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Si una figura carece de puntos impares, entonces se podrá hacer de un
solo trazo comenzando por cualquier punto.
Si una figura presenta sólo dos puntos impares, entonces se podrá realizar
de un solo trazo sólo si se comienza por uno de ellos, se acaba en el otro.
Si una figura presenta más de dos puntos impares, entonces jamás se
podrá hacer de un solo trazo.
Par Par
Par
Impar Impar Impar
CONTEO DE FIGURAS
Amad la matemática: entre todas las mentiras es la menos mentirosa.
CONCEPTOS BÁSICOS
1. Punto Par:
Es un punto donde convergen un número par de lineal.
2. Punto Impar:
Es un punto donde convergen un número impar de líneas.
Hola comenzaremos
con algunos conceptos útiles
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NOTA:
No existen fórmulas generales, solo
para ciertos casos generales.
MÉTODOS DE CONTEO
Conteo Visual - Directo
Requiere de agudeza visual y sobre todo práctico.
Ejemplo:
Al “ojo” se cuenta que hay 4 triángulos pequeños y 1
grande en total 5.
Conteo Numérico
Consiste en poner dígitos a las figuras que nos
interesa contar e ir combinándolos en forma
ordenada.
de (1) : 1, 2, 3 = 3
de (2) : 12, 23, 3x, 2x = 4
de (4) : 123x = 1
Total : 8
Conteo por Inducción
- Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande.
- Consiste en analizar casos particulares para luego generalizar para el total.
- Este MÉTODO SE EMPLEA para determinar las “fórmulas” en ciertos casos particulares.
1
x
2 3
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DENTRO DE ESTOS CASOS TENEMOS
I. Conteo por Inducción:
Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay?
# triángulos = 152
)6(5
II. Para Ángulos:
Ejemplo: ¿Cuántos ángulos hay?
III. Para Sectores Circulares:
Ejemplo: ¿Cuántos sectores circulares?
# sect. = .tsec202.10102
5x4
1 2 3 n-1 n
1 2 3 4 5
2
)1n(n
2
)1n(n
1 2 3
n-1 n
0
0 1
2 3 4
2
)1n(n
1
2
3
n
1
2
3
4
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# cuadriláteros = 2
)1m(mx
2
)1n(n
IV. Para Sectores Cuadrados:
# cuadrados
Ejemplo: ¿Cuántos cuadrados hay?
n = 5
# cuadrados = 556
11x6x5
V. Para Cuadriláteros:
Ejemplo: ¿Cuántos cuadriláteros hay?
2
)1n(n
2
6x5
# cuadrados = 1502
5x4x
2
6x5
6
)1n2)(1n(n
n
3
2
1
2
3
n
5
4
3
2
1
2
3
4
5
m
2
1
2
3
n
4
3
2
1
2
3
4
5
n-2
n-1
2
5x4
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VI. Para Cubos:
Ejemplo:
Para n = 3
Tenemos:
2
2
)4(3
= 36 cubos
1. ¿Cuántos segmentos se cuentan en?
a) 561 b) 488 c) 624
d) 936 e) 330
2. Hallar el total de segmentos que se observan:
a) 144 b) 154 c) 164
d) 174 e) N.A.
3. ¿Cuántos segmentos
se pueden contar?
a) 165
b) 105
c) 60
d) 30
e) 90
4. Hallar el total de triángulos más cuadrilateron en:
a) 220
b) 210
c) 230
d) 205
e) 200
5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 35
b) 36
c) 37
d) 39
e) 40
6. ¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la
figura?
a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 70
7. ¿Cuántos triángulos que no contengan asterisco
(*) se pueden contar?
a) 11
b) 10
c) 9
d) 12
e) 13
8. ¿Cuántos ángulos menores que 180º se pueden
contar en la figura?
a) 1
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
2
)1n(n
# cubos
n
1
1
1
n
n
1 2 3 4
32 33
A
C
B
*
*
A
B
C
D
E
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9. Hallar el total de ángulos:
a) 56
b) 28
c) 14
d) 32
e) 64
10. Hallar el número de sectores circulares
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
11. Hallar el total de cuadriláteros:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
12. Hallar el total de cuadriláteros en:
a) 360 b) 520 c) 481
d) 640 e) 468
13. ¿Cuántos cuadrados y cuántos cuadriláteros se
pueden observar en esta figura?
a) 50 y 125
b) 55 y 225
c) 75 y 250
d) 30 y 100
e) 55 y 150
14. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?
a) 79
b) 82
c) 84
d) 78
e) 87
15. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?
a) 25
b) 28
c) 30
d) 32
e) más de 25
Se tiene 1 río; en la orilla hay 3 cazadores y 3 caníbales; dichas personas deben de cruzar a
la orilla B, pero solo poseen una canoa en la que pueden ir como máximo 2 personas pero si
por alguna razón una cazador se queda solo con dos o tres caníbales estos se lo comen
¿cómo hacías para pasarlos a todos y que ninguno de los 6 nueva?
3 cazadores
3 caníbales
H
A
A
B C
C
C
B
D
C
C
B
E
C
C
B
F
C
C
B G
C
C
B
B
Bote
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1. La mitad del número de segmento directa que se
representan en la figura es:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
2. Hallar el total de triángulos en:
a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 70
3. Hallar el número de triángulos en:
a) 13
b) 16
c) 17
d) 19
e) 18
4. ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un
asterisco (*)?
a) 22
b) 19
c) 23
d) 18
e) 21
5. Hallar el número de triángulos en:
a) 39
b) 88
c) 40
d) 89
e) 86
6. El número de triángulos en la figura es:
a) 40
b) 46
c) 48
d) 36
e) 44
7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 31
b) 33
c) 35
d) 36
e) 32
8. Hallar el total de triángulos que se observan:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
9. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente
figura?
a) 2
)2n)(1n(
b) 2
)2n)(1n(
c) 1
)5n)(2n(
d) 4
)6n)(2n(
e) 4
)4n)(8n(
10. Hallar el número total de cuadriláteros:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) N.A.
E
C
C
B
B
C
C
B D
C
C
B A
C
C
B
C
C
C
B
F
C
C
B
1
C
C
B
2
C
C
B
3
C
C
B
10
CC
B
* CC
B * CC
B
* CC
B
1 C
C
B
2 C
C
B
3 C
C
B
40 CC
B
39 CC
B
38 CC
B
n
CC
B
n-1
CC
B
n-2
CC
B
1
C
C
B
2
C
C
B
3
C
C
B
4
C
C
B
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11. ¿Cuántos cuadrados se puede observar en la
figura?
a) 15
b) 21
c) 25
d) 31
e) 37
12. ¿Cuántos paralelogramos hay en la siguiente
figura?
a) 50
b) 60
c) 30
d) 45
e) 20
13. En la siguiente figura:
¿Cuántos cuadriláteros hay?
¿Cuántos cuadrados hay?
¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados se
puede observar?
a) 190; 10; 120
b) 195; 20; 130
c) 200; 30; 140
d) 205; 40; 150
e) 210; 50; 160
14. ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay
en ésta figura?
a) 10 - 6
b) 12 - 10
c) 12 - 12
d) 10 - 10
e) 12 - 6
15. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la
siguiente figura?
a) 500
b) 600
c) 400
d) 800
e) 900
1 C
C
B
2 C
C
B
3 C
C
B 19 CC
B 20 CCB
