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Clase 4 - Lámina 1
CONTENIDO
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
AGENDA
Métodos Numéricos
para Ingenieros Químicos
Abbud Jesús Batch
Abril - Agosto 2005
Tema 1 Ecuaciones Trascendentes (4)
Clase 4 - Lámina 2
Los métodos considerados hasta ahora son
difíciles para encontrar una raíz compleja de un
polinomio.
El método de Newton trabaja satisfactoriamente,
pero el hecho de trabajar con números complejos
implicaría un procedimiento iterativo muy lento.
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Clase 4 - Lámina 3
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Obteniendo:
112
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
1
21
)(
)()(
)(
nnnn
n
n
nnn
nnn
n
brxbbxbxbsrxx
residuoxQsrxx
axaxaxaxaxaxP
Si el factor cuadrático es un divisor exacto de
Pn(x), el residuo será cero.
El método de Bairstow consiste en efectuar una
doble división del polinomio de interés:
por un polinomio cuadrático de ensayo, es decir:
srxx 2
nnn
nnn
n axaxaxaxaxaxP
1
2
2
2
3
1
21)(
Clase 4 - Lámina 4
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Multiplicando e igualando los coeficientes de las
potencias de las x, es decir:
2
123
1
121
4
3
3
2
2
1
3
3
2
2
1
1
2
3
1
21
12
4
3
3
2
2
1
2 )(
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
nnn
xsbrbbxrbbxb
xsbxsbxsb
xrbxrbxrb
xbxbxb
bxbxbxbxbsrxx
112
2
1
2 )()(
nnnn
n
n brxbbxbxbsrxxxP
Clase 4 - Lámina 5
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Multiplicando e igualando los coeficientes de las
potencias de las x, es decir:
2
123
1
121
4
3
3
2
2
1
3
3
2
2
1
1
2
3
1
21
12
4
3
3
2
2
1
2 )(
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
nnn
xsbrbbxrbbxb
xsbxsbxsb
xrbxrbxrb
xbxbxb
bxbxbxbxbsrxx
111
21
2344
1233
122
11
nnnn
nnnn
sbrbba
sbrbba
sbrbba
sbrbba
rbba
ba
nnn
nnn
n axaxaxaxaxaxP
1
2
2
2
3
1
21)(
111
21
2344
1233
122
11
nnnn
nnnn
sbrbab
sbrbab
sbrbab
sbrbab
rbab
ab
Clase 4 - Lámina 6
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Desarrollando a bn y bn+1 como serie de Taylor
para una función de dos variables en términos de
(r*-r) y (s*-s), resulta:
111
21
nnnn
nnnn
sbrbab
sbrbab
Objetivo Calcular los valores de r y s que hagan que
bn y bn+1 tiendan a cero.
)*()*(),(*)*,( ss
s
brr
r
bsrbsrb nn
nn
)*()*(),(*)*,( 11
11 sss
brr
r
bsrbsrb nn
nn
Clase 4 - Lámina 7
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
s
s
br
r
bsrbsrb nn
nn ),(*)*,(
ss
br
r
bsrbsrb nn
nn
11
11 ),(*)*,(
Si
entonces:
sss
rrr
*
*
r y s son los incrementos que se deben añadir a
r y s originales para obtener los valores de r* y
s*, para los cuales el residuo es cero.
0
0
ss
br
r
bsrb nn
n
),(
ss
br
r
bsrb nn
n
11
1 ),(
Clase 4 - Lámina 8
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
11 ab
0
0
1
1
s
b
r
b
122 rbab
1233 sbrbab
02
11112
s
b
cbbr
br
r
b
111123
2211
223
cbbs
bs
s
br
s
b
cbrcr
bsb
r
br
r
b
2212234
31232
334
cbrcbs
bs
s
br
s
b
cscrcbr
bsb
r
br
r
b
2344 sbrbab
ss
br
r
bsrb nn
n
),(
Clase 4 - Lámina 9
ECUACIONES TRASCENDENTES
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
2432221
13212
11
nnnnnnnn
nnnnn
nnn
cscrcbbs
bs
s
br
s
b
cscrcbr
bsb
r
br
r
b
ss
br
r
bsrb nn
n
),(
21 nnnn sbrbab
scrcb
scrcb
nnn
nnn
11
21
21
1233
122
11
nnnn scrcbc
scrcbc
rcbc
bc
Clase 4 - Lámina 10
ECUACIONES TRASCENDENTES
Se determinan los valores de bi y ci:
ALGORITMO
Dado un polinomio:
se definen los valores iniciales de r0 y s0.
nnn
nnn
n axaxaxaxaxaxP
1
2
2
2
3
1
21)(
111
21
1233
122
11
nnnn
nnnn
sbrbab
sbrbab
sbrbab
rbab
ab
21
1233
122
11
nnnn scrcbc
scrcbc
rcbc
bc
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Clase 4 - Lámina 11
ECUACIONES TRASCENDENTES
ALGORITMO
Se plantea el sistema de ecuaciones como sigue:
scrcb
scrcb
nnn
nnn
11
21
Se resuelve el sistema anterior y se verifica que:
s
r
Si no se satisface la tolerancia, se calculan los
nuevos valores de r y s:
y se repiten los pasos anteriores.
ii
ii
sss
rrr
1
1
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Clase 4 - Lámina 12
ECUACIONES TRASCENDENTES
ALGORITMO
Resolviendo el factor cuadrático se tienen dos de
las raíces del polinomio planteado:
2
40
22 srr
xsrxx
Se repite todo el procedimiento, pero esta vez
empleando el polinomio reducido, hasta que se
obtengan todos los factores cuadráticos posibles
del polinomio original.
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Clase 4 - Lámina 13
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
Con una tolerancia de 10-3, determinar las raíces del
siguiente polinomio:
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
03,35,03,21,1 234 xxxx
000,1
000,1 1
0
02
s
rxx
5432
2
1
2 1 1 bxbbxbxbxx
Fa
ctor cu
ad
rático
Po
linom
io red
ucid
o
Resid
uo
1 -1.1 2.3 0.5 3.3
-1.0 2.1 -3.4 0.8
1 -2.1 3.4 -0.8 0.7
a1 a2 a3 a4 a5
-1.0 2.1 -3.4
11 ab
b1 b2 b3 b4
122 rbab
rb1 1233 sbrbab
2344 sbrbab
rb2
sb1
rb3
sb2
33455 sbrbab
rb4
sb3
b5
bn bn+1
Clase 4 - Lámina 14
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
03,35,03,21,1 234 xxxx
Con una tolerancia de 10-3, determinar las raíces del
siguiente polinomio:
000,1
000,1 1
0
02
s
rxx
-1.0 3.1 -5.5
1 -3.1 5.5 -3.2
1 -2.1 3.4 -0.8
b1 b2 b3 b4 b5
-1.0 3.1
11 bc
c1 c2 c3 c4
122 rcbc rc1
1233 scrcbc
2344 scrcbc
rc2
sc1
rc3
sc2
cn cn-1 cn-2
sr
sr
5,52,37,0
1,35,58,0
063,0
110,0
s
r
063,1000,1063,0
890,0000,1110,0
1
1
s
r
Clase 4 - Lámina 15
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
063,1
890,0 063,1890,0
1
12
s
rxx
1 -1.1 2.3 0.5 3.3
-0.89 1.77 -2.68 0.06
1 -1.99 3.01 -0.07 0.17
a1 a2 a3 a4 a5
-1.06 2.11 -3.17
b1 b2 b3 b4 b5
1 -1.99 3.01 -0.07
-0.89 2.56 -4.01
1 -2.88 4.51 -1.03
-1.06 3.05
c1 c2 c3 c4
cn cn-1 cn-2
sr
sr
51,403,117,0
88,251,407,0
040,0
010,0
s
r
103,1
900,0
2
2
s
r
Clase 4 - Lámina 16
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
103,1
900,0 103,1900,0
2
22
s
rxx
1 -1.1 2.3 0.5 3.3
-0.9 1.8 -2.7 0.0
1 -2.0 3.0 0.0 0.0
a1 a2 a3 a4 a5
-1.1 2.2 -3.3
b1 b2 b3 b4 b5
0)32()1.19.0( 22 xxxx
691,0
591,1
2
1
x
x
21
21
4
3
ix
ix
Clase 4 - Lámina 17
AGENDA
HOY HEMOS VISTO:
LA PRÓXIMA CLASE VEREMOS:
Metodología para la resolución de exámenes por Berenice Blanco
Raíces de polinomios:
» Método de Bairstow.
Planteamiento del Proyecto 1.
Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
Clase 4 - Lámina 18
AGENDA
ASIGNACIÓN 3
Dado un polinomio:
el cual se desea descomponer como:
Diseñar un algoritmo en el cual se dé como dato el
valor de una de las raíces (cuando P3(x) = 0); esto
es, cuando el polinomio reducido fuese dato exacto.
Siguiendo el algoritmo diseñado, efectuar los
cálculos cuando a1=1, a2=-3, a3=4, y a4=2, donde
una de las raíces es x=1. ¿Cuáles serían las otras dos
raíces?.
43
2
2
3
13 )( axaxaxaxP
4321
2
3 )()( brxbbxbsrxxxP Raíces de
polinomios
Método de
Bairstow
