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Control Automático
Discretización de reguladores y plantas
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Contenido
◼ Discretización a partir de la función de
transferencia en tiempo continuo
◼ Por respuesta invariante al impulso
◼ Por retenedor de orden cero (ZOH)
◼ Por Tustin o transformación bilineal
◼ Por mapeo de polos (solo para SISO)
◼ Ejemplos
◼ Ejercicios
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Esquema de un control digital
Computador
y(t)
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Escogencia del periodo de
muestreo
◼ El periodo de muestreo Ts debe ser escogido
para que sea menor que una décima parte de
la constante de tiempo dominante, del
sistema que se espera en lazo cerrado
.10
1doms TT
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0.3
0.4
0.5
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Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Escogencia del periodo de
muestreo
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Condiciones de la conversión
◼ Dos funciones continuas son discretizadas y se
encuentran en cascada
◼ Dos funciones continuas en cascada son
discretizadas; G(s) = G1(s)G2(s)
G1(s) G2(s)T T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)G1(s) G2(s)
TT TTx(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
)()()()(
)()( 21 sGsGsG
zX
zYzG ===
)(Ζ)(Ζ)()()(
)()( 2121 sGsGzGzG
zX
zYzG ===
G1(s) G2(s)T T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)T
v*(t)
V*(s)G1(s) G2(s)
TT TTx(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)TTT
v*(t)
V*(s)V(z)
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Condiciones de la conversión
◼ Procedimiento:
◼ Combinar todos los elementos continuos que se
encuentren directamente conectados en cascada
en una única función G(s)
◼ Considerar como si la función G(s), tiene
además, paralelamente a su salida continua, una
salida muestreada. G(z) = Y(z)/U(z)
G1(s) G2(s)T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)K(z) G(s)
TT
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z) T
u*(t)
U (z)TT
T
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)TT
y(t)
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
El sistema híbrido de control
G1(s) G2(s)T
x*(t)
X(z)K(z) G(s)
TT T
u*(t)
U (z)TT
T
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)TT
y(t)
H(s)
-
+
R(s)
r(t)
)()()(1
)()(
)()(1
)()(
)(
)()(
sHsGzK
sGzK
zGHzK
zGzK
zR
zYzT
+
=
+==
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Transformación por respuesta
invariante al impulso
◼ Combinar todos los elementos continuos que se encuentren directamente conectados en cascada en una única función G(s)
◼ Representar G(s) en fracciones parciales
◼ Convertir cada fracción parcial a su forma en Z usando la transformada Z de la función exponencial muestreada y con ayuda de tablas.
1
1
1
at akT
aTe e
e z
− −
− = =
−
)(
1
aseL at
+=− Tiene problemas de
aliasing
dependiente de T
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
◼ Para raíces simples
Donde: 𝑅𝑖 = residuo del polo i-ésimo; 𝑝𝑖 = polo i-ésimo;
T = periodo de muestreo
◼ Para raíces repetidas
Donde: 𝑅𝑖𝑙 = residuo de la repetición l del polo i-ésimo; 𝑝𝑖 = polo i-ésimo; T = periodo de muestreo
Respuesta invariante al impulso
=
−−=
n
iTp
i
ze
RTzG
i
11)1(
)(
=
−−
−−
=
−
−
−=
i
i
m
lTpl
i
l
il
lj
i zepl
RTzG
111
11
1 )1(
1
)!1(
)1()(
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 1: Discretización de
una planta por respuesta inv.
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
◼ Evaluando los residuos para los polos
◼ P = [ -4 -1]
◼ R = [-4/3 4/3]
)4)(1(
4)(
++=
sssP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 1: cont.
◼ Evaluando
◼ ; T= 0.1s
2
1 4*0.1 1 1*0.1 11
4 / 3 4 / 3( ) 0.1* 0.1*
(1 ) (1 ) (1 )i
i
p Ti
RP z
e z e z e z− − − − −=
−= = +
− − −
−+
−
−=
)9048.0(
*3/4
)6703.0(
*3/4*1.0)(
z
z
z
zzP
)9048.0)(6703.0(
031269.0)(
−−=
zz
zzP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejercicio 1
◼ Convierta con T = 0.1s
◼ Evaluando los residuos para los polos
◼ P = [ -2 -2]
◼ R = [0 3]
2)8187.0(
024562.0)(
−=
z
zzP
2)2(
3)(
+=
ssP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
◼ Se combina la función de transferencia del
retenedor de orden cero con la de la planta.
◼ El resultado se descompone en fracciones
parciales y cada fracción se transforma a Z.
Por retenedor de orden cero
−=
− −
−
s
sGZzsG
s
eZ
sT )(*)1()(*
1 1
y(k)
G(s)ZOHu(k)
y(t)
u*(t)
Método preferible
para sistemas con
tiempo muerto
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 2: Discretización de
una planta por ZOH
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
◼ Descomponiendo en fracciones parciales
P(s)/s los residuos y polos son:
◼ R = [ 0.3333 -1.3333 1.0000]
◼ P = [-4 -1 0]
)4)(1(
4)(
++=
sssP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 2: cont.
◼ Después de transformar cada fracción parcial
aplicando el periodo de muestreo T = 0.1s
◼ Sumamos, aplicamos el factor (1 - z-1),
factorizamos y simplificamos:
sT.z-.z-
.z+ .zP 1.0,
)67030)(90480(
)84660(016990)( ==
−+
−−
−−=
−−−−−
−
)1(
1
)1(
33.1
)1(
33.0)1()(
101)1.0*1(1)1.0*4(
1
zezezezzP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Por el método de Tustin o
transformación bilineal
◼ Partimos de la relación de definición de z
◼ Despejamos s y desarrollamos la serie de
potencias del logaritmo
◼ Finalmente aproximamos al primer término
sTez =
zT
s ln1
=
++
−+
+
−+
+
−=
5
5
3
3
)1(
)1(
5
2
)1(
)1(
3
2
)1(
)1(2
z
z
Tz
z
Tz
z
Ts
)1(
)1(2
+
−
z
z
Ts
No tiene problemas
de aliasing
dependiente de T
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 2: Discretización de
una planta por Tustin
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
◼ Sustituyendo
)4)(1(
4)(
++=
sssP
)4)1(
)1(
1.0
2)(1
)1(
)1(
1.0
2(
4)(
++
−+
+
−=
z
z
z
zzP
)9048.0)(6667.0(
)1(0079365.0)(
2
−−
+=
zz
zzP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Por mapeo de polos y ceros
Solo para sistemas SISO. Se sustituye cada polo
de la forma (s - pi) por ( z – epiT ) y cada cero de
la forma (s - zi) por ( z – eziT ). Finalmente se
ajusta la ganancia K’ para una respuesta igual,
típicamente a frecuencia cero.
=
=
−
−
=n
i
i
q
i
i
ps
zs
KsG
1
1
)(
)(
)(
10)()(
===
zszGsG
=
=−−
−
−
+=n
i
i
q
i
i
qn
Tp
Tz
e
e
z
z
zKzG
1
1)1(1
)(
)(
)1()(
n > q
= en dom.
analógico = ½ s
en el dom. discreto.
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Por mapeo de polos y ceros
La ganancia K’ se calcula como
Se satisface exactamente la relación
11
)1(
11
)()1(
)(
==
−−
=
−+
−
=
z
Tz
Tp
q
i
iqn
n
i
i
B
e
e
zz
z
KK
=
=
=
−
−
==n
i
i
q
i
i
B
p
z
KsGKs
1
1
0)(
sTez =
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 4: Discretización de
una planta por mapeo z = esT
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
◼ Los datos del sistema continuo son:
◼ P = [-4 -1 ]
◼ n = 2; q = 0
◼ KB = P(0) = 1
)4)(1(
4)(
++=
sssP
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 4: cont.
◼ Evaluamos las fórmulas
)e)(zez
zzP
.*-.*-
--
101104
)102(
(
)1()(ˆ
−−
+=
)(ˆ*)( 1 zPKzP =
0.1sT,)90480)(67030(
)1(0156870)( ==
.z-.z-
z+.zP
7486.63)1(ˆ =P 7486.63/11 =K
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta al impulso
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (seconds)
Am
pli
tud
e
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta al escalón
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta ante rampa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Respuesta ante rampa
Time (seconds)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta de frecuencia
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nit
ud
e (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-450
-405
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Ph
ase (
deg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 5: Discretización del
regulador PID
◼ El PID ideal se puede discretizar por los
métodos de:
◼ La aproximación trapezoidal a la integral y la
aproximación de Euler a la derivada
◼ Transformación bilineal o método de Tustin
(s → z → kT)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 5: Discretización del
regulador PID
Aproximaciones a la integral
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Discretización del PID por
aproximaciones a la I y D
◼ Partimos de la expresión para el PID ideal
en el dominio del tiempo continuo
◼ Obtenemos la forma posicional del algoritmo
del PID
0.
)1()(
2
)1()(()()( m
T
kekeKInt
TkekeKkeKkm
s
dprevs
iP +−−
+
+
−++=
0
0
)()()()( mtedt
dKdeKteKtm D
t
IP +++=
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Discretización del PID por
transformación bilineal
◼ Partimos de la expresión para el PID en el
dominio de la frecuencia compleja
◼ Sustituimos
y obtenemos la forma de velocidad del
algoritmo del PID
)2()1(2)()()1()()1()( −+−−++−−+−= kekekeT
TKke
T
TKkekeKkmkm
s
dP
i
sPP
dP
i
PPPID TKs
sT
KKsK ++=)(
)1(
)1(2
+
−
z
z
Ts
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
La forma de velocidad del PID
discreto
◼ La forma de velocidad del PID se puede
simplificar a
donde las constantes A, B y C dependen de
KP, Ti, Td y del tiempo de muestreo TS
◼ También se puede llegar a esta forma si
restamos la forma posicional del PID
evaluada en k y en (k-1)
◼ Esta forma es menos propensa al windup
)2()1()()1()( −+−++−= keCkeBkeAkmkm
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejercicios adicionales
◼ Obtenga y compare los modelos discretos,
con el periodo de muestreo T dado para las
funciones G(s), F(s) y H(s); por los cuatro
métodos vistos en clase.
0.05s T ;)9(
)3)(4.0()( =
+
++=
ss
sssF
0.1s T ;)1(
)3()(
2=
+
+=
ss
ssH
0.2s T ;)2)(1(
*3)(
4.0*
=++
=−
ss
esG
s
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Preguntas adicionales
◼ ¿Cómo se transforma un PID paralelo?
◼ ¿Cómo es un PID real?
◼ ¿Qué es un filtro derivativo para PID?
◼ ¿Cuáles son las aproximaciones backward
Euler y forward Euler a la integral y la
derivada? ¿Ventajas y desventajas, cuál es
más recomendable?
◼ ¿Cuáles son las ecuaciones de diferencia de
un PID ideal en paralelo? a) con forward
Euler; b) con backward Euler; c) con Tustin.
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
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Pmatched
Referencias
◼ Bollinger, John G., Duffie, Neil A.. “Computer Control of Machines and Processes”, Addison-Wesley, USA, 1988.
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.
◼ http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/clase/3.0SistemasdeControlenTiempoDiscreto.pdf
◼ http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/contro
l/manipmod/f2-3161.html