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Control Analógico Ig
OBJETIVO Y JUSTIFICACION:El i l didá i i fi lid d i El presente material didáctico tiene como finalidad proporcionar una herramienta de apoyo didáctico para la enseñanza del Control Analógico I, en donde al estudiante de la asignatura mencionada se le muestra un panorama completo de los i t d t l ló i El t i l didá ti t dsistemas de control analógico. El material didáctico presentado
sirve de apoyo para las unidades I, II, III, IV y V que constituyen el programa completo de la materia de Control Analógico I, la cual es impartida en los tres programas que ofrece la Facultad de I i í Elé t i I i Elé t i I i í El t ó iIngeniería Eléctrica Ingeniera Eléctrica, Ingeniería Electrónica e Ingeniería en Computación. El material abarca desde la evolución de la Teoría de Control, terminología básica, diferencias entre sistemas de lazo abierto y cerrado, el modelado d i t li l t t it i t bilid d l di ñde sistemas lineales, respuesta transitoria, estabilidad y el diseño del control y su correspondiente sintonización. El material presenta diversas ilustraciones que permiten al estudiante comprender más fácilmente las diversas temáticas tratadas.
CONTROL ANALÓGICO I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROLCONTROL
M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLOM.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO
La NASA prepara ya el primer viaje tripulado a Martetripulado a Marte
"Nuestra experiencia nos ha dado la base para comenzar a dar forma a la capacidad vinculada con la preparación espacial que se necesita para crear una presencia permanente en la Luna y (para lospermanente en la Luna y (para los viajes) a Marte"
El proyecto contempla el viaje tripulado a Marte y la presenciaEl proyecto contempla el viaje tripulado a Marte y la presencia "permanente" en la Luna... aunque tendremos que esperar unas décadasEn el primer paso del proyecto, la agencia espacial estadounidense anunció que ha asignado a diez centros de investigación y laboratorios la preparación de los sistemas con que contarán sus nuevas naves.
http://www youtube com/watch?v=9pi19s 9unYhttp://www.youtube.com/watch?v=9pi19s-9unY
RETOS DEL FUTURO
REVISIÓN HISTORICA
PERIODO DEL ARTE (HASTA 1900) PERIODO DEL ARTE (HASTA 1900) PERIODO PRE-CLÁSICO (1900-1940)
PERIODO CLÁSICO (1935 1960) PERIODO CLÁSICO (1935-1960) CONTROL MODERNO (1955-)
INICIOS DEL CONTROLINICIOS DEL CONTROLSE CARACTERIZA POR QUE LOS AVANCES SE HICIERON
EN BASE AL ARTE E INTUICIÓN SIN LA APLICACIÓNEN BASE AL ARTE E INTUICIÓN , SIN LA APLICACIÓN DE LA TEORÍA
RELOJ DE AGUA DE KTESIBIOS 270 A.C
Libro de pneumáticap
Herón de Alejandría publicó un libro donde se describen varios
mecanismos de nivel de agua con reguladores de flotador.
Medidor de tiempo
La Fuente mágica de Herón de Alejandría
DISPOSITIVO DE HERÓN(apertura de puertas)(apertura de puertas)
Simulación del dispositivo de Herónp
Trabajos de Cornelis Drebbelj
El trabajo más significativo de Cornelius El trabajo más significativo de Cornelius Drebbel fue el primer submarino útilen 1620 donde también utilizó sistemasen 1620, donde también utilizó sistemas realimentados.
Incubadora de Drebbel
Drebbel también inventó una incubadora de pollos con un termostato de mercurio que permitía mantener la temperatura constante.
Se trata del primer sistema con controlador del que se tiene
constancia.
REGULADOR DE VELOCIDAD
JAMES WATT 1778 JAMES WATT, 1778
Cilindro de potenciap
Aceite a presión
Motor CargaVálvula piloto
Cierra
Abre
Combustible
Válvula de control
http://www.youtube.com/watch?v=le_AQursCLk&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uxTA3KTpuxk
Transporte subterráneo de Londres 1890 Transporte subterráneo de Londres 1890 (J. H. Greathead).
OTROS HECHOS RELEVANTES
AñoHecho relevante
1789 Surgen gobernadores típicos patentados por William Siemens con una sustitución de acción1789 Surgen gobernadores típicos patentados por William Siemens, con una sustitución de acciónintegral por la proporcional, produciendo reguladores con puntos de operación flotantes.
1826-1836 J. V. Poncelet publica artículos en donde se mostraba la dinámica de los reguladores empleandoecuaciones diferenciales, pero encontraron dificultades para determinar las condiciones deestabilidadestabilidad.
1862 Thomas Pickering y William Harthell inventaron un regulador de alta velocidad físicamente máspequeño que el de James Watt.
1868 James Clerk Maxwell publica el artículo “On Governor”, en el cual describe como derivar lasecuaciones diferenciales de varios reguladores. Además muestra que mediante el análisis de loscoeficientes de las ecuaciones diferenciales de segundo, tercero y cuarto orden se puededeterminar la estabilidad del sistema.
1874 Edgard J. Routh retoma los trabajos de Maxwell y publica su artículo “Tratado sobre laestabilidad de un estado de movimiento dado”, el cual contiene lo que ahora conocemos como elcriterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.
1895 Adolf Hurwitz resolvía el problema de la estabilidad de sistemas lineales en términos de unconjunto de determinantes.
PERIODO PRE-CLÁSICO
Había falta de entendimiento teórico con Había falta de entendimiento teórico con el lenguaje no común para discutir los problemasproblemas.
No había análisis simples ni métodos de diseñodiseño.
HECHOS RELEVANTESAño
Hecho relevante
1913 Henry Ford mecanizó el ensamble de la producción de automóviles1913 Henry Ford mecanizó el ensamble de la producción de automóviles.
1922 Nicholas Minorsky presentó un claro análisis de los sistemas de control de posición y formuló la ley decontrol que hoy se conoce como control PID y propuso un modelo matemático para describir el controlde barcos.
1928 Mason desarrolló un amplificador neumático retroalimentado negativamente; él comenzóexperimentando con retroalimentación con parte de la salida del amplificador y produjo un circuitoretroalimentado que linealizó la operación de la válvula.
1932 Harry Nyquist propuso una solución al análisis de los sistemas de amplificación retroalimentados basadoen la forma de la respuesta de la frecuencia de la ganancia en lazo abierto.
1934 Harold S. Black inventa el amplificador retroalimentado ante la necesidad de fomentar la telefonía alarga distancia compensando las pérdidas en los cables de transmisión.
1934 Harold Locked Hazen publica el artículo “Theory of Servomechanism”, en donde se introduce porp y f , pprimera vez el término servomecanismo.
Trabajos de Minorskyj y
Control de dirección de un barco Control de dirección de un barco
PERIODO CLÁSICO
Ocurrieron adelantos en comprensión y p yanálisis de sistemas de control, surgiendo varios grupos de trabajo en varios países.
El mejor trabajo conocido vino de tres grupos El mejor trabajo conocido vino de tres grupos formados en los EE.UU, aunque el desarrollo de la teoría de control en EE.UU, y Europa Occidental fue algo diferente al desarrolladoOccidental fue algo diferente al desarrollado en Europa del Este y en Rusia, derivado del trabajo de Vyschnegndsky en Rusia y del trabajo de Barkhausen en Alemania seguidotrabajo de Barkhausen en Alemania, seguido por desarrollos de Cremer, Leonhard y Mikhailov.
En 1940 Hendrik Bode quien había En 1940 Hendrik Bode, quien había estudiado extensamente los métodos de diseño en el dominio de la frecuenciadiseño en el dominio de la frecuencia.
En 1942, J. G. Ziegler y N. B. Nichols, propusieron unas fórmulas empíricaspropusieron unas fórmulas empíricas para sintonizar las ganancias de los controladores PI y PIDcontroladores PI y PID.
En 1948, Walter R. Evans mientras En 1948, Walter R. Evans mientras trabajaba en el campo de guía y control de aviones para la industria de la paviación Americana del Norte.
Desarrollo el método del lugar de las raíces para determinar la estabilidad de plos sistemas lineales de una sola entrada.
OTROS HECHOSAño
Hecho relevante
1941 El ruso A. N. Kolmogorov desarrolla la teoría de procesos estocásticos estacionarios en tiempo discreto.
1945 H. Bode publica lo resultados de su trabajo en su libro “Network análisis and Feedback amplifier Design”
1946 La escuela de Moore de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Pennsylvania desarrolla la ENIAC(Electronic Numerical and Automatic Calculator), primera computadora capaz de integrar un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias.
1947 James, Nichols y Phillips publican el desarrollo completo de técnicas para el diseño de servomecanismos.
1947 Un C-54 atravesó el Atlántico sin que un ser humano tocara los mandos desde el despegue hasta elaterrizaje. El avión fue controlado por el piloto automático propuesto por Sperry.
1938 Hendrik Bode utilizó la magnitud y la fase de la gráficas de respuesta a la frecuencia de una funcióncompleja para investigar la estabilidad en lazo cerrado usando conceptos de margen de fase y margen deganancia.
CONTROL MODERNO
Conforme las plantas modernas con Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más y más complejas la descripción demás y más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere una gran cantidad de ecuacionesuna gran cantidad de ecuaciones.
CONTROL MODERNO La trayectoria del crecimiento estaba
d t i d did d f tdeterminada en gran medida por dos factores: a) El problema planteado por el gobierno para el
lanzamiento y guía de misiles además de lalanzamiento y guía de misiles, además de la operación de vehículos espaciales.
b) La llegada de la computadora digital.
CONTROL MODERNO
Desde 1960 debido a que la Desde 1960, debido a que ladisponibilidad de las computadorasdigitales hizo posible el análisis en eldigitales hizo posible el análisis en eldominio del tiempo de sistemascomplejoscomplejos
Computadora Analógica Computadora Analógica
Nordsieck Differencial Analyzer, 1956
ENIAC Universidad de pennsylvania ENIAC, Universidad de pennsylvania, 1945
UNIVAC 1955 UNIVAC, 1955
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DIGITALDIGITAL
PID ANALÓGICO
PID DIGITAL
El diseño y la implementación de sistemasEl diseño y la implementación de sistemasprácticos fue mucho más fuertementeinfluenciado a través de “el reemplazarlos tubos electrónicos por semiconductorestales como los diodos y transistores.”y
Control óptimo tanto de sistemas Control óptimo, tanto de sistemas determinísticos como estocásticos
1970 Control adaptable 1970- Control adaptable De 1980 hasta la fecha, los
d b i i t l t í d t ldescubrimientos en la teoría de control moderna se centran en el control
b t l t l d Hrobusto, el control de H∞ . Control Fuzzy
TERMINOLOGÍA
Objetivos Resultados
Sistema de Controlj
Entradas o referenciasSalidas o variables controladas
Pl ( i l )Planta (sistema a controlar)ControladorActuadoresTransductoresD d Detector de error
DefinicionesDefiniciones Sistema. Se emplea para describir a un conjunto de componentes que
interactúan con el fin de realizar un objetivo determinado Existen interactúan, con el fin de realizar un objetivo determinado. Existen diversos tipos: físicos, químicos, biológicos, etc.
Variable controlada. Es la salida del sistema, es decir la variable que se mide y controla se mide y controla.
Variable manipulada. cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.
Planta. Se refiere a cualquier objeto, proceso, máquina o entidad dinámica que se va a controlar, esta puede ser de diferentes tipos, por ejemplo:Fí i hí l b i i l h Físicos.- vehículos, robots, mecanismos, naves espaciales, hornos, motores, etc.Industriales.- refinerías, procesamiento de metales, manufactura de semiconductores, etc.Bi ló i l i l h Biológicos.- plantas, animales, humanos.
Proceso. Cualquier operación que deba controlarse. Además, existen varios tipos de procesos tales como: químicos, físicos, biológicos, económicos, etc.
Perturbación. Señal no deseada que tiende a afectar el comportamiento de una planta. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna en tanto que una perturbación del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y representa una entrada.
Controlador. Este genera la entrada de control que se aplicará a la
planta.
Salidas. En general, las salidas describen el Salidas. En general, las salidas describen el estado de operación de la planta que está siendo controlada.
Tipos de sistemas:p - SISO (Single-input Single-Output): Simple
Entrada Simple Salida. - MIMO (Multi-Input Multi-Output): Múltiple
Entrada Múltiple Salida.
Sensores Dispositivo o elemento utilizado Sensores. Dispositivo o elemento utilizado para determinar una cantidad física, generalmente son empleados para medir elgeneralmente son empleados para medir el comportamiento de una planta a través de sus salidas.
Sensor de presión sensor de carga sensor de nivel
Sistemas de control realimentado Es Sistemas de control realimentado. Es aquel que tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida yrelación preestablecida entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como medio dey usando la diferencia como medio de control.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
Sistemas de control de lazo abierto Sistemas de control de lazo abierto.En este, la salida no tiene efecto sobre la acción de controlla acción de control.
Control Planta
Entrada Salida
Ejemplos
Lavadora Lavadora
Cafetera Cafetera
Planchadora Planchadora
Tostador
Sistemas de Lazo cerrado
En este tipo de sistema la señal de En este tipo de sistema la señal de salida se compara con la entrada y la señal de error producido se aplica alseñal de error producido se aplica al controlador con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema al valory llevar la salida del sistema al valor deseado.
+Referencia
Error de retroalimentación
Salidal d
-controlador planta
sensor
Ejemplos
Sistema de control de nivel de líquido Sistema de control de nivel de líquido.
Sistema térmico con retroalimentación Sistema térmico con retroalimentación manual.
Termómetro
Vapor
Termómetro
Agua caliente
DrenajeAgua fría
Ejemplos de sistemas retroalimentadosretroalimentados
Planta armadora de autos Planta armadora de autos
Dosificación y embalaje Dosificación y embalaje
Proceso general de la generación del papelpapel
Ventajas y desventajasj y j
La precisión de los sistemas de lazo abierto pdepende directamente del conocimiento de la planta para lograr una calibración adecuada del controladordel controlador.
Los sistemas de lazo abierto no presentan problemas de inestabilidadproblemas de inestabilidad.
El diseño apropiado de los sistemas de lazo cerrado generalmente incrementan la precisión por esta razón su funcionamiento es conforme al valor deseado.
Una ventaja del control de lazo cerrado Una ventaja del control de lazo cerrado es que es relativamente insensible a las perturbaciones externas y a lasperturbaciones externas y a las variaciones internas de parámetros del sistemasistema.
Si un sistema de lazo cerrado no esta bien diseñado este puede tender haciabien diseñado, este puede tender hacia la inestabilidad.
Técnicas de proyecto de diseñoSistema a controlar
Establecer especificaciones
Modelomatemático
Análisis y validación del modelo
N
Cumple ?
Diseño del controlador y análisis del comportamiento
No
Cumple ?
No
Desarrollo
Si
Procedimiento
Establecer especificaciones del sistema Establecer especificaciones del sistema. Obtener el modelo del sistema.
A áli i lid ió d l d l Análisis y validación del modelo. Diseño del controlador Análisis del comportamiento del sistema
Referencias
1.- Bennett S., A brief History of Automatic Control, IEEE Control Systems Vol 16 No 3 pp 17 25 June 1996Systems, Vol. 16, No. 3, pp. 17-25, June 1996.
2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª edición, 2005.
3.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition 2004Edition, 2004.
4.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.
5.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª edición 2003edición, 2003.
6.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994. 7.- Masten M. K., Aström K. J., Lewis L. F., Modern Control Systems an
IEEE/EAB Self-Study Course, IEEE, 1995.8 F kli F G P ll J D E i N i i A C t l d Si t 8.- Franklin F. Gene, Powell J. D., Emami-Naeini A., Control de Sistemas Dinámicos con Retroalimentación, Addison-Wesley Iberoamericana, 1ra Edición, 1991.
CONTROL ANALÓGICO I
MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROLUnidad IIUnidad II
FUNCION DE TRANSFERENCIA
La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la t f d d L l d l i bl d lid l t f d d L l transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se
hacen igual a cero.
L( ) ( )L( ) ( )
y Y su U s
11 0
11 0
...( )( ) ...
m mm m
n nn n
b s b s bY s n mU s a s a s a
Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
L
Ec. Diferencial Ec. Algebraica
1L
¿Por qué Transformada de Laplace? De hecho, la transformada de Laplace
Laplace?, p
permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
OBTENCIÓN DE F.T DE SISTEMASSISTEMAS
Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes d ki hh ff bt l ió dif i l i l di á i d l de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito
considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).
V (t)
+
R
Ci(t) Vo(t)+
Vi (t)
-
C( ) o( )
-
Aplicando la ley de voltajes de KirchhoffAplicando la ley de voltajes de Kirchhoff
0( ) ( ) ( ) 0iV t i t R V t
Además
01( ) ( )V t i t dtC
0 ( )( ) dV ti t Cdt
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera
00
( )( ) ( ) 0 idV tV t RC V t
dt
( )dV t00
( ) ( ) ( ) idV tRC V t V t
dt
Aplicando L Aplicando
0 0( ) ( ) ( ) iE s RCsE s E s
L
0 ( ) 1E s
Factorizando y reacomodando
( ) 1iE s RCs
Obsérvese que el polo del sistema está localizado en.
1sRC
Diagramas de bloquesg q
Esta representación gráfica permite Esta representación gráfica permite describir de manera clara el funcionamiento de un sistema real funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos servomecanismo circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.
Elementos básicos
Punto de suma: Indica la suma o resta de señales. Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna
señal sale a diferentes lugares.
+ +C(s)R(s)
R2(s)
R1(s) Y(s)
-
G(s)
R3(s)
C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s)
Y(s)
Y(s)
a) b) c)
a) diagrama de bloque b) punto de suma c) punto de toma
Reglas para reducir diagramas de bloquesbloques Una regla para simplificar un diagrama de bloques
i t d l l t d t h i l consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientesaplicando las reglas de las tablas siguientes.
En toda simplificación de diagrama de bloques se deben li l i i l bá icumplir las siguientes reglas básicas.
El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las fl h ) d b t tflechas) debe permanecer constante.
El producto de F.T. a lo largo de un lazo también debe permanecer constante.
Ejemploj p
Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura ( )( )
Y sR s
( )H
Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia
Y(s)
R(s)
+ +-
1( )G s 2 ( )G s 3 ( )G s
2 ( )H s
- -1( )G s 2 ( ) 3( )
1( )H s
Usando regla 6 Usando regla 6
2 ( )H s
Y(s)R(s)
+ +-
1( )G s 2 ( )G s 3 ( )G s-
-
1
1( )G s 1( )H s
Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado
Y(s)R(s) + +-
2 ( )H s3
1( )G s
( )
-
+
-1
1
( )( )
H sG s
1 2( ) ( )G s G s3 ( )G s
De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos
2
3
( )( )
H sG s
Y(s)R(s) +
-
+
-
-
1
1
( )( )
H sG s
1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s
Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos
Y(s)R(s) + +-
2
3
( )( )
H sG s
1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s
-1
1 2 31
( )1 ( ) ( ) ( )( )
H sG s G s G sG s
Si lifi d í l 13 l i t d l fi ll l Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado
1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G sY(s)R(s) +
-
1 2 3
2 3 1
1 2 3 2
2 3 1 3
( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) ( )
G s G s H sG s G s G s H sG s G s H s G s
Simplificando Simplificando
Y(s)R(s)1 2 3
2 3 1 1 2 2 1 2 3
( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
G s G s G sG s G s H s G s G s H s G s G s G s
MATRIZ DE TRANSFERENCIA
Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m lid d fi id
1 1
2 2
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
y t u ty t u t
y t U t
salidas y1, y2,…,ym definidos como
( ) ( )
( ) ( )
m r
y t U t
y t u t
La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con
( ) ( ) ( )Y s G s U sla entrada U(s), o sea
DondeU(s) vector de entradas de orden rY(s) vector de salida de orden m G(s) matriz de transferencia de orden mxrG(s) matriz de transferencia de orden mxr
EJEMPLO DE SISTEMA MIMO
SISTEMA DE SUSPENSION DE UN SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS
x1(t)M1Auto
fv
K1
Sistemade suspensión
U(t)
M2
x2(t)
K2
Elasticidad de la llanta
Masa de lasuspensión
U(t)
f(t)K2
Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidadesno linealidades
Durante el proceso de diseño de control Durante el proceso de diseño de control hay que resolver la siguiente disyuntiva.
Simplicidad vs. Exactitud
Se debe establecer un compromiso Se debe establecer un compromiso entre la simplicidad y la exactitud en el resultado del análisisresultado del análisis.
Al plantear un modelo matemático Al plantear un modelo matemático debemos decidir entre:
Lineal vs No lineal Lineal vs No lineal
x x
KkKk
K depende de x
f f
m m
a) b)
Ventajas de la linealidadj
Aplicación del principio de Aplicación del principio de superposición.
y(t)K
y(t)
u(t)u(t)
u1(t)Ku1(t)
y1(t)
K
K
u2(t)u2(t) y2(t)
y(t)=y1(t)+y2(t)
Ejemplo de no linealidadesj p
y(t) y(t) y(t) y(t)
u(t)
u(t) u(t) u(t)
a) Saturación
b) Saturación de amplificador
c) Zona muerta d) On- Off
Sistemas con parámetros concentrados Sistemas con parámetros concentrados vs distribuidos
K K
f
m
x
f
m
x mr
a) b)
Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas Lineales Variantes en el TiempoLineales Variantes en el Tiempo
SLIT SLVTSLIT SLVT
K K
f
m
x
f
m(t)
x
a) b)
Clasificación de los sistemas de controlcontrol
Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo
Estocásticos Dinámicos
EstocásticosDeterminísticos
Parámetros concentrados Parámetros distribuidos
Lineales No linealesLineales No lineales
Coeficientes constantes Coeficientes variables
SLIT SLVT
Continuo Discreto
Primer orden Segundo ordenOrden n
Sistemas acoplados
Modelado de Sistemas de nivel de líquidolíquido
( )( ) ( )i o
dh tq t q t Cdt
1
( )( )
( )( ) ( )
o
h tRq t
dh th
1 ( )( ) ( )i
dh tq t h t CR dt
Sistemas de nível de líquidoq
1 ( )( ) ( )
dh th C1
Aplicando la transformada de Laplace
( )( ) ( )i
dh tq t h t CR dt
1( ) ( ) ( )Qi s H s CsH s
R
1
1
( ) ( )( )
( )
Qi s H s CsR
H s R
11 1
( )( )i
H s RQ s CRsCs
R
R
Modelado de sistemas eléctricos
Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es
conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.
Componente Voltaje Corriente Impedancia Admitancia
C1( ) ( )
t
i d( )( ) dv ti t C 1
LiL( )( ) di tV t L
dt
0
1( ) ( )t
i t v t dtL
Ls 1Ls
p j pZ(s) Y(s)
+ Vc - 0
( ) ( )v t i t dtC
( )( )i t C
dt
Cs Cs
R( ) ( )v t Ri t
( )( ) v ti tR
R 1 GR
EJEMPLO DE MODELADO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOSCIRCUITOS ELÉCTRICOS
Encontrar la función de transferencia Encontrar la función de transferencia para el circuito mostrado en la figura.
RLiL R
Vi(t)+
-V0(t)+
-C Vc
+-
Transformando los elementos en impedancias complejas
LI( ) R0
1( )V s CsLsI(s)
Vi(s)+
-V0(s)+
-Cs
R
1
1( )iV s R LsCs
0 ( ) 1
V s
Simplificando
2( ) 1
iV s LCs RCs
Sistemas mecánicos
Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento, dos elementos adicionales como son el resorte y el amortiguador, son empleados en estos sistemas para
l f d ió l f i ió d representar los efectos de torsión y la fricción que puede presentarse.
Algunos ejemplos de estos sistemas son: Grúas, Sistemas de suspensión de automóviles, Servomecanismos Brazos manipuladores
Sistemas de posición, etc.
Modelado de sistema mecánicos
Sistema de suspensión de un Sistema de suspensión de un automóvil
2
2
( ) ( )( ) ( ) v
F ma
dx t d x tf t Kx t f mdt dt
dt dt
Modelado cont.
2
2
A li d l t f d d L l d té i
( ) ( )
( ) - ( ) - vdx t d x tf t Kx t f mdt dt
2
Aplicando la transformada de Laplace a cada término(considerando condiciones iniciales igual a cero)
( ) ( ) ( ) ( )F KX f X X2
2
( ) - ( ) - ( ) ( )
( ) ( )v
v
F s KX s f sX s ms X s
F s X s ms f s K
2
1
( )( ) v
X sF s ms f s K
Modelado usando impedancias mecánicasmecánicas
En general los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga.
( )( )
F sX s
f(t)
x(t)
M
wMg
2
2( ) d xf t Mdt
2Ms
Impedancia
Es la propiedad que tiene unelemento para almacenar energía cinética debido a su
Componente Definición Relación
Su análogo es la inductancia
f(t)M
Masa
f(t)
K
Resorte
x(t) ( ) ( )f t Kx t K
energía cinética debido a su movimiento de traslación.
Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.
K
f(t)
x(t)
fv
( )( ) vdx tf t f
dt
vf s
Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.
Amortiguador
Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura, donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa
del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .( )( )
X sF s
( )( )
V sF s
v(t)
K
M f(t)
x(t)
f
v(t)
M f(t)fv
Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajoAplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajola siguiente estructura:
Suma de impedancias mecanicas Suma de fuerzas aplicadasX s
De aquí, tenemos:
2( ) ( ) vF s X s Ms K f s
De aquí, tenemos:
2
( ) 1( ) v
X sF s Ms f s K
Para el caso de dos grados de libertad:
1 1 2
1 2
Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x
Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias meentre x y x
1
2
( )
( )1
22
Suma de fuerzasaplicadas a x
Suma de fuerzas cánicas aplicadas a xconectadas al movimiento de x
x s
x s
Modelado de sistemas mecánicos rotacionalesrotacionales
En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de
traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados
( )( )
T ss
T( )t (t)
J
2
2
( )( ) d tT t Jdt
2Js
Impedancia Componente Definición Relación
Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación.
Inercia
K
T( )t (t)
Resorte torsional
( ) ( )T t K t K
Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado.
torsional
( )( ) vd tT t f
dt
vf s
T( )t (t)
fv
Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.
Amortiguadorv
Modelado de sistemas mecánicos rotacionalesrotacionales
Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir l di á i d l i á i i l lla dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angularigual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la siguiente ecuación.
P J
Donde J es la inercia
Pares J
es la aceleración angular
Ejemploj p
La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha óflexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante.
Determinar la función de transferencia .T ( )m (t)mT
( )
m
sT s
( )m
Cojinetes
Jm
primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla
T ( )m t (t)
fv
KJm
Ejemploj p
El análisis del sistema de la figura se El análisis del sistema de la figura se realiza a partir del diagrama de cuerpo librelibre.
( )s
2J 2( ) ( )m v mT s K s f s s J s s
Aplicando suma de pares
T ( )m s 2mJ s s
vf s sJm
2
Obteniendo la F.T.
K s 2 ( )m v mJ s f s K s T s
Suma de impedancias mecánicas
Suma de pares aplicados
Se observa que
Suma de pares aplicadosconectadas al movimiento en s
s
Tren de engranesg
Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta
situación suelen emplearse los trenes de engranes.
2 1 1( )t r N
1 2 2( )t r N
2 1 2( ) ( )( ) ( )
T t t NT t t N
1 2 1( ) ( )T t t N
N2
N2 ( )T t
1( )T tN1
N1 ( )t 2 ( )tN1
1( )N2
1 ( ) 2 ( )
Modelado de un Motor de CD
Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la
figura.
Considerando los siguientes parámetros para el motor:
Ra La
++
i ( )t
g p pia Corriente de armadura (Amp)Ra Resistencia de armadura ()eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts)T(t) Par del motor(t) Desplazamiento del Motor (Rad)
(t)T(t)
Jm
--
Va(t) eb
ia
fv
( )t
( )t
Ka Constante del Par (N-m/Amp)La Inductancia de la armadura (Henrios)Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg)
Velocidad angular del motor (rad/seg)
t Flujo magnético en el entrehierro (Webers)J Inercia del motor (Kg-m2)f Coeficiente de fricción viscosa (N-m-s/rad)
Modelado de la parte eléctrica.Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos
( )( ) ( ) ( ) 0aa a a a b
di tV t R i t L e tdt
( )( ) ( ) ( )adi tV t R i t L e t( )( ) ( ) ( )a
a a a a bV t R i t L e tdt
Relación eléctrica-mecánica.La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación
( ) ( )b be t K tel par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.
( ) ( ) ( )t aT t K t i t
( )T K i t
Si consideramos que el flujo magnético es constante
( )a aT K i t
Modelado de la parte mecánica.En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por
2( ) ( )( ) d t d tT t f Jdt dt
Si id l l id d lid
( )( ) d ttdt
Si consideramos la velocidad como salida
( )( ) ( ) d tT t f t Jdt
entonces
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones
( ) ( ) ( ) ( )a a a a b aR I s L sI s E s V s Ia(s)
Las+Ra
Va(s) 1
-
+
Eb(s)
( ) ( )b bE s K s Ka
Ia(s) T(s)
( ) ( )a aT s K I s T(s) (s)
Js+f
1
( ) ( ) ( )T s Js s f s Eb(s) (s)Kb
Representación en diagrama de bloquesp g q
Ia(s)Va(s) +Las+Ra
1 Ka
T(s) (s)
Js+f
1
-Eb(s)
a a
Kb
Simplificando
( ) Ks
( )( )
a
a a a a b
KsV s L s R Js f K K
Referencias
1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition 2004Edition, 2004.
2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.
3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición 2004Edición, 2004.
4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.
5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.6 L i P H & Y C Si t d C t l I i í 1 6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra Edición, Prentice Hall, 1999.
7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.8 K C B Si t d C t l A t áti Sé ti Edi ió 8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, 1996.
9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.
ANÁLISIS DE RESPUESTATRANSITORIACapítulo III
INTRODUCCIÓN
Al modelar un sistema lineal e invarianteen el tiempo, el ingeniero de controlemplea esta información con objeto deanalizar la respuesta transitoria y deestado estable, a fin de ver si estascaracterísticas cumplen elcomportamiento deseado.
Al modelar un sistema lineal e invarianteen el tiempo, el ingeniero de controlemplea esta información con objeto deanalizar la respuesta transitoria y deestado estable, a fin de ver si estascaracterísticas cumplen elcomportamiento deseado.
SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS
Las señales de entrada más comunes son:
•Función escalón•Función rampa•Función aceleración o parabólica•Función impulso•Función senoidal
Las señales de entrada más comunes son:
•Función escalón•Función rampa•Función aceleración o parabólica•Función impulso•Función senoidal
RESPUESTA AL ESCALÓN DESISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Para obtener la respuesta de un sistemade primer orden ante una entrada escalón,se considerará el sistema mostrado en lafigura.
Para obtener la respuesta de un sistemade primer orden ante una entrada escalón,se considerará el sistema mostrado en lafigura.
+ KE(s)
-
R(s)Y(s)
sKR(s)
s+1
Y(s)
CONTINUAEl cual muestra la función de transferencia del mismo.
( )( ) 1Y s KR s s
Aplicando una entrada escalón unitario ( ) al sistema (3.2),obtenemos (3.3)
1( )R ss
(3.2)
Aplicando una entrada escalón unitario ( ) al sistema (3.2),obtenemos (3.3)
1( )R ss
1( )1
KY ss s
(3.3)
Desarrollando en fracciones parciales, tenemos
1( )1 1
K A BY ss s s s
(3.4)
CONTINUACalculando cada una de las constantes, mediante la fórmula deHeaveside, obtenemos
0( 1)
s
KA s Ks s
1
1( 1)
s
KB s Ks s
Por lo quePor lo que
( ) 1
K KY ss s
Finalmente para encontrar la respuesta en el tiempo aplicamos latransformada inversa de Laplace
-1 ( ) 1K KY ss s
L
CONTINUA
( )t
Y t K Ke
[t 0]
Donde:K es la ganancia de CDes la constante de tiempo en seg
Para el caso en el que K=1, la ecuación (3.9) se reduce a
Donde:K es la ganancia de CDes la constante de tiempo en seg
Para el caso en el que K=1, la ecuación (3.9) se reduce a
( ) 1t
Y t e
Obsérvese que para el caso de la ecuación (3.9), se tiene que
t = 0 Y(t) 0 (valor inicial)t = K Y(t) 1 (valor final)
Un sistema de primer orden se caracteriza por dos parámetros: laganancia de CD y su constante de tiempo .
CONSTANTE DE TIEMPO
Respuesta al escalón de un sistema deprimer orden.
Y(t)
K
Pendiente1
Re
Im
1
0( )( ) 1Y s KR s s
Respuesta al escalón de un sistema deprimer orden.
2 3 4 5 t
K63
.2K %
86 .5 K%
95 K %98
.2K
%
99 .3 K %
0.632K
( )( ) 1Y s KR s s
El valor de determina la velocidad de respuesta del sistema en lossistemas de primer orden.
TIEMPO DE CRECIMIENTO tr
Este parámetro se define como el tiempo que le toma a la respuestadel sistema para ir del 0.1 al 0.9 de su valor final, cuando se haaplicado una entrada escalón.
Para el caso general, la respuesta del sistema está dada laecuación
( )
t
Y t K Ke( )
t
Y t K Ke
Tomando 0.1K de su valor final cuando t=tr1, tenemos1
0.1
rt
K K Ke1
0.1 1
rt
e
CONTINUA
Aplicando ln para despejar tr1, tenemos
11ln( 0.9) ln( ) ln( )
rtrte e
Así1
0.11rt De manera similar para 0.9 de su valor final (0.9K) ent=tr2, obtenemos
10.11rt
De manera similar para 0.9 de su valor final (0.9K) ent=tr2, obtenemos
2
0.9
rt
K K Ke2
0.9 1
rt
eDespejando tr2
2
ln(0.1) ln( )
rt
e 2 2.3rt
CONTINUA
Calculando el tiempo de crecimiento mediante la diferencia
2.3 0.11rt
2.2rt
Tiempo de establecimiento tsTiempo de establecimiento ts
Se define como el tiempo que requiere la respuesta de un sistema enalcanzar y permanecer dentro del 2% de su valor final, cuando seaplica una entrada escalón.
0.98
st
K K Ke 0.02
st
e
3.91 4st
EFECTO DE UN POLOADICIONAL
Para determinar el efecto de un polo adicionalconsideraremos la función de transferencia dada porla ecuación (3.15), en ella se tiene un polo fijoubicando en s=-1 y otro móvil designado por p
( )( ) ( 1)( )
Y s pR s s s p
( )( ) ( 1)( )
Y s pR s s s p
Aplicando una entrada escalón unitario
( )( 1)( )
pY ss s s p
CONTINUACIÓNDesarrollando en fracciones parciales
( )( 1)( ) 1
p A B CY ss s s p s s s p
Donde para evaluar cada constante empleamos la fórmula deHeaveside
0
1( 1)( )
s
pAs s p
1( ) 1
s
p pBs s p p0
1( 1)( )
s
pAs s p
1( ) 1
s
p pBs s p p
1( 1) ( 1) 1
s p
p pCs s p p p
Aplicando , llegamos a-1L
ee ptt
ppptY
11
11)(
CONTINUACION
5 55 1 5 1( ) 1 15 1 5 1 4 4
t t t tY t e ee e
En este caso la respuesta dominante (Yd(t)) es5( ) 14
tdY t e
5( ) 14
tdY t e
Entonces, el término rápido es
51( )4
tfY t e
CONTINUA
Efecto de un cero adicional en un sistema
dominante de primer orden
Consideraremos ahora el caso de un sistemadominante de primer orden con polo ubicado en s=-1y un cero con posición variable designado como z.
5 ( )( )( ) ( 1)( 5)
z s zY sR s s s
si aplicamos una entrada escalón unitario al sistematenemossi aplicamos una entrada escalón unitario al sistematenemos
5 ( ) 1( )( 1)( 5)
z s zY ss s s
5 ( )( )
( 1)( 5) ( 1) 5z s z A B CY s
s s s s s s
CONTINUA
0
55 1
1 5 5s
s z szA
s s s
1
5 5( 1) 1 151 5 1 1 5 4
s
s z s z zz zBs s s z
5
5 5( 5) 5 5 55 11 5 5 5 1 20 4
s
s z s z z zz zCs s s z z
Sustituyendo los valores
5
5 5( 5) 5 5 55 11 5 5 5 1 20 4
s
s z s z z zz zCs s s z z
5 ( ) 1 5 1 1 1( )
( 1)( 5) 4 ( 1) 4 5z s zY s
s s s s s s
55 ( 1) 1 ( 5)( ) 14 4
t tz zY tz ze e
Aplicando , llegamos a-1L
Efecto de un cero en el semiplano izquierdo
Efecto de un cero en el semiplanoderecho
Continuación
•Cuando existe un polo cercano del origen, laconstante de tiempo de este polo es la que domina larespuesta del sistema.•La dominancia del polo se elimina si hay un ceromuy cerca de ese polo.•Los polos adicionales retardan la respuesta delsistema, mientras que los ceros en el semiplanoizquierdo la aceleran.•Los ceros en el semiplano derecho hacen que larespuesta parta en la dirección negativa antes deseguir a la respuesta dominante.
•Cuando existe un polo cercano del origen, laconstante de tiempo de este polo es la que domina larespuesta del sistema.•La dominancia del polo se elimina si hay un ceromuy cerca de ese polo.•Los polos adicionales retardan la respuesta delsistema, mientras que los ceros en el semiplanoizquierdo la aceleran.•Los ceros en el semiplano derecho hacen que larespuesta parta en la dirección negativa antes deseguir a la respuesta dominante.
SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Para analizar la respuesta de este tipo desistemas se considerará
Donde:r(t) = función de entrada (escalón)=factor de amortiguamiento= frecuencia natural no amortiguada (rad/seg)
)()()(2)( 222
2
trtydttdy
dttyd
nnn
Para analizar la respuesta de este tipo desistemas se considerará
Donde:r(t) = función de entrada (escalón)=factor de amortiguamiento= frecuencia natural no amortiguada (rad/seg)
n
CARACTERISTICAS
La función de transferencia es:
Con polos en:Los polos pueden caer en tres casos distintos: polos reales y diferentes (Sistema
sobreamortiguado). polos reales e iguales (Sistema críticamente
amortiguado). polos complejos conjugados (Sistema
subamortiguado).
22
2
2)()(
nn
n
sssRsY
22 )1( nns
La función de transferencia es:
Con polos en:Los polos pueden caer en tres casos distintos: polos reales y diferentes (Sistema
sobreamortiguado). polos reales e iguales (Sistema críticamente
amortiguado). polos complejos conjugados (Sistema
subamortiguado).
1
1
0 1
TIPOS DE RESPUESTA
1
0
j
Plano s
22 1n ns
21 1n ns t
y(t)
jPlano s y(t)
Polos Respuesta
1 0
j
1 ns
Plano s
2 ns
t
y(t)
0 1
0
j
21j
21j
n
Plano s
t
y(t)
Caso subamortiguado
Realizando una expansión en fracciones parciales
Completando el cuadrado perfecto
usando
En donde a se le llama frecuencia natural amortiguada
2
2 2
1( )2
n
n n
Y ss s s
2 2
21( )2
n
n n
s wY ss s w s w
Realizando una expansión en fracciones parciales
Completando el cuadrado perfecto
usando
En donde a se le llama frecuencia natural amortiguada
2 2
21( )2
n
n n
s wY ss s w s w
2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) n n n n n ns w s w s w s w w w
22 2 2 22 (1 ) n n n ns w s w s w w
nw 2 2 2(1 )d nw
21d n
Sustituyendo tenemos:
Reacomodando la expresión anterior
Considerando las siguientes transformadas de Laplace
2 2
21( ) n
d
s wY ss s w
2 2 2 2
1( )( ) ( )
n n d
d d d
s w w wY ss s w s w w
Sustituyendo tenemos:
Reacomodando la expresión anterior
Considerando las siguientes transformadas de Laplace
2 2 2 2
1( )( ) ( )
n n d
d d d
s w w wY ss s w s w w
2 2 2 2
1( )( ) ( )
n n d
d d d
s w wY ss s w s w
2 2
( )cos( )
at A s aAe wts a w
L 2 2( )
at BwBe senwts a w
L
|
Al aplicar la transformada inversa deLaplace a la ecuación anterior con
se tieneFactorizando
1A 2 21 1n n
d n
B
n ,
Al aplicar la transformada inversa deLaplace a la ecuación anterior con
se tieneFactorizando
2( ) 1 cos
1n nw t w t
d dy t e w t e senw t
2( ) 1 cos
1nw t
d dy t e w t senw t
Esta última se puede escribir como:
donde
2
2
1( ) 1 sen 11
ntny t te
Esta última se puede escribir como:
donde 21 1
tan
Especificación de la Respuestatransitoria
y(t)
Mp
Tolerancia admisible
5% o 2%
Tiempo pico tp.- Es el tiempo que tarda la respuesta enalcanzar el primer pico o máximo.
ttr tp ts0
Para determinar el tp podemos observar que este ocurre cuando
existe un máximo en la función, es decir cuando ,
Completando el trinomio cuadrado perfecto
1 ( ) ( )dy sy s y odt
L
0dtdy
21
2 2
12
n
n n
wdy sdt s w s w s
L
Para determinar el tp podemos observar que este ocurre cuando
existe un máximo en la función, es decir cuando ,
Completando el trinomio cuadrado perfecto
21
2 2
12
n
n n
wdy sdt s w s w s
L
21
2 2 2 2 2 22n
n n n n
wdydt s w s w w w
L
Aplicando transformada inversa
21
2 2 2( ) (1 )n
n n
wdydt s w w
L
2
21
2 2 2
11
( ) (1 )
nn
n n
w wdydt s w w
L
2
21
2 2 2
11
( ) (1 )
nn
n n
w wdydt s w w
L
2
2sin( 1 ) 0
1nw tn
nwdy e w t
dt
Analizando esta expresión, notamos que para queestá sea cero, debe ocurrir que
Así
21n t
Analizando esta expresión, notamos que para queestá sea cero, debe ocurrir que
Así
21
n
pt
Máximo sobreimpulso Mp. Es el valor máximo que alcanza larespuesta del sistema medido desde la unidad, si el valor final esdiferente de la unidad se utiliza la siguiente expresión.
Por lo que para determinar el máximo sobreimpulso podemosevaluar en t=tp, así
max finalp
final
y yM
y
Máximo sobreimpulso Mp. Es el valor máximo que alcanza larespuesta del sistema medido desde la unidad, si el valor final esdiferente de la unidad se utiliza la siguiente expresión.
Por lo que para determinar el máximo sobreimpulso podemosevaluar en t=tp, así
max finalp
final
y yM
y
2( ) 1 cos
1n pw t
p d p d py t e w t senw t
senety n
n
w
w
p 2
1
1cos1)(
2
Por lo que
De la definición tenemos que
Sustituyendo, llegamos a
21( ) 1n
n
w
wpy t e
Por lo que
De la definición tenemos que
Sustituyendo, llegamos a( ) 1p pM y t
21pM e
21% 100pM e
Influencia de los factores y enla respuesta del sistema.
Si Varia mientras permanece constante (0 < <1).
los parámetros ts, tp y %Mp, varían conforme se mueve el factor de
amortiguamiento
n
j
n0.707
0.1 0.3
0.1
nSi Varia mientras permanece constante (0 < <1).
los parámetros ts, tp y %Mp, varían conforme se mueve el factor de
amortiguamiento
n
0.707
0.3
se varía mientras es constante ( )
obsérvese que el sobreimpulso es constante y que el tp y el tsdisminuyen a medida que aumenta.
j
1n 0.5n
45 (0.707)arcsen2n
n 0.707
2n
se varía mientras es constante ( )
obsérvese que el sobreimpulso es constante y que el tp y el tsdisminuyen a medida que aumenta.
0.5n
1n
n
Si se varía tanto como pero manteniendo su producto constante
( ),
En este caso el ts permanece constante, mientras que varía en la respuesta
del sistema el %Mp y el tp
n
1n
j3 .3 3 3 0 3 yn .
1 0 0 1 yn .
3.333 0 3 yn .
Si se varía tanto como pero manteniendo su producto constante
( ),
En este caso el ts permanece constante, mientras que varía en la respuesta
del sistema el %Mp y el tp
1 0 0 1 yn .
1 .4 1 4 0 7 0 7 yn .
1n
1.414 0 707 yn .
10 0 1 yn .
Caso críticamente amortiguado
consideraremos el tipo de sistemas con que tienen la forma
Realizando la factorización, tenemos
Haciendo una expansión en fracciones parciales
Aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuación anterior, llegamos a
Factorizando, obtenemos
2
2 2
1( )2
n
n n
wY ss w s w s
2
2
1( )( )
n
n
wY ss w s
consideraremos el tipo de sistemas con que tienen la forma
Realizando la factorización, tenemos
Haciendo una expansión en fracciones parciales
Aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuación anterior, llegamos a
Factorizando, obtenemos
21 1( ) n
n n
wY ss s w s w
ee ttn
nntty 1)(
( ) 1 (1 )nw tny t e w t
Caso sobreamortiguado
Este tipo de sistemas se presentan cuando la función de transferenciadada por la ecuación (3.34), presenta dos polos reales y diferentes, estoocurre porque , en este caso los polos del denominador estánlocalizados en
Donde . Partiendo de la función de transferencia dada por
Si aplicamos , entonces
21 1n np w w
Este tipo de sistemas se presentan cuando la función de transferenciadada por la ecuación (3.34), presenta dos polos reales y diferentes, estoocurre porque , en este caso los polos del denominador estánlocalizados en
Donde . Partiendo de la función de transferencia dada por
Si aplicamos , entonces
22 1n np w w
1 2p p
))(()()(
21
2
pspsw
sRsY n
ssR 1)(
Realizando una expansión en fracciones parciales, llegamos a
Donde
Reescribiendo
Por lo que
2
1 2
1( )( )( )
nwY ss p s p s
2
1 2 2 2 1 1 2
1 2
1 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )
nY s wp p p p p p ps p s p s
Realizando una expansión en fracciones parciales, llegamos a
Donde
Reescribiendo
Por lo que
2
1 2 2 2 1 1 2
1 2
1 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )
nY s wp p p p p p ps p s p s
2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 ( 1)n n n n n n np p w w w
)(
1)(
11)(112212
2
psppspppw
ssY n
tptpn e
pe
pppwty 12
1212
2 111)(
La figura muestra la respuesta del sistema ante la aplicación de una
entrada escalón unitario y la variación de la posición del polo p.
Sistemas dominantes de segundoorden
Al igual que en los sistemas de primer orden, es posible analizar ladinámica del sistema cuando existen polos adicionales.
Con el fin de simplificar el análisis consideraremos y , así
tenemos
Si analizamos el polinomio del denominador
2
2 2
( )( ) 2
n
n n
pY sR s s p s s
0.5 2 1n
Al igual que en los sistemas de primer orden, es posible analizar ladinámica del sistema cuando existen polos adicionales.
Con el fin de simplificar el análisis consideraremos y , así
tenemos
Si analizamos el polinomio del denominador
2
( )( ) 2(0.5) 1
Y s pR s s p s s
0
j
0.866 j
0.5
Plano s
0.866j
-p
Ejemplo de respuesta transitoria de un sistema de suspensión de unautomóvil
Ejemplo de respuesta transitoria deun sistema de nivel de líquido
1R
RCs
Referencias
1.- Lázaro I, Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Ed.Universitaria, 1ra Edición, 2008.
2.-Rohrs Ch. E., Melsa J. L., Shultz D. G., Sistemas de ControlLineal, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1994.
3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson PrenticeHall, 4tª Edición, 2003.
4.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons,4th Edition, 2004.
5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T., Sistemas deControl, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.
6.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall,10ª Edición, 2005.
7.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2ndEdition, 1994.
8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima edición,Edición, Prentice Hall, 1996.
1.- Lázaro I, Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Ed.Universitaria, 1ra Edición, 2008.
2.-Rohrs Ch. E., Melsa J. L., Shultz D. G., Sistemas de ControlLineal, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1994.
3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson PrenticeHall, 4tª Edición, 2003.
4.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons,4th Edition, 2004.
5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T., Sistemas deControl, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.
6.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall,10ª Edición, 2005.
7.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2ndEdition, 1994.
8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima edición,Edición, Prentice Hall, 1996.
ANÁLISIS DE ESTABILIDADUnidad IV
CONTROL ANALÓGICO I
DEFINICIONES Estabilidad para entrada limitada-salida limitada
Estabilidad en el sentido de respuesta al impulso
Estabilidad para entrada limitada-salida limitada
Estabilidad en el sentido de respuesta al impulso
Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz
El criterio de Routh-Hurwitz fue desarrollado de manera independientepor Hurwitz (1895) en Alemania y E. J. Routh en los Estados Unidos(1892). Esta prueba es un procedimiento numérico para determinarcuántas raíces de un polinomio se encuentran en el semiplano derechodel plano complejo y cuántas en el eje imaginario.
Consideremos el denominador de una función de transferencia de un sistema.
011
1
011
1
)()(
asasasabsbsbsb
sRsC
nn
nn
mm
mm
Donde la ecuación característica es
11 1 0( ) 0n n
n ns a s a s a s a
Metodología
El primer punto del criterio de Routh-Hurwitz consiste en verificar que todos loscoeficientes del polinomio sean positivos.
Para determinar si el polinomio tiene raíces positivas o no, se construye lasiguiente tabla:
sn an an-2 an-4 ....
sn-1 an-1 an-3 an-5 ....
sn-2 bn-1 bn-3 bn-5 ....sn-2 bn-1 bn-3 bn-5 ....
sn-3 cn-1 cn-3 cn-5 ....
s2 dn-1 dn-3
s1 en-1
s0 fn-1
)(s
2
1 3 1 2 31
1 1
n n
n n n n n nn
n n
a aa a a a a aba a
Donde los dos primeros renglones de la tabla se obtiene de los coeficientesy el resto se calculan usando los siguientes determinantes
4
1 5 1 4 53
1 1
n n
n n n n n nn
n n
a aa a a a a aba a
1 3
1 3 1 3 1 31
1 1
n n
n n n n n nn
n n
a ab b b a a bcb b
1 5
1 5 1 5 1 53
1 1
n n
n n n n n nn
n n
a ab b b a a bcb b
Ejemplo 4.2 Determinar la estabilidad del siguiente sistema mediante el criterio de estabilidad de
Routh-Hurwitz
Aplicando el criterio
4 3 21 1 4 1 6 1 3 0 0s s s s
4s
3s
1 41 30
11 61 0
2s
1 4111 61 61 451 39011 11 11
1 3011 0 ( 30)11 3011 11
1s
11 61390 2379030 330 67211 11390 390 1311 11
0s
390 3011672 6720 ( 30)13 13 30672 67213 13
Ejemplo 4.3 Aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz al siguiente sistema
para determinar su estabilidad4 3 2
( ) 10( ) 2 3 4 3
C sR s s s s s
4s
3s
1 3 3
2 4 0
2s1 32 4 4 6 12 2
1 32 0 6 32 2
1s2 41 3 6 4 21 1
0s1 32 0 6 3( 2) ( 2)
Caso Especial 1.- Elemento cero enla primera columna
Si un elemento en la primera columna se hace cero, este se remplaza porun pequeño número , el cual puede ser positivo o negativo y después secompleta la tabla. Los signos de los elementos de la primera columna seexaminan cuando tiende a cero, ya sea desde el lado positivo o negativo
4 3 2
( ) 4 1( ) 2 4 8 15
C s sR s s s s s
s4 1 4 15
1 42 8
02
1 152 0
152
2 815 3082
15308 0
15308
s4 1 4 15
s3 2 8
s2
s1
s0
A continuación hacemos que , ya sea considerándolo como positivo o
negativo y se determinan los signos de la primera columna de la tabla.
0
concon
308
s4 1 + +
s3 2 + +
s2 + -
s1 - +
s0 15 + +
Caso 2.- Renglón de ceros
En ocasiones puede ocurrir que un reglón de la tablasea de ceros, esto significa que existe un polinomiodivisor par (polinomio auxiliar) del polinomiooriginal.
5 4 3 2( ) 2 6 10 8 12s s s s s s 5 4 3 2( ) 2 6 10 8 12s s s s s s
1 62 10
12
1 82 12
22
2 101 2
61
2 121 0
121
1 26 12
06
s5 1 6 8
s4 2 10 12
S3
S2
S1
0Renglón de
ceros
S0
Utilizando este polinomio para completar la tabla deRouth-Hurwitz para q(s), llegamos a
En este caso puede observarse que no hay cambios de signo enla primera columna, por lo que todas las raíces están en elsemiplano izquierdo del plano complejo s, con un par de raíces
en el eje imaginario.
1 42 6
12
s3 1 4
s2 2 6
s1
Utilizando este polinomio para completar la tabla deRouth-Hurwitz para q(s), llegamos a
En este caso puede observarse que no hay cambios de signo enla primera columna, por lo que todas las raíces están en elsemiplano izquierdo del plano complejo s, con un par de raíces
en el eje imaginario.
1 42 6
12
2 61 0
61
s0
2js
Como puede observarse hay una interrupción prematura del arreglo, debido a
que se produce un renglón de ceros que impide completar la tabla.
De aquí es un factor de la ecuación característica, por loque dividiendo el polinomio original entre el polinomio auxiliar,tenemos:
02126 22 ss
Como puede observarse hay una interrupción prematura del arreglo, debido a
que se produce un renglón de ceros que impide completar la tabla.
De aquí es un factor de la ecuación característica, por loque dividiendo el polinomio original entre el polinomio auxiliar,tenemos:
22 s
3 22
( )( ) 2 4 62sq s s s s
s
DISEÑO DE ESTABILIDAD
Este criterio puede ser utilizado paradeterminar la ganancia de un parámetroajustable K para el cual un sistemaretroalimentado puede ser estable. Esdecir, obtener los valores límites de Kque causarían un cambio en los signosde los elementos en la primera columnade la tabla de Routh-Hurwitz.
Este criterio puede ser utilizado paradeterminar la ganancia de un parámetroajustable K para el cual un sistemaretroalimentado puede ser estable. Esdecir, obtener los valores límites de Kque causarían un cambio en los signosde los elementos en la primera columnade la tabla de Routh-Hurwitz.
EJEMPLO
La figura 4.6 muestra un sistema retroalimentado en donde se deseadeterminar el rango de K para el cual el sistema es estable. Esteparámetro corresponde a la ganancia de un controlador P, mismo quese estudiará a fondo en el siguiente capítulo.
C(s)+R(s) 1( 3)( 7) s s s
E(s)K
-
1( 3)( 7) s s sK
Obteniendo la función de transferencia de lazo cerrado del sistema
KsssK
sssKsss
K
sRsC
211073
1
7323
))((
))(()()(
3 2( ) 10 21 0s s s s K
Elaborando la tabla de Routh
10210 K
s3 1 21
s2 10 K
s1
s0 Ks0 K
De la tabla de Routh-Hurwitz vemos que los coeficientes de la primera columnaserán positivos si y solo si, se cumple que
210 0 210K K
Referencias
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons,2nd Edition, 1994.
2.- Nise S. N., Control Systems Engineering, JohnWiley & Sons, 4th Edition, 2004.
3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, PearsonPrentice Hall, 4tª Edición, 2003.
4.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, PearsonPrentice Hall, 10ª Edición, 2005.
5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T.,Sistemas de Control, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.
6.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático,Prentice Hall, Séptima Edición, 1996.
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons,2nd Edition, 1994.
2.- Nise S. N., Control Systems Engineering, JohnWiley & Sons, 4th Edition, 2004.
3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, PearsonPrentice Hall, 4tª Edición, 2003.
4.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, PearsonPrentice Hall, 10ª Edición, 2005.
5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T.,Sistemas de Control, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.
6.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático,Prentice Hall, Séptima Edición, 1996.
CONTROL ANALÓGICO I
ANÁLISIS Y DISEÑO DE CONTROLADORES EN ANÁLISIS Y DISEÑO DE CONTROLADORES EN
EL DOMINIO DEL TIEMPOEL DOMINIO DEL TIEMPO
Capítulo VCapítulo VCapítulo VCapítulo V
Clasificación de controladores automáticos
Controlador Clásico
Control basado en el error del sistemaControl basado en el error del sistema
Tipos de Acciones de Controlp
Controlador on-off Controlador on off Controlador proporcional (P) Controlador integral (I) Controlador integral (I) Controlador proporcional - integral (PI) Controlador proporcional derivativo (PD) Controlador proporcional - derivativo (PD) Controlador proporcional–integral- derivativo
(PID)(PID)
Control On-Off
El comportamiento de este controlador queda descrito como.-
0)(0)(
)( 1
teparaUteparaU
tm
En general los controladores ON-OFF son dispositivos eléctricos, donde habitualmente hay una
0)(2 teparaU
válvula accionada por un selenoide eléctrico.
Ejemplo de control On-Offj p
+
-
R(s) E(s) U(s) Y(s)procesoU1U2
Acción de Control Proporcionalp
Para está acción de control la relación entre la salida del controlador m(t) y la señal de error actuante e(t) es:
u(t) = K p e(t) donde K p se considera la ganancia proporcional
El control proporcional no introduce polos o ceros al sistema y sólo determina la ubicación de los polos de lazo cerrado, esto puede observarse al determinar la función de transferencia del sistema, así tenemos
+R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
Gp(s)Kp
( )( )( ) 1 ( )
p pK G sY sR s K G s
( ) 1 ( )p pR s K G s
Ejemplo de control proporcional
Sensor de presión
RhC
Qo
-
+
ReferenciaEtapa de
acondicionamientoMotor de CA
+
KpEtapa de
acondicionamientoEtapa de potencia
La función de transferencia de lazo cerrado La función de transferencia de lazo cerrado es.-
KpRRCKpR
sH 1)(
Si se aplica una entrada escalón unitario
KpRRCsKpR
RCsKpR
RCssRsH
1
11
1)()(
Si se aplica una entrada escalón unitario
KpRsH 1)( sKpRRCs
sH1
)(
Para obtener h(t) aplicamos la anti-transformada de ( ) pLaplace, realizando una expansión en fracciones parciales.
sB
KpRs
AsKpRs
CKp
sH
1
11
)( 111
1
1
KpRRKp
RCKpR
CKp
sRC
KpRs
CKp
RCKpRs
A
RCKpRs
obtenemosRC
sRC
s RC
111
KpR
RKpKpR
CKp
KpRCKps
B
11)(
1
KpRRKpe
KpRRKpth
tRC
KpR11
0
KpRRCp
sRc
KpRss
si queremos saber el valor final de h(t) si queremos saber el valor final de h(t).
11lim)( limsH(s) KpR
CKpRh
o bien por
11)(
00s
limsH(s)
KpRKpRRCss
111)(
1
KpRRKp
KpRRKpe
KpRRKph RC
KpR
111 KpRKpRKpR
Como se puede observar, en esta acción de controlComo se puede observar, en esta acción de control siempre existe un error en estado estacionario. Suponiendo los siguientes datos: R=219.3 s/m2, C=32m2 y Kp=10Kp=10.
219.3(10)( ) 0 9995h Respuesta al escalón unitarioY(t)
( ) 0.9995219.3(10) 1
h
Tiempo (seg)
Acción de Control Integral
Esta acción de control produce una señal cuya
cc ó de Co t o teg a
p yrapidez es proporcional a la magnitud del error, “A grandes errores correcciones rápidas”rápidas .
1( ) ( )u t e t dt donde:
( ) ( )i
u t e t dtT
donde:Ti es la constante de tiempo Integral
Una característica interesante de está acción de controlUna característica interesante de está acción de control es su oposición natural a errores en estado estacionario. Esto se debe a que no solamente responde a la
it d d l i t bié l ti dmagnitud del error sino también al tiempo que dura ese error.
e(t)
t
t
u(t)
t
Ejemploj p
Para este sistema la función de transferencia en lazocerrado es.-
R1
RRCssTR
RCsR
sT
RCsR
sTsRsH
i
i
I
)1(1
11
11
)()(
Aplicando una entrada escalón unitarioi
sRRCssTRsH 1
)1()(
Por el teorema del valor final
sRRCssTi )1(
11lim)( RRsh 1
)1(lim)(
0
RsRRCssTsh
is
Mediante simulación con MATLAB obtenemos la respuesta Mediante simulación con MATLAB obtenemos la respuesta del sistema tomando como datos R=219.3 s/m2, C=32m2 y Ti=0.001s, la cual resulta altamente oscilatoria (ver figura 5.13), aunque el error en estado estable sea cero.q
Respuesta al escalónh(t)
Tiempo ( seg)
Ejemplo de control derivativaj p
Este controlador produce una acción de Este controlador produce una acción de control de magnitud proporcional a la rapidez del error. “A errores rápidos, correcciones grandes ”.
dttdeTtm d)()(
donde:Td.- es la constante de tiempo derivativa
dt
En esta acción de control hay que tener en cuenta l i i t b ilas siguientes observaciones:
Esta acción de control no puede corregir errores estacionarios por grandes que sean.estacionarios por grandes que sean.
Es susceptible a perturbaciones de alta frecuencia, sobre todo ruido electromagnético.
Por está razón no se usa aislada dicha acción de control.
ACCION DE CONTROL PROPORCIONAL INTEGRALPROPORCIONAL-INTEGRAL.
La acción de control proporcional eLa acción de control proporcional e integral queda definido de la siguiente ecuación -ecuación.
tp dtt
KtKt )()()(
i
pp dtte
TteKtu
0)()()(
sU 1)(
sTK
sEsU
ip
11)()(
+R(s) E(s) U(s)T Y(s)
-
1 ip
TKs
proceso
En ocasiones, se utiliza la constante KI la cual se denomina ganancia integral y se define como Kg y
Por lo que la función de transferencia de dicho controlador queda como
pI
i
KK
T
q q
( )( )
IpKU s K
E s s +
-
E(s)
procesoY(s)
iK
pK+
+
Controlador Gc(s)
R(s)
- s
El recíproco del tiempo integral Ti recibe el nombre de frecuencia de reposición y es la cantidad de veces q e se repite la acción proporcional por min toque se repite la acción proporcional por minuto.
e(t)
t
u(t) Acción PI
Kp
2Kp
Acción P
tTi
ACCION DE CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVAPROPORCIONAL DERIVATIVA La acción de control de un controlador
proporcional-derivativo (PD) se define mediante.
tde )(dt
tdeTKteKtu dpp)()()(
TKsU 1)(
donde K p es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo
sTKsE dp 1)()(
es una constante denominada tiempo derivativo.
En la acción de control derivativa, el tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de velocidad haceintervalo de tiempo durante el cual la acción de velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional
Un esquema alternativo para la implementación de q p puna acción de control PD
d p dK K Td p d
( )( ) p d
U s K K sE s
R( ) E(s)pK
Controlador Gc(s)
R(s) +
-
E(s)proceso
Y(s)
dK s
+
+
ACCION DE CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVAINTEGRAL DERIVATIVA
tp tdeTKdtt
KtKt )()()()( dp
i
pp dt
TKdtteT
teKtu0
)()()()(
sTKsU 11)(
Donde:
sTsT
KsE d
ip 1
)()(
Donde: K p es la ganancia proporcional T es el tiempo integral T i es el tiempo integral y T d es el tiempo derivativo.
Diagrama de bloques de un control proporcional y derivativo e integral en la
configuración paralelo.
Controlador Gc(s) ( )( )
ip dKU s K K s
E
E( )
pK( ) p dE s s
R(s) +
-
E(s)proceso
Y(s)+
+
IKs
+
dK s
RESPUESTA A PERTURBACIONES
El Control proporcional provee un par T para posicionar el elemento de carga, que consiste en p g qmomento de inercia y fricción viscosa, el par perturbador se denota por N.
Suponiendo que la entrada de referencia es cero R(s)=0.( )
Aplicando el principio de superposición, podemos determinar primero la función de transferencia.
1
KpbsJsbJss
KpbJss
sRsC
2
1
)(1
)()()(
Reacomodando el diagrama de bloques para la condición R(s)=0, tenemos
De la figura podemos concluir:g p
KpbsJssNsC
sNsE
2
1)()(
)()(
Si se considera un par perturbador escalón de magnitud Tn. TnsE
1)(
El error debido a este par perturbador en estado
sKpbsJssE
2)(
El error debido a este par perturbador en estado estacionario es.-
TnsssEe
2lim)(lim KTness
sKpbsJsssEe
ssss 200lim)(lim Kpss
Respuesta a Perturbación de Par de Torsión (Control PI)de Torsión (Control PI). Si se agrega la acción PI al sistema del elemento de g g
carga, el nuevo sistema queda como el mostrado en la Figura.-
Si R(s)=0, la función de transferencia es.-
sbJsssC 1)(1
)(
ssT
KpKpbJss
bJsssT
KpsN
ii
)(11
1
)()()(
ausencia de entrada de referencia la señal deiTKpKpsbsJs
ssNsC
23)()(
ausencia de entrada de referencia, la señal de error es.-
s )()(23
sN
TKpKpsbsJs
ssE
i
i
Si el sistema de control es estable, es decir, si las , ,raíces de la ecuación característica o polos del sistema dado por:
tiene partes reales negativas entonces el error en
023 TiKpKpsbsJs
tiene partes reales negativas, entonces el error en estado estacionario se puede obtener en la respuesta a una perturbación par de torsión de magnitud Tn,
li d l t d l l fi laplicando el teorema del valor final.2
0 0 3 2lim ( ) lim 0ss s s
s Tne sE s Kp sJ b K
3 2
I
p sJs bs KpsT
Resumen de Acciones Básicas de Control
PROPORCIONAL PROPORCIONAL INTEGRAL
pKsEsU
)()(
sTK
sEsU
ip
11)()(
sE )( sTsE i)(
PROPORCIONAL DERIVATIVO PID
sTKsEsU
dp 1)()(
sT
sTK
sEsU
di
p11
)()(
Implementación Electrónica de Controladores
Control proporcional Control proporcional
Rdespe
i
f VVRR
V 0
i
fp R
RK
Control PI Control PI
oseIep VdtVKVKV 0 p
RK
RR
KR C
p
I
2
1
1R CI
i i
Control PID Control PIDos
eDeIep V
dtdV
KdtVKVKV 0
Descripción de los Métodos de Descripción de los Métodos de Sintonización.Sintonización.
Método de Respuesta Transitoria.K
Esquema para analizar el proceso. FT aproximada.
LseTs
KsG
1)(
Controlador KC TI TD
Reglas de sintonización
P 1/RL 0
PI 0.9/RL L/0.3 0
PID 1.2/RL 2L L/2
Reglas de sintonización.
donde:Curva de respuesta típica. T
KR
Metodología propuesta por C. L. Smith que permite calcular L y R usando un parámetro auxiliar.calcular L y R usando un parámetro auxiliar.
Y(t)
K0.632K
0.283K
K
t1tt2
Para calcular los valores de y L se pueden usar las siguiente ecuaciones
2L t
1L t
2 132t t
L t13
L t 2L t
Ejemplo 5.4 La curva de reacción de un sistema de control en lazoabierto obtenida al aplicar una entrada escalón con valor de 6% decambio se muestra en la figura 5.37, determinar los parámetros parasintonizar un controlador PI y un PID.
Y(t) %
5%
450 t seg150100 t seg
450 150 300LDe la figura obtenemos
450 150 300L seg seg seg
5 0 017% /R seg
De la pendiente de la recta tenemos
0.017% /300
R seg
0.9 0.9 0 176K
De la tabla 5.1 los parámetros para un control PI son
0.1760.017(300)cK RL
150L 150 5000.3 0.3
iLT seg
Mientras que para el PID, son
1.2 1.2 0.2350.017(300)cK RL
150 752 2
dLT seg
2 2(150) 300 iT L seg
Método de Oscilaciones Sostenidas.
Esquema de control del proceso.
Controlador KC TI TD
P KU/2 0
R t b d R l d i t i ió
KU/2 0
PI KU/2.2 TU/1.2 0
PID KU/1.7 TU/2 TU/8
Respuesta buscada Reglas de sintonización.del sistema retroalimentado.
Método de Oscilaciones Amortiguadas.
Esquema para el control del proceso.
Controlador KC TI TD
P KO 0
PI
Respuesta del sistema Reglas de sintonización
PI KO TO/1.5 0
PID KO TO/1.5 TO/1.6
Respuesta del sistema Reglas de sintonización.para un cuarto del decaimiento.
Método de Cohen y Coon
Este método de sintonización fue desarrollado por los investigadores G. H. Cohen y G. A. Coon en 1953, el cual consiste en el diseño del polo dominante, e intenta posicionar algunos polos para lograr un cierto control en el desempeño de s s características técnicassus características técnicas.
Tabla 5.4 Parámetros del controlador, por el método de Cohen y Coon.
Método Cohen y Coon
Controlador K T T
135.011
a 0
92.019.0 L2110.33.3
0
Controlador KP TI TD
P
PI TLKa
1a 2.11
118.0135.1
aL
39.010.25.2
L
81.0137.037.0
PID
TLL
Método basado en Criterios de Sintonización.
“C i i i bj i i i i l i l b l d l ”
dtteISEx
0
2 )( x
dtteIAE0
)( x
dttetITAE0
)(
“Criterios que tienen como objetivo minimizar la integral absoluta del error”Sintonización para Cambios de Referencia Sintonización para Perturbaciones de Entrada
Referencias 1.- Bolton W., Ingeniería de Control, Alfaomega, 2dª Edición , 2001.
2.- Lewis P. H., Yang Ch., Sistemas de Control en Ingeniería, Prentice Hall, 1rª Edición, 1999.
3.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994. 4.- Gaspar C. J., Lázaro I. I. (asesor), Implementación de Métodos de Sintonización para
Controladores Clásicos usando Simulink, Tesis de Licenciatura, Abril de 1992, UMSNH. 5 Ogata K Ingeniería de Control Moderno Pearson Prentice Hall 4tª Edición 2003 5.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003. 6.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima Edición, 1996. 7.- Clair D. W., Freuhauf P. S., PID Tuninig: It´s the Method, Not the Rules, ISA Intech, 1st Editon,
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