 D x.

21

1. canek.azc.uam.mx: 6/ 12/ 2010

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d



12. xy 00C 2y 0C xy D 0I y1 Dsenx

x.

22

13. x2

.lnx 1/y00

xy0

C y D 0I y1 D x.

23

14. xy 00C .x 1/y 0 y D 0I y1 D ex.

24

15. xy 00 .2xC 1/y 0 C .x C 1/y D 0I y1 D ex.

25

d

d

d

d



1

Reducción de orden.

E: 2y 00 C 3y 0 2y D 0I y1 D e2x.

D:H

Otra solución de la ED se propone como y2 D uy1 D ue2x

. Derivando:

y 0

2D 2e2xuC e2xu 0 & y 00

2D 4e2xu 4e2xu 0C e2xu 00:

Entonces, al usar en la ED 2y 00C 3y 0 2y D 0, se obtiene:

2Œ4e2xu 4e2xu 0 C e2xu 00C 3Œ2e2xuC e2xu 0 2ue2x D 0:

Al simplificar:

e2xŒ2u 00 5u 0 D 0 ) 2u 00 5u 0 D 0; puesto que e2x 6D 0.

Si aplicamos ahora el cambio de variable w D u 0, encontramos u 00 D w 0, por lo que:

2w 0 5w D 0 ) 2dw

dxD 5w:

Si separamos variables e integramos:

2dw

wD 5 dx ) 2

dw

wD 5

dx ) 2 lnw D 5xCC:

Considerando C D 0 tenemos:

lnw D 5x2

) w D e5x2 D u 0:

Al integrar:

u D

e5x

2 dx D2

5e5x

2 :

De esta forma y2 D uy1 D2

5e5x

2 e2x ) y2 D2

5ex

2 . Y la solución general de la ecuación

diferencial es

y D c1y1C c2y2 D c1e2x C c2Â

2

5

ex

2Ã ) y D c1e2x C c2e

x

2 :

11.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010



1

Reducción de orden .

E: 4y 00 12y 0C 9y D 0I y1 D e3x

2 .

D:H

En este caso, aplicaremos la fórmula deducida en el desarrollo teórico. Es importante recor-dar que la ecuación diferencial debe estar normalizada, por lo tanto, empezaremos dividiendola ecuación entre 4. Hallamos:

y 00 3y 0

C9

4y D 0:

Con p.x/ D 3 & y1 D e3x2 tenemos que y2 D uy1, de donde:

u D

e

R p.x/dx

y21

dx D

e

R .3/dx

e3x2

2 dx D

e3x

e3xdx D

dx D x:

De esta forma, y2 D xe3x2 . Por lo tanto, la solución general de la ED es, entonces:

y D c1y1C c2y2 D c1e3x2 C c2xe

3x2 o bien y D .c1C c2x/e

3x2 :




1


E: y 00 C 4y D 0I y1 D sen 2x.

D:H

Procedemos ahora proponiendo a la otra solución de la ED como y2 D uy1:

y2 D u sen 2x ) y 0

2D 2u cos 2x C u 0 sen 2x )

) y 00

2D 4u sen 2x C 4u 0 cos 2x C u 00 sen 2x:

Al sustituir en y 00C 4y D 0 hallamos:

4u sen 2x C 4u 0 cos 2x C u 00 sen 2x C 4u sen 2x D 0:

Simplificando:u 00 sen 2x C 4u 0 cos 2x D 0:

Reducimos el orden de la ED mediante el cambio de variable w D u 0. Entonces u 00 D w 0 yobtenemos:

.sen 2x/dw

dxC 4w cos 2x D 0:

Separamos variables:

.sen 2x/dw

dxD 4w cos 2x )

dw

wD 4

cos 2x

sen 2xdx:

Al integrar, hallamos:

dwwD

4 cos 2x

sen 2xdx ) ln w D 4

2ln.sen 2x/ D ln.sen 2x/2:

Aplicando la exponencial en ambos miembros:

w D1

sen 22xo bien

du

dxD csc 22x:

De aquí:

du D csc 22x dx )

du D

csc 22x dx ) u D

1

2cot 2x:

De esta manera,y2 D uy1 D

1

2cot 2x sen 2x ) y2 D

1

2cos 2x:

La solución general de la ED queda:

y D c1y1C c2y2 D c1 sen 2x C c2

1

2cos 2x

) y D c1 sen 2x C c2 cos 2x:

13. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010



1


E: y 00 C 6y 0 C 9y D 0I y1 D e3x.

D:H

Procedemos proponiendo y2 D uy1 D ue3x

. Tenemos:

y 0

2D 3ue3x C u 0e3x & y 00

2D 9ue3x 6u 0e3x C u 00e3x:

Al sustituir en y 00C 6y 0C 9y D 0 hallamos:

9ue3x 6u 0e3x C u 00e3x 18ue3x C 6u 0e3x C 9ue3x D 0:

Si simplificamos, obtenemos:

u 00e3x D 0 ) u 00 D 0 pues e3x 6D 0:

Esto es, u 0 D k; con k constante. De aquí, u D

k dx D kx. Luego, y2 D uy1 D kxe3x . De

esta forma, la solución general de la ED es

y D c1y1C c2y2 D c1e3x C c2.kxe3x/ ) y D c1e3x C c2xe3x D .c1 C c2x/e3x:




1


E: y 00 C 4y 0 C 13y D 0I y1 D e2x cos 3x.

D: H Como la ED está normalizada, buscamos y2 D uy1, donde u D

e

R p.x/dx

y21

dx con p D 4:

u D

e

R p.x/dx

y21

dx D

e

R 4dx

y21

dx D

e4x

.e2x cos 3x/2dx D

D

e4x

e4x cos 23xdx D

1

cos 23xdx D

sec 23x dx D

1

3tan 3x:

Una segunda solución linealmente independiente es

y2D

uy1D

1

3 tan 3x

e

2x

cos 3xD

1

3 e

2x

sen 3x:

Por lo tanto, la solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1e2x cos 3x C c2

1

3e2x sen 3x

o bieny D c1e2x cos 3x C c2e2x sen 3x D e2x.c1 cos 3x C c2 sen 3x/:




1


E: 9y 00 4y D 0I y1 D e2x

3 .

D: H Buscamos una segunda solución de la forma y2 D uy1 D ue

2x

3 . Al derivar obtenemos:

y 0

2D

2

3ue

2x

3 C u 0e2x

3 & y 00

2D

4

9ue

2x

3 C4

3u 0e

2x

3 C u 00e2x

3 :

Al sustituir en 9y 00 4y D 0 y simplificar, hallamos:

3e2x

3 .4u 0C 3u 00/ D 0 ) 3u 00C 4u 0 D 0; pues 3e2x

3 6D 0:

Si hacemos w D u 0, hallamos u 00 D w 0; así:

3w 0C 4w D 0 ) 3dw

dx D 4w ) 3dw

w D 4dx:

Al integrar, obtenemos:

3

dw

wD 4

dx ) lnw D

4

3x:

De esta forma, al aplicar la función exponencial encontramos:

lnw D4x

3) w D e

4x

3 ) w Ddu

dxD e

4x

3 :

Por lo tanto, u D e

4x

3 dx D

3

4e

4x

3 , luego:

y2 D uy1 D 3

4e4x

3 e2x

3 D 3

4e2x

3 :

La solución general es

y D c1y1C c2y2 D c1e2x

3 C c2

3

4e2x

3

) y D c1e

2x

3 C c2e2x

3 :

16. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010



1


E: x2y 00 6xy 0 C 10y D 0I y1 D x2.

D:H

Procedemos mediante la propuesta y2 D uy1, es decir, y2 D ux2

. Entonces

y 0

2D 2ux C x2u 0 & y 0 0

2D 2uC 4xu 0

C x2u 00:

Al sustituir en la ED x2y 00 6xy 0 C 10y D 0, obtenemos:

x2Œ2uC 4xu 0C x2u 00 6xŒ2uxC x2u 0C 10ux2 D 0I

es decir:x3.xu 00

2u 0/ D 0 ) xu 00 2u 0

D 0:

Haciendo el cambio de variable w D u 0, hallamos u 00 D w 0:

xdw

dx 2w D 0 ) x

dw

dxD 2w )

dw

wD 2

dx

x:

Al integrar, obtenemos:

dw

wD 2

dx

x) lnw D 2 lnx D lnx2:

Si aplicamos la función exponencial, hallamos:

w D x2 & w Ddu

dxD x2 ) u D x2 dx D 1

3x3:

De esta manera, y2 D uy1 D1

3x3 x2 D

1

3x5. La solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1x2C c2

1

3x5) y D c1x

2C c2x

5:




1


E: x2y 00 xy 0 3y D 0I y1 D1

x.

D: H Normalizamos la ED dividiendo entre x2:

y 00

1

xy 0

3

x2y D 0:

Para obtener la segunda solución y2 D uy1, aplicamos la fórmula u D

e

R p.x/dx

y21

dx con

p D 1

x& y1 D

1

xD x1. Tenemos:

u D e

R 1xdx

.x1/2 dx D e

R dxx

x2 dx D elnx

x2 dx D

x2

x dx D

x3

dx D

1

4 x4

:

De esta manera y2 D1

4x4

Â1

x

ÃD

1

4x3. La solución general de la ED es

y D c1y1C c2y2 D c1

Â1

x

ÃC c2

Â1

4x3

Ã) y D

c1

xC c2x3:




1


E: x2y 00 C 8xy 0 C 12y D 0I y1 D x3.

D:H

Normalizamos la ED, dividiendo entre x2

:

y 00C

8

xy 0C

12

x2y D 0:

La segunda solución es y2 D uy1, donde u D

e

R p.x/dx

y21

dx, con p D8

x:

u D

e

R 8xdx

.x3/2dx D

e8

R dxx

x6dx D

e8 lnx

x6dx D

elnx8

x6dx D

x8

x6dx D

x2 dx D

Entonces:y2 D x

1.x3/ D x4:

La solución general de la ED:

y D c1y1C c2y2 D c1x3C c2.x

4/ ) y D c1x3C c2x

4D

c1

x3C

c2

x4:




1


E: x2y 00 C xy 0 C 8y D 0I y1 D x4.

D:H

Procedemos proponiendo y2 D uy1 D ux4

. Al derivar y sustituir obtenemos:

y 0

2D 4x3u C x4u 0 & y 00

2D 12x2u C 8x3u 0

C x4u 00:

Entonces:

x2y 00

2C xy 0

2C 8y2 D 0 ) x2Œ12x2u C 8x3u 0

C x4u 00 C xŒ4x3u C x4u 0 C 8ux4 D 0I

simplificando, hallamos:

x5.xu 00C 7u 0/ D 0 ) xu 00

C 7u 0D 0:

Hacemos el cambio de variable w D u 0. Entonces u 00 D w 0 & xw 0 C 7w D 0. Tenemos:

xdw

dxC 7w D 0 ) x

dw

dxD 7w )

dw

wD 7

dx

x:

Integrando, obtenemos:

dw

wD 7

dx

x) lnw D 7 lnx D lnx7:

Aplicando la función exponencial en ambos miembros:

w D x7 & w D dudx

D x7 ) u D

x7 dx D 1

6x6:

Por lo tanto, y2 D uy1 D 1

6x6 x4 D

1

6x2. De esta forma, la solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1x4

C c2

Â1

6x2

Ã) y D c1x

4C c2x

2D c1x

4C

c2

x2:

20. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010



1


E: .1 x/y 00 C xy 0 y D 0I y1 D x.

D:H

Proponemos como una segunda solución y2 D uy1, esto es, y2 D ux. Al derivar obtenemos

y 0

2D uC xu 0 & y 00

2D 2u 0

C xu 00:

Así, al sustituir en la ED:

.1 x/Œ2u 0C xu 00 C xŒu C xu 0 ux D 0:

Podemos simplificar y resulta:

.x2 2x C 2/u 0

.x 1/xu 00D 0I

o también:.x 1/xu 00

D .x2 2x C 2/u 0:

Si tomamos el cambio de variable w D u 0, entonces u 00 D w 0, de aquí:

.x 1/xw 0D .x2

2x C 2/w ) .x 1/xdw

dxD .x2

2x C 2/w )dw

wD

.x2 2x C 2/

.x 1/xdx:

Al integrar usando fracciones parciales, hallamos:

dw

w

D .x2 2x C 2/

.x 1/x

dx ) dw

w

D Â1 C1

x 1

2

xÃdx )

) ln w D x C ln.x 1/ 2 ln x ) ln w C 2 ln x ln.x 1/ D x ) lnw x2

x 1D x:

Aplicando la función exponencial, encontramos:

w x2

x 1D ex ) w D

du

dxD

.x 1/ex

x2:

Al integrar:

u D

.x 1/ex

x2dx D

d

dx

Âex

x

Ãdx D

ex

x:

De esta manera, y2 D u y1 Dex

x x D ex. La solución general de la ED es

y D c1x C c2ex:

21. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010



1


E: xy 00C 2y 0C xy D 0I y1 Dsen x

x.

D: H Al normalizar la ED, hallamos:

y 00C

2

xy 0C y D 0:

La segunda solución es y2 D u y1, donde u D

e

R p.x/dx

y21

dx con p D2

x:

u D

e

R 2xdx

sen x

x

Á2 dx D

e2 lnx

sen 2x

x2

dx D

x2elnx2

sen 2xdx D

x2 x2

sen 2xdx D

csc 2x dx D cot x

Entonces, y2 D u y1 D cot x sen x

xD

cos x

x. La solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1 sen x

xC c2

cos x

x

Á) y D

1

x.c1 sen x C c2 cos x/:




1


E: x2.ln x 1/y 00 xy 0 C y D 0I y1 D x.

D:H

Normalizamos la ED:

y 00

1

x.ln x 1/y 0C

1

x2.lnx 1/y D 0:

Aplicamos y2 D uy1, donde u D

e

R p.x/dx

y21

dx con p D 1

x.ln x 1/:

u D

e

R

1x.lnx1/

dx

x2dx D

e

R dxx.lnx1/

x2dx:

tomamos w D ln x 1I dw D dxx

.

u D

eln.lnx1/

x2dx D

ln x 1

x2dx D

1 ln x

x2dx D

d

dx

Âln x

x

Ãdx D

ln x

x:

Así, y2 D uy1 D ln x

x x D ln x. La solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1x C c2. ln x/ ) y D c1x C c2 ln x:




1


E: xy 00 C .x 1/y 0 y D 0I y1 D ex.

D:H

Empezamos normalizando la ED:

y 00C

x 1

xy 0

1

xy D 0:

Por lo tanto, al usar y2 D uy1, donde u D

e

R p.x/dx

y21

dx con p Dx 1

x:

u D

e

R x1x

dx

.ex/2dx D

e

R 1 1

x

dx

e2xdx D

e

R 1x 1

dx

e2xdx D

e2x elnxx dx D

D

e2x

elnx

ex

dx D

xex

dx D xex

ex

; después de integrar por partes.

De esta manera:y2 D uy1 D .xex ex/.ex/ D x 1:

Por lo tanto, la solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1ex

C c2.x 1/:




1


E: xy 00 .2x C 1/y 0 C .x C 1/y D 0I y1 D ex.

D:H

Buscamos una solución de la forma y2 D uy1, es decir, y2 D uex

. Si derivamos:

y 0

2D uex C exu 0 & y 00

2D uex C 2exu 0

C exu 00:

Al sustituir en xy 00 .2x C 1/y 0 C .x C 1/y D 0:

xŒuex C 2exu 0C exu 00 .2x C 1/Œuex C exu 0C .x C 1/uex D 0:

Si simplificamos, obtenemos:

exŒxu 00 u 0 D 0 ) xu 00

u 0D 0:

Hacemos ahora el cambio de variable, w D u 0, entonces u 00 D w 0, así:

x w 0 w D 0 ) x

dw

dxD w )

dw

wD

dx

x:

Al integrar: dw

wD

dx

x) ln w D ln x ) w D x:

De esta manera, w Ddu

dxD x ) u D

x dx D

1

2x2. Por lo tanto, y2 D u y1 D

1

2x2ex. La

solución general de la ED es

y D c1y1 C c2y2 D c1ex C c2

Â1

2x2ex

Ã) y D c1ex C c2x2ex D ex.c1C c2x2/:


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