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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TESIS DOCTORAL
CONTRIBUCIÓN AL DESARROLLO DETÉCNICAS CAD PARA EL DISEÑO DEANTENAS IMPRESAS Y DISPOSITIVOS
PASIVOS DE MICROONDAS BASADAS EN ELMÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Bilal El JaafariLicenciado en Física Electrónica
Máster Universitario en Tecnologías y Sistemas de telecomunicaciones
Madrid, 2013
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
DEPARTAMENTO DE ELECTROMAGNETISMO Y TEORÍA DE CIRCUITOS
TESIS DOCTORAL
CONTRIBUCIÓN AL DESARROLLO DETÉCNICAS CAD PARA EL DISEÑO DEANTENAS IMPRESAS Y DISPOSITIVOS
PASIVOS DE MICROONDAS BASADAS EN ELMÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Autor:
Bilal El JaafariLicenciado en Física Electrónica
Máster Universitario en Tecnologías y Sistemas de telecomunicaciones
Tutor:
Juan Zapata FerrerDoctor Ingeniero de Telecomunicación
Profesor Catedrático de Universidad
Madrid, 2013
Tesis Doctoral: Contribución al desarrollo de técnicas CAD para el diseño de antenasimpresas y dispositivos pasivos de microondas basadas en el método de elementosfinitos.
Autor: Bilal El Jaafari
Tutor: Juan Zapata Ferrer
Doctor Ingeniero de Telecomunicación
Profesor Catedrático de Universidad
Departamento: Electromagnetismo y teoría de circuitos
Universidad Politécnica de Madrid
El tribunal de calificación, compuesto por:
PRESIDENTE:
VOCALES:
VOCAL SECRETARIO:
Acuerda otorgarle la calificación de:
Madrid, a de de 2013
.
Es voluntad del autor la no utilización de las aportacionescientíficas propias vertidas en este documento, ni derivacio-nes de las mismas, con fines militares o en cualquier otraexpresión de la violencia.
.
A la memoria de mi padre.
A mi madre.Y a mis hermanas.
x
Agradecimientos
En primer lugar, me gustaría expresar mi más sincera gratitud a mi director detesis, el profesor Juan Zapata Ferrer, por sus cualidades humanas demostradas durantetodo el transcurso del doctorado, así como por su paciencia, tiempo y apoyo. Sin suorientación, consejos e ideas este trabajo no hubiera sido posible.
También, me gustaría mostrar mi especial agradecimiento a los miembros del grupode investigación de ‘‘Electromagnetismo Computacional Aplicado a Antenas y Micro-ondas’’, a Miguel A. González de Aza por las discusiones técnicas, y a Jesús GarcíaJiménez, José M. Gil, Jesús Rubio y Valentín de la Rubia por sus provechosos consejos.
Así mismo, quisiera extender mi reconocimiento a todo el Departamento de Elec-tromagnetismo y Teoría de Circuitos de la Universidad Politécnica de Madrid. A losdoctorandos del ‘GUETO’ de la misma unidad, tanto a los que siguen, Gerardo Pérez,Carlos A. Leal, Rafael Florencio, Ignacio Echeveste y Pedro Robustillo, como a los queya nos dejaron, José Enrique Varela Campelo, Eduardo Carrasco y Carolina Tienda.
Me gustaría también mostrar mi reconocimiento por el apoyo financiero percibidopara la realización de esta tesis doctoral, tanto por parte del Ministerio de Asuntos Ex-teriores y Cooperación, a través de la Agencia Española de Cooperación Internacionaly Desarrollo, como por parte de la Universidad Politécnica de Madrid.
De igual manera me gustaría expresar mi gratitud a M. Carmen Antequera portodo su apoyo y ayuda brindada.
Finalmente, me gustaría dar las gracias a todas las personas que me apoyarondurante esta experiencia. En particular a mis familiares que me animaron, no sólo enesta fase, sino también durante todo el desarrollo de mi carrera académica.
xii
Resumen
El objetivo principal de esta tesis es el desarrollo de herramientas numéricas basadasen técnicas de onda completa para el diseño asistido por ordenador (Computer-AidedDesign,‘CAD’) de dispositivos de microondas. En este contexto, se desarrolla una he-rramienta numérica basada en el método de los elementos finitos para el diseño yanálisis de antenas impresas mediante algoritmos de optimización. Esta técnica consis-te en dividir el análisis de una antena en dos partes. Una parte de análisis 3D que serealiza sólo una vez en cada punto de frecuencia de la banda de funcionamiento dondese sustituye una superficie que contiene la metalización del parche por puertas artifi-ciales. En una segunda parte se inserta entre las puertas artificiales en la estructura3D la superficie soportando una metalización y se procede un análisis 2D para carac-terizar el comportamiento de la antena. La técnica propuesta en esta tesis se puedeimplementar en un algoritmo de optimización para definir el perfil de la antena quepermite conseguir los objetivos del diseño. Se valida experimentalmente dicha técnicaempleándola en el diseño de antenas impresas de banda ancha para diferentes aplica-ciones mediante la optimización del perfil de los parches. También, se desarrolla en estatesis un procedimiento basado en el método de descomposición de dominio y el métodode los elementos finitos para el diseño de dispositivos pasivos de microonda. Se utilizaeste procedimiento en particular para el diseño y sintonía de filtros de microondas.En la primera etapa de su aplicación se divide la estructura que se quiere analizar ensubdominios aplicando el método de descomposición de dominio, este proceso permiteanalizar cada segmento por separado utilizando el método de análisis adecuado dadoque suele haber subdominios que se pueden analizar mediante métodos analíticos por loque el tiempo de análisis es más reducido. Se utilizan métodos numéricos para analizarlos subdominios que no se pueden analizar mediante métodos analíticos. En esta tesis,se utiliza el método de los elementos finitos para llevar acabo el análisis. Además de ladescomposición de dominio, se aplica un proceso de barrido en frecuencia para reducirlos tiempos del análisis. Como método de orden reducido se utiliza la técnica de basesreducidas. Se ha utilizado este procedimiento para diseñar y sintonizar varios ejemplosde filtros con el fin de comprobar la validez de dicho procedimiento. Los resultadosobtenidos demuestran la utilidad de este procedimiento y confirman su rigurosidad,
precisión y eficiencia en el diseño de filtros de microondas.
xiv
Abstract
The main objective of this thesis is the development of numerical tools based onfull-wave techniques for computer-aided design ‘CAD’ of microwave devices. In this con-text, a numerical technique based on the finite element method ‘FEM’ for the designand analysis of printed antennas using optimization algorithms has been developed.The proposed technique consists in dividing the analysis of the antenna in two stages.In the first stage, the regions of the antenna which do not need to be modified duringthe CAD process are initially characterized only once from their corresponding matrixtransfer function (Generalized Admittance matrix, ‘GAM’). The regions which will bemodified are defined as artificial ports, precisely the regions which will contain theconducting surfaces of the printed antenna. In a second stage, the contour shape of theconducting surfaces of the printed antenna is iteratively modified in order to achievea desired electromagnetic performance of the antenna. In this way, a new GAM of theradiating device which takes into account each printed antenna shape is computed aftereach iteration. The proposed technique can be implemented with a genetic algorithm toachieve the design objectives. This technique is validated experimentally and appliedto the design of wideband printed antennas for different applications by optimizing theshape of the radiating device. In addition, a procedure based on the domain decom-position method and the finite element method has been developed for the design ofmicrowave passive devices. In particular, this procedure can be applied to the designand tune of microwave filters. In the first stage of its implementation, the structureto be analyzed is divided into subdomains using the domain decomposition method;this process allows each subdomains can be analyzed separately using suitable analysismethod, since there is usually subdomains that can be analyzed by analytical methodsso that the time of analysis is reduced. For analyzing the subdomains that cannot beanalyzed by analytical methods, we use the numerical methods. In this thesis, the FEMis used to carry out the analysis. Furthermore the decomposition of the domain, a fre-quency sweep process is applied to reduce analysis times. The reduced order model asthe reduced basis technique is used in this procedure. This procedure is applied to thedesign and tune of several examples of microwave filters in order to check its validity.The obtained results allow concluding the usefulness of this procedure and confirming
their thoroughness, accuracy and efficiency for the design of microwave filters.
xvi
Nomenclatura
2D Bidimensional /Two-dimensional.
3D Tridimensional /Three-dimensional.
CAD Diseño Asistido por Ordenador /Computer Aided Design.
FDFD Diferencias Finitas en el Dominio de la Frecuencia /Finite Differences in Fre-quency Domain.
FDTD Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo /Finite Differences in Time Do-main.
GA Algoritmos Genéticos /Genetic Algorithms.
GAM Matriz de Admitancia Generalizada /Generalized Admitance Matrix.
GIM Matriz de Impedancia Generalizada /Generalized Impedance Matrix.
GSM Matriz de Dispersión Generalizada /Generalized Scattering Matrix.
IEEE Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos /Institute of Electrical and Elec-tronics Engineers.
MAM Matriz de Admitancia Multipropósito /Multipurpose Admitance Matrix.
MEF/FEM Método de los Elementos Finitos /Finite Element Method.
MM Mode-Matching.
MoM Método de los Momentos/Method of Moments.
PCW Funciones Definidas por Trozos /PieceWise Functions.
PEC Conductor Eléctrico Perfecto /Perfect Electric Conductor.
PMC Conductor Magnético Perfecto /Perfect Magnetic Conductor.
PVL Pade Vía Lanczos.
SA Enfriamiento Simulado /Simulated Annealing.
SyMPVL Pade a través de un proceso tipo Lanczos Matricial Simétrico /SymmetricMatrix Pade Via a Lanczos-type process.
xvii
TLM Matriz de Línea de Transmisión /Transmission Line Matrix.
UWB Banda Ultra Ancha/Ultra-WideBand.
WiMAX Interoperabilidad Mundial para Acceso por Microondas/Worldwide Interope-rability for Microwave Access.
WLAN Red de Área Local Inalámbrica/Wireless Local Area Network.
xviii
Índice general
1. Introducción general 11.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1.1. Métodos analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1.2. Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1.3. Métodos híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Algoritmos de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2.1. Algoritmos de optimización local . . . . . . . . . . . . 51.2.2.2. Algoritmos de optimización global . . . . . . . . . . . 71.2.2.3. Algoritmos de optimización genéticos . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Antenas microstrip de banda ancha . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Diseño de filtros de microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Objetivos previstos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Organización del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Fi-nitos 172.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Método de los Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Discretización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Selección de las funciones de interpolación . . . . . . . . . . . . 192.2.3. Construcción del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4. Resolución del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Técnica SFELP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1. Técnica de segmentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2. Formulación del Método de los Elementos Finitos . . . . . . . . 232.3.3. Obtención de la matriz de dispersión generalizada . . . . . . . . 272.3.4. Aproximación SyMPVL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Técnica de Bases Reducidas para barrido en frecuencia . . . . . . . . . 292.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropósito . . . . . . . . . . . 30
2.5.1. Puertas Modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2. Puertas Artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.3. Conversión de MAM a GAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3.1. Puertas en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3.2. Puerta en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . 38
xix
ÍNDICE GENERAL
2.5.3.3. Conexión de puertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos paraCAD de Antenas Microstrip 413.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Validación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1. Diseño de antena microstrip cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2. Diseño de antena microstrip miniaturizada . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante Al-goritmos Genéticos y el Método de los Elementos Finitos 614.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Procedimiento de diseño y validación experimental . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1. Descripción de la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2. Diseño de antenas microstrip de banda ancha centradas en 5.3GHz 67
4.2.2.1. Diseño 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2.2. Diseño 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.3. Optimización de antenas microstrip de banda ancha y diagramade radiación broadside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.3.1. Estrategia de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.3.2. Diseño de antenas microstrip para aplicaciones en la
banda de frecuencias 3.2-4.0 GHz . . . . . . . . . . . . 784.2.3.2.1. Diseño 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.3.2.2. Diseño 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3.3. Diseño de una antena microstrip con diagrama de ra-diación broadside en la banda de frecuencias 6-8GHz . 89
4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición deDominio-Método de Elementos Finitos para el Análisis y Diseño deDispositivos Pasivos de Microondas 955.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas . . . . . . . . . . . . 96
5.2.1. Método de Bases Reducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.2. Descripción del procedimiento de diseño y sintonía de filtros de
microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.3. Sintonía de filtros de microondas mediante optimización . . . . 106
5.3. Diseño y Sintonía de Filtro Dual-Mode en guía circular de orden 8 . . . 1155.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6. Conclusiones generales 1236.1. Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2. Contribuciones originales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.3. Líneas abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
xx
ÍNDICE GENERAL
6.4. Contexto de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.5. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5.1. Artículos en revista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5.2. Comunicaciones a congresos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5.2.1. Congresos internacionales . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5.2.2. Congresos nacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
xxi
ÍNDICE GENERAL
xxii
Índice de figuras
1.1. Métodos de Optimización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Diagrama de bloques de los algoritmos genéticos híbridos. . . . . . . . . 81.3. Diagrama de flujo de diseño de filtros de microondas y el procedimiento
de realización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Obtención de coordenadas locales a partir de las coordinadas globalesmediante un jacobiano de la transformación. . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Elemento de referencia. (a) Puntos que definen el elemento de referen-cia. (b) Funciones de interpolación vectoriales asociadas a las aristas, alas que se debe de añadir las 8 funciones asociadas a las caras (No seañadieron para no sobrecargar la figura). . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Dominio de análisis de una antena monopolo de perfil plano con unasuperficie de condiciones de contorno indefinidas (Puertas artificiales). . 31
2.4. Red multipuertas equivalente a la estructura de la antena que contienelas puertas artificiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Diferentes manipulaciones circuitales posibles aplicables sobre la MAMde la antena ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Sección de guía circular con dos puertas artificiales en una sección inter-media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Red mutlipuerta equivalente al dispositivo mutlipuerta de la sección deguía circular con dos puertas artificiales en una sección intermedia. . . 44
3.3. Insertar en una sección intermedia una superficie incluyendo un parche. 453.4. Proyección del mallado de la superficie que incluye el parche sobre el
mallado de las puertas artificiales de la estructura 3D. . . . . . . . . . . 463.5. Proceso de obtención de GAM del dispositivo incluyendo la metalización. 533.6. Proceso de optimización de circuitos de microondas mediante la nueva
técnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7. Antena microstrip diseñada mediante aplicación de la nueva técnica,
L1 = L2 = 4 cm, l1 = l2 = 2,5 cm, l0 = 3,2 cm, d = 0,75 cm, h1 = h2 =0,159 cm, w = 0,4 cm, εr1 = εr2 = 2,22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8. Geometría de la estructura antes de insetar el parche entre las puertasartificiales. L1 = L2 = 4 cm, h = 0,318 cm, w = 0,4 cm, εr1 = εr2 = 2,22. 57
3.9. Perfil 2D del parche. L1 = 4 cm, l1 = 2,5 cm. . . . . . . . . . . . . . . . 583.10. Coeficiente de reflexión de la antena microstrip cuadrada exitada por
línea microstrip en función de la frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . 59
xxiii
ÍNDICE DE FIGURAS
3.11. Antena microstrip miniaturizada, L1 = 4 cm, l1 = 2,5 cm, l2 w 0,75 cm,l0 = 3,2 cm, d = 0,75 cm, h1 = h2 = 0,159 cm, w = 0,4 cm, εr1 = εr2 =2,22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.12. Mallado 2D del anillo cuadrado optimizado. l1 = 2,5 cm, l2 w 0,75 cm. . 603.13. Coeficiente de reflexión en función de la frecuencia. . . . . . . . . . . . 60
4.1. Geometría de la antena microstrip soportada por una cavidad metálicay excitada por una línea coaxial donde se ha reemplazado el parche dela antena por puertas artificiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Perfil de forma arbitraria de una antena de parche soportada por unacavidad metálica. (a) Variables que definen la forma del perfil del parche,(b) Parámetros que caracterizan la geometría de la antena. h = 0,316cm,e = 0,234cm, εr1 = 1,9889, εr2 = 2,55 y εr3 = 1,0. . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Inserción de un parche de perfil optimizado entre las puertas artificialesγ1 y γ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4. Conexión de las puertas artificiales γp1 y γp2 entre sí y obtención de undispositivo con sólo puertas modales caracterizado por una matriz deadmitancia generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5. Evolución de la optimización genética en función del número de evalua-ciones de la función de fitness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6. Mallado del perfil optimizado de la antena de parche diseñada. . . . . . 694.7. Fotografía del prototipo de antena obtenida mediante optimización ge-
nética comparada con una moneda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8. Comparación de las pérdidas de retorno medidas y simuladas de la an-
tena diseñada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.9. Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en las
frecuancias: 4.8GHz, 5.3GHz y 5.9GHz en el plano φ = 0º. . . . . . . . 714.10. Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en las
frecuancias: 4.8GHz, 5.3GHz y 5.9GHz en el plano φ = 45º. . . . . . . . 724.11. Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en las
frecuancias: 4.8GHz, 5.3GHz y 5.9GHz en el plano φ = 90º. . . . . . . . 724.12. Mallado del perfil del parche optimizado de la antena. . . . . . . . . . . 734.13. Fotografía del prototipo de antena optimizada mediante algoritmo ge-
nético comparada con una moneda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.14. Medidas y simulaciones de las pérdidas de retorno de la antena diseñada
mediante optimización genética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.15. Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en las
frecuancias: 4.8, 5.2 y 5.8GHZ en el plano φ = 0º. . . . . . . . . . . . . 764.16. Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en las
frecuencias: 4.8, 5.2 y 5.8GHz en el plano φ = 45º. . . . . . . . . . . . . 764.17. Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en las
frecuencias: 4.8, 5.2 y 5.8GHz en el plano φ = 90º. . . . . . . . . . . . . 774.18. Mallado del parche de perfil optimizado de la antena microstrip. . . . . 794.19. Pérdidas de retorno de la antena microstrip diseñada. . . . . . . . . . . 804.20. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º
evaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz. . . . . . . . 80
xxiv
ÍNDICE DE FIGURAS
4.21. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz. . . . . . . . 81
4.22. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz. . . . . . . . 81
4.23. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz. . . . . . . . 82
4.24. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz. . . . . . . . 82
4.25. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz. . . . . . . . 83
4.26. Optimización de un cuarto del perfil de la antena y generación del perfilentero mediante simetrías. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.28. Pérdidas de retorno de la antena microstrip obtenidas mediante simula-ciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.27. Mallado del perfil optimizado de la antena microstrip de 14% de banda. 854.29. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º
evaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz. . . . . . . 864.30. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º
evaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz. . . . . . . 864.31. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45º
evaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz. . . . . . . 874.32. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45º
evaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz. . . . . . . 874.33. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90º
evaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz. . . . . . . 884.34. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90º
evaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz. . . . . . . 884.35. Diagrama de flujo de la función de coste para optimizar el diagrama de
radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.36. Mallado del parche de perfil optimizado de la antena microstrip de 22%
de banda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.37. Pérdidas de retorno de la antena microstrip diseñada para aplicaciones
de banda ancha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.38. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º
evaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz. . . . . 924.39. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º
evaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz. . . . . 924.40. Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90º
evaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz. . . . . 934.41. Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90º
evaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz. . . . . 93
5.1. Proceso de diseño y sintonía de filtros de microondas. . . . . . . . . . . 985.2. Topología del filtro en guía de ondas de orden 4. Vista lateral según un
corte en el plano de simetría yz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
xxv
ÍNDICE DE FIGURAS
5.3. El error residual en el análisis del filtro para diferentes bases reducidasde distintas dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4. Respuesta del filtro en comparacion con la respuesta obtenida con HFSS. 1025.5. Geometría del filtro dual-mode en guía de ondas circular. . . . . . . . . 1035.6. Descomposición de dominio de la geometría del filtro Dual-mode en guía
de ondas circular en subdominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7. Utilización de puertas artificiales para análizar volúmenes extraídos. . . 1055.8. Evolución de la respuesta del filtro dual-mode en guía circular con la
variación de la profundidad del tornillo de sintonía. . . . . . . . . . . . 1065.9. Respuesta en banda ancha del filtro dual-mode. . . . . . . . . . . . . . 1075.10. Diagrama de flujo simplificado del algoritmo de diseño de filtros median-
te optimización usando el método de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . 1085.11. Geometría del filtro de resonadores dieléctricos cilíndricos de 4º orden. 1095.12. (a) Vista lateral, (b) Vista desde arriba de las cavidades del filtro de
resonadores dieléctricos cilíndricos de 4º orden. . . . . . . . . . . . . . . 1095.13. Respuesta circuital ideal del filtro de resonadores dieléctricos cilíndricos
de 4º orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.14. Descomposición de dominio del filtro a resonadores dieléctricos cilíndri-
cos de 4º orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.15. Respuesta del prototipo inicial del filtro en comparación con la respuesta
del modelo circuital (—). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.16. Diagrama de polos y ceros de la función racional de la respuesta del
prototipo inicial del filtro en el plano complejo. . . . . . . . . . . . . . 1125.17. Evolución de la sintinía del filtro mediante optimización, Izq. Respuesta
del filtro en cada iteración, Dcha. Evolución del error entre los polos yceros de la función racional de la respuesta del diseño del filtro y los delmodelo circuital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.18. Respuesta del diseño final obtenida mediante optimización con compa-ración con la respuesta circuital ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.19. Distribución de los ceros y polos de la función racional de la respuestadel diseño final en comparacion con los del modelo circuital del filtro. . 114
5.20. Geometría del filtro dual-mode en guía circular de 8º orden. . . . . . . 1165.21. Respuesta del modelo circuital del filtro dual-mode en guía circular de
8º orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.22. Respuesta del diseño inicial del filtro en comparación con la respuesta
del modelo circuital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.23. Distribución de los polos y ceros de la función racional de la respuesta
del prototipo inicial en comparación con los del modelo circuital. . . . . 1185.24. Evolución de la respuesta del filtro y del error entre los polos y ceros de
la función racional de la respuesta del diseño del filtro y los del modelocircuital durante el proceso de optimización. . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.25. Comparación entre la respuesta del diseño final del filtro y la respuestadel modelo circuital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.26. Distribución de los polos y ceros de la función racional de la respuestadel diseño final del filtro en el plano complejo en comparación con losdel modelo circuital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
xxvi
Índice de cuadros
4.1. Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético. 704.2. Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético. 734.3. Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético. 794.4. Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético. 844.5. Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético. 89
xxvii
ÍNDICE DE CUADROS
xxviii
Capítulo 1
Introducción general
1.1. Motivación
La ingeniería y la industria de las tecnologías de comunicación viven sometidas hoy
día a un sinfín de procesos de desarrollo con el objetivo de responder a las necesida-
des de los usuarios de servicios de comunicación. Esta evolución ha dado lugar a una
inmensa necesidad de dispositivos y sistemas de comunicación de altas prestaciones.
Para satisfacer a las especificaciones de diseño de estos sistemas de comunicación, con-
tinuamente más exigentes, se necesitan herramientas potentes capaces de predecir el
comportamiento físico de dichos sistemas con máxima precisión. En este sentido, se
ha generado un continuo desarrollo de herramientas de diseño con simuladores elec-
tromagnéticos de onda completa. Las que comúnmente denominadas también como
herramientas de diseño asistido por ordenador o en abreviación inglesa CAD. Básica-
mente, las herramientas CAD basadas en técnicas de onda completa han demostrado ser
sumamente precisas, aunque en la mayoría de los casos prácticos suelen exigir recursos
computacionales importantes, fundamentalmente de memoria y tiempo de simulación.
Estos inconvenientes que presentan las herramientas CAD, el elevado coste temporal
y computacional, motivan idear técnicas ingeniosas con el propósito de reducir los ex-
cesivos tiempos de análisis y las importantes necesidades en recursos computacionales,
no solo para que sean utilizados como herramientas para analizar los sistemas de co-
municación sino también como herramientas para diseñarlos, en particular mediante
1
1. Introducción general
algoritmos de optimización.
Como puede verse en una sección posterior de este capítulo, existen varios métodos
en los que se basan las herramientas CAD. Cada método se basa en un propio concepto y
metodología y tiene sus características y limitaciones. Entre una diversidad importante
de métodos, el método de los elementos finitos que es ampliamente conocido como
método de análisis numérico donde su versatilidad geométrica y robustez lo convierta
en un interesante método de análisis de onda completa para el análisis de sistemas
de microondas. Entre muchas clases de sistemas de microondas, las antenas, en el
presente trabajo las que están realizadas en tecnología microstrip, y los dispositivos
pasivos requieren cumplir unas especificaciones de diseño, extremadamente estrictas
y restrictivas. En la sección siguiente se tomará este tema con más detalles (véase la
sección del estado del arte). En este contexto, se contribuye mediante esta tesis doctoral,
al desarrollo de herramientas CAD rápidas, precisas y de coste computacional reducido
para simuladores electromagnéticos.
El objetivo del trabajo aquí expuesto es el desarrollo de herramientas CAD para el
análisis y diseño de antenas microstrip y dispositivos pasivos de microondas basadas
en técnicas de análisis de onda completa y algoritmos de optimización. En este sentido,
se presenta una técnica numérica basada en el método de los elementos finitos para
el diseño de circuitos realizados en tecnología microstrip, en particular las antenas
microstrip mediante procesos de diseño basados en la utilización de algoritmos de
optimización genéticos. A continuación, se presenta un procedimiento rápido y eficiente
para el diseño de dispositivos pasivos de microondas basado en una combinación del
método de los elementos finitos junto con la técnica de descomposición de dominio y
el método de bases reducidas. El estudio se centra en el diseño y sintonía de filtros de
microondas mediante la aplicación de dicho procedimiento.
2
1.2. Estado del arte
1.2. Estado del arte
1.2.1. Métodos de análisis
La selección de la técnica adecuada para resolver un problema de electromagnetis-
mo es un factor importante para asegurar la exactitud de la solución, ya que elegir a
un método inadecuado puede dar lugar a resultados incorrectos, o las soluciones que se
necesitan pueden llevar demasiado tiempo para obtenerse. En esta sección, se presenta
un apunte, a modo descriptivo, que resume los diferentes métodos de análisis utiliza-
dos en el electromagnetismo en los cuáles se basan los simuladores electromagnéticos
comerciales en la actualidad.
1.2.1.1. Métodos analíticos
Los métodos analíticos en el análisis electromagnético incluyen todos los métodos
matemáticos que pueden resolver un problema compuesto por ecuaciones diferenciales.
El análisis electromagnético mediante métodos analíticos se considera el más eficaz por
la rapidez y la exactitud de la solución obtenida, pero lamentablemente, estos métodos
no pueden aplicarse para la resolución de la mayoría de los problemas electromagnéticos
por la complejidad que representan. Las limitaciones de aplicación de los métodos
analíticos en el análisis electromagnético les hacen incapaces de analizar los recientes
sistemas de electromagnetismo. En esta categoría de métodos se destacan el método
de separación de variables [1, 2], el método de aproximación circuital [3] y el método
de ajuste modal [4, 5] entre otros [2, 6].
El progreso y el avance de las aplicaciones en las nuevas tecnologías hace necesario
utilizar los métodos numéricos como una alternativa que supera los inconvenientes que
presentan los métodos analíticos para analizar los dispositivos electromagnéticos más
complejos que se utilizan en la tecnología de alta frecuencias y que es imposible ana-
lizarlos con métodos analíticos. Sin embargo, se suele recurrir a utilizar estos métodos
para complementar el análisis electromagnético mediante métodos numéricos.
3
1. Introducción general
1.2.1.2. Métodos numéricos
Actualmente, los métodos numéricos para el análisis de problemas de electromag-
netismo han logrado una popularidad creciente importante pero justificada dado que
pueden aplicarse para resolver cualquier problema complejo. Entre muchos métodos
numéricos destacan: el Método de los Elementos Finitos [7, 8], el Método de Diferen-
cias Finitas en ambos dominios, temporal FDTD [9, 10, 11] y espectral o de frecuencias
FDFD [12, 13], el Método de Matriz de Líneas de Transmisión TLM [14, 15, 16] y el
Método de Momentos [17] entre muchos [6, 18, 19]. Cada uno de estos se basa en una
metodología propia, pero el concepto común entre ellos es la discretización del dominio
de análisis. El análisis mediante estos métodos consiste en la discretización del domi-
nio en un conjunto de subdominios. Se aproxima el campo electromagnético en cada
subdominio mediante diversas técnicas de manera que se obtiene al final un sistema de
ecuaciones cuya solución permitirá reconstruir y caracterizar el campo en el dominio
integral. A pesar de que los métodos se consideran como métodos de análisis fiables,
rigurosos y precisos pero en muchos casos son de coste computacional elevado. Por ello,
se desarrollan nuevos métodos basados en una combinación inteligente de los métodos
numéricos y analíticos. Estos últimos se definen como métodos híbridos.
1.2.1.3. Métodos híbridos
El continuo desarrollo de los métodos numéricos ha dado lugar a nuevos métodos
que intentan sacar partido de las ventajas de ambos métodos tanto numéricos como
analíticos, entre estas, la eficiencia y bajo coste computacional de los métodos analí-
ticos y la flexibilidad de los métodos numéricos y su capacidad de analizar problemas
complejos. Esta clase de métodos llamados métodos híbridos permiten reducir el coste
computacional de un análisis y acelerar su proceso. Suelen basarse en una combinación
inteligente de métodos analíticos y numéricos. En los últimos años se han desarrollado
y documentado un gran número de métodos híbridos que presentan una flexibilidad
cada vez más creciente. Por ejemplo en [20, 21, 22] fue desarrollado un método híbrido
4
1.2. Estado del arte
basado en una combinación del método de los elementos finitos y el método de ajuste
modal para el análisis de circuitos pasivos de microondas, en [23, 24] por ejemplo se
desarrolló un método híbrido basado en una combinación del método de los momentos y
ajuste modal, en [25, 26] se presentó una técnica que combina el método de los elemen-
tos finitos y el método de momentos. En la literatura se puede encontrar más técnicas
híbridas basadas en la combinación de varios métodos [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].
1.2.2. Algoritmos de optimización
Existe una bibliografía muy extensa que versa sobre los diferentes algoritmos de
optimización. Básicamente, se puede distinguir entre dos ramas de algoritmos, los al-
goritmos de optimización local y los algoritmos de optimización global. En cada tipo
de estos algoritmos se incluyen varios métodos de optimización como puede verse en
la Fig. 1.1. En esta parte, se presentan de manera somera la metodología de estas dos
ramas. Y a continuación, se centra en los algoritmos genéticos que se utilizarán en la
elaboración de algunos estudios en esta tesis.
1.2.2.1. Algoritmos de optimización local
Se puede definir como algoritmo de optimización local [34, 35, 36] aquel basado en
gradiente o derivadas de la función objeto de optimización. Los algoritmos OL se dirigen
hacia la solución más próxima siguiendo la dirección en la que el gradiente disminuye
o aumenta, según la forma de abordar el problema (minimización o maximización).
En general, se puede establecer una clasificación de los algoritmos dependiendo de la
información disponible sobre las derivadas de la función objeto de optimización como:
Métodos sin información de la derivada: Son métodos que no necesitan extraer
información sobre las derivadas de la función. Pertenecen a esta categoría métodos
como Simplex [37].
Métodos con derivadas de primer orden: Utilizan información sobre el gradiente
5
1. Introducción general
Figura 1.1: Métodos de Optimización.
de la función a optimizar. Son generalmente los algoritmos de tipo gradiente, como
de gradiente conjugado de los que son ejemplo algoritmos como el de Fletcher-
Reeves o el algoritmo de Polak-Ribiere [35, 38].
Métodos con derivadas de segundo orden: Utilizan información sobre el Hessiano
de la función. Están englobados en esta categoría métodos como el método de
Newton o los métodos quasi-Newton [39, 40] y los de métrica variable.
Entre las ventajas de este tipo de algoritmos, se destaca la posibilidad de llegar a una
solución en un número de iteraciones relativamente pequeño. Sin embargo, la solución
buscada puede ser que no coincida con la solución óptima del problema. Para ello, se
dirige a los algoritmos de optimización global.
6
1.2. Estado del arte
1.2.2.2. Algoritmos de optimización global
Como alternativa a los algoritmos OL, se encuentran los algoritmos de optimización
global [36, 41] que pueden explorar el espacio de soluciones para encontrar la solución
óptima buscada, independientemente de las condiciones iniciales. Estos algoritmos han
alcanzado una gran popularidad entre los métodos de optimización, en particular para
problemas de electromagnetismo por su gran flexibilidad y capacidad para la resolución
de problemas complejos de múltiples parámetros en mayoría de casos. Entre varios
algoritmos de optimización global destacan los Algoritmos Genéticos inspirados en la
evolución biológica [42, 43, 44, 45], los algoritmos ‘Simulated Annealing ’ inspirados
en el enfriamiento lento del cristal [46, 47], ‘Ant Colony Optimisation’ inspirado en
el comportamiento de una colonia de hormigas [48, 49, 50] y más recientemente la
optimización con enjambre de partículas ‘Particle Swarm Optimization’ basado en el
movimiento de abejas buscando alimentos [51, 52, 53] entre otros.
1.2.2.3. Algoritmos de optimización genéticos
Los algoritmos de optimización genéticos se presentan como métodos estocásticos
de optimización global basados en los principios de la evolución natural o las ideas
de evolución propuestas por C. Darwin. Consisten en la mimetización de la evolución
genética de las especies, promoviendo la supervivencia de los mejores individuos. Prin-
cipalmente, el esquema básico de los GA incluye la operación de selección, cruce y
mutación, con una representación en binario de los parámetros de optimización. No
obstante, continuas modificaciones se han sucedido al nivel del esquema de un lado y a
nivel de las características del algoritmo, con el objetivo de mejorar su rendimiento. Así,
pueden encontrarse en las recientes versiones de este tipo de algoritmos nuevas aporta-
ciones como la implementación de codificación real de los parámetros de optimización,
la implementación de algoritmos micro-genéticos [54, 55, 56] o como más reciente los
algoritmos híbridos que se basan en la combinación el potencial del GA con un método
de optimización local con el fin de acelerar la convergencia hacia la solución óptima
7
1. Introducción general
[57, 58], Fig. 1.2. Tambien con otros métodos de optimización [59, 60]. Sin embargo, la
contribución más importante fue el desarrollo de algoritmos genéticos multi-objetivo
[61, 62]. Estos últimos conocen un éxito en el dominio de electromagnetismo dado que
en un problema suele presentarse múltiples objetivos a optimizar. Al contrario de los
algoritmos GA mono-objetivo que la función de coste o fitness objetivo de optimización
está definida como una combinación lineal de los parámetros a optimizar con pesos pa-
ra ponderar la influencia de cada uno de ellos, en los algoritmos GA multi-objetivo se
puede eliminar la necesidad de estos pesos y definir múltiples funciones a optimizar en
el mismo proceso de optimización.
Figura 1.2: Diagrama de bloques de los algoritmos genéticos híbridos.
8
1.2. Estado del arte
1.2.3. Antenas microstrip de banda ancha
En general, la tendencia actual en la tecnología de las antenas, los dispositivos
transmisores y receptores en los sistemas de comunicación es el desarrollo de antenas
de bajo coste y de perfil reducido capaces de mantener un rendimiento alto sobre bandas
de frecuencias habitualmente anchas. Esta tendencia ha centrado mucho esfuerzo en el
diseño de antenas microstrip. Con una geometría simple, las antenas microstrip ofrecen
muchas ventajas que normalmente no se exhiben en otras configuraciones de antenas.
Por ejemplo, estas antenas son de perfil extremadamente bajo, ligero, simples y de bajo
coste de fabricación, compatible con los circuitos integrados de microondas y de ondas
milimétricas (Monolithic Microwave Integrated Circuit, MMIC) y tienen la capacidad
de adaptarse a superficies planas y no planas (Conformes), etc. [8, 63, 64]. Además,
una vez que la forma y el modo de funcionamiento del parche se seleccionan, los diseños
se convierten en diseños muy versátiles en términos de frecuencia de funcionamiento,
polarización, diagrama de radiación, y la impedancia. La variedad en el diseño que es
posible con antenas microstrip es probablemente superior a la de cualquier otro tipo
de antenas.
A pesar de las muchas ventajas de las antenas microstrip, estas también poseen
algunas desventajas considerables. Una de las principales limitaciones que presentan
las antenas microstrip es su rendimiento inherentemente de banda estrecha, debido
a su naturaleza resonante. Con anchos de banda de sólo un pequeño porcentaje, las
aplicaciones de banda ancha que utilizan diseños convencionales de parches son limi-
tados. Otras características de antenas de parche incluirán baja eficiencia, capacidad
de potencia limitada, la radiación espuria de la alimentación, la pureza de polarización
pobre, y los problemas de tolerancia de fabricación.
Durante más de dos décadas, los investigadores han desarrollado varias técnicas para
aumentar el ancho de banda de las antenas microstrip y mejorar el rendemiento de su
foncionamiento. Muchas de estas técnicas implican el ajuste de la colocación y/o el tipo
del elemento que se utiliza para alimentar (o excitar) la antena, modificación del perfil
9
1. Introducción general
de las antenas (Modified Shape Patch Antenna), la utilización de estructuras mutlicapa
(Multilayer Configurations MSA), (Stacked Multi-resonator MSA) y recientemente la
utilización de las estructuras con EBG (MSA with Electromagnetic Band-Gap) [65, 66,
67] entre otras [68, 69, 70].
1.2.4. Diseño de filtros de microondas
Los filtros de microondas son unos dispositivos que proporcionan la selectividad en
frecuencias en los sistemas de comunicación (comunicaciones por móviles y por satélite,
radar y los sistemas de teledetección que funcionen a frecuencias de microondas, etc.)
[71, 72]. Se consideran estos dispositivos como unos de los elementos más importantes
en casi todos los sistemas de comunicación. Un filtro de microondas es básicamente un
dispositivo que se utiliza para distinguir y seleccionar entre las señales deseadas y las
que no son deseadas dentro de una banda de frecuencias especificada. A medida que los
sistemas de comunicación evolucionan, las frecuencias más altas se exploran y se fijan
nuevos estándares. Además, los requisitos de los filtros en términos de selectividad se
vuelven más rigurosos, debido al espectro de la frecuencia limitado disponible.
En general, las características del filtro se describen en términos de pérdidas de
inserción, pérdidas de retorno, la frecuencia de selectividad (rechazo o atenuación en
la banda), el retardo de grupo de variación en la banda de paso, y así sucesivamente.
Los filtros deben contar con bajas pérdidas de inserción, pérdida de retorno libre para
una buena adaptación con los componentes de interconexión y de alta selectividad en
frecuencia para evitar interferencias.
Para cumplir las especificaciones de diseño, se necesitan métodos de diseño que per-
mitan lograr la precisión requerida de los resultados. Básicamente, puede distinguirse
entre dos gamas del método de diseño: Los métodos de aproximación como por ejemplo
el método de circuito equivalente, en algunos casos el método de ajuste modal, etc. y
los métodos numéricos basados en onda completa entre los cuales se destacan el método
de los elementos finitos, el método de diferencias finitas, el método de momentos, etc.
10
1.2. Estado del arte
Optimización de Filtros de Microondas
La optimización de los filtros de microondas ha sido un tema de investigación atrac-
tivo. La necesidad de la optimización se hace aún más evidente para los filtros a fre-
cuencias cada vez más altas donde no se dispone de un procedimiento general directo y
preciso. Recientemente, los simuladores EM se han convertido en una herramienta in-
dispensable en el diseño de dispositivos de microondas. Los simuladores EM comerciales
usan métodos numéricos tales como el método de elementos finitos (FEM), diferencias
finitas en el dominio del tiempo (FDTD), etc., para resolver las ecuaciones de Max-
well. La simulación EM es generalmente un proceso exigente en términos de tiempo
de CPU. Esto hace que sea difícil optimizar filtros de microondas directamente usando
estas herramientas ya que los tiempos de cálculo pueden llegar a ser excesivos.
Recientemente, ha habido un interés creciente en las técnicas de optimización efi-
cientes que utilizan un modelo de circuito simple, como un paso intermedio para evitar
la optimización directa usando simulaciones EM [73, 74]. Estas técnicas proporcionan
una estrategia de optimización más eficiente que la clásica. Estas han permitido la
optimización de las estructuras de filtro de gran tamaño y de orden superior que son
imposibles de manejar a través de la optimización directa. El éxito de estas técnicas
depende en gran medida de tener un modelo de circuito intermedio que puede descri-
bir con precisión el comportamiento de la estructura dentro de una cierta banda de
frecuencia.
Existen varias opciones para calcular las dimensiones de un dispositivo a partir de
su modelo circuital. Lo más habitual pasa por modelos analíticos o tablas de datos
que relacionen uno y otro espacio de variables. Sin embargo, dichos modelos son más
o menos aproximados, tienen un margen de validez limitado y están restringidos a un
determinado tipo de dispositivos.
En los últimos años se han propuesto esquemas de optimización directa basados en
el análisis electromagnético que permiten el diseño, la síntesis y ajuste de dispositivos
pasivos de microondas [74, 75, 76, 77], Fig. 1.3. La potencia de los métodos de análisis
11
1. Introducción general
electromagnético, o de onda completa, reside en el tratamiento del problema físico, lo
cual aporta varias ventajas como por ejemplo:
Pueden aplicarse a dispositivos complejos, con geometrías arbitrarias e irregula-
res.
Todos los efectos del electromagnetismo son tenidos en consideración. Estos efec-
tos suelen ser despreciados parcial o totalmente por los modelos paramétricos.
El gran obstáculo que impide la generalización del uso de simulaciones de onda completa
como herramienta de diseño y ajuste de dispositivos pasivos es el elevado coste en
tiempo y recursos computacionales. No obstante, muchos esfuerzos se han realizado
para superar este inconveniente. En esta tesis, se presenta una contribución en este
sentido, con el fin de disponer de una herramienta basada en técnicas de onda completa
para el diseño y síntesis mediante procesos de optimización de filtros de microondas.
1.3. Objetivos previstos
El objetivo de esta tesis se centra en el desarrollo de herramientas para el diseño
y análisis tanto de antenas microstrip, en particular las antenas microstrip de banda
ancha, como de dispositivos pasivos de microondas, principalmente los filtros. Para
conseguir los propósitos propuestos, se procede primero al desarrollo de una técnica
para el diseño de antenas microstrip basando inicialmente en la formulación MEF-
MAM. Esta técnica permitirá dividir el análisis de una estructura en dos partes, una
parte de análisis 3D que se realiza sólo una vez y la segunda es un análisis 2D de
coste computacional y temporal reducido. A continuación, se incorpora esta técnica
en un algoritmo de optimización global para conseguir el objetivo de disponer de una
herramienta de diseño de antenas mediante optimización. Como segundo objetivo, se
pretende desarrollar una herramienta numérica para el diseño y sintonía de filtros de
microondas mediante optimizaciones basadas en la utilización de técnicas de onda
12
1.4. Organización del texto
Figura 1.3: Diagrama de flujo de diseño de filtros de microondas y el procedimiento derealización.
completa. Para ello, se complementará el análisis mediante el método de los elementos
finitos por un proceso basado en el método de descomposición de dominio con el método
de Cauchy para extraer un polinomio racional de los parámetros del filtro, pérdidas de
retorno y la transmisión, que facilitan obtener información sobre el comportamiento en
frecuencia de dicho dispositivo. A lo largo de esta tesis doctoral, se exponen los detalles
del desarrollo de estos objetivos.
1.4. Organización del texto
La presente tesis se divide en tres bloques principales, a los que se debe añadir
la presente introducción y más adelante las conclusiones finales. Se dedica el primer
bloque a exponer brevemente los fundamentos teóricos que sustentan la tesis. En el
13
1. Introducción general
segundo bloque se presenta el desarrollo de una nueva herramienta numérica para el
análisis y diseño de antenas microstrip mediante procesos de optimización, además se
expone su aplicación para optimizar perfiles de antenas microstrip de banda ancha.
Finalmente, en el tercer bloque, se expone un procedimiento basado en una combina-
ción de herramientas desarrolladas en nuestro grupo de investigación para el diseño de
dispositivos pasivos de microondas, en particular el diseño y sintonía de filtros.
Dentro de esta división por contenido, el texto de esta tesis será organizado por
capítulos. En total son seis capítulos clasificados de la forma siguiente:
En el primer capítulo se trata de esta introducción, en ella se presentan las mo-
tivaciones y objetivos de esta tesis. Se presenta también el estado del arte de los
temas en que se basa el desarrollo de esta tesis.
En el segundo capítulo se presenta el fundamento teórico del análisis electromag-
nético en el que se basan las herramientas básicas SFELP y MAM utilizadas
en una parte de esta tesis o en el desarrollo de nuevas herramientas de análisis
electromagnético. Básicamente, todas estas herramientas están basadas en el mé-
todo de los elementos finitos. Sin embargo, suele complementarse dependiendo
del problema, por otros métodos, principalmente el método de descomposición
de dominio.
En el tercer capítulo se describe la formulación de una técnica numérica basada
en el conjunto de los dos métodos SFELP y MAM con el propósito de disponer de
una herramienta numérica para el diseño de dispositivos de radio-frecuencia, en
particular las antenas microstrip. Dicha herramienta se incorpora en un proceso
de optimización con el fin de diseñar los perfiles y características de las antenas
microstrip. En este caso se ha elegido como algoritmo de optimización uno de
carácter genético.
En el cuarto capítulo se aplica la técnica propuesta al diseño de antenas microstrip
de banda ancha mediante procesos de optimización de perfil de los parches para
14
1.4. Organización del texto
determinadas bandas de aplicaciones de comunicación. Los procesos de optimi-
zación están basados en los algoritmos genéticos que adaptamos para problemas
de electromagnetismo.
El quinto capítulo se dedica a exponer un procedimiento para diseño y análisis
de dispositivos pasivos de microondas basado en una combinación inteligente de
todas las herramientas de análisis que disponemos. En este capítulo se centra
en la aplicación del dicho procedimiento para el diseño y síntesis de filtros de
microondas mediante optimización.
En el sexto y último capítulo se presentan las conclusiones finales de esta tesis y se
exponen tanto las contribuciones originales de este trabajo así como las posibles
líneas futuras de investigación que surgen como consecuencia. Se termina con la
enumeración de las publicaciones a las que ha dado lugar esta tesis doctoral y
una lista de los proyectos de investigación en los que forma parte este trabajo.
15
1. Introducción general
16
Capítulo 2
Análisis Electromagnético mediante el
Método de los Elementos Finitos
2.1. Introducción
El análisis electromagnético se basa principalmente en la resolución de un proble-
ma electromagnético compuesto por las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de
contorno. Dependiendo de la complejidad del problema impuesto, se elige el método
adecuado para llevar a cabo este análisis. En general, se puede distinguir entre dos ga-
mas de métodos de análisis electromagnético: métodos analíticos y métodos numéricos.
Entre muchas clases de métodos numéricos, como ya se comentó en el capítulo an-
terior, hay unos que se utilizan más a menudo que otros en el análisis electromagnético
por la eficiencia y la precisión de los resultados y las ventajas que ofrecen, como por
ejemplo el método de los elementos finitos [7, 8]. En esta tesis, todo el desarrollo teórico
está basado en utilizar el método de los elementos finitos. Se elige este método por el
perfil más privilegiado que presenta entre los métodos numéricos.
Se dedica este capítulo a dar una descripción somera del método de los elementos
finitos y la formulación de los problemas electromagnéticos basándose en este método.
17
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
2.2. Método de los Elementos Finitos
El método de los elementos finitos es una técnica numérica muy adecuada para el
análisis de problemas electromagnéticos expresados mediante ecuaciones diferenciales
teniendo en cuenta las condiciones de contorno. Consiste básicamente en la discretiza-
ción del dominio del problema, prácticamente no existen limitaciones en las geometrías
a analizar, en subdominios que se llaman elementos finitos. Dentro de cada elemento,
el campo electromagnético se aproxima mediante diversas técnicas, de forma que se
obtienen sistemas de ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Maxwell cuya solución
permitirá reconstruir el campo electromagnético en el subdominio, la unión de estas
soluciones permite la obtención de la solución final buscada.
En esta sección, describimos las principales etapas para la aplicación del método de
los elementos finitos, en particular, describimos las etapas siguientes:
Discretización del dominio continúo en un conjunto de sub-dominios (elementos
finitos).
Selección de la función de interpolación y definición de una solución aproximada
sobre cada elemento (subdominio).
Formulación y construcción del sistema de ecuaciones diferenciales (cálculo de
matrices elementales, ensamblado de matrices elementales, aplicación de condi-
ciones de contorno).
Resolución del sistema de ecuaciones algebraicas.
2.2.1. Discretización geométrica
En el análisis electromagnético basando en métodos numéricos, siempre, se divide la
estructura o el dominio del problema en un conjunto finito de subdominios para poder
aproximar la solución del problema dentro de este dominio. En el caso del método de
los elementos finitos estos subdominios se llaman elementos finitos. La forma de estos
18
2.2. Método de los Elementos Finitos
elementos depende de la dimensión del problema, en problemas de 1D son simplemente
trozos de líneas, 2D son triangulares o cuadriláteros y en 3D son tetraedros o hexaedros
o diversos prismas. En la discretización del dominio en elementos finitos se debe cumplir
que el conjunto de todos los elementos se aproximen lo más posible al dominio original
para minimizar el error de discretización (Error de truncamiento), error que se comete al
pasar de un problema continuo a un modelo de elementos finitos, i.e. un error provocado
al presentar los infinitos grados de libertad del problema continuo por un número
de grados de libertad finito en su forma discretizada, se requiere también que dos
elementos distintos no tengan recubrimiento o agujeros entre ambos. El objetivo de la
discretización es facilitar la búsqueda de las funciones de interpolación apropiadas que
nos permitirán obtener una solución aproximada.
2.2.2. Selección de las funciones de interpolación
Después de discretizar el dominio a analizar (Generación del mallado o Mesh), te-
nemos que seleccionar funciones de interpolación apropiadas para cada elemento que
puedan caracterizar el campo electromagnético dentro de este elemento. Prácticamen-
te, lo que hacemos es determinar estas funciones para un elemento y considerarlo como
elemento de referencia (Master Element) y luego aplicar unas transformaciones (me-
diante un jacobiano de la transformación) para obtener las funciones de interpolación
de los demás, Fig. 2.1. La solución aproximada puede expresarse como un sumatorio
de funciones de interpolación por sus pesos correspondientes:
−→Ht =
NTotal∑i=1
hi.−→Ni (2.1)
donde NTotal denota el número total de funciones base y las−→Ni son las funciones de
interpolación vectoriales que sólo tienen componente tangencial a una arista o cara y
son normales a las otras aristas o caras [78].
En particular, los elementos utilizados en esta tesis son tetraedros curvilíneos cuya
19
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
Figura 2.1: Obtención de coordenadas locales a partir de las coordinadas globales me-diante un jacobiano de la transformación.
geometría está definida por 10 puntos sobre los cuales se han definido 20 funciones de
interpolación vectoriales, 2 asociados a cada arista y otros 2 a cada cara. En la Fig. 2.2
se muestra el elemento de referencia.
2.2.3. Construcción del sistema de ecuaciones
La formulación del sistema de ecuaciones en el caso del análisis mediante el método
de los elementos finitos, consiste en la transformación de las ecuaciones diferenciales en
ecuaciones integrales aplicando el método de residuos ponderados o el método de Ritz,
luego se discretizan estas ecuaciones integrales para obtener un sistema de ecuaciones
algébricas. En general esta operación consiste en el cálculo de matrices elementales,
en el ensamblado de matrices elementales para obtener el sistema de ecuaciones, o
sea la matriz global del sistema, así como para imponer las condiciones de contorno
correspondientes al problema, antes de empezar a resolver el sistema de ecuaciones.
Normalmente existen dos tipos de condiciones de contorno: condiciones de Dirichlet y
de Neumann, pero También pueden aplicarse condiciones de tipo absorbente (Absorbing
20
2.2. Método de los Elementos Finitos
Figura 2.2: Elemento de referencia. (a) Puntos que definen el elemento de referencia.(b) Funciones de interpolación vectoriales asociadas a las aristas, a las que se debe deañadir las 8 funciones asociadas a las caras (No se añadieron para no sobrecargar lafigura).
Boundary Conditions, ABC) en problemas de radiación [79, 80, 81, 82] o condiciones
de contorno periódicas (Periodic Boundary Conditions) en el caso de los problemas
que tienen las características periódicas [83, 84, 85, 86, 87].
2.2.4. Resolución del sistema de ecuaciones
Como etapa final del proceso del análisis mediante el método de los elementos finitos,
resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar todas las cantidades deseadas.
El MEF responde satisfactoriamente a la creciente complejidad de los sistemas de
comunicación y sus simulaciones vía simuladores de onda completa/full-wave basados
en MEF y satisface la tendencia general a la resolución simultánea de los fenómenos
electromagnéticos. De ahí que se haya convertido en una técnica indispensable para
la tarea de predecir el comportamiento del campo electromagnético en los dispositivos
de microondas con la exactitud requerida, por lo cual, en la actualidad la mayoría de
21
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
los diseñadores de sistemas de comunicación lo utilizan para la pre-fabricación con el
objetivo de reducir el coste de diseños.
En nuestro grupo de investigación se ha dedicado, desde hace años, un esfuerzo para
el desarrollo de algoritmos y técnicas potentes para el análisis y diseño de problemas de
electromagnetismo mediante el método de los elementos finitos entre las que se incluyen
las presentadas en esta tesis. En lo siguiente, se intentará dar una descripción somera
de las principales técnicas desarrolladas en este grupo.
2.3. Técnica SFELP
La herramienta SFELP [88, 89, 90, 91, 92] es una técnica de análisis eficiente y
muy flexible para el diseño de dispositivos de microondas, se basa en la unión de tres
métodos de análisis: ‘Técnica de Segmentación’ [93], ‘Método de los Elementos Finitos’
[7, 8] y el método de ‘Padé via Lanczos Matrix’ [94]. La formulación de un problema
utilizando esta técnica se hace en tres etapas: Primero, se descompone la estructura en
subdominios o sea segmentos utilizando la técnica de segmentación o descomposición
de dominio, después, se obtiene la matriz de admitancia generalizada (Generalized
Admittance Matrix, GAM) de cada subdominio aplicando la formulación del método
de los elementos finitos y como último paso se aplica el algoritmo de Padé vía Lanczos
como un modelo de orden reducido para barrer en frecuencias. En esta sección, se
aclarará cada etapa en la formulación de la técnica SFELP.
2.3.1. Técnica de segmentación
La técnica de segmentación o descomposición de dominio consiste en dividir un
circuito en segmentos limitados por puertas o por un conductor perfecto ya sea eléctrico
o magnético. En las puertas, se impone un sumatorio de modos cuyo número debe ser
suficiente para la correcta representación del campo.
Esta técnica mejora la eficiencia del análisis porque independiza el análisis de cada
22
2.3. Técnica SFELP
segmento, lo que permite la utilización de la técnica adecuada para el análisis de cada
segmento. También reduce el tiempo de análisis que depende del número de grados de
libertad. En caso de un gran número de grados de libertad NTotal, es recomendable
segmentar el circuito y analizar cada segmento por separado.
2.3.2. Formulación del Método de los Elementos Finitos
Para cada subdominio, se utiliza el método de los elementos finitos ‘MEF’ para
obtener la matriz de admitancia generalizada ‘GAM’ que caracteriza el comportamiento
del campo electromagnético en el dispositivo. En esta parte, se describe el proceso de
la formulación mediante MEF para la obtención de la GAM.
Si se considera una estructura arbitraria de volumen V , encerrada por una superficie
S y rellena de un dieléctrico que puede ser anisótropo no homogéneo, y si se usa la
expresión para el campo magnético en este dominio V , la ecuación de onda deducida a
partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en el dominio de la frecuencia se escribe
así:
∇×
[εr]−1(∇×
−→H)− ω2µ0ε0 [µr]
−→H = 0 (2.2)
donde [εr] y [µr] son respectivamente los tensores complejos de permitividad eléc-
trica y de permeabilidad magnética relativas, y ω es la frecuencia angular.
Si consideramos que todas las condiciones de contorno, naturales y esenciales, están
impuestas y que tenemos P puertas en la superficie S que limita el dominio de análisis
V y aplicando el método de Galerkin, podemos obtener la siguiente expresión:
ˆ
V
(∇×
−→W. [εr]
−1∇×−→H − k2
0
−→W. [µr]
−→H)dV − jωε0
P∑i=1
ˆ
Si
−→W.(−→zi ×−→Ei
t
)dSi = 0
(2.3)
donde −→zi es el vector normal a la superficie Si entrante al dominio, k = ω2µ0ε0 es
23
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
el número de onda,−→W es la función de peso mientras que se considera
−→H como función
de ensayo o test.
El campo tangencial, eléctrico y magnético, en la puerta i se representa mediante
una expansión modal y se escribe de la forma:
−→Eit =
∞∑k=1
V ik−→etk (ξi, ηi) (2.4)
−→H it =
∞∑k=1
I ik−→htk (ξi, ηi) (2.5)
donde (ξi, ηi) es el sistema de coordenadas local relativo a cada puerta.
En la práctica, estas sumas no se consideran sobre un número infinitos de modos,
sino sólo sobre un número de modos que permita obtener una convergencia razonable
de la solución obtenida a la solución exacta para caracterizar bien el comportamiento
del circuito. Sustituyendo estas expresiones en (2.3), obtenemos la siguiente expresión:
ˆ
V
∇×
−→W.(
[εr]−1∇×
−→H)− k2
0
−→W.(
[µr]−→H)
dV
− jωε0P∑i=1
∞∑k=1
V ik
ˆ
Si
−→W. (−→zi ×−→etk (ξi, ηi)) dSi = 0 (2.6)
Llegando a este punto, podemos decir que si encontramos la solución de esta ecua-
ción, entonces llegamos a resolver el problema original.
Para resolver esta ecuación, se aplica el método de los elementos finitos. Expresamos
las cantidades−→H y
−→W en una base vectorial de dimensión finita T , así:
−→H =
N∑j=1
Hcj
−→Tj = 〈T 〉 Hc HcεCN (2.7)
−→W =
N∑j=1
Wcj−→Tj = 〈T 〉 Wc WcεCN (2.8)
24
2.3. Técnica SFELP
donde N es el número de grados de libertad, Hc y Wc son los respectivos grados de
libertad y−→Tj es una función de interpolación vectorial.
Ahora, sustituimos estas expresiones en la ecuación (2.6) considerando un número
finito de modos mi en cada puerta, obtenemos entonces el sistema siguiente:
WcT .([
[K]− k20 [M ]
]Hc − jω [B] V
)= 0 ∀ Wc εCN (2.9)
Quedando:
[G] Hc = jω [B] V (2.10)
Siendo:
V =⟨V 1
1 ...V1k1...V P
1 ...VPkP
⟩εCQ, donde V i
k representa la amplitud del campo
eléctrico transversal del modo k en la puerta i y Q es el numero total de modos en
todas las puertas, es un número natural finito porque hemos truncado el número
de modos en cada puerta a un número finito que asegure la convergencia a la
solucion exacta.
[B] es una matriz compleja de dimensión N ×Q de la forma:
[B] =[b1
1
...b1m1
...bik...bP1...bPmP
](2.11)
donde bik =
´Si
−→T1.(−→zi ×−→eitk) dSi...
´Si
−→Tj .(−→zi ×−→eitk) dSi...
´Si
−→TN .
(−→zi ×−→eitk) dSi
.
Cada una de estas integrales bik se extiende a la puerta i donde se considera el modo
k. Estas integrales no son nulas solamente si la función de interpolación−→Ti es tangencial
a la superficie de la puerta i.
25
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
[G] es una matriz compleja dispersa y simétrica de dimensión N ×N cuya expre-
sión se obtiene de la forma:
ˆ
V
∇×
−→Tj .(
[εr]−1∇×
−→Ti
)− k2
0
−→Tj .(
[µr]−→Ti
)dV (2.12)
Si tomamos la expansion modal del campo magnético considerada en (2.5) y la pro-
priedad de la ortogonalidad mdoal, se puede escribir:
ˆ
Si
−→H.(−→zi ×−→eitk) dSi = I ik (zi)
ˆ
Si
−→hitk.
(−→zi ×−→eitk) dSi (2.13)
La parte de izquierda de esta ecuación se puede escribir como:
ˆ
Si
−→H.(−→zi ×−→eitk) dSi =
N∑j=1
Hcjbijk (2.14)
Si identificamos las partes de derecha de estas dos ecuaciones (2.13) y (2.14) y
utilizando la notación matricial, se puede llegar a la expresión siguiente:
[B]T Hc = [4] I (2.15)
donde I es un vector columna Q × 1 de corrientes y [4] se escribe de la forma
siguiente:
[4] = diag(41
1...41m1 ...4i
k ...4P1 ...4P
mP
)(2.16)
con 4ik =´Si
−→hitk.
(zi ×−→eitk
)dSi.
Si utilizamos la siguiente normalización:
VN = [4]1/2 V (2.17)
26
2.3. Técnica SFELP
IN = [4]1/2 I (2.18)
podemos obtener la matriz de admitancia generalizada GAM que puede escribirse
de la forma:
[Y ] = jωεo [BN ]T [G]−1 [BN ] (2.19)
donde [BN ] = [B] [4]−1/2.
También se escribe de la forma siguiente:
Y (k) = jk
η0
BTN (k)
[K − k2M
]−1BN (k) (2.20)
Las matrices K y M son complejas, dispersas y simétricas de dimensión N , in-
dependientes de la frecuencia, mientras BN depende de la frecuencia a través de las
funciones de expansión modal en las puertas.
2.3.3. Obtención de la matriz de dispersión generalizada
La formulación descrita hasta ahora nos permite de obtener la matriz de admitancia
generalizada de cualquier estructura limitada por conductores perfectos y puertas mo-
dales, o también de cada uno de los segmentos en que dividamos esta estructura. Para
transformar esta matriz de admitancias generalizada en la de dispersión multimodo
y multipuerta, usamos las relaciones que existen entre las tensiones V y corrientes
I con los vectores de onda incidente a y regresiva b. Esta matriz de dispersión
generalizada se queda:
S = [Id + Y ]−1 [Id − Y ] = 2 [Id + Y ]−1 − [Id] (2.21)
donde Id es la matriz identidad.
Para conectar las matrices de cada segmento en que hemos dividido la estructura,
27
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
se prefiere utilizar las matrices de dispersión generalizada para evitar los problemas de
instabilidad que pueden aparecer cuando usamos las matrices admitancia generalizada.
2.3.4. Aproximación SyMPVL
La formulación presentada hasta ahora, permite analizar cualquier estructura una
vez llegamos a obtener la ecuación precedente. Para mejorar la eficiencia de la formu-
lación se puede aplicar una aproximación de Padé a través de un proceso tipo Lanczos
(Symmetric Matrix Padé Via Lanczos algorithm) que obtiene un modelo de orden re-
ducido de la función de transferencia. Para poder hacerlo BN ha de ser independiente
de la frecuencia. Para el caso de conexión de puertas planas con guías de onda o líneas
de transmisión homogéneas de forma arbitraria las matrices BN pueden expresarse de
forma que la variación con la frecuencia quede como un factor adicional de la siguiente
forma:
BN(k) = BN(k0)J(k; k0) (2.22)
donde k0 es el número de onda a la frecuencia donde se realiza la aproximación de
Padé y J es una matriz diagonal tal que:
J(k; k0) = diag [Jj(k; k0)] (2.23)
con coeficientes analíticos dados por:
Jj (k, k0) =
1 modo TEM
√(kcjk0
)2−1(
kcjk
)2−1
modo TE
√(kcjk
)2−1(
kcjk0
)2−1
modo TM
(2.24)
28
2.4. Técnica de Bases Reducidas para barrido en frecuencia
donde kcj es el numero de onda de corte de cada modo j.
Sustituimos esta expresión en la ecuación (2.20) y la matriz de admitancia genera-
lizada se puede escribir de la forma:
Y (k) = jk
η0
J(k; k0)YN(k; k0)J(k; k0) (2.25)
con
YN(k; k0) = BTN(k0)
[K − k2M
]−1BN(k0) (2.26)
La estructura que se ha conseguido para YN es la adecuada para obtener una apro-
ximación mediante Padé-Lanczos que se denotará Yn . Con la aplicación de esta aproxi-
mación, se puede obtener la respuesta en una amplia banda de frecuencias simplemente
corrigiendo dicha aproximación con los coeficientes J . De esta forma:
Y (k) ' jk
η0
J(k; k0)Yn(k; k0)J(k; k0) (2.27)
Todo el desarrollo de la aplicación de esta aproximación está descrita en [89].
2.4. Técnica de Bases Reducidas para barrido en fre-
cuencia
En el método SFELP, se utiliza la técnica de barrido en frecuencia de Padé Vía Lan-
czos. Sin embargo, en versiones recientes de este método se han implementado otras
técnicas de barrido en frecuencia más robustas. En particular, se ha implementado el
método de la Bases Reducidas como técnica de barrido en frecuencia [95]. Esta técnica
ha mostrado su eficiencia y precisión en muchos campos de aplicaciones. En nuestro ca-
so, se aplica esta técnica, de Bases Reducidas, para el cálculo de la matriz de admitancia
generalizada de un sistema, o de un subdominio de un sistema en caso de aplicación del
método de descomposición de domino, en el análisis electromagnético para obtener una
respuesta en banda ancha. Se describen detalles de la formulación usando la técnica de
29
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
base reducida en [95, 96]. Se describirán los principales fundamentos técnicos de este
método más adelante en esta tesis.
2.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropó-
sito
Recientemente, se ha desarrollado una técnica basándose en el método de los elemen-
tos finitos, la matriz de admitancia multipropósito (Multipurpose Admittance Matrix,
‘MAM’) [97]. La importancia de esta técnica reside en que permite el análisis y simu-
lación mediante el método de los elementos finitos de una estructura en la que haya
partes de la geometría cuyas condiciones de contorno no sean conocidas o no estén
aplicadas a priori. Las impresiones obtenidas después de utilizarla para el diseño de
antenas hacen concluir que se puede considerar como una herramienta muy potente y
poderosa para el análisis de dispositivos de microonda. Posteriormente, se ha extendido
su capacidad para incluir otras aplicaciones como por ejemplo el análisis de estructuras
periódicas [98] y la optimización de perfiles de antenas para aplicaciones de banda ultra
ancha (Ultra WideBand, UWB) [99, 100] entre otras.
La formulación de la técnica de la matriz de admitancia multipropósito, de manera
general, es similar a la formulación mediante el método de elementos finitos para la
obtención de la matriz de admitancia generalizada ‘GAM’, la diferencia entre las dos
formulaciones reside en el nuevo concepto que presenta esta nueva técnica y que consiste
en la posibilidad de aplicación de algunas condiciones de contorno a posteriori. En
particular, se definen como puertas artificiales las zonas de la estructura a analizar en
que las condiciones de contorno no estan impuestas o no son conocidas. Por su mayor
importancia en el desarrollo de este trabajo, se presentará a lo largo del resto de este
capítulo.
Para describir esta formulación, se considera una estructura en que se va definir
una región donde las condiciones de contorno se suponen indefinidas, como ejemplo
30
2.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropósito
ilustrativo, se considera la estructura definida en la Fig. 2.3. Se trata de una estructura
que además de las convencionales puertas modales utilizadas para excitar o cargar
la estructura, o en caso de estructuras abiertas para describir la radiación, Γ1 y Γ2,
contiene superficies donde no estan impuestas algunas condiciones de contorno, estas
superficies se llaman puertas artificiales γ1 y γ2.
Figura 2.3: Dominio de análisis de una antena monopolo de perfil plano con una su-perficie de condiciones de contorno indefinidas (Puertas artificiales).
2.5.1. Puertas Modales
En las puertas modales Γ1 y Γ2, el campo tangencial eléctrico y el campo tangencial
magnético pueden expresarse mediante una expansión modal como ya se ha visto en
la sección anterior de la formulación SFELP, entonces se aplica el mismo proceso para
llegar a la ecuación de transferencia que relaciona los campos magnético y eléctrico en
las puertas modales.
31
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
i1
i2
= Y.
v1
v2
(2.28)
con
Y = −jkη0
BT(K − k2M
)−1B (2.29)
2.5.2. Puertas Artificiales
Se define como puerta artificial aquella superficie de la estructura en la que la
expansión modal del campo no puede aplicarse. Si consideramos una puerta artificial
γ, el campo, ya sea magnético o eléctrico, debería expresarse en términos de funciones
que permitan representar de forma rigurosa el campo tangencial. Para conseguirlo se
usan las funciones definidas a trozos (Piecewise functions, ‘PCWs’) utilizadas a menudo
en la formulación de problemas mediante el MEF. Dado un mallado en triángulos de
γ, que es una restricción sobre γ del mallado de Ω para que coincida el mallado en
triángulos con el mallado de tetraedros del volumen Ω, se consideran las siguientes
funciones vectoriales en el triángulo de referencia:
ζi∇ζj − ζj∇ζi (2.30)
∇ (ζiζj) (2.31)
donde i, j ∈ 1, 2, 3 y ζ1, ζ2 y ζ3 son las cordenadas normalizadas para símplex.
Con este espacio de funciones vectoriales se obtiene la continuidad del campo tan-
gencial a través de las aristas compartidas entre elementos. Por lo tanto, el campo
eléctrico tangencial sobre γ puede expresarse en términos de estas funciones PCWs de
la siguiente forma:
32
2.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropósito
−→Ψ =
∑i
Vi
(n×−→ψi
)(2.32)
Vi denotan los coeficientes asociados a las funciones PCWs correspondientes ψi. En el
caso de dos puertas artificiales, tenemos:
−→Ψ =
∑i
V γ1i
(n×−→ψγ1 i
)en γ1 (2.33)
−→Ψ =
∑i
V γ2i
(n×−→ψγ2 i
)en γ2 (2.34)
Asumimos la imposición de las condiciones de contorno naturales y esenciales en
el contorno de la estructura donde no se consideran ni puertas modales ni artificiales
y discretizando la ecuación de onda (2.2), llegamos a obtener el siguiente sistema de
ecuaciones lineales:
(K − k2M
)h = −jk
η0
bV (2.35)
donde K y M son las matrices simétricas dispersas que hemos desarrollodao ante-
riormente.
Como se puede observar, hemos escrito el campo eléctrico en las puertas artificiales
en términos de funciones PCWs. De la misma manera podemos expresar el campo
magnético tangencial en estas puertas, así tenemos la expresión siguiente:
n×−→H = n×
∑i
Iγ1i−→ψγ1 i en γ1 (2.36)
n×−→H = n×
∑i
Iγ2i−→ψγ2 i en γ2 (2.37)
con Ii se denotan los coeficientes asociados a las funciones PCWs correspondientes−→ψi .
Teniendo en cuenta que−→H =
∑i
hi.−→wi y sustituyendo esta expresión en la expresión
33
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
del campo en las puertas artificiales, podemos escribir:
∑i
hi
ˆ
γ
(n×−→wi) .−→ψjdS =
∑i
Ii
ˆ
γ
(n×−→ψi
).−→ψjdS (2.38)
Podemos escribir esta ecuación bajo una forma matricial como:
bTh = δI (2.39)
I es el vector de los coeficientes del campo magnético tangencial en las puertas
artificiales γi=1,2 y δ es una matriz dispersa de elementos:
δij =
ˆ
γ
(n×−→ψj
).−→ψidS (2.40)
Con esto, la función de transferencia que relaciona el campo magnético tangencial
y el campo eléctrico tangencial en las puertas artificiales puede escribirse de la forma
siguiente:
I = −jkη0
δ−1bT(K − k2M
)−1bV (2.41)
Este análisis puede aplicarse en un número arbitrario de puertas artificiales. Tam-
bién se puede considerar en el mismo sistema de ecuaciones, las puertas modales. En
este caso, la función de transferencia representará la relación entre los campos en las
puertas modales expresados mediante expansión modal y los campos en las puertas ar-
tificiales escritos en términos de funciones PCWs. Este sistema puede escribirse como:
iΓ
Iγ
= χ
vΓ
V γ
(2.42)
χ = −jkη0
d−1βT(K − k2M
)−1β (2.43)
donde d es una matriz diagonal a bloques
34
2.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropósito
d = diag(Idp , δq
)(2.44)
con p = 1, P siendo P el número total de puertas modales, q = 1, Q donde Q es el
número total de puertas artificiales y β es una matriz dispersa.
β = (B b) (2.45)
La matriz χ es una matriz de tipo admitancia, y la llamamos matriz de admi-
tancia multipropósito (Multiproposite Admitance Matrix, ’MAM’). Esta matriz MAM
constituye la función de transferencia de un análisis de onda completa del dominio Ω
donde se han considerado una expansión modal del campo en las puertas modales y
una descripción del campo en término de funciones PCWs en las puertas artificiales.
2.5.3. Conversión de MAM a GAM
En esta sección, se presenta de forma resumida la utilidad práctica de la formulación
MAM. Como ejemplo de aplicación, se considera la estructura que se muestra en la
Fig. 2.3. Se trata de una antena monopolo realizada en tecnología microstrip excitada
por una línea coaxial. Para la descripción de la radiación de esta antena, se utiliza
una puerta modal definida sobre una semi-esfera. Sobre una superficie de la antena
microstrip, se definen dos puertas artificiales donde no están impuestas las condiciones
de contorno a priori tal como se puede ver en la Fig. 2.3. La estructura de la antena
se puede representar como una red multipuertas equivalente, Fig. 2.4. El análisis de
esta estructura mediante la técnica MAM permite caracterizar el comportamiento del
campo electromagnético dentro de esta estructura y aplicar las condiciones de con-
torno en la superficie de las puertas artificiales en una fase posterior mediante simples
manipulaciones circuitales, Fig. 2.5.
Aplicando el proceso de la formulación para obtener una matriz de admitancia
multipropósito a esta estructura nos lleva a obtener una matriz χ que relaciona los
35
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
campos eléctrico y magnético en las puertas. Esta matriz se puede escribir de la forma:
iΓ11
iΓ22
Iγ11
Iγ22
= χ
vΓ11
vΓ22
V γ11
V γ22
(2.46)
con
χ =
χ11 χ12 χ13 χ14
χ21 χ22 χ23 χ24
χ31 χ32 χ33 χ34
χ41 χ42 χ43 χ44
(2.47)
donde(iΓ11 , v
Γ11
)y(iΓ22 , v
Γ22
)denotan los vectores de coeficientes de los campos en las
puertas modales Γ1 y Γ2 respectivamente, mientras que (Iγ11 , Vγ1
1 ) y (Iγ22 , Vγ2
2 ) denotan
los vectores de coeficientes de los campos en las puertas artificiales γ1 y γ2.
Esta estructura de multipuertas puede representarse como una red multipuerta
como se muestra en la Fig. (2.4) que puede describir los fenómenos electromagnéticos
según las manipulaciones circuitales que aplicamos en las puertas artificiales, Fig. 2.5.
Figura 2.4: Red multipuertas equivalente a la estructura de la antena que contiene laspuertas artificiales.
36
2.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropósito
Figura 2.5: Diferentes manipulaciones circuitales posibles aplicables sobre la MAM dela antena ejemplo.
2.5.3.1. Puertas en cortocircuito
Para cortocircuitar una puerta artificial, lo que tenemos que hacer es considerar que
el campo eléctrico tangencial sea anulado estableciendo consecuentemente un conductor
eléctrico perfecto (PEC) sobre esta puerta γi, i = 1, 2. Esto se lleva a cabo imponiendo
V γii = 0 en la ecuación (2.46). Así:
iΓ11
iΓ22
= Y
vΓ11
vΓ22
(2.48)
con
Y =
χ11 χ12
χ21 χ22
(2.49)
La matriz de admitancia resultante Y (GAM) caracteriza el comportamiento del
dispositivo cortocircuitando las puertas artificiales lo que significa que hemos cambiado
la longitud del monopolo para que sea más largo. Así la GAM obtenida caracteriza el
37
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
comportamiento del monopolo teniendo en cuenta sus nuevas dimensiones.
2.5.3.2. Puerta en circuito abierto
De misma forma, en lugar de imponer unas condiciones de contorno PEC se puede
aplicar un conductor magnético (PMC) en las puertas artificiales imponiendo condi-
ciones de contorno PMC en estas puertas. En este caso, se requiere una inversión de la
matriz MAM para poder imponer Iγii = 0 en (2.50), Así:
vΓ11
vΓ22
V γ11
V γ22
= χ−1
iΓ11
iΓ22
Iγ11
Iγ22
(2.50)
con
χ−1 =
z11 z12 z13 z14
z21 z22 z23 z24
z31 z32 z33 z34
z41 z42 z43 z44
(2.51)
lo que permite obtener:
vΓ11
vΓ22
= Z
iΓ11
iΓ22
(2.52)
donde:
Z =
z11 z12
z21 z22
(2.53)
Como resultado de esta inversión, se obtiene una matriz de impedancia generalizada
(GIM), cuya inversión lleva a obtener la matriz admitancia generalizada (GAM) (2.54).
De esta manera podemos acortar la longitud del monopolo nada más que imponer
38
2.5. Técnica de la Matriz de Admitancia Multipropósito
condiciones (PMC) en las puertas artificiales.
GAM = Z−1 (2.54)
Se pueden tener en cuenta otras posibilidades de manipulaciones circuitales para
caracterizar el comportamiento de un dispositivo, en la Fig. 2.5 se muestran las posibi-
lidades de manipulaciones circuitales en el caso de una red de cuatro puertas. Además
de estas posibilidades, podemos realizar una conexión entre dos puertas artificiales.
2.5.3.3. Conexión de puertas
En este caso, se conectan las dos puertas artificiales entre si estableciendo la conti-
nuidad de los campos expresados en las dos puertas conectadas en término de funcio-
nes PCWs idénticas en ambas puertas, cosa que prácticamente significa que V1 = V2 y
I1 = −I2 en la ecuación (2.50), lo que nos permite de escribir:
iΓ11
iΓ22
Iγ11
Iγ22
=
A B
C D
.
vΓ11
vΓ22
V γ11
V γ21
(2.55)
con A =
χ11 χ12
χ21 χ22
, B =
χ13 + χ14
χ23 + χ24
, C =
(χ31 + χ41 χ32 + χ42
)y D = (χ33 + χ34 + χ43 + χ44).
Como consecuencia, la GAM se obtiene facilemente, y se escribe así
GAM = A−B.D−1.C (2.56)
iΓ11
iΓ22
= GAM
vΓ11
vΓ22
(2.57)
39
2. Análisis Electromagnético mediante el Método de los Elementos Finitos
Pueden hacerse muchas aplicaciones mediante el uso de la herramienta MAM. Se
han diseñado antenas [97], se han optimizado perfiles de antenas de UWB aprovechando
la herramienta MAM [99, 100], también se ha usado esta herramienta para el análisis
de estructuras periódicas [98].
2.6. Conclusiones
Se ha dedicado este capítulo a dar breves apuntes sobre el método de los elementos
finitos, las técnicas de barridos en frecuencia y la técnica de la matriz de admitancia
multipropósito, visto la importancia que tiene cada una de estas técnicas en la elabo-
ración de este trabajo. Los detalles de formulación de ambas técnicas: Método de los
elementos finitos o la técnica de la matriz de admitancia pueden consultarse en [89, 97].
En el siguiente capítulo se procede a presentar una nueva técnica numérica basándose
en las técnicas presentadas a lo largo de este capítulo. La nueva técnica numérica es
una herramienta desarrollada para ser utilizada como herramienta de análisis en algo-
ritmos de optimización de circuitos de microondas impresos o realizados en tecnología
microstrip.
40
Capítulo 3
Nueva Técnica Basada en el Método
de los Elementos Finitos para CAD de
Antenas Microstrip
3.1. Introducción
Como continuación del desarrollo de herramientas para el diseño de dispositivos de
microondas usando del método de los elementos finitos, en este capítulo se presenta una
nueva técnica numérica para el diseño de circuitos de microondas impresos, particular-
mente enfocada al diseño de antenas impresas. Esta técnica, desarrollada basándose en
la formulación de la técnica de la matriz de admitancia multipropósito ‘MAM’ que se
ha presentado en el capítulo anterior, permite la caracterización de una antena impre-
sa sujeta a una serie de modificaciones continuas y arbitrarias del perfil de la antena
impresa mediante un análisis 2D, sin necesidad de re-analizar su estructura 3D.
Para plantear esta técnica, se procede a definir una antena impresa que se quiera
diseñar, que además de una puerta de excitación y una puerta esférica para descri-
bir la radiación (puertas modales), contenga dos puertas artificiales que se definen al
nivel del plano donde se quiere que exista el parche de la antena. Esta estructura se
41
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
analiza mediante el método MEF-MAM [89, 97], y se obtiene una matriz de admi-
tancia multipropósito caracterizando de forma rigurosa el comportamiento del campo
electromagnético dentro del dominio 3D de la antena. A partir de ese momento, se
inicia un proceso de análisis 2D en el que se define una superficie 2D que contiene una
metalización sin espesor que representa el parche. Finalmente, se realiza un mallado
de esta superficie y se introduce en el análisis de la antena mediante la construcción
de una matriz que permita cambiar la configuración del campo electromagnético sobre
las puertas artificiales en la estructura 3D anterior. Consecuentemente, se calcula la
matriz modal de la antena teniendo en cuenta el parche insertado en el dominio 3D de
la antena.
Este capítulo esta dedicado a describir la formulación matemática de dicha técnica
basándose en el método de los elementos finitos [7, 8, 89], el método de descomposición
de dominio [101, 102, 103, 104] y la técnica de la matriz de admitancia multipropósito
[97].
3.2. Formulación
A lo largo de esta sección, se describe la formulación matemática de una nueva
técnica numérica basada en el Método de los Elementos Finitos con el objetivo de dis-
poner de una herramienta numérica CAD para algoritmos de optimización eficientes
de antenas microstrip. Con el propósito de facilitar esta tarea, se desarrolla la for-
mulación sobre una estructura simple que sirve a su vez como ejemplo ilustrativo. Se
considera una sección de guía circular, como puede verse en la Fig. 3.1. En dicha geo-
metría, se distinguen dos puertas modales, Γ1 y Γ2, definidas en el dominio de análisis
Ω como puertas de excitación o/y de carga; en caso de un dispositivo radiante, se uti-
lizarán puertas esféricas para describir la radiación. Asimismo, se definen dos puertas
artificiales en una sección intermedia de la guía, compartiendo el mismo mallado 2D,
denominadas γ1 y γ2 respectivamente. Como resultado, surge una red multipuerta ca-
42
3.2. Formulación
paz de describir el comportamiento electromagnético dentro del dominio de análisis tal
y como se esquematiza en la Fig. 3.2.
Puerta Modal Puerta Modal
Puerta Artificial
𝜞𝟏 𝜞𝟐
𝜸𝟏 𝜸𝟐 Puerta Artificial
Figura 3.1: Sección de guía circular con dos puertas artificiales en una sección interme-dia.
El análisis de esta estructura mediante el método MEF-MAM da lugar a una función
de transferencia matricial que relaciona los coeficientes de las expansiones de los campos
eléctricos tangenciales con los de los campos magnéticos tangenciales en las puertas
correspondientes, (como ya se demostró anteriormente), de la forma siguiente:
iΓ11
iΓ22
Iγ11
Iγ22
= χ
vΓ11
vΓ22
V γ11
V γ22
(3.1)
con χ = d−1Y .
donde se ha supuesto que el campo eléctrico tangencial y el campo magnético tan-
gencial en las puertas artificiales, γ1 y γ2, está expresado en términos de funciones
definidas a trozos/Piecewise functions−→ψγli , (l = 1, 2), de la forma:
43
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
Figura 3.2: Red mutlipuerta equivalente al dispositivo mutlipuerta de la sección de guíacircular con dos puertas artificiales en una sección intermedia.
−→Et |γl=
NγlPCWs∑i
−→ψγli V
γli (3.2)
−→Ht |γl=
NγlPCWs∑i
−→ψγli I
γli (3.3)
siendo iΓl y vΓl , (l = 1, 2), los coeficientes del campo magnético tangencial y eléctrico
tangencial en las puertas modales respectivamente y Iγl , V γl los coeficientes del campo
magnético tangencial y eléctrico tangencial en las puertas artificiales respectivamente,
tal como se indica en la Fig. 3.2.
Se necesita realizar el calculo de esta matriz tipo admitancia ‘MAM’, que describe
el comportamiento electromagnético de la estructura precedente, sobre la banda de
frecuencias de interés sólo una vez a cada frecuencia, por lo que todo el resto del
análisis se reduce a un análisis 2D.
Una vez obtenida la MAM de la estructura bajo estudio, se procede a la segunda
etapa de análisis, una etapa de análisis 2D posterior a la etapa del análisis 3D. Se
define una superficie 2D, Spatch, que contiene una metalización que representa un parche
44
3.2. Formulación
conductor de perfil arbitrario, sobre la cual se consideran dos puertas artificiales, γp1 y
γp2 , compartiendo el mismo mallado 2D tal como puede verse en la Fig. 3.3. El campo
electromagnético en estas nuevas puertas artificiales puede expresarse en términos de
funciones−−→ψγplj , funciones definidas a trozo, de la forma siguiente:
−→Ht |γpl=
NγplPCWs∑j
−−→ψγplj I
γplj (3.4)
−→Et |γpl=
NγplPCWs∑j
−−→ψγplj V
γplj (3.5)
El propósito de la presente técnica es insertar esta superficie, Spatch, dentro de la
estructura 3D entre las puertas artificiales, γ1 y γ2, Fig. 3.3.
Puerta Modal
Puerta Artificial Puerta Artificial
Parche Puerta Modal
𝛾1 𝛾2
𝛤1 𝛤2
𝛾𝑝1 𝛾𝑝2 Puerta Artificial Puerta Artificial
Figura 3.3: Insertar en una sección intermedia una superficie incluyendo un parche.
La inserción de la superficie Spatch dentro de la estructura 3D se realiza al nivel
de los mallados 2D de las puertas artificiales, proyectando el mallado de la puerta
artificial γpl sobre el mallado de las puertas artificiales γl resultando una matriz que
denominamos R, y que describe perfectamente el paso de una base a otra. Durante el
45
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
proceso de proyección del mallado, se producen tres casos principales:
Caso 1: Elementos del mallado de la puerta γl que coinciden completamente con la
región de la metalización del parche, Fig. 3.4 (a).
Caso 2: Elementos del mallado de la puerta γl que coinciden completamente con la
región no metalizada, Fig. 3.4 (b).
Caso 3: Elementos de la puerta γl que coinciden parcialmente con la metalización
del parche de la puerta γpl , Fig. 3.4 (c).
Mesh de los accesos 𝛾𝑖=1,2
Mesh de los accesos 𝛾𝑝𝑖=1,2
Proyección
Región a discretizar
𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐
+
Región a cortocircuitar
𝑛 × 𝐄 = 0
𝑅𝑆.𝐶. = [0
Región sin modificación
𝑬𝒕𝜸𝒊 = 𝑬𝒕
𝜸𝒑𝒊
𝑅𝑖𝑑 = [𝐼𝑑
+
(a) (b) (c)
Figura 3.4: Proyección del mallado de la superficie que incluye el parche sobre el malladode las puertas artificiales de la estructura 3D.
El campo en la sección intermedia en la estructura de la Fig. 3.1 es único, ya sea
expresado en términos de funciones−→ψγli , o en términos de funciones
−−→ψγplj , por lo que se
puede imponer la relación de igualdad siguiente:
−→Et |γpl=
NγlPCWs∑i
−→ψγli V
γli =
NγplPCWs∑j
−−→ψγplj V
γplj (3.6)
〈ψγi 〉 Vγi =
⟨ψγpj
⟩ Vγpj
(3.7)
46
3.2. Formulación
Para ello, en el primer caso, el campo eléctrico tangencial en los elementos del mallado
de la puerta γl que se proyectan sobre la región del parche conductor de la puerta γpl
debe ser nulo, de acuerdo a las condiciones de contorno, lo que implica anular prácti-
camente los coeficientes correspondientes al campo en esta zona (i.e. cortocircuitar los
grados de libertad correspondientes):
−→Et |γl= 0 (3.8)
deduciéndose que:
RS.C. = [0] (3.9)
En el segundo caso, el campo no sufre ningún cambio lo que implica que:
−→Et |γl=
−→Et |γpl (3.10)
y por tanto:
RId = [Id] (3.11)
Para el último caso, cuando unos elementos del mallado de la puerta γl coincidan
parcialmente con la metalización del parche de la puerta γpl , se precisa un desarrollo
avanzado, que consiste en discretizar el conjunto de los elementos que intersectan con
la región del parche, en elementos triángulares más pequeños, mediante un algoritmo
propio de refinamiento. Finalmente, se integra matemáticamente sobre la superficie de
intersección para calcular la matriz R de cambio de base.
Para ello, se multiplica la ecuación (3.6) por el término n×ψγk , y se integra sobre la
superficie de intersección de las puertas artificiales, obteniéndose la ecuación siguiente:
47
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
ˆγ∩γp
(n×−→ψγk
).−→ψγi dS
. V γi =
ˆγ∩γp
(n×−→ψγk
).−→ψγpj dS
.Vγpj
(3.12)
Prácticamente, las dos puertas artificiales γp1 y γp2 son idénticas, por lo tanto esta
operación se hace una vez.
Poniendo:
δ1ki = δ2ki =
ˆ
γp
(n× ψγk) .ψγi dS (3.13)
ξ1kj = ξ2kj =
ˆ
γp
(n× ψγk) .ψγpj dS (3.14)
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de igualdad del campo eléctrico tan-
gencial en las puertas artificiales, se obtiene la ecuación que relaciona los coeficientes
del campo eléctrico en las puertas artificiales γl y γpl , (l = 1, 2), tal como:
δV γ = ξV γp (3.15)
es decir:
V γ = δ−1ξV γp (3.16)
En el caso general de una red de múltiples puertas artificiales, esta ecuación se
generaliza y se puede escribir como:
48
3.2. Formulación
diag(δ1, δ2, .., δq).
V γ1
V γ2
.
.
V γq
= diag(ξ1, ξ2, .., ξq).
Vγp
1
Vγp
2
.
.
Vγpq
(3.17)
Si se particulariza la formulación para una red de dos puertas artificiales y dos
puertas modales, entonces la ecuación (3.17) se reduce a:
diag (Id, Id, δ1, δ2)
vΓ11
vΓ22
V γ1
V γ2
= diag (Id, Id, ξ1, ξ2)
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.18)
es decir:
d.
vΓ11
vΓ22
V γ1
V γ2
= R.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.19)
y finalmente:
vΓ11
vΓ22
V γ1
V γ2
= d−1.R.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.20)
con d = diag (Id, Id, δ1, δ2) y R = diag (Id, Id, ξ1, ξ2).
Vamos a realizar un desarrollo similar para el campo magnético tangencial en las
puertas artificiales. Así, el campo magnético tangencial en las puertas artificiales γpl se
expresa en términos de funciones−−→ψγplj como:
49
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
−→Ht |γpl=
NγplPCWs∑j
−−→ψγplj I
γplj (3.21)
Dado que el campo magnético es único ya sea expresado en términos de funciones−→ψγli , o de funciones
−−→ψγplj , puede deducirse la relación de igualdad siguiente:
−→Ht |γp=
NγPCWs∑i
−→ψγi I
γi =
NγpPCWs∑j
−→ψγpj I
γpj (3.22)
o sea:
〈ψγi 〉 Iγi =
⟨ψγpj
⟩ Iγpj
(3.23)
Si se realiza el mismo desarrollo matemático descrito anteriormente para el caso
del campo eléctrico, se puede obtener una ecuación que relaciona los coeficientes del
campo magnético en las puertas artificiales γl y los coeficientes del campo magnético
en las puertas artificiales γpl como:
δIγ = ξIγp (3.24)
y entonces:
Iγ = δ−1ξIγp (3.25)
Para el ejemplo considerado para describir la técnica presentada, la relación anterior
puede escribirse como:
iΓ11
iΓ22
Iγ1
Iγ2
= d−1.R.
iΓ11
iΓ22
Iγp1
Iγp2
(3.26)
con d = diag (Id, Id, δ1, δ2) y R = diag (Id, Id, ξ1, ξ2).
50
3.2. Formulación
La función de transferencia matricial de la estructura del trozo de guía sin metali-
zación insertada relaciona los campos eléctricos tangenciales y los campos magnéticos
tangenciales en las puertas correspondientes a través de sus coeficientes de expansión.
Vamos ahora a reformularla para tener en consideración la inserción de las metalizacio-
nes al nivel de las puertas artificialesγl. Obtendremos una nueva matriz de admitancia
multipropósito que caracteriza el campo electromagnético en la nueva estructura, Fig.
(3.1). En particular:
iΓ11
iΓ22
Iγ11
Iγ22
= d−1.R.
iΓ11
iΓ22
Iγp1
Iγp2
= χ.
vΓ11
vΓ22
V γ11
V γ22
= χ.d−1.R.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.27)
lo que se resume en la ecuación siguiente:
d−1.R.
iΓ11
iΓ22
Iγp1
Iγp2
= χ.d−1.R.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.28)
multiplicando ambos miembros por la matriz , d, se obtendrá:
R.
iΓ11
iΓ22
Iγp1
Iγp2
= d.χ.d−1.R.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.29)
y por tanto podemos escribir que:
51
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
iΓ11
iΓ22
Iγp1
Iγp2
=(RT .R
)−1.RT .d.χ.d−1.R.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.30)
que, de forma más compacta, se expresa finalmente como:
iΓ11
iΓ22
Iγp1
Iγp2
= χp.
vΓ11
vΓ22
Vγp
1
Vγp
2
(3.31)
con χp =(RT .R
)−1.RT .d.χ.d−1.R
La matriz R no es una matriz cuadrada, para invertirla se tiene que multiplicar
por su transpuesta. La matriz χp representa la función de transferencia del dispositivo
incluyendo una metalización en las puertas artificiales que representa el parche. Para
obtener la matriz modal que caracteriza el comportamiento del campo electromagnético
en la estructura, se conectan entre sí las dos puertas artificiales γp1 y γp2 mediante una
simple manipulación circuital, Fig. 3.5, analogamente, a como se ha demostrado en la
sección dedicada a describir la técnica MAM en el capítulo anterior. Se obtiene entonces
la matriz de admitancia generalizada siguiente:
iΓ11
iΓ22
= GAM
vΓ11
vΓ22
(3.32)
La motivación principal para el desarrollo de la presente técnica es disponer de una
herramienta numérica CAD basada en el método de los Elementos Finitos para ser
utilizada en algoritmos de optimización eficientes de circuitos de microondas impresos,
y más concretamente, en la optimización de antenas microstrip. El capitulo siguiente se
dedicará a la aplicación de la presente técnica a la optimización de antenas mircostrip
52
3.2. Formulación
𝜞𝟏 𝜞𝟐
𝜞𝟏 𝜞𝟐
𝜞𝟏 𝜞𝟐
𝜸𝟏 𝜸𝟐
𝜸𝒑𝟏 𝜸𝒑𝟐
𝜸𝒑𝟏 𝜸𝒑𝟐
MAM 𝜞𝟏 𝜞𝟐
𝜸𝟐
𝜸𝟏
𝒀𝟎
MAM 𝜞𝟏 𝜞𝟐 𝒀𝒑
𝜸𝒑𝟏
𝜸𝒑𝟏
GAM 𝜞𝟏 𝜞𝟐
Insertar el parche dentro del dominio 3D
Conectar puertas artificiales entre sí
Figura 3.5: Proceso de obtención de GAM del dispositivo incluyendo la metalización.
de banda ancha para varias aplicaciones en el area de comunicaciones, y además, se
validará experimentalmente mediante las medidas de los parámetros de las antenas
diseñadas. En este capítulo, sin embargo,se intenta examinar el método mediante la
validación numérica, comparando los resultados de diseños con optimizaciones de una
antena microstrip, como por ejemplo una antena microstrip excitada por acoplo [63, 69],
con los resultados obtenidos mediante el Método de los Elementos Finitos estándar.
Para ello, a continuación se presenta un proceso de optimización basado en la presente
técnica.
En la primera fase de este proceso, se calcula la matriz de admitancia multipropósito
que caracteriza el campo electromagnético en la estructura 3D en ausencia del parche.
En la segunda fase, se inicia un proceso de optimización de la antena generando un
parche de perfil arbitrario, se aplica la técnica presentada en este capítulo, y se obtiene
una nueva matriz de admitancia multipropósito de la estructura anterior que incluye
53
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
el parche en los accesos artificiales. Finalmente, se calcula la matriz de admitancia
generalizada conectando las puertas artificiales entre sí, y se deducen los parámetros
de antena de interés que definen la función de coste. Un algoritmo de optimización,
genético en este caso, analiza la función de coste para medir la distancia del resultado
respeto a la solución óptima, repitiéndose el proceso hasta cumplir los criterios de
diseño. En la Fig. 3.6 se recapitula todo el proceso de aplicación de la presente técnica
como herramienta de análisis en un algoritmo de optimización para la optimización de
circuitos de microondas.
Calcular MAM de la estructura 3D: Y0
Pre-computación
(volumen)
Calcular Yp=RT. Y0.R
Calcular la matriz R
Generar mesh 2D de la superficie
Conectar puertas 𝜸𝒑𝟏 y 𝜸𝒑𝟐
Obtener GSM de la antena
Calcular la Función de Coste
Cambiar perfil de patch
Algoritmo Genético Generar superficie con patch
de forma arbitraria
Criterios
No
Fin
Optimizar perfil de
antena (superficie)
Si
Figura 3.6: Proceso de optimización de circuitos de microondas mediante la nuevatécnica.
54
3.3. Validación numérica
3.3. Validación numérica
Para probar la validez de la técnica propuesta, se ha analizado en primer lugar
una antena microstrip cuadrada, y a continuación, se ha utilizado esta técnica como
herramienta de optimización para diseñar una antena microstrip miniaturizada.
3.3.1. Diseño de antena microstrip cuadrada
Como se ha dicho, la primera antena considerada corresponde a una antena mi-
crostrip cuadrada situada en una cavidad metálica de sección también cuadrada, y
alimentada mediante una línea strip, tal como se representa en la Fig. 3.7. En primer
lugar, se analiza la estructura sin el parche, definiendo el plano donde se quiere insertar
el parche como una superficie con dos puertas artificiales, y en donde posteriormente,
insertamos el mallado que define el parche tal como se muestra en la Fig. 3.8. En este
ejemplo, se utiliza una semiesfera para caracterizar el semi-espacio de radiación. A con-
tinuación, se obtiene la matriz de admitancia multipropósito ‘MAM’ correspondiente
a esta estructura, y luego se inserta el mallado 2D, Fig. 3.9, que contiene el parche
utilizando la técnica presentada en este capítulo. Finalmente, se obtiene la matriz de
admitancia multipropósito de la estructura incluyendo el parche en las puertas γp1 y
γp2. La conexión entre sí de estas puertas artificiales proporciona la matriz modal de
la antena microstrip.
En la Fig. 3.10, se representa el coeficiente de reflexión de la antena considerada
obtenido mediante la aplicación de la técnica presentada anteriormente, comparado con
el resultado del análisis de esta antena mediante el uso del método de los elementos
finitos estándar [89], donde se puede comprobar la robustez y viabilidad de la presente
técnica.
55
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
1L 2L
2l
1l
1h2h
w
d
1r2r
0l
Figura 3.7: Antena microstrip diseñada mediante aplicación de la nueva técnica, L1 =L2 = 4 cm, l1 = l2 = 2,5 cm, l0 = 3,2 cm, d = 0,75 cm, h1 = h2 = 0,159 cm, w = 0,4 cm,εr1 = εr2 = 2,22.
3.3.2. Diseño de antena microstrip miniaturizada
Una vez validado el método propuesto en el análisis de antenas microstrip, en esta
sección se propone un procedimiento de optimización de perfiles para este tipo de
antenas basado en la utilización conjunta de la herramienta de análisis desarrollada y
un algoritmo de optimización.
La estructura a optimizar en este caso consiste en una antena microstrip miniatu-
rizada [63, 69] en forma de anillo cuadrado alimentada mediante línea strip Fig. 3.11,
para lo cual, se ha partido de la antena microstrip analizada en el ejemplo anterior (Fig.
3.7) generando una ranura en el centro de la metalización correspondiente al parche
cuadrado.
El proceso de diseño para encontrar las dimensiones optimas del parche a diseñar
consiste en la inserción en un bucle de optimización basado en un algoritmo genético,
que utiliza el método descrito previamente como herramienta de análisis, tal como se
56
3.3. Validación numérica
𝑦
𝑥
𝑧
𝑥
𝑦
Puerta Modal
‘Stripline’
Puerta Modal
Esférica
Cavidad
Metálica
Puertas Artificiales
(a) (b)
𝜀1
𝜀2 𝑤 ℎ
ℎ2
ℎ1
𝐿1
𝛾1, 𝛾2
𝐿1
Figura 3.8: Geometría de la estructura antes de insetar el parche entre las puertasartificiales. L1 = L2 = 4 cm, h = 0,318 cm, w = 0,4 cm, εr1 = εr2 = 2,22.
ha presentado en la sección anterior.
El procedimiento permite la variación de forma eficiente de las dimensiones de la
ranura cuadrada mediante la generación e inserción en la estructura 3D sin parche,
definida en la Fig. 3.8, de mallados 2D tal como se muestra en la Fig. 3.12, las cuales
definen el parche en anillo cuadrado a analizar.
Como objetivo de esta optimización, se ha propuesto una antena de forma de anillo
con frecuencia de resonancia 3.45GHz. En la Fig. 3.11 se muestra las dimensiones de la
antena optimizada mientras que en la Fig. 3.13 se muestra su coeficiente de reflexión en
función de la frecuencia, obtenido mediante la aplicación de la nueva técnica, comparado
con el resultado de simulación de la misma antena utilizando un simulador comercial,
precisamente el ‘HFSS’.
57
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
𝑙1
𝑙1
Figura 3.9: Perfil 2D del parche. L1 = 4 cm, l1 = 2,5 cm.
3.4. Conclusiones
En este capítulo, se ha presentado una técnica basada en el método de elementos
finitos y la técnica MAM, para el diseño y análisis de antenas microstrip. Se ha pro-
cedido a examinar su validez en el diseño de antenas con objetivos simples, variando
un numero de parámetros reducido. Los resultados obtenidos con el método propues-
to, comparados con los obtenidos mediante el MEF estándar, permiten concluir que
su precisión es adecuada para ser utilizada como herramienta de análisis en procesos
de Diseño Asistido por Ordenador CAD de antenas impresas y otros circuitos de mi-
croondas de altas prestaciones. El capítulo siguiente se enfocará en optimizar diversos
tipos de antenas impresas de banda ancha como ejemplos de aplicación de la presente
técnica.
58
3.4. Conclusiones
Frecuencia en GHz
Pér
dida
s de
reto
rno
en d
B
Figura 3.10: Coeficiente de reflexión de la antena microstrip cuadrada exitada por líneamicrostrip en función de la frecuencia.
1L
1l
1h2h
w
d
1r2r
0l
l2
1l
l2
1L
Figura 3.11: Antena microstrip miniaturizada, L1 = 4 cm, l1 = 2,5 cm, l2 w 0,75 cm,l0 = 3,2 cm, d = 0,75 cm, h1 = h2 = 0,159 cm, w = 0,4 cm, εr1 = εr2 = 2,22.
59
3. Nueva Técnica Basada en el Método de los Elementos Finitos para CAD deAntenas Microstrip
𝑙2
𝑙2 𝑙1
𝑙1
Figura 3.12: Mallado 2D del anillo cuadrado optimizado. l1 = 2,5 cm, l2 w 0,75 cm.
Figura 3.13: Coeficiente de reflexión en función de la frecuencia.
60
Capítulo 4
Optimización de Antenas Microstrip
de Banda Ancha mediante Algoritmos
Genéticos y el Método de los
Elementos Finitos
4.1. Introducción
El objetivo en este capítulo es ilustrar la optimización de las formas de antenas
microstrip de banda ancha utilizando la nueva técnica CAD descrita en el capítulo an-
terior como herramienta de análisis en un algoritmo de optimización de tipo genético.
El proceso consiste en primer lugar, en validar experimentalmente dicha técnica me-
diante la optimización de perfiles de antenas microstrip con el propósito de conseguir
un máximo ancho de banda y así probar su potencialidad y validez. A continuación,
se optimizarán distintas antenas microstrip de banda ancha con unas determinadas
características de radiación para diferentes aplicaciones en el área de comunicaciones.
En primer lugar se describe la geometría utilizada en las optimizaciones y el proce-
dimiento de diseño, posteriormente se describe el objetivo y los detalles de cada diseño.
61
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimen-
tal
4.2.1. Descripción de la geometría
El procedimiento de diseño aplicado al proceso de optimización de antenas mi-
crostrip de banda ancha se inicia calculando la matriz de admitancia multipropósito
‘MAM’, que caracteriza la estructura que resulta de la operación de retirar el parche,
sujeto a optimización, de la antena y la definición de dos puertas artificiales circulares
γ1 y γ2 en su lugar, es decir donde se quiere que exista el parche de perfil optimizado,
como se muestra en la Fig. 4.1. El análisis FEM-MAM utiliza una puerta semiesférica,
donde se impone una expansión en modos esféricos de los campos electromagnéticos a
fin de truncar el dominio de análisis y caracterizar la radiación del dispositivo, como
se describe en [89, 97]. Se considera también una puerta coaxial para la alimentación
del dispositivo. Pueden verse más detalles en la Fig. 4.1. En la etapa siguiente, una
superficie 2D, circular y del mismo radio que la cavidad metálica, que incluye una
metalización de parche de forma arbitraria, se genera automáticamente. Se discretiza
esta superficie en elementos triangulares y se definen dos puertas artificiales sobre ese
mismo mallado γp1 y γp2 . Para ello, los m vectores que tienen como origen el centro de
las puertas artificiales circulares y forman ángulos prefijados αi (αi = i.(πn
), i = 0, n)
con el eje x con m = n + 1, se definen como puede verse en la Fig. 4.2. Una combi-
nación de las magnitudes vectoriales, es decir de longitudes ri, determinados por un
algoritmo de optimización genético ofrece una forma específica del parche mediante la
conexión de los puntos extremos finales de estos vectores Pi por medio de funciones
spline [105, 106, 107]. La simetría a lo largo del eje x se aplica en este ejemplo para
generar sólo una mitad del parche y aprovechar la simetría en este análisis [101]. Prácti-
camente, al cambiar las posiciones de los puntos , este procedimiento permite modificar
no sólo la forma del parche sino también su posición relativa respecto a la posición de
la sonda de alimentación. Finalmente, el mallado 2D de las puertas artificiales γp1 y γp2
62
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.1: Geometría de la antena microstrip soportada por una cavidad metálica yexcitada por una línea coaxial donde se ha reemplazado el parche de la antena porpuertas artificiales.
se inserta entre las puertas artificiales γ1 y γ2 de acuerdo con el procedimiento descrito
en el capítulo anterior, en el que se produce un dispositivo o antena de dos puertas
modales Γ1 y Γ2, caracterizado por una matriz de admitancia generalizada ‘GAM’ que
relaciona los coeficientes del campo electromagnético tangencial en la puerta coaxial
y la puerta semiesférica (ver Fig. 4.3 y Fig. 4.4). La matriz de admitancia generali-
zada ‘GAM’ permite caracterizar la antena para una forma determinada del parche.
Por último se calculan los parámetros de la antena que definen la función de coste del
algoritmo de optimización y se procede a la evaluación de esta función con la finalidad
de conseguir los criterios propuestos en el diseño vía evolución genética.
63
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.2: Perfil de forma arbitraria de una antena de parche soportada por una cavi-dad metálica. (a) Variables que definen la forma del perfil del parche, (b) Parámetrosque caracterizan la geometría de la antena. h = 0,316cm, e = 0,234cm, εr1 = 1,9889,εr2 = 2,55 y εr3 = 1,0.
64
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.3: Inserción de un parche de perfil optimizado entre las puertas artificiales γ1
y γ2.
65
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.4: Conexión de las puertas artificiales γp1 y γp2 entre sí y obtención de undispositivo con sólo puertas modales caracterizado por una matriz de admitancia ge-neralizada.
66
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
4.2.2. Diseño de antenas microstrip de banda ancha centradas
en 5.3GHz
4.2.2.1. Diseño 1
Se realizó un proceso de optimización global por medio de un algoritmo genético
[42] que controla la creación de formas de parches nuevos con el objetivo de con-
seguir un diseño de una antena microstrip de banda ancha con pérdidas de retorno
por debajo de 10 dB centrada en 5.3GHz para una de las impedancias de adaptación
Zr = 30Ω, 40Ω, 50Ω o 70Ω. La evaluación del ancho de banda se realiza simultánea-
mente para todas las impedancias de referencia Zr en cada iteración y se procede a
mejorar el resultado mediante los procesos genéticos. En esta optimización se ha uti-
lizado un algoritmo genético mono-objetivo, la función de coste se define en este tipo
de algoritmos de optimización utilizando pesos para ponderar entre los diferentes ob-
jetivos de optimización [42, 108]. Se procuró en esta optimización obtener un máximo
ancho de banda de operación. Para ello se han realizado aproximadamente 900 simula-
ciones sobre una banda de 16 puntos de frecuencia alrededor de la frecuencia central.
La simulación tarda 2 segundos aproximadamente para cada punto de frecuencia lo
que lleva a concluir que cada simulación consume aproximadamente 32 segundos sobre
toda la banda. El calculo de la matriz MAM se hizo aproximadamente en 60 minutos
sobre toda la banda de interés sólo una vez, lo que nos lleva a concluir también que el
tiempo total de optimización en este ejemplo es aproximadamente 9 horas. En cambio,
la simulación de la misma antena utilizando el método de los elementos finitos estándar
necesita aproximadamente 40 segundos para cada punto de frecuencia, es decir para
alcanzar el mismo resultado necesitaría 160 horas. Todo lo anterior logra mejorar sus-
tancialmente el tiempo de optimización por un factor de casi 18 veces. Los cálculos se
realizaron utilizando una computadora con una frecuencia de reloj de 3GHz y de 32
GB de memoria. En la Fig. 4.5 puede verse la evolución del algoritmo genético durante
esta optimización.
67
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.5: Evolución de la optimización genética en función del número de evaluacionesde la función de fitness.
La Fig. 4.6 muestra la forma del parche de perfil optimizado y en la Tabla 4.1 se
dan las longitudes de ri correspondientes a este parche.
Seguidamente se construyó y midió un prototipo del diseño final. En la Fig. 4.7
se muestra una fotografía de la antena microstrip optimizada encerrada en la cavidad
metálica de diámetro D = 60 mm con un plano de masa circular considerado como
infinito. En la Fig. 4.8 se compararon las pérdidas de retorno las cuales fueron medi-
das y calculadas con el fin de concluir un buen acuerdo entre los dos resultados. En
las simulaciones no se consideraron las pérdidas en dieléctricos y conductores lo que
justifica la leve diferencia entre los niveles en los resultados. El ancho de banda rela-
tivo medido es aproximadamente 23% en el rango de frecuencia de 4,78-6,0GHz para
Zr = 70Ω. El diagrama de radiación simulado en tres cortes diferentes φ = 0º , φ = 45º
y φ = 90º para el límite inferior, central y superior de la banda de frecuencias de opera-
ción se muestra en la Fig. 4.9, la Fig. 4.10 y la Fig. 4.11 respectivamente. Como puede
observarse, la antena genera un diagrama de radiación omnidireccional similar a un
68
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.6: Mallado del perfil optimizado de la antena de parche diseñada.
diagrama de radiación generado por una antena monopolo o como se conocen estos ti-
pos de diagramas de radiación en la nomenclatura inglesa: ‘Conical Pattern Radiation’.
Este tipo de diagrama de radiación se puede obtener en caso de una antena microstrip
circular excitando el modo superior TM01 [63, 109, 110]. En el plano yz correspondiente
a φ = 90º el diagrama de radiación es simétrico y casi constante con la frecuencia con
un nulo de 40-30dB en la dirección θ = 0º y un máximo alrededor de θ = 45º. Sin
embargo, en el plano xz correspondiente a φ = 0º , cuando se aumentó la frecuencia, se
observó un leve desplazamiento del nulo de radiación respecto de θ = 0º, el diagrama
de radiación es levemente asimétrico al nivel de este plano. La antena puede ser de
utilidad practica para aplicaciones inalámbricas LAN donde se requiere un diagrama
de radiación omnidireccional.
4.2.2.2. Diseño 2
Se aplica la misma estrategia aplicada en el diseño anterior para diseñar otra antena
microstrip de banda ancha a fin de minimizar las pérdidas de retorno y conseguir la
69
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Parámetro ri Valor optimizado en cmr0 1.7052r1 2.5485r2 2.3237r3 1.5086r4 2.1515r5 2.2410r6 1.3177
Cuadro 4.1: Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético.
Figura 4.7: Fotografía del prototipo de antena obtenida mediante optimización genéticacomparada con una moneda.
70
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.8: Comparación de las pérdidas de retorno medidas y simuladas de la antenadiseñada.
Figura 4.9: Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en lasfrecuancias: 4.8GHz, 5.3GHz y 5.9GHz en el plano φ = 0º.
71
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.10: Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en lasfrecuancias: 4.8GHz, 5.3GHz y 5.9GHz en el plano φ = 45º.
Figura 4.11: Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en lasfrecuancias: 4.8GHz, 5.3GHz y 5.9GHz en el plano φ = 90º.
72
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Parámetro ri Valor optimizado en cmr0 1.6258r1 2.5951r2 2.2759r3 1.4136r4 2.1692r5 2.0368r6 1.7789
Cuadro 4.2: Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético.
Figura 4.12: Mallado del perfil del parche optimizado de la antena.
máxima banda de adaptación sólo para la impedancia de entrada Zr = 50Ω sobre
la misma banda de frecuencias que en el diseño anterior. En la Tabla 4.2 se dan los
valores de las longitudes ri determinados mediante un proceso de optimización genético,
mientras en la Fig 4.13 se puede observar una fotografía del prototipo construido y
medido de la antena diseñada.
La comparación entre las medidas y los resultados obtenidos a partir de la utili-
zación de la nueva técnica para CAD de antenas pueden verse en la Fig. 4.14. Como
resultado de la comparación, se puede concluir que hay un buen acuerdo entre los dos
73
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.13: Fotografía del prototipo de antena optimizada mediante algoritmo genéticocomparada con una moneda.
resultados y desde luego confirmar la eficiencia de la técnica de análisis. El ancho de
banda conseguido es de casi 19% (4,765-5,725GHz) alrededor de la frecuencia central de
banda de operación 5.2GHz. El tiempo de optimización iterando casi 500 simulaciones
es aproximadamente 5 horas.
En cuanto a su diagrama de radiación, es similar al diagrama de radiación obtenido
en el diseño anterior, un diagrama de radiación onmidireccional, a su vez similar a un
diagrama de radiación de una antena monopolo. Las Figuras 4.15, 4.16 y 4.17 muestran
el diagrama de radiación en tres cortes del espacio φ = 0º , φ = 45º y φ = 90º, un cero
de radiación de casi 40-30dB se puede observar en la dirección de radiación θ = 0º en
el plano yz correspondiente a φ = 90º, y un máximo de radiación se obtiene alrededor
de θ = 45º. Sin embargo, en el plano xz correspondiente a φ = 0º, cuando aumenta la
frecuencia, se observa que el nivel del nulo de radiación en la dirección de radiación se
cambió de un valor de casi –35dB a un valor de casi –10dB, mientras tanto el diagrama
de radiación se mantiene casi simétrico. Este fenómeno se observa habitualmente en los
74
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.14: Medidas y simulaciones de las pérdidas de retorno de la antena diseñadamediante optimización genética.
diagramas de radiación de las antenas de tipo monoplolo cuando se excitan los modos
superiores. La antena puede ser utilizada para aplicaciones LAN inalámbricas donde se
requiere un diagrama de radiación omnidireccional como el caso de la antena diseñada
anteriormente.
La definición de la función de coste en el segundo diseño ha influido sobre la con-
vergencia del resultado hacia el resultado óptimo pasando de un numero de iteraciones
de alrededor de 900 iteraciones en el primer diseño a casi 500 iteraciones en el segundo
diseño.
75
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.15: Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en lasfrecuancias: 4.8, 5.2 y 5.8GHZ en el plano φ = 0º.
Figura 4.16: Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en lasfrecuencias: 4.8, 5.2 y 5.8GHz en el plano φ = 45º.
76
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.17: Componente Eθ del diagrama de radiación de la antena simulado en lasfrecuencias: 4.8, 5.2 y 5.8GHz en el plano φ = 90º.
4.2.3. Optimización de antenas microstrip de banda ancha y
diagrama de radiación broadside
4.2.3.1. Estrategia de diseño
En todos los diseños expuestos en este capítulo se va a utilizar la misma estruc-
tura descrita en la sección anterior, esto es por razones practicas, dado que se puede
sustituir la antena microstrip por otra a la hora de la construcción de los prototipos
de diseños, sin necesidad de diseñar o fabricar cada vez una nueva cavidad metálica,
visto que el objetivo principal de este capítulo es diseñar antenas de banda ancha con
ciertas características de radiación. El propósito es evaluar la viabilidad, potencialidad
y eficiencia de la nueva técnica numérica desarrollada en el capítulo anterior con la
finalidad de disponer de una herramienta numérica para algoritmos de optimización
eficientes con fines comerciales o industriales. Por consiguiente, aquí hemos utilizado
un número de variables distinto que en los diseños de antes, n=9 con los ángulos pre-
77
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
fijados α =(0, 1
6, 1
4, 1
3, 1
2, 2
3, 3
4, 5
6, 1)π, posteriormente redujimos el número de variables
de optimización a n=5 con α =(0, 1
6, 1
4, 1
3, 1
2
)π considerando dos planos de simetría
en la superficie que contiene el parche, xz y yz. Se procede a desarrollar un proceso
de optimización similar al descrito anteriormente. Sin embargo, se ponen dos objetivos
simultáneos, obtener un máximo ancho de banda con mínimas pérdidas de retorno y
además adquirir un diagrama de radiación con máxima radiación posible en la dirección
θ = 0º para aplicaciones de comunicaciones en la banda de frecuencias 3.25-3.85GHz.
Esto tiene interés en aplicaciones de WiMax [111] por ejemplo, entre muchas otras
aplicaciones. A fin de cumplir este cometido puede utilizarse un algoritmo genético
mono-objetivo, que posea una función de coste definida por pesos o bien utilizar otra
alternativa más eficiente, que puede ser un algoritmo genético multi-objetivo [61, 62].
4.2.3.2. Diseño de antenas microstrip para aplicaciones en la banda de
frecuencias 3.2-4.0 GHz
4.2.3.2.1. Diseño 1 Observamos que en la primera optimización se ha obtenido
una antena microstrip con unas pérdidas de retorno por debajo de 10dB sobre una
banda de más de 12% de ancho alrededor de la frecuencia central 3.55GHz. Esta banda
se puede considerar como banda ancha si se tiene en cuenta que es una antena de un
parche ‘Single Microstrip Antenna’ para la cual la banda ancha es de 10-20% [63, 69].
La Tabla 4.3 da los valores de las longitudes de los radios ri optimizados, la Fig. 4.18
muestra la forma de la antena diseñada y en la Fig. 4.19 presenta el coeficiente de
reflexión de esta antena en función de la frecuencia.
En cuanto al diagrama de radiación, se obtuvo un diagrama de radiación con má-
xima radiación en θ = 0º, ‘Broadside Pattern Radiation’, con niveles de contra-polar
bajos en la banda de interés. Las Figuras 4.20-4.25 representan el diagrama de radia-
ción de la antena optimizado en los cortes φ = 0º , φ = 45º y φ = 90º en el borde
inferior, central y superior de la banda de operación.
78
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Parámetro ri Valor optimizado en cmr0 1.6708r1 1.5508r2 2.0014r3 1.8525r4 2.6321r5 2.1476r6 1.5264r7 1.2592r8 1.5350
Cuadro 4.3: Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético.
Figura 4.18: Mallado del parche de perfil optimizado de la antena microstrip.
79
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.19: Pérdidas de retorno de la antena microstrip diseñada.
Figura 4.20: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º eva-luado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz.
80
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.21: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz.
Figura 4.22: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz.
81
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.23: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz.
Figura 4.24: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz.
82
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.25: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 3.40GHz, 3.55GHz y 3.79GHz.
4.2.3.2.2. Diseño 2 Para este diseño, se utilizó en la optimización un número
reducido de variables, sólo n = 5 variables tomando los dos ejes xz y yz como ejes
de simetría tal y como se observa en la Fig. 4.26. Los objetivos de diseño son los
mismos que en el caso anterior, primero se intentará minimizar las perdidas de retorno
sobre una amplia banda de frecuencias y como segundo objetivo las características de
radiación de la antena. En esta parte hemos prestado atención a la definición de la
función de coste, de tal forma que el diagrama de radiación contara con la máxima
radiación en la dirección de θ = 0º, o sea de tipo ‘broadside’. Las longitudes de los
vectores ri se pueden observar en la Tabla 4.4, además en la Fig. 4.27 se observa el
perfil de la antena diseñada y también se puede observar en la Fig. 4.28 las pérdidas de
retorno en la banda de funcionamiento. De todo esto se desprende que se ha obtenido
aproximadamente un 14.25% de banda centrada alrededor de la frecuencia 3.75Ghz.
Finalmente, en las Figuras 4.29-4.34 se representan los tres cortes del diagrama de
radiación en diferentes puntos de frecuencia, esto es para asegurarse de la estabilidad
83
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.26: Optimización de un cuarto del perfil de la antena y generación del perfilentero mediante simetrías.
Parámetro ri Valor optimizado en cmr0 1.4581r1 1.1311r2 1.2717r3 2.5248r4 2.6925
Cuadro 4.4: Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético.
del diagrama de radiación sobre toda la banda de frecuencias de interés.
84
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.28: Pérdidas de retorno de la antena microstrip obtenidas mediante simula-ciones.
Figura 4.27: Mallado del perfil optimizado de la antena microstrip de 14% de banda.
85
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.29: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º eva-luado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz.
Figura 4.30: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0ºevaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz.
86
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.31: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45ºevaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz.
Figura 4.32: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 45ºevaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz.
87
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.33: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz.
Figura 4.34: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 3.425GHz, 3.725GHz y 3.945GHz.
88
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Parámetro ri Valor optimizado en cmr0 2.1896r1 2.3246r2 1.9178r3 1.4811r4 1.4662
Cuadro 4.5: Parámetros de la antena diseñada optimizados con un algoritmo genético.
4.2.3.3. Diseño de una antena microstrip con diagrama de radiación broad-
side en la banda de frecuencias 6-8GHz
A fin de asentar las potencialidades del nuevo método, se ha aplicado la misma
metodología de diseño en esta fase, para ello se ha cambiado la definición de la función
de coste con el propósito de conseguir las características de diseño requeridas.
Para el presente diseño se intentó obtener una antena microstrip en la banda de fre-
cuencias 6-8GHz, para aplicaciones por satélite, con máxima banda de funcionamiento
y características de radiación similares al diagrama de radiación broadside (máxima
radiación en θ = 0º). En este se utilizaron n = 5 variables de optimización y se consi-
deraron dos planos de simetría xz y yz. La función de coste quedó definida de forma
tal que se fijó un ángulo de apuntamiento de radiación y una vez hecho esto, se intentó
llevar al máximo de radiación dentro del ángulo de apuntamiento. En particular se
intentó alcanzar el máximo de radiación en coincidencia con θ = 0º. En la figura si-
guiente 4.35, se presenta un diagrama de flujo que describe de forma general la función
de coste utilizada para la optimización de la radiación.
A partir de la inclusión de las características antes descritas, se procedió a desarro-
llar la optimización. Se consiguió un diseño de una antena con una banda de mínimas
perdidas de retorno de casi 22% de banda alrededor de la frecuencia 7.2GHz. Se puede
observar en la Fig. 4.36 el perfil optimizado de esta antena, en la Tabla 4.5 se dan los
valores de longitudes ri que definen el parche de la antena optimizados y la Fig. 4.37
muestra el coeficiente de reflexión de la antena en función de frecuencias.
En cuanto al diagrama de radiación se presentan en la Fig. 4.38 y la Fig. 4.40
89
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.35: Diagrama de flujo de la función de coste para optimizar el diagrama deradiación
Figura 4.36: Mallado del parche de perfil optimizado de la antena microstrip de 22%de banda.
90
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.37: Pérdidas de retorno de la antena microstrip diseñada para aplicaciones debanda ancha.
los componentes co-polar y en las Figuras 4.39 y 4.41 se presentan los componentes
contra-polar del diagrama de radiación en los tres cortes de espacio φ = 0º y φ = 90º
para varias frecuencias. El diagrama de radiación es de tipo broadside (máximo de
radiación en θ = 0º), pero se observa un nulo de radiación alrededor de θ = 30º,
Fig. 4.38. Según la función de coste se obtiene un máximo de radiación dentro del
ángulo de apuntamiento prefijado calculado en algunas frecuencias concretas para no
sobrecargar el algoritmo de optimización. Es importante tener presente que en casos
de diseños comerciales en los que se requieren características de radiaciones concretas
y firmemente estables se puede definir una función de coste en la que se evalúa el
diagrama de radiación en más puntos de frecuencia, esto con la finalidad de asegurarse
la convergencia de la optimización hacia el resultado requerido.
91
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
Figura 4.38: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0º eva-luado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz.
Figura 4.39: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 0ºevaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz.
92
4.2. Procedimiento de diseño y validación experimental
Figura 4.40: Componente co-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz.
Figura 4.41: Componente cross-polar del diagrama de radiación en el plano φ = 90ºevaluado en las frecuencias 6.5GHz, 7.0GHz, 7.5GHz y 8.0GHz.
93
4. Optimización de Antenas Microstrip de Banda Ancha mediante AlgoritmosGenéticos y el Método de los Elementos Finitos
4.3. Conclusiones
Se han presentado, en este capítulo, algunos diseños de antenas microstrip de banda
ancha para diferentes aplicaciones de comunicación a través de la utilización de la nueva
técnica como herramienta de análisis en un algoritmo de optimización genético. Como se
pudo ver, se construyeron ciertos diseños para la validación experimental y la evaluación
de utilidad de esta técnica. En base a los resultados experimentales queda en evidencia
la importante utilidad de esta herramienta en procesos de optimizaciones. Es decir que,
a pesar de que el experimento que hemos hecho ha sido en relación a la optimización de
perfiles de antenas microstrip, se abre una puerta para la experimentación, a partir de
la utilización de la misma técnica, que perfectamente puede extenderse a otros circuitos
de microondas (antenas microstrip con polarización circular, filtros, irises en guías de
onda, etc.).
94
Capítulo 5
Herramientas CAD Basadas en el
Método de Descomposición de
Dominio-Método de Elementos Finitos
para el Análisis y Diseño de
Dispositivos Pasivos de Microondas
5.1. Introducción
Como ya se ha mencionado anteriormente, el enfoque de esta tesis trata sobre el
desarrollo de nuevas herramientas numéricas (CAD) para el análisis y diseño de dispo-
sitivos de microondas. Se han dedicado los dos capítulos precedentes al desarrollo de
herramientas numéricas para el análisis y diseño de antenas. En este contexto, se presen-
tó una técnica para el diseño y optimización de antenas microstrip. Consecuentemente,
se diseñaron varias antenas microstrip de banda ancha para diferentes aplicaciones en
el área de comunicaciones mediante la aplicación de dicha técnica. En el presente capí-
tulo, se centra el estudio sobre el diseño CAD de dispositivos pasivos de microondas, en
95
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
particular, los filtros. Para ello, se propone un procedimiento riguroso, rápido y fiable
para el diseño y sintonía de filtros basado en técnicas de onda completa, precisamente,
el método de los elementos finitos. También, se utiliza la técnica de descomposición
directa de dominio para la segmentación del dominio de análisis, y el método de bases
reducidas como método para formar modelos de orden reducido con el propósito de
reducir los tiempos de análisis y el coste computacional de los diseños.
Durante este capítulo, este procedimiento se describirá de modo resumido, orientado
al diseño y sintonía de filtro de microondas. Seguidamente, se aplicará al diseño y
sintonía de varios tipos de filtros en diferentes topologías con el objetivo de validarlo y
mostrar sus posibilidades y potencialidad en términos de eficiencia, rapidez y precisión
de las respuestas.
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Una cuestión importante acerca de los dispositivos pasivos de microondas es que
requieren una respuesta muy restringida y selectiva en frecuencia. Para ello, se exige
que el diseño y el análisis de este tipo de dispositivos sean más precisos. Los proce-
sos de diseño de este tipo de dispositivos se basan habitualmente en diversas técnicas,
analíticas o de onda completa. La utilización de los métodos analíticos (métodos de
aproximación) basados principalmente en la utilización de modelos circuitales equiva-
lentes y procesos de optimización utilizando, por ejemplo, el método de mapeo espacial
‘Space Mapping Algorithm’ [112] en combinación con un algoritmo de optimización lo-
cal para conseguir las especificaciones requeridas. Generalmente, los métodos analíticos
son rápidos y de coste computacional reducido. Sin embargo, para la mayoría de los
diseños actuales, habitualmente complejos y exigentes, no pueden utilizarse o en todo
caso no responden a los requisitos de precisión exigidos, lo que les hace incapaces de
predecir el comportamiento de estos dispositivos, o inaplicables para diseñar dispositi-
vos de microondas para las nuevas generaciones de aplicaciones. Una alternativa que
96
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
cumple con los requisitos de precisión de la respuesta de los circuitos de alta frecuencia
es la utilización de los métodos de análisis basados en técnicas numéricas de onda com-
pleta. Últimamente, se han desarrollado varios simuladores y herramientas de diseño
basándose en estos métodos aprovechando la rigurosidad y precisión de los resultados
a la hora del diseño y análisis, lo que reduce el coste de fabricación y lo hace aceptable.
No obstante, el coste computacional utilizando estos métodos es elevado, y en algu-
nos diseños es excesivamente alto. A pesar de ello, los diseñadores de dispositivos de
microondas, y en particular de filtros de microondas, siguen utilizando estos métodos
para responder a los requisitos y especificaciones de diseño que cada vez son más exi-
gentes. De todas formas, incluso los procesos de diseño basados en métodos analíticos,
suelen complementarse con un proceso basado en métodos de onda completa en la fase
de ajuste y pruebas finales. Esto hace que las herramientas CAD basadas en técnicas
de onda completa sean indispensables en la actualidad para los procesos de diseño y
sintonía de filtros de microondas. En la Fig. 5.1 se resume este proceso.
En este sentido, se desarrollan una serie de herramientas para el diseño y sintonía
de filtros de microondas con especificaciones muy exigentes basadas en el método de
los elementos finitos a fin de superar el reto del coste computacional de los mismos.
En este capítulo, se presenta un procedimiento basado en el método de los elementos
finitos y la técnica de descomposición directa de dominio para el diseño CAD y sintonía
de filtros de microonda. El objetivo principal en este desarrollo es disponer de una
herramienta de diseño rápida y de coste computacional reducido. Para conseguir este
objetivo, se implementa un método de barrido en frecuencia con el fin de reducir los
tiempos de análisis. Se utiliza en este caso la técnica de bases reducidas [95, 96] para
conseguir este objetivo.
5.2.1. Método de Bases Reducidas
Ya sea por el tiempo invertido en el cálculo o el coste computacional, en la actua-
lidad es indispensable la utilización de los métodos de onda completa para el análisis
97
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.1: Proceso de diseño y sintonía de filtros de microondas.
electromagnético de los nuevos prototipos de dispositivos de microondas. Por ello, la
tendencia actual es utilizar técnicas para reducir este coste computacional y temporal
de las simulaciones numéricas como sucede con los modelos de orden reducido. El méto-
do de bases reducidas proporciona una respuesta a este problema [95, 96]. Básicamente
es un método cuyo objetivo es reducir el número de grados de libertad de un problema
lo que permite prácticamente obtener respuestas de simulaciones en tiempos de cálculo
relativamente cortos. Para conseguir tal resultado, se calculan y se almacenan ciertas
cantidades (parte Off-line) que se utilizarán en el cálculo de las soluciones posteriores
(parte On-line).
En este párrafo, se describe brevemente la aplicación del método de bases reducidas
para problemas de electromagnetismo. En el análisis electromagnético el campo en
una estructura esta descrito mediante una ecuación que puede expresarse de la forma
siguiente:
98
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
a(−→H,−→w
)= ϕ (−→w ) (5.1)
donde a(−→H,−→w
)=´
Ω
(1εr∇×
−→H · ∇ × −→w − k2µr
−→H · −→w
)dΩ.
y ϕ (−→w ) = − jkη0
´S
((n×−→E)· −→w)dS.
La solución de este problema puede aproximarse mediante la aplicación del método
de los elementos finitos donde se representa el campo magnético mediante la expresión
en una base vectorial de dimensiónN como−→H =
N∑i=1
hi−→wi donde (−→wi)i=1,N es el conjunto
de funciones base (véase el capítulo 2). Se obtiene un sistema de ecuaciones que puede
escribirse de la forma matricial siguiente:
(K − k2M
)h = ϕ (5.2)
con (K)ij = aK (−→ui ,−→wj), (M)ij = aM (−→ui ,−→wj) y (ϕ)j = ϕ (−→wj)
donde aK (−→u ,−→w ) =´
Ω
(1
εr∇×−→u · ∇ × −→w
)dΩ y aM (−→u ,−→w ) =
´Ω
(µr−→u · −→w ) dΩ.
Con el fin de obtener una solución a este problema se debe resolver un sistema de
ecuaciones de dimensión N , normalmente grande, para cada excitación y en cada punto
de frecuencia de la banda de interés. En lo que sigue, el problema realmente se escribe
de la forma a(−→H,−→w ; k
)= ϕ (−→w ; k) donde k es el número de onda. En problemas de
banda ancha se presenta habitualmente la cuestión del tiempo de calculo. No obstante,
el campo en los problemas de electromagnetismo no sufre cambios arbitrarios cuando
cambia la frecuencia. Esto permite de aproximar la solución evaluando el problema
sólo en ciertos puntos de frecuencia seleccionados ki en lugar de calcular el problema
en cada punto de frecuencia de la banda de interés D, (ki ∈ D). De hecho, se aplica
el método de las bases reducidas para reducir la dimensión del espacio de soluciones
del problema anterior y obtener un sistema de ecuaciones de dimensión reducida que
pueda aproximar la respuesta mediante la proyección de este problema sobre un espacio
generado linealmente por soluciones del sistema en puntos específicos de frecuencia ki.
Se propone como un nuevo espacio de soluciones una base ςN de la siguiente forma:
99
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
ςN = span −→ς1 , ...,−→ςN (5.3)
donde −→ς1 ≡−→H (k1),...,−→ςN ≡
−→H (kN) y k1,...,kN son las frecuencias de la banda
de interés en las que se calcula la solución. Hay varias maneras convencionales para
formar las bases reducidas. Se centra aquí en las bases reducidas de Lagrange. Para
la construcción del espacio ςN utilizamos el algoritmo ‘Greedy’ [113] que va eligiendo
las frecuencias ki y aumentando la dimensión N = dimςNhasta conseguir un error
residual razonable. El error residual esta definido como:
e (k) = a
(−→H (k)−
−→H (k) ,−→w , k
)(5.4)
con
a
(−→H (k) ,−→w , k
)= ϕ (−→w , k) (5.5)
o sea
(K − k2M
)h = ϕ (5.6)
donde se ha aproximado la solución en la base ςN como−→H (k) =
−→H (k) ≡
N∑i=1
hi (k)−→ςi
aplicando una proyección de Galerkin sobre esa base. las nuevas matrices K, M y
ϕ se obtienen de la forma seguiente K = ZTKZ, M = ZTMZ y ϕ = ZTϕZ con
Z = col −→ς1 , ...,−→ςN.
Finalmente, se procede a resolver en la etapa online un sistema de ecuaciones re-
ducido de dimensión N (N N ). Sin embargo, algunas cantidades de dimensión N
se calculan y se almacenan en la etapa offline. Más detalles sobre el procedimiento de
aplicación del método de bases reducidas se puede consultar en [95, 96].
Se presenta la utilidad del método de bases reducidas mediante su aplicación con-
creta en el análisis de un filtro de microondas. Como ejemplo, se considera el filtro en
topología de guía de ondas de orden 4 que puede observarse en la Fig. 5.2 siguiente:
100
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Figura 5.2: Topología del filtro en guía de ondas de orden 4. Vista lateral según uncorte en el plano de simetría yz.
La evolución del valor del error residual puede verse en la Fig. 5.3. Como puede
observarse, para conseguir el resultado requerido, se necesitaba sólo una base de dimen-
sión N = 9. Se ha simulado el mismo filtro utilizando un simulador comercial ‘HFSS’,
y el tiempo de simulación fue aproximadamente 187s que con el método propuesto el
tiempo se ha reducido a 124s. En la Fig. 5.4 se comparan las dos respuestas obtenidas.
5.2.2. Descripción del procedimiento de diseño y sintonía de
filtros de microondas
Para describir este procedimiento, como ejemplo de diseño y análisis se considera
un filtro dual-mode en guía circular de 4º orden, como puede verse en la Fig. 5.5. Este
filtro está constituido por dos cavidades cilíndricas conectadas entre sí mediante un iris
en forma de cruz, conectadas a los accesos del dispositivo (guías rectangulares RW75)
mediante un iris rectangular de las mismas dimensiones. También, se introducen dos
tornillos de sintonía al nivel de cada cavidad, uno horizontal y el segundo girado 45o.
101
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.3: El error residual en el análisis del filtro para diferentes bases reducidas dedistintas dimensiones.
Figura 5.4: Respuesta del filtro en comparacion con la respuesta obtenida con HFSS.
102
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Figura 5.5: Geometría del filtro dual-mode en guía de ondas circular.
En cada cavidad se excitan dos modos y de esta forma se obtiene finalmente un filtro
de 4º orden.
Este filtro fue diseñado y presentado en [114], con el objetivo de conseguir cier-
tas especificaciones bien determinadas, principalmente, tener pérdidas de retorno por
debajo de 20dB sobre una banda de 100MHz centrada en la frecuencia 11,8GHz. Se
pueden encontrar más detalles sobre este filtro en [101, 114].
En un primer paso, en dicho procedimiento de diseño se divide el dominio de análi-
sis en subdominios. En el presente ejemplo, se puede dividir la geometría del filtro en 9
subdominios como puede observarse en la Fig. 5.6. Cada subdominio se analiza indepen-
dientemente de los demás utilizando el método más adecuado para obtener su matriz
de scattering generalizada ‘GSM’. Una vez obtenidas, la matriz GSM del filtro comple-
to se obtiene conectando circuitalmente las matrices GSM de todos los subdominios.
Esta conexión es analítica, y por tanto, es una operación de coste computacional muy
reducido. El método de análisis de cada uno de los subdominios se elige dependiendo
de la características que presenta cada uno. Por ejemplo, los subdominios 2, 4, 6 y 8 son
103
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.6: Descomposición de dominio de la geometría del filtro Dual-mode en guíade ondas circular en subdominios.
simplemente secciones de guías de onda circulares cuya matriz GSM se puede obtener
analíticamente en tiempos muy reducidos. Además, en una geometría de un filtro suele
ser habitual que haya subdominios idénticos, lo que significa que es suficiente analizar
sólo un subdominio de estos, sin necesidad de analizar los demás. Como ejemplo, en el
presente caso, la transición entre las cavidades circulares y los accesos rectangulares es
idéntica en la entrada como en la salida del filtro, y por lo tanto es suficiente analizar
sólo un de los dos subdominios (subdominios 1 y 9). Prácticamente, esto hace que este
procedimiento, muy adaptado al diseño de filtros de geometrías complejas, sea eficiente
porque se basa en la técnica de segmentación o descomposición de dominio, a la vez
que rápido y preciso porque cada subdominio se analiza con el método más adecuado.
Finalmente, se obtiene la matriz GSM total del filtro mediante la conexión de matrices
GSM de todos los subdominios mediante una operación analítica (cascada) por lo que
es de coste computacional muy reducido.
En el desarrollo de este procedimiento, se usan todas las herramientas de análisis que
104
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Figura 5.7: Utilización de puertas artificiales para análizar volúmenes extraídos.
disponemos. Así, pueden utilizarse en algunos casos las puertas artificiales para analizar
volumenes extraídos de un subdominio independientemente del resto de volumen del
subdominio. Como ejemplo sencillo, supongamos que se quiere cambiar la profundidad
de un tornillo de sintonía en el subdominio 3 o 7 (véase la Fig. 5.6). Para ello, no
es necesario re-analizar el volumen entero del subdominio cada vez que cambia la
profundidad del tornillo de sintonía, ya que si se utilizan las puertas artificiales para
encerrar un volumen que contiene el tornillo (como puede verse en la Fig. 5.7) este
pequeño volumen se puede analizar de forma independiente (véase la Fig. 5.8).
Aplicando el procedimiento descrito anteriormente, se ha analizado el filtro dual-
mode en guía circular de 4º orden. Se ha obtenido la respuesta del filtro y ha sido
comparada con las medidas, Fig. 5.9. Se observa un buen acuerdo entre los dos resul-
tados. Este análisis se ha realizado en un tiempo de t = 114s para obtener la respuesta
sobre toda la banda de frecuencias, el cual es un tiempo competitivo en comparación
con los tiempos de análisis en [101]. La utilización de la técnica de bases reducidas
como método de barrido en frecuencia ha permitido reducir los tiempos de análisis.
105
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.8: Evolución de la respuesta del filtro dual-mode en guía circular con la va-riación de la profundidad del tornillo de sintonía.
Los cálculos se realizaron en una computadora de frecuencia de reloj 3.33GHz y de
8GB de memoria.
Como se ha dicho anteriormente, este procedimiento puede utilizarse para la sintonía
de filtros de microondas mediante procesos de optimización. En el siguiente párrafo, se
presenta un proceso de sintonía de un filtro con objetivo de mostrar las capacidades de
este procedimiento en tareas de sintonía de filtros de respuestas sensibles.
5.2.3. Sintonía de filtros de microondas mediante optimización
Una de las etapas más importantes en el proceso de diseño de cualquier filtro de
microondas es la etapa de sintonía del filtro diseñado. En muchos casos, un ajuste de
un filtro tarda más que su diseño. En el procedimiento de diseño que se presenta en este
capítulo, se ha pensado en complementar el proceso de diseño con uno de optimización
para la sintonía, generalmente un algoritmo de optimización local o Simplex. En la Fig.
5.10 se muestra el organigrama que resume el proceso de sintonía implementado para el
106
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Figura 5.9: Respuesta en banda ancha del filtro dual-mode.
ajuste de un dispositivo. Principalmente, este proceso de sintonía se basa en utilizar un
prototipo de diseño inicial. En general, la respuesta de este prototipo obtenida mediante
la aplicación del procedimiento de sintonía se encuentra en la mayoría de casos lejos de
la respuesta requerida. En primer lugar, se procede al ajuste de este prototipo mediante
una optimización local y a partir de la respuesta del filtro, se determina la función
racional correspondiente mediante el método de Cauchy [115, 116]. Seguidamente, se
calculan los ceros y polos de esta función racional, y para seguidamente calcular la
distancia entre estos y los obtenidos del modelo circuital del filtro. La optimización tiene
como objetivo minimizar dicha distancia cambiando las dimensiones de la geometría
del dispositivo y así obtener las dimensiones físicas del filtro que permiten obtener la
respuesta exigida.
En este párrafo, aplicamos este proceso para la sintonía de un filtro de orden 4 de
resonadores dieléctricos cilíndricos. A pesar de que este filtro fue diseñado y presentado
en [117], volvemos a tomarlo como ejemplo de aplicación del procedimiento descrito
para mostrar su utilidad como herramienta de sintonía de filtros de microondas. En la
107
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.10: Diagrama de flujo simplificado del algoritmo de diseño de filtros medianteoptimización usando el método de Cauchy.
Fig. 5.11 se puede ver la topología de este filtro. Se trata de 4 resonadores cilíndricos
situados cada uno en una cavidad rectangular, en el que el acoplamiento entre los
resonadores se implementa mediante ranuras rectangulares de dimensiones ajustables
y cuatro tornillos de sintonía para las frecuencias de resonancia. Se dan más detalles
de geometría en la Fig. 5.12.
La matriz de acoplamiento de modelo circuital de este filtro se puede obtener como:
0 0,9839 0 0,1459
0,9839 0 0,6708 0
0 0,6708 0 0,9839
0,1459 0 0,9839 0
M01 = M02 = 1,0946
La especificación requerida en este caso es básicamente la obtención de unas pérdi-
108
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Figura 5.11: Geometría del filtro de resonadores dieléctricos cilíndricos de 4º orden.
Figura 5.12: (a) Vista lateral, (b) Vista desde arriba de las cavidades del filtro deresonadores dieléctricos cilíndricos de 4º orden.
109
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.13: Respuesta circuital ideal del filtro de resonadores dieléctricos cilíndricosde 4º orden.
das de retorno por debajo de 20dB en una banda de 30MHz centrada en la frecuencia
11,82GHz [117]. La respuesta del modelo circuital de este filtro se muestra en la Fig.
5.13 siguiente:
Como puede verse en la Fig. 5.14, sólo las regiones ‘A’ y ‘B’ deben analizarse
mediante herramientas numéricas. El resto de las regiones de la geometría presentan
características que permiten utilizar métodos analíticos en el análisis.
Se procede al diseño de este filtro definiendo un prototipo inicial. Este último se
analiza mediante las herramientas de análisis electromagnético adecuadas después de
aplicar la operación de segmentación aplicando el método de descomposición directa
de dominio. En la Fig. 5.15 puede verse la respuesta del prototipo inicial del filtro en
comparación con la respuesta del modelo circuital. Las primeras observaciones dejan
claro que la respuesta del prototipo inicial queda lejos de la respuesta óptima del filtro,
por lo que se debe iniciar un proceso de sintonía del filtro mediante una optimización
simplex. Para ello, se definen los parámetros de optimización, se analiza el filtro y se
evalúa su respuesta en cada iteración. El objetivo de la optimización es minimizar la
distancia entre los ceros y polos de la función racional obtenida a partir de la respuesta
110
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
Figura 5.14: Descomposición de dominio del filtro a resonadores dieléctricos cilíndricosde 4º orden.
de filtro analizado aplicando el método de Cauchy y los del modelo circuital. En la Fig.
5.16 se puede observar la distribución de los ceros y polos de ambos casos.
Durante el proceso, se analiza el prototipo de filtro y se evalúa la evolución de
la optimización cada vez que se cambian las dimensiones de filtro. En la Fig. 5.17 se
pueden ver algunos resultados obtenidos durante la optimización.
En este caso se han realizado casi 200 iteraciones para conseguir el resultado óptimo.
En la Fig. 5.18 se muestra la respuesta del diseño final comparada con la respuesta
circuital. En la Fig. 5.19 se puede ver la comparación entre los ceros y polos. A partir de
los resultados obtenidos, se puede observar la precisión del procedimiento presentado.
El análisis se hizo aproximadamente en 41s en toda la banda. El tiempo del cálculo
para cada subdominio es aproximadamente 13s, y los cálculos se realizaron en una
computadora de frecuencia de reloj de 3.33GHz y de 8GB de memoria.
111
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.15: Respuesta del prototipo inicial del filtro en comparación con la respuestadel modelo circuital (—).
Figura 5.16: Diagrama de polos y ceros de la función racional de la respuesta delprototipo inicial del filtro en el plano complejo.
112
5.2. Diseño CAD y Sintonía de Filtros de microondas
/
/
Figura 5.17: Evolución de la sintinía del filtro mediante optimización, Izq. Respuestadel filtro en cada iteración, Dcha. Evolución del error entre los polos y ceros de lafunción racional de la respuesta del diseño del filtro y los del modelo circuital.
113
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.18: Respuesta del diseño final obtenida mediante optimización con compara-ción con la respuesta circuital ideal.
Figura 5.19: Distribución de los ceros y polos de la función racional de la respuesta deldiseño final en comparacion con los del modelo circuital del filtro.
114
5.3. Diseño y Sintonía de Filtro Dual-Mode en guía circular de orden 8
5.3. Diseño y Sintonía de Filtro Dual-Mode en guía
circular de orden 8
Como segundo ejemplo de aplicación del procedimiento de diseño descrito anterior-
mente, se ha sintonizado un filtro dual-mode en guía circular de 8º orden tal como se
ve su topología en la Fig. 5.20. La matriz de acoplamiento del modelo circuital del filtro
es:
0 0,903 0 −0,064 0 0 0 0
0,903 0 0,679 0 0 0 0 0
0 0,679 0 0,568 0 −0,020 0 0
−0,064 0 0,568 0 0,538 0 0 0
0 0 0 0,538 0 0,497 0 −0,213
0 0 −0,020 0 0,497 0 0,708 0
0 0 0 0 0 0,708 0 0,679
0 0 0 0 −0,213 0 0,679 0
M01 = M02 = 1,0946
Con este diseño, lo que se pretende es conseguir un nivel de pérdidas de retorno por
debajo de 20dB en una banda de 200MHz alrededor de la frecuencia central 12GHz.
En la Fig. 5.21 se muestra la respuesta del modelo circuital del filtro.
Para ello, se realiza el proceso de diseño y sintonía partiendo de un prototipo ini-
cial, y se aplica el procedimiento desarrollado anteriormente para conseguir el diseño
requerido y las especificaciones determinadas. De mismo modo que en caso del filtro
dual-mode en guía circular de orden 4, la estructura se segmenta para aprovechar las
soluciones analíticas de algunos subdominios. A continuación, se analiza el prototipo
inicial y se obtiene su respuesta, que puede verse en la Fig. 5.22 comparada con la
115
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.20: Geometría del filtro dual-mode en guía circular de 8º orden.
Figura 5.21: Respuesta del modelo circuital del filtro dual-mode en guía circular de 8ºorden.
116
5.3. Diseño y Sintonía de Filtro Dual-Mode en guía circular de orden 8
Figura 5.22: Respuesta del diseño inicial del filtro en comparación con la respuesta delmodelo circuital.
respuesta del modelo circuital. En la Fig. 5.23 se pueden ver los ceros y polos de la
función racional de la respuesta del prototipo inicial y del modelo circuital. Eviden-
temente, se concluye que la respuesta del prototipo inicial queda lejos de la respuesta
óptima. Así, el proceso de diseño debe complementarse con un proceso de optimización
para finalizar el diseño.
Se optimizan las dimensiones del filtro mediante un algoritmo de optimación sim-
plex que como criterio de convergencia minimiza el error entre los ceros y polos cal-
culados mediante el análisis CAD y los obtenidos a partir del modelo circuital. En la
Fig. 5.24 se puede observar la evolución de la optimización a través de la respuesta
del filtro y la convergencia de los ceros y polo hacia el resultado óptimo (Evaluación
aproximadamente después de cada 50 iteraciones).
Al igual que en el caso anterior, se han realizado aproximadamente 300 iteraciones
con el fin de obtener un diseño con las especificaciones requeridas. Se necesitaban
aproximadamente 46s para obtener la respuesta en toda la banda. Y aproximadamente
117
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
Figura 5.23: Distribución de los polos y ceros de la función racional de la respuesta delprototipo inicial en comparación con los del modelo circuital.
6.5s para analizar cada subdominio. En la Fig. 5.25 se muestra la respuesta del diseño
final en comparación con la respuesta del modelo circuital. También, se muestran en
la Fig. 5.26 los ceros y polos de la función racional de la respuesta del filtro.
Como puede notarse, se consigue un buen acuerdo entre los resultados obtenido me-
diante aplicación del procedimiento descrito en este capítulo y la respuesta del modelo
circuital. Se puede concluir la rigurosidad, eficiencia y fiabilidad del procedimiento de
diseño y sintonía desarrollado y presentado a lo largo de este capítulo.
5.4. Conclusiones
Se ha presentado en este capítulo un procedimiento para CAD y sintonía de filtros
de microondas. Este procedimiento se basa en técnicas de onda completa, precisamen-
te el método de los Elementos Finitos combinado con la técnica de Descomposición
Directa de Dominio. Para reducir los tiempos de análisis se ha implementado un mo-
delo de orden reducido basado en la técnica de bases reducidas como un método para
118
5.4. Conclusiones
/
/
/
119
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
/
/
Figura 5.24: Evolución de la respuesta del filtro y del error entre los polos y ceros de lafunción racional de la respuesta del diseño del filtro y los del modelo circuital duranteel proceso de optimización.
120
5.4. Conclusiones
Figura 5.25: Comparación entre la respuesta del diseño final del filtro y la respuestadel modelo circuital.
Figura 5.26: Distribución de los polos y ceros de la función racional de la respuesta deldiseño final del filtro en el plano complejo en comparación con los del modelo circuital.
121
5. Herramientas CAD Basadas en el Método de Descomposición de Dominio-Métodode Elementos Finitos para el Análisis y Diseño de Dispositivos Pasivos de Microondas
barrer en frecuencia. Se ha aplicado este procedimiento para diseñar y sintetizar varios
ejemplos de filtros con el fin de comprobar la validez de dicho procedimiento. Los re-
sultados obtenidos permiten de concluir la utilidad de este procedimiento y confirman
su rigurosidad, precisión y eficiencia para utilizarse para diseñar filtros de microondas.
122
Capítulo 6
Conclusiones generales
6.1. Consideraciones finales
La motivación esencial de esta tesis fue la reducción de los elevados costes compu-
tacionales en términos de tiempos y memoria en el análisis electromagnético. Para ello,
el objetivo de este trabajo se ha centrado en el desarrollo de herramientas numéricas
CAD rápidas, eficientes y precisas para el diseño y el análisis de antenas y dispositivos
pasivos de microondas, en particular las antenas realizadas en tecnología microstrip y
filtros de microondas. Principalmente, se ha basado para el desarrollo de dichas técnicas
en el método de los elementos finitos. También, se ha utilizado la técnica de descompo-
sición de dominio para segmentar los dominios a analizar lo que prácticamente permite
sustituir el método de los elementos finitos para analizar un subdominio por otro méto-
do que presenta un perfil más adaptado y eficiente, generalmente un método analítico
como ya se ha demostrado a lo largo de esta tesis. En este contexto, se ha presentado
una técnica numérica desarrollada basandose en la formulación de la MEF-MAM para
el diseño y análisis de antenas microstrip y que permite reducir el análisis de estos
dispositivos a un análisis 2D mediante la separación del proceso de análisis en una
parte offline en la que se efectúa el análisis 3D de la estructura y una parte online
en la que se efectúa el análisis 2D. A continuación se ha aplicado para el diseño de
123
6. Conclusiones generales
antenas microstrip de banda ancha mediante la optimización del perfil de las antenas.
Se han conseguido los dos objetivos propuestos en este caso, primero, se ha reducido
el tiempo de optimización por un factor de 18 veces lo que demuestra la eficiencia de
la técnica presentada y su viabilidad. Segundo, se han conseguido varios diseños de
antenas microstrip de bandas anchas convenientes a varios tipos de aplicaciones en el
área de comunicación.
También, se ha presentado a lo largo de esta tesis un procedimiento basado en
una combinación del método de los elementos finitos y el método de descomposición
de dominio para el diseño y síntesis de filtros de microondas mediante procesos de
optimización. Para reducir los tiempos de análisis, se ha implementado un modelo
de orden reducido basado en el método de bases reducidas como una técnica para
barrer en frecuencia. Se trata de un proceso rápido y preciso que además del diseño de
los filtro permite realizar los ajustes finales de estos dispositivos que normalmente se
caracterizan por la alta sensibilidad. Se ha demostrado la eficiencia, rapidez y precisión
del procedimiento presentado mediante su aplicación para sintonizar unos filtros y para
diseñar otros.
6.2. Contribuciones originales
El desarrollo de esta tesis se ha apoyado en la formulación de las herramientas
numéricas desarrolladas en nuestro grupo de investigación basadas en el método de los
elementos finitos:
• La formulación de la técnica SFELP que permite resolver un problema electro-
magnético y obtener la matriz de dispersión generalizada GSM del dominio analizado
basando en una combinación ingeniosa de métodos eficientes, principalmente el método
de los elementos finitos, el método de segmentación y métodos de modelo de orden re-
ducido, en este caso el método de Padé via Lanczos pero en versiones posteriores otros
métodos de barrido en frecuencia como por ejemplo el método de bases reducidas.
124
6.2. Contribuciones originales
• La formulación de la técnica MAM que permite analizar mediante el método de los
elementos finitos una estructura en la que haya partes de la geometría cuyas condiciones
de contorno no sean conocidas o no estén aplicadas a priori. La importancia de esta
técnica reside en que las condiciones de contorno variables pueden aplicarse mediante
simples manipulaciones circuitales para obtener la matriz de admitancia generalizada
‘GSM’ que caracteriza el dominio analizado.
Como contribución al continuo proceso de desarrollo de herramientas numéricas
basadas en técnicas de onda completa, se ha propuesto como objetivos a conseguir
mediante este trabajo, el desarrollo de herramientas numéricas con el propósito de
reducir los requisitos en término de recursos computacionales y los tiempos de análisis.
En este contexto, se han desarrollado las siguientes contribuciones originales:
• Se ha desarrollado una técnica fundamentada en el método MEF-MAM para
el diseño de antenas, en particular las antenas realizadas en la tecnología microstrip,
mediante procesos de optimización eficientes y rápidos. Se ha demostrado el potencial
de esta técnica mediante su aplicación en el diseño de antenas microstrip de banda
ancha. En este sentido, se han podido reducir los tiempos de optimización por un
factor de casi 18 veces en comparación con los procesos de optimización basados en
la utilización del método de los elementos finitos estándar. La precisión de la nueva
técnica se ha demostrado mediante la construcción y las medidas de algunos prototipos
de diseños obtenidos mediante su aplicación.
• Los resultados de pruebas de dicha técnica han motivado a realizar varios diseños
de antenas microstrip de banda ancha para varias aplicaciones de comunicación. En
este contexto, se han diseñado, fabricado y medido dos antenas microstrip de banda de
casi 21% y 23% alrededor de la frecuencia central de cada banda dentro de la banda-C
(IEEE C-band (4 GHz to 8 GHz)) con diagrama de radiación similar al diagrama de
radiación de los monopolos, adecuadas para las comunicaciones WLAN. A continuación,
se han diseñado otras dos antenas microstrip de banda relativamente ancha de casi 12%
y 14% alrededor de la frecuencia central de cada banda dentro de la banda-S (IEEE
125
6. Conclusiones generales
S-band (2 GHz to 4 GHz)) con un diagrama de radiación de tipo broadside adecuadas
para las aplicaciones WIMAX. Finalmente se ha diseñado una antena microstrip de casi
22% de banda con diagrama de radiación broadside para aplicaciones de comunicación
en la banda-C (IEEE C-band (4 GHz to 8 GHz)) para comunicaciones por satélite.
• Se ha desarrollado también un procedimiento basado en una combinación del
método de elementos finitos, descomposición de dominio y el método de bases reducidas
para el diseño de dispositivos pasivos de microondas, particularmente los filtros de
microondas. El método de descomposición de dominio permite en algunos subdominios
aplicar métodos más sofisticados, analíticos en general, mientras que el método de bases
reducidas permite construir modelos de orden reducido. El propósito del estudio fue
desarrollar una herramienta rápida y precisa para el diseño de los dispositivos de altas
prestaciones y de sensibilidad importante. El procedimiento desarrollado ha demostrado
mediante su aplicación para el diseño de los filtros su rapidez y precisión.
• En este contexto, se ha aplicado este procedimiento para el ajuste final mediante
procesos de optimización local simplex y utilizando el método de Cauchy de algunos
filtros que fueron diseñados aplicando el método de los elementos finitos como por
ejemplo el filtro dual-mode de 4º orden en guías circulares y el filtro a resonadores
dieléctricos de 4º orden.
• Se ha sintonizado también un filtro dual-mode de 8º orden en guías de onda
circulares mediante un proceso de optimización local simplex y utilizando el método
de Cauchy.
Todas estas contribuciones se pueden considerar como resultados del desarrollo de
los objetivos propuestos partiendo de las motivaciones principales. Se puede concluir
que se han conseguido todos los objetivos esenciales de esta tesis. Se pueden conseguir
más resultados y realizar otros diseños utilizando las herramientas numéricas desarro-
lladas en este trabajo dependiendo de las necesidades y las especificaciones de cada
aplicación.
126
6.3. Líneas abiertas
6.3. Líneas abiertas
El objetivo principal de esta tesis ha sido desarrollar herramientas CAD para el
diseño y el análisis de antenas microstrip y dispositivos pasivos de microonda. Las
herramientas desarrolladas en esta tesis han demostrado sus potencialidades y capa-
cidades mediantes las diversas aplicaciones realizadas a lo largo de este trabajo. Las
buenas impresiones que han dado los resultados obtenidos motivan a continuar reali-
zando nuevos diseños de antenas microstrip de diferentes características y de filtros de
microondas de especificaciones exigentes para diferentes aplicaciones de comunicación.
También, se abren nuevas líneas de investigación que pueden explorarse basandose en
los resultados del presente trabajo como por ejemplo:
• En el caso del diseño de antenas, se ha aplicado la herramienta de diseño presen-
tada en esta tesis al caso de antenas microstrip. En general se puede aplicar a otros
tipos de antenas e incluso otros circuitos de microondas.
• En este contexto, se puede aplicar para el diseño de antenas microstrip con pola-
rización circular que tienen una importancia creciente en las comunicación por satélite,
también se pueden diseñar antenas de banda ultra ancha UWB, etc.
• También, se puede aplicar dicha técnica en el diseño de filtros de microondas, en
particular los filtros realizados en la tecnología microstrip.
• En el caso del diseño de los dispositivos pasivos de microondas, se ha limitado en
esta tesis la aplicación del procedimiento desarrollado al diseño y ajuste de los filtros de
microondas. En este sentido, se pueden realizar otros diseños de filtros para diferentes
aplicaciones.
• También, se puede aplicar dicho procedimiento para el diseño de otros dispositivos
de microondas.
• Como continuación al desarrollo de las herramientas CAD de diseño y de análisis,
sería conveniente explorar más herramientas de optimización y llevar a cabo un análisis
exhaustivo e implementar algoritmos híbridos de optimización más eficientes.
127
6. Conclusiones generales
6.4. Contexto de la tesis
La elaboración de esta tesis doctoral se ve enmarcada dentro del plan de desarrollo
de los siguientes proyectos de investigación:
• Proyecto CSD2008-0068 ‘‘TERASENSE: Terahertz Technology for Elec-
tromagnetic Sensing Applications’’.
• Proyecto TEC2007-60632/TCM ‘‘Diseño de Antenas y Agrupaciones de
Antenas mediante Técnica de Segmentación’’, de Octubre de 2007 a 30 de Sep-
tiembre de 2010.
• Proyecto TEC2010-20249-C02-01 ‘‘Desarrollo de Métodos de Diseño y Op-
timización de Antenas Microstrip, Arrays y Reflectarrays’’, de Enero de 2011
a Diciembre de 2013.
A demás de lo anterior, el trabajo desarrollado en esta tesis se ha llevado a cabo
gracias a la pertenencia y colaboración de los grupos de investigación siguientes:
• Departamento de Electromagnetismo y Teoría de Circuitos ETC de la Escuela
Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación ETSIT, Universidad Politécnica
de Madrid.
• Grupo del Electromagnetismo Computacional aplicado a las Antenas y Microon-
das del Departamento de Electromagnetismo y Teoría de Circuitos ETC.
Por último, la colaboración del Ministerio de los Asuntos Exteriores y Cooperación
MAEC vía su Agencia de Cooperación Internacional y Desarrollo AECID.
6.5. Publicaciones
A continuación se enumeran por orden cronológico las publicaciones a las que ha
dado lugar el trabajo realizado en esta tesis doctoral.
128
6.5. Publicaciones
6.5.1. Artículos en revista
• Bilal El Jaafari, M. A. González de Aza, Juan Zapata, ‘An approach based
on Finite Element Method for CAD of printed antennas’, IEEE Antenna and
Wireless Propagation Letter, Nº 11, 2012.
6.5.2. Comunicaciones a congresos
6.5.2.1. Congresos internacionales
• B. El Jaafari, M. A. González de Aza, Juan Zapata, ‘A New Technique Based
on Finite Element Method for Optimizing Microstrip Antenna Profile’, Actas
del VIII Iberian Meeting on Computational Electromagnetics EIEC, Sesimbra-Lisboa,
Portugal, Noviembre 2011.
• B. El Jaafari, M. A. González de Aza, , J. García-Jiménez and Juan Zapata,
‘Direct Domain Decomposition–Finite Element Method for Designing Patch
Antennas’, Proceedings of the 2012 IEEE International Symposium on Antennas and
Propagation and USNC-URSI National Radio Science Meeting, Chicago, EEUU, Julio
2012.
• B. El Jaafari, M. A. González de Aza, J. García-Jiménez and Juan Zapata,
‘Efficient Shape Optimization of Broadband Microstrip Antenna Design by
means of Genetic Algorithm and Finite Element Method’, Proceedings of the
32nd Progress In Electromagnetics Research Symposium PIERS, Moscú, Rusia, Agosto
2012.
• B. El Jaafari, J. García-Jiménez, V. de la Rubia and Juan Zapata, ‘Domain
Decomposition-Based Finite Element Method for Efficient Analysis and
CAD of Microwave Filters’, Actas del V International Workshop on Microwave
Filters IWMF, Centre National d’Etudes Spatiales, Toulouse, Francia, Octubre 2012.
• B. El Jaafari, J. García-Jiménez, J. Rubio, J. M. Gil, M. A. González de Aza, V. de
la Rubia and Juan Zapata, ‘Fast and Accurate Design Tools for Microwave Fil-
129
6. Conclusiones generales
ters via Domain Decomposition Methods in FEM and Reduced-Order Mo-
dels’, Aceptado en el IX Iberian Meeting on Computational Electromagnetics EIEC,
Dénia-Valencia, España, Mayo 2013.
6.5.2.2. Congresos nacionales
• B. El Jaafari, M. A. González de Aza, Juan Zapata, ‘Un método Basado
en Elementos Finitos para el Diseño CAD de Antenas Impresas’, Actas del
XXVI Simposio Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio URSI, Leganés-
Madrid, España, Septiembre 2011.
• R. Noriega, J. M. Gil, B. El Jaafari, J. Zapata, ‘CAD de Antenas con Simetría
de Revolución basado en el Método de los Elementos Finitos’, Actas del
XXVI Simposio Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio URSI, Leganés-
Madrid, España, Septiembre 2011.
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