TT EE OO RR AA DD EE CC OO NN TT RR OO LL

TTeemmaa 1100.. AAjjuussttee ddee CCoonnttrroollaaddoorreess PPIIDD

IInnttrroodduucccciinn En este tema se describen algunos mtodos de determinacin los valores de los parmetros de un controlador PID que son la ganancia proporcional ( ), el tiempo de accin derivativo ( ) o el tiempo de accin integral ( ). A este proceso de seleccin de los parmetros del controlador, para que cumpla las especificaciones de operacin, se le conoce como ajuste o entonacin del controlador. Este ajuste se hace con el objetivo que el sistema controlado cumpla con las especificaciones de respuesta transitoria y de estado estacionario que se requieran. Existen diversos mtodos para ajuste de controladores que difieren en funcin al conocimiento que se requieren sobre la dinmica del proceso a controlar. Cuando se conoce un modelo matemtico del proceso, entonces se pueden aplicar mtodos analticos para determinar los parmetros del controlador. Pero si el proceso es muy complejo, suele ser difcil la obtencin de un modelo matemtico, en cuyo caso no es posible la utilizacin de un mtodo analtico de clculo de los parmetros del controlador PID y se debe recurrir a procedimientos experimentales para el ajuste. Los procedimientos convencionales analticos, por lo general estn restringidos a proceso que se comportan como sistemas lineales, de una entrada y una salida, e invariantes en el tiempo.

MMttooddooss ddee ZZiieegglleerr -- NNiicchhoollss Ziegler y Nichols sugirieron dos procedimientos para sintonizar controladores PlD basndose respectivamente en la respuesta experimental a un escaln de entrada, o en base al valor de que produce una estabilidad marginal mediante el slo uso de la accin de control proporcional. Los procedimientos de Ziegler-Nichols, que se presentan a continuacin, son muy convenientes cuando no se conoce un modelo matemtico de la planta; naturalmente, estos procedimientos tambin se pueden aplicar al diseo de sistemas con modelos matemticos conocidos.

Mtodo de Ziegler - Nichols basado en la respuesta al escaln. El primer mtodo propuesto por Ziegler y Nichols est basado en las caractersticas de la respuesta transitoria de una planta ante una entrada escaln unitario en lazo abierto. Esta respuesta se puede caracterizar por dos parmetros ( y

), como se muestra en la figura. Para obtener el valor de estos parmetros primero se determina el punto donde la pendiente de la respuesta escaln tiene su valor mximo (punto de inflexin), y luego se dibuja la tangente en este punto. En la interseccin entre esta tangente y la coordenada de abscisa obtenemos el parmetro , y de la interseccin con la ordenada obtenemos el parmetro . La funcin de transferencia de un proceso con una respuesta del tipo mostrado en la figura se puede aproximar por la funcin:

Ls

asUsY e Ls

Partiendo de esta aproximacin Ziegler y Nichols sugirieron

Punto de inflexin

Recta tangente

Respuesta al escaln

Jean-Franois DULHOSTE

2 Teora de Control

expresar los parmetros , y del controlador PID, directamente en funcin de los parmetros y , de acuerdo con los valores que aparecen en la tabla siguiente.

Parmetros de controladores PID segn mtodo de la respuesta al escaln de Ziegler - NicholsControlador

P a1 PI a9.0 L3

PID a2.1 L2 L4.3 Estos valores para los parmetros del controlador permiten obtener un control que regula en forma estable y con una buena velocidad de respuesta al proceso a controlar. Sin embargo como estos valores se obtienen partiendo de la aproximacin antes mencionada y el proceso real no corresponde exactamente a ese modelo entonces generalmente es conveniente realizar luego un ajuste fino. Con esto se busca mejorar la estabilidad relativa que se traduce en el aumento del margen de fase y ganancia.

Mtodo de Ziegler - Nichols basado en la respuesta frecuencial. Este mtodo se basa tambin en una caracterizacin muy simple de la dinmica del proceso. El diseo est basado en el conocimiento de un punto del lugar de transferencia de la planta, el punto donde el lugar de transferencia se intersecta con el eje real negativo. Este punto es caracterizado por dos parmetros: la ganancia crtica ( ) y el periodo crtico ( ). El procedimiento para obtener los parmetros y es el siguiente:

Se anulan las ganancias de la parte integral y derivativa del controlador ( , 0).

Se somete al sistema a la frecuencia que produce una respuesta en lazo abierto con un ngulo de fase de 180, esta frecuencia ser la frecuencia crtica que es el inverso del perodo crtico .

Se incrementa la ganancia proporcional del controlador desde cero hasta el valor crtico , para el cual la salida empieza a exhibir oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas cual sea el valor de

, entonces no se puede aplicar este mtodo. El mtodo diseado por Ziegler y Nichols conduce a frmulas simples para obtener los parmetros del controlador, en trminos de la ganancia critica y el periodo crtico, como se puede ver en la tabla siguiente. La tabla tambin muestra una estimacin del periodo de la dinmica dominante ( ) del sistema en lazo cerrado.

Parmetros de controladores PID segn mtodo de la respuesta frecuencial de Ziegler - NicholsControlador

P 0.5 - -Pl 0.4 0.8 - 1.4

PID 0.5 0.5 0.12 0.85

MMttooddooss ppoorr aassiiggnnaacciinn ddee PPoollooss DDoommiinnaanntteess Los mtodos de Ziegler y Nichols discutidos en la seccin anterior estn basados en el conocimiento de un solo punto sobre el lugar de transferencia del proceso en lazo abierto.

Punto Crtico

Escuela de Ingeniera Mecnica - ULA

3Tema 10. Ajuste de Controladores PID

Esta seccin presenta un mtodo de clculo que usa dos puntos o ms sobre el lugar de transferencia. El mtodo est basado en una simple asignacin de los polos dominantes de un sistema en lazo cerrado a partir de la funcin de transferencia en lazo abierto.

Polos Dominantes Considere el sistema mostrado en la figura, donde es la funcin de transferencia del proceso y es la funcin de transferencia del controlador. La funcin de transferencia del sistema en lazo cerrado ( ) est dada por:

sHsGsHsGsGc

1

Muchas de las propiedades de los sistemas en lazo cerrado pueden ser deducidas a partir de los polos y ceros de , estos ltimos son tambin los ceros de . Los polos en lazo cerrado se pueden obtener a partir de la

raz de la siguiente ecuacin: 01 sHsG

La ubicacin en el plano imaginario de los polos y ceros de un sistema en lazo cerrado puede variar considerablemente con respecto al lazo abierto. Muchos lazos de retroalimentacin simple, tendrn una configuracin del tipo mostrado en la figura siguiente, donde las principales caractersticas de la respuesta estn dadas por un par de polos complejos, y , denominados polos dominantes. La respuesta es tambin influenciada por los otros polos y los ceros y , respectivamente. Tambin pueden existir otros polos y ceros alejados del origen. Los polos y ceros cuyas partes reales son mucho ms pequeas que la parte real de los polos dominantes, tienen pequea influencia en la respuesta transitoria, por lo cual este efecto puede despreciarse.

Control PI El mtodo de diseo por asignacin de polos dominantes ser aplicado primero a un control PI. Dos polos en lazo cerrado se pueden especificar en este caso, ya que un controlador PI tiene dos parmetros ajustables. Con el controlador PI dado por la ecuacin:

s

KKsH ip

Donde es la ganancia proporcional y es la ganancia integral. Los parmetros y sern determinados de tal forma que el sistema en lazo cerrado tenga los polos dominantes en y , tendremos entonces:

iiP

iiP

2

001

2001

1

1

Esto implica que:

01

01

22

11

PGPKK

PGPKK

ip

ip

La ecuacin anterior es lineal en y . Esta tiene una solucin si | | 0 y la solucin en este caso es:

Im

Re

Jean-Franois DULHOSTE

4 Teora de Control

20202

000

20

20

200

2

0

1

11

BABK

BABAK

i

P

Donde: 10

10

ImRe

PGBPGA

El parmetro puede ser visto como un parmetro que permite determinar la velocidad de respuesta del sistema de lazo cerrado obtenido. Para valores pequeos de se obtiene un sistema lento, y para valores altos se obtiene un sistema rpido.

Si la dinmica de un proceso es de primer orden, el sistema en lazo cerrado tiene solamente dos polos y por lo tanto el parmetro puede ser elegido arbitrariamente.

Para sistemas de orden elevado, en lazo cerrado se tendr un nmero elevado de polos, pero se escogern de tal forma que dos sean dominantes.

Para obtener un sistema estable con polos no dominantes sobre el eje real, estos polos debern ser de parte real ms pequeos que . La condicin para obtener dos polos dominantes es que debe ser escogido suficientemente pequeo. El lmite superior de puede ser determinado usando la condicin de que el polo ms alejado sobre el eje real se encuentre en el plano imaginario en .

Para un proceso estable, la funcin es positiva y es pequeo para un pequeo. Entonces resulta que la ganancia proporcional es negativa para un pequeo. Y como es normalmente deseable obtener las ganancias del controlador positivas, un lmite inferior para el parmetro de diseo se puede obtener de la condicin 0. El valor de corresponde en este caso a un control integral puro. Una alternativa para elegir a , basado en los polos dominantes, es seleccionar un que genere el valor mximo de la ganancia integral. Los valores obtenidos en este caso sern muy cercanos a los obtenidos para la condicin de polos dominantes.

Control PD El mtodo de diseo por asignacin de polos dominantes puede ser aplicado al control PD. La funcin de transferencia de este controlador es:

sKKsH dp Y de igual forma que para el caso del control PI se requiere que el sistema en lazo cerrado tenga polos en y . Con clculos anlogos al caso del controlador PI los parmetros del controlador se pueden obtener mediante las expresiones:

202020

00

20

20

200

2

0

1

11

BABK

BABAK

d

P

El valor del parmetro de diseo debe ser aqu an mayor que para el controlador PI. Pudindose estimar su valor inferior mediante la expresin 0. El valor de corresponde en este caso a un control derivativo puro. Un valor razonable para este parmetro es escoger el que proporciona el mayor valor para la ganancia proporcional.

Control PID Con un control PID, es posible posicionar tres polos en lazo cerrado. Dada la funcin de transferencia del controlador PID como:

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5Tema 10. Ajuste de Controladores PID

sKs

KKsH dip '''

Donde es la ganancia proporcional., es la ganancia para el trmino integral, y es la ganancia para el trmino derivativo. Dos polos en lazo cerrado sern posicionados de acuerdo a la ecuacin obtenida para el control PI. Y se asume que con esto el problema de diseo del controlador PI est resuelto, es decir, que se conocen los valores de

y . El valor de la funcin de transferencia del controlador en es:

di

di

p

di

p

KKiKKK

iKi

KKiH

'''''

''''

20

20

Suponiendo que la funcin de transferencia tiene el mismo valor que la funcin de transferencia para el controlador PI, se tiene:

20

20

20

20

''

'''

id

i

ipd

ip

KKK

KKKKK

Por lo tanto se tiene que: dii

dpp

KKK

KKK

''

'2'2

000

000

As, se obtiene una familia de ganancias, con dos parmetros , , para un controlador PID, lo cual genera un sistema de lazo cerrado con polos en y . El parmetro ser ahora determinado de manera que el sistema de lazo cerrado tambin tenga un polo en . Con esto se obtiene:

0'''1 000

GKKK dip

Introduciendo las expresiones de y se obtiene:

0'2'21 000

GKKKK ddip

De aqu, si 0, se obtiene:

00

00

00

0 12

1'

G

GKKK

ip

d

Con esta ecuacin queda definida una familia de controladores PID con un parmetro de diseo ( ), con los cuales se obtiene un sistema de lazo cerrado con tres polos dominantes ubicados en 1 y . Valores pequeos de producen un sistema con velocidad de respuesta lenta y valores grandes de producen un sistema con velocidad de respuesta rpida.

Mtodo aproximado para designar polos dominantes El siguiente mtodo estima los polos dominantes a partir del conocimiento de algunos puntos del lugar de transferencia del sistema de lazo abierto. Los polos en lazo cerrado estn dados por la siguiente ecuacin caracterstica:

01 sGH

Jean-Franois DULHOSTE

6 Teora de Control

Se realiza un desarrollo de Taylor alrededor de . iGHiiGHiGH '110

Donde:

didGHiGH '

Despreciando los trminos de orden mayor o igual a dos en : 0'1 iGHiiGH

iGHiGHi

'1

Con esto los parmetros y de los polos dominantes quedan establecidos. Si la derivada es aproximada por una diferencia finita entre dos puntos cercanos en la curva de Nyquist se puede obtener la siguiente expresin para determinar el valor del parmetro :

iGHiiGHiGH 1

12

12

A continuacin, se supone que la frecuencia deseada ( ) de los polos dominantes es y se obtiene la siguiente relacin:

1212

21

iGHiGHiGHi

Introduciendo un controlador en el lazo, los polos dominantes pueden ser movidos a las posiciones deseadas. El correspondiente problema de diseo puede ser expresado en trminos de la frecuencia ( ) y el coeficiente de amortiguamiento ( ) de los polos dominantes. Para realizar el diseo, se asume que los valores de la funcin de transferencia en lazo abierto para dos frecuencias prximas, y , son conocidos, esto es:

222

111

ibaiGibaiG

Tambin se asume que las frecuencias y son cercanas a la frecuencia de cruce con el eje real. El diseo no est restringido a una estructura del controlador en particular, y cualquier controlador con al menos dos parmetros ajustables puede ser entonado. Para el caso de un controlador PID la funcin de transferencia es:

sT

sTKsH d

ip

11

Se asume que existe una relacin entre el tiempo de accin integral ( ) y el tiempo de accin derivativo ( ): TTT id

Por lo cual la expresin para la funcin de transferencia del controlador se puede expresar como:

Ts

TsKsH p

11

Este controlador tiene dos parmetros ajustables: la ganancia , la cual mueve el lugar de transferencia (curva de Nyquist) en forma radial con respecto al origen, y la constante de tiempo , provoca la torsin de este mismo lugar. El problema de diseo es ahora determinar un controlador tal que la funcin de transferencia del sistema compensado tenga valores preestablecidos en las dos frecuencias escogidas y , es decir:

22222

11111

idciHiGiGHidciHiGiGH

Sustituyendo los valores de y para cada una de las frecuencias se obtiene:

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7Tema 10. Ajuste de Controladores PID

2222

222

1111

111

11

11

idcTiTi

KibaiGH

idcTiTi

KibaiGH

p

p

222

2222

2

2222

111

1111

1

1111

TiibTiibibTia

TiaaKidc

TiibTiibibTia

TiaaKidc

p

p

2222

222

2

2222

1111

111

1

1111

bTaTaiTb

TbaKidc

bTaTaiTb

TbaKidc

p

p

El coeficiente de amortiguamiento est dado por:

22

1

Igualando esta expresin con la primera que define el trmino resulta:

22

1212

2

11

iGHiGHiGHi

ikiGH

iGHiGHi

1

1

2

122

2

12

Sustituyendo los valores de: ik

idcddicc

22

1212

1

Esto da:

010

212

212

ckddkdcc

Estas condiciones determinan los parmetros y del controlador PID. De la primera ecuacin resulta una relacin de segundo orden para , de la cual se obtiene .

02222

211

1

1122

2

22

bTa

TakTb

TbaTb

Tba

02222

21122

1

1

2

212 kbTkaT

akTbTbTb

Tbaa

02

2

1

1

2

2212

2222211

akbbTkbaaTkabb

La ganancia se puede obtener de la segunda ecuacin.

01 222

22111

1

1222

2

2

Tb

TbaKkbTa

TaKbTa

TaK ppp

Jean-Franois DULHOSTE

8 Teora de Control

kabbTaakbT

kbaakK p

212112222

22

1

1 1

Ejercicio Se tiene un proceso con la siguiente funcin de transferencia:

432 0001.00126.02725.026.111

01.0105.012.0111

sssssssssG

Determine los valores requeridos para controlar el sistema con un controlador PI y PID utilizando los mtodos de Ziegler y Nichols.

Mtodo de Ziegler Nichols basado en la respuesta al escaln La respuesta del sistema ante un escaln unitario puede verse en la figura:

En esta figura se pueden medir los valores siguientes:

0.11 y 0.16 Con estos valores el mtodo dice que se deben escoger los valores de ganancia del controlador segn la tabla, y estos valores son:

Para un controlador PI: 8.2 y 0.48

Para un controlador PID: 10.9, 0.32 y 0.08

Mtodo de Ziegler Nichols basado en la respuesta frecuencial Se debe en este caso obtener el valor de y del sistema de lazo abierto que se muestra en la figura. Y para ello se toma: pKsH Luego el sistema de lazo abierto en este caso ser:

0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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9Tema 10. Ajuste de Controladores PID

ssssK

sHsG p01.0105.012.011

La figura siguiente muestra los diagramas de Nyquist para el sistema con una ganancia proporcional igual a 10 y a 25. Las figuras muestran que:

La ganancia crtica esta alrededor de 25 Esta se obtiene para una frecuencia crtica 10 con lo cual 63.02

cct

Nota: en un caso prctico por lo general no se tienen los diagramas de Nyquist analticos, sin embargo el valor de la ganancia crtica se obtiene aumentando el valor de hasta que el sistema comience a presentar oscilaciones sostenidas, tal como se expone en la parte terica del mtodo. Los dos procedimientos son en este caso equivalentes.

Con estos valores se busca en la tabla los valores para las ganancias del controlador obtenindose los siguientes:

Para un controlador PI: 10 y 0.5

Para un controlador PID 15, 0.31 y 0.08

Obsrvese que los valores no son idnticos en los dos mtodos, esto es debido a que son fruto de aproximaciones distintas, y se trata en todo caso de una aproximacin en donde se puede realizar posteriormente un ajuste ms fino. Sin embargo la magnitud de los valores es relativamente prxima en los dos casos.

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-2 0 2 4 6 8 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8From: U(1)

To: Y

(1)

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-5 0 5 10 15 20 25-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20From: U(1)

To: Y

(1)

Para 10 Para 25