UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

IRIS RUMUALDA CARREÓN RANGEL

LIC. GERARDO EDGAR MATA

MATERIA: ESTADÍSTICA

INVESTIGACIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA

2 ¨B¨

PROCESOS INDUSTRIALES EN EL ÁREA DE MANUFACTURA

18/ABRIL/2012

Intervalo de confianza

Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la

estimación del valor μ.

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se

estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto.

Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de

una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito

en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas

circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida

de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un

intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza),

mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa,

aumentan sus posibilidades de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer

la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro

presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con

la desigualdad de Chebyshov.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un

parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una

expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de

distribución de probabilidad de θ.

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media   y desviación típica   se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la media poblacional: 

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente

expresión:  .Esto se representa como sigue: 

Si estandarizamos, se sigue que: 

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo

hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).

Se desea obtener una expresión tal que 

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará   (debido a que   es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto   —o, mejor dicho, su versión

estandarizada   o valor crítico junto con su "opuesto en la distribución".  . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar   para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral   ± el

producto del valor crítico   por el error estándar .

Si no se conoce   y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor   para los niveles de confianza estándar son 1,96

para   y 2,576 para .

FORMULAS PARA ESTIMAR LOS INTERVALOS DE CONFIANZA:

Descripción Intervalo de confianza

Estimación de μ con sigma conocida,

muestra grande n>30

μ= X̄±Zα /2σ /√n

Estimación de μ con sigma desconocida,

muestra grande n>30, se toma la desv. Est.

de la muestra S

μ= X̄±Zα /2 s/√n

Estimación de μ con muestras pequeñas, n

< 30 y sigma desconocida

μ= X̄±tα /2 s /√n

Estimación de la σ (n−1)s2

χ α2, n−1

≤σ 2≤(n−1)s2

χ1−α2, n−1

Estimación de la proporción π sp=√ p (1−p )n

π=p±Zα /2 s p

Tamaño de muestra

Para estimar n en base a un error máximo

( X̄−μ )n=Z

α /22σ2 /( X̄−μ)2

Para estimar n en base a un error máximo

Si se especifica un intervalo total de error,

el error ( p−π )máximo es la mitad del

intervalo

n=Zα /22π (1−π )/ ( p−π )2

Utilizar π=0 .5que es peor

caso

Intervalo de confianza para una proporción

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la aproximación de una binomial por una normal.