Control en CascadaAntonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe

November 8, 2002

1 Introduccion

Existen algunas ocasiones en que el desempeno de un esquema de control feedbackpuede mejorarse notablemente mediante el empleo de un esquema de control denom-inado ”en cascada”. La idea basica detras del empleo de controladores en cascada lapodemos explicar mejor empleando el siguiente ejemplo.

En algunas ocasiones se acostumbra controlar la composicion de los productos prin-cipales de una columna de destilacion ejerciendo control sobre la temperatura de op-eracion de algun plato seleccionado para este proposito; este esquema de control puederesultar conveniente sobre todo cuando no se dispone de analizadores de composicionen lınea o bien se dispone de estos medidores pero el retardo asociado el proceso demedicion resulta demasiado grande de tal forma que crea problemas de estabilidady mal desempeno del esquema de control. En la figura 1 se muestra el esquema decontrol indirecto de composicion de los fondos de una columna de destilacion con-trolando la temperatura de algun plato mediante la manipulacion del flujo de vapor decalentamiento alimentado al rehervidor.

Gc

AT

set-point

vapor

Tm

Figura 1: Control de la temperatura de un plato de una columna de destilacion ma-nipulando el flujo de vapor.

El anterior esquema de control feedback deberıa proporcionar control aceptable de latemperatura del plato seleccionado (suponiendo que el controlador este sintonizado demanera adecuada). Esta situacion es, normalmente, correcta excepto cuando ocurrenvariaciones importantes en la presion de suministro del vapor de calentamiento. Para

entender este comentario se debe recordar que la presion a la que se suministra el vapordetermina el flujo de vapor que pasa a traves de la valvula de control. El conflicto quesurge es que, por un lado, el controlador Gc fija el flujo de vapor que se debe usarpara mantener a la temperatura medida Tm en el valor deseado. Sin embargo, como seexplico antes, debido a variaciones en la presion de suministro de vapor, la cantidad devapor que pasa a traves de la valvula pueder ser diferente del flujo de vapor demandadopor el controlador. Como resultado el flujo de vapor no sera el deseado por lo que elcontrolador solo se percatara de esta situacion (flujo de vapor no igual al deseado)hasta que la temperatura del plato no sea igual al set-point. Notese claramente queeste problema surge debido a que la variable manipulada (flujo de vapor) esta sujetaa una perturbacion (variacion de la presion de vapor). Este problema de control sepodrıa resolver si se emplea la estructura de control mostrada en la figura 2.

Gc

AT

set-point

vapor

Tm

set-point

Gc F

Tcontrolador Maestro

controlador Esclavo

Figura 2: Control en cascada de la temperatura de un plato de una columna de desti-lacion manipulando el flujo de vapor.

Observese que hemos introducido un controlador adicional GCF. El proposito de

este controlador adicional consiste en ejercer accion de control de manera practicamenteinmediata cuando el flujo de vapor solicitado por el controlador GCT

no es igual al quepasa a traves de la valvula de control (medido un poco antes de que ingrese a la valvula).Es importante notar las siguientes diferencias entre las estructuras de control de tipofeedback convencional y cascada mostradas en las figuras 1 y 2, respectivamente.

• El esquema de control feedback solo emplea un controlador, mientras que en elesquema de control en cascada se emplean dos controladores. El controladorexterno se llama controlador ”maestro” (o primario), el controlador interno sellama controlador ”esclavo” (o secundario).

• En el esquema de control feedback el controlador fija el flujo de vapor deseadopara alcanzar el set-point en la temperatura del plato. En el esquema de controlen cascada la funcion del controlador GCT

es otra: fijar el set-point del flujo devapor de calentamiento a emplear.

2

• En el esquema de control feedback el set-point del controlador se fija externa-mente (normalmente lo fija el operador del proceso). En el esquema de controlen cascada el set-point de la variable a controlador sigue siendo fijado de maneraexterna. Sin embargo, el set-point del controlador esclavo es fijado por el contro-lador maestro. Es decir, la salida o resultado que produce el controlador maestroes simplemente el set-point al que debe operar el controlador esclavo.

En terminos de diagramas de bloques, el esquema de control en cascada de la figura2 se puede representar tal como se muestra en la figura 3.

Gc Gc GpM E

d

yr ++

- -

uT F + ++ +

Figura 3: Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la figura 2.

Otro ejemplo de una situacion practica donde se puede utilizar el concepto de con-trol cascada ocurre durante el control de la composicion del destilado en una columnade destilacion. Supongamos, por el momento, que se dispone de analizadores de com-posicion en lınea, de tal forma que la composicion del destilado se controla manipulandoel flujo del reflujo tal como se muestra en la figura 4.

GcC

AC

reflujo destilado

Figura 4: Control de la composicion del destilado manipulando el flujo del reflujo.

Este esquema de control deberıa operar de manera adecuada (suponiendo que tantoel tipo de controlador como la sintonizacion de este se realizen de manera apropiada)

3

excepto, probablemente, por una situacion. Observese que cuando el controlador cal-cula el flujo del reflujo, que se debe usar para mantener la composicion del destiladoen el valor deseado, dicha accion de control no afecta de manera inmediata a la com-posicion. Esto ocurre porque el reflujo debe descender a traves de todos los platos hastallegar al rehervidor. En el rehervidor parte del lıquido alimentado se evapora. El vaporasciende, llega al condensador y entonces se retira parte del producto como destilado.Todo este circuito puede implicar que el tiempo transcurrido entre el instante en queel controlador decide modificar el flujo del reflujo y el cambio en la composicion deldestilado pudiera ser grande. La implicacion, en teminos del control de la composicion,es que, debido al gran retardo inherente en este esquema de control, el desempeno delcontrol a lazo cerrado se puede ver seriamente afectado.

El anterior problema puede ser reducido, en alguna proporcion, si se emplea elesquema de control en cascada que se muestra en la figura 5.

GcC

AC

reflujo destilado

GcT

ATset-point

Figura 5: Esquema de control en cascada de la composicion del destilado manipulandoel flujo del reflujo.

La idea del anterior esquema de control consiste en explotar la relacion que existeentre la temperatura y la composicion del destilado. De esta manera, si el flujo delreflujo modifica la temperatura de algun plato de la columna seleccionado para esteproposito, dicha temperatura nos permitirıa conocer, de manera mas rapida, el efectoque el reflujo tiene sobre la composicion permitiendo, entonces, ejercer acciones decontrol menos lentas para corregir por desviaciones en la composicion deseada. Esteesquema de control supone que la relacion entre temperatura y composicion es unica locual, estrictamente hablando, solo es cierta en el caso de mezclas binarias. El diagramade bloques del anterior esquema de control se muestra en la figura 6. Notese en estediagrama que G1 representa la funcion de transferencia entre el reflujo y la composiciondel destilado, mientras que G2 representa la funcion de transferencia entre el reflujo yla temperatura del plato.

4

GcCGc

T

set-point

G

G 2

1

d

d

+ +

-

-+

+

++

reflujo T

Cmedida

medidaC

deseada C T

Figura 6: Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la composiciondel destilado manipulando el flujo del reflujo.

2 Tipos de sistemas de control en cascada

Hasta ahora se han propuesto dos tipos de esquemas de control en cascada: en seriey en paralelo; los dos tipos de control en cascada han sido discutidos en la seccionanterior.

2.1 Serie.

En este esquema la variable manipulada u tiene un efecto tipo ”domino” sobre lavariable a controlar y. El esquema de control se denomina en serie ya que u afecta auna variable intermedia yi la cual, a su vez, afecta a la variable que se desea controlary tal como se muestra en la figura 7.

G 12 Gu yy

i

Figura 7: Sistema en Serie: la variable manipulada afecta a una variable intermedia lacual entonces afecta a la variable a controlar.

Un requisito importante para que la aplicacion del esquema de control en cascadapresente ventajas sobre un controlador feedback puro, es que la respuesta dinamica dela planta G2 sea mas rapida que la correspondiente respuesta dinamica de la plantaG1. Si este requisito se cumple entonces es muy probable mejorar el desempeno delesquema de control a lazo cerrado usando el concepto de control en cascada. Por estarazon se acostumbra emplear un controlador puramente proporcional para el control dela planta G2; este controlador se sintoniza de manera tal que la respuesta obtenida dela planta G2 sea lo mas rapida posible, sujeta a las restricciones de estabilidad sobre losvalores de la ganancia del controlador. Para el control de la planta G1 podrıa emplearseun controlador PI o PID.

5

Ejemplo 1 Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado del sistema repre-sentado por las siguientes funciones de transferencia:

G1 =0.2

s3 + 2.1s2 + 1.2s+ 0.1

G2 =1

s2 + 2s+ 1

probar el esquema de control para una perturbacion unitaria estatica. Comparar el de-sempeno del sistema de control en cascada contra el que se obtendrıa si se usa controlfeedback puro del tipo PI y PID. Considerar que la accion de control esta restringida alrango [−5,+5].

Como sabemos, la raiz negativa mas cercana al eje imaginario (o mas pequena envalor absoluto) del polinomio del denominador es la que domina la respuesta dinamicade un sistema dado. En este caso la raiz mas pequena de G1 es 0.1 y de G2 es 1, ambasen valor absoluto. Por lo tanto, las constantes de tiempo τ aproximadas de cada plantason:

τ1 = 2π/0.1 ≈ 63

τ2 = 2π/1.0 ≈ 6

entonces, como τ1 > τ2, en principio el sistema dinamico en cuestion parece ser unbuen candidato para que, a traves del uso de control en cascada, se pueda obtenermejor desempeno del esquema de control que usando solo control feedback puro. En lafigura 8 se muestra la respuesta del sistema dinamico a lazo abierto cuando la entradade cada planta experimenta un cambio escalon.

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

G1

G2

Figura 8: Respuesta a lazo abierto ante un cambio unitario de las plantas G1 y G2.

Para disenar el esquema de control en cascada empezaremos controlando primerola planta G2, lo cual implica disenar primero el controlador esclavo. Como se dijo

6

antes, para el control de la planta G2 se empleara control proporcional. El margende ganancia para G2 es ”infinito” lo cual implica que, aunque en principio se puedeemplear cualquier valor de ganancia del controlador, sujeto solo a la restriccion desaturacion de la valvula de control, disenaremos este lazo de control para lograr unfactor de amortiguamiento ξ igual a 0.4. Del diagrama del lugar de las raices (rootlocus) obtenemos que para ξ=0.4 se debe usar una ganancia del controlador kc igual a5. En la figura 9 se muestra la conducta dinamica a lazo cerrado de la planta G2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(a) Tiempo

Res

pues

ta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

(b) Tiempo

U

Figura 9: Respuesta a lazo cerrado de la planta G2 ante una perturbacion unitaria ala salida de la planta.

Para disenar ahora el lazo del controlador maestro debemos primero entender que la”planta” que el controlador maestro ”ve” (G3) esta dada por el producto de la funcionde transferencia del lazo del controlador esclavo a lazo cerrado Gcl

E multiplicada por lafuncion de transferencia de la planta asociada al lazo maestro G1, donde:

G3 = GclEG1

GclE =

kcG2

1 + kcG2

usando G3 como la funcion de transferencia del sistema a controlar, disenemos uncontrolador PI usando la tecnica de sintonizacion en el dominio de la frecuencia, dondeespecificamos que la altura maxima del pico resonante de la grafica de ganancia delsistema sea de +2 db. De acuerdo a esta especificacion, la ganancia kc y tiempo integralτI del controlador maestro son 1.416 y 6.3, respectivamente. En la figura 10 se muestrala respuesta del sistema de control a lazo cerrado empleando el esquema de control encascada.

Para comparar el desempeno del esquema de control en cascada se disenaron con-troladores PI y PID sintonizados con el mismo criterio anterios, es decir, usando +2 db

7

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

(a) Tiempo

Re

sp

ue

sta

0 5 10 15 20 25 30 35 40−5

−4

−3

−2

−1

0

1

(b) Tiempo

U

Figura 10: Respuesta a lazo cerrado del sistema de control ante una perturbacionunitaria a la salida de la planta empleando control en cascada.

como altura maxima de la curva de ganancia. Los parametros de sintonizacion deter-minados fueron: (a) PI → kc=1.0516, τI=10.9949 (b) PID → kc=1.6548, τI=10.9949,τD=2.1717. En la figura 11 se muestran los resultados a lazo cerrado para amboscontroladores.

2.2 Paralelo.

Existen algunos tipos de sistemas dinamicos donde hay una relacion entre la variablemanipulada u y alguna otra variable intermedia yi. Sin embargo, a diferencia delesquema en serie, la variable yi no afecta directamente a la variable controlada y. Lavariable controlada se ve afectada directamente por la variable manipulada tal comose muestra en la figura 12. Por comodidad redibujamos el diagrama de bloques delesquema de control en cascada en paralelo como se muestra en la figura 13.

Para disenar el esquema de control en cascada para sistemas en paralelo, procedemoscomo anteriormente se ha hecho para el correspondiente sistema de control de tipocascada en serie. Es decir, primero disenamos el controlador esclavo y, a continuacionse disena el controlador maestro. Sin embargo, debe notarse que cuando se disena elcontrolador maestro la funcion de transferencia de la ”planta” a controlar G3 estaradada por:

G3 = GclEG1 (2.1)

8

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

(a) Tiempo

Re

sp

ue

sta

PIPID

0 10 20 30 40 50 60−1.5

−1

−0.5

0

(b) Tiempo

U

PIPID

Figura 11: Respuesta a lazo cerrado del sistema de control ante una perturbacionunitaria a la salida de la planta empleando control PI y PID.

GclE =

K2

1 +K2G2

(2.2)

el diagrama de bloques de este sistema reducido o transformado se muestra en la figura14.

Para derivar la ecuacion 2.2 debemos primero notar que GclE representa la funcion

de transferencia entre la accion de control u y el set-point de la variable ”interna” yri .

Entonces del diagrama de bloques de la figura 13:

u = K2(yri − yi) (2.3)

= K2(yri −G2u) (2.4)

= K2yri −K2G2u (2.5)

(2.6)

de donde,

u

yri

= GclE =

K2

1 +K2G2

Ejemplo 2 Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado del sistema repre-sentado por las siguientes funciones de transferencia:

G1 =e−5s

s2 + 2s+ 1

9

G

1

2

G

u

y

yi

Figura 12: Sistema en Paralelo: la variable manipulada afecta a variable yi y a lavariable a controlar y.

K 1 K2

G

G 2

1

d

d

+ +

-

-+

+

++

u yyr C T i

y

y i

r

Figura 13: Sistema control en cascada en paralelo.

G2 =1

s2 + 2s+ 1

probar el esquema de control para una perturbacion unitaria estatica. Comparar el de-sempeno del sistema de control en cascada contra el que se obtendrıa si se usa controlfeedback puro del tipo PI y PID. Considerar que la accion de control esta restringida alrango [−5,+5].

En este caso la planta G2 es la misma que la usada anteriormente en el ejemplo 1.Por lo tanto, el diseno del controlador esclavo es el mismo que para dicho ejemplo (esdecir, el controlador esclavo es proporcional con ganancia igual a 5).

Para el diseno del controlador maestro empleamos un controlador PI sintonizadousando las reglas de Ziegler-Nichols. En la figura 15 se muestra el control a lazocerrado del sistema empleando el esquema de control en cascada. Los valores de losparametros de sintonizacion fueron 0.4519 y 3.8721 para la ganancia y tiempo integral,respectivamente.

Para comparar el desempeno del esquema de control en cascada, en la figura 16 semuestra la respuesta a lazo cerrado del sistema en cuestion usando un controlador PIsintonizado usando las reglas de ZN. La ganancia y el tiempo integral del controladorfueron 0.6186 y 12.8277, respectivamente.

10

K1 GG

E

3

d

+

-

++

u yyr

C y ir

cl

G

1

Figura 14: Sistema control en cascada en paralelo reducido.

3 Control en cascada de un reactor continuo tanque

agitado

El objetivo de esta seccion es proporcionar un ejemplo de un sistema no-lineal dondela aplicacion del esquema de control en cascada, tanto en serie como en paralelo,resulta factible. El ejemplo es un tanto largo, pero muestra las caracterısticas basicas ofundamentales que se deben considerar cuando se desea aplicar este tipo de esquemasde control a sistemas que presentan conducta no-lineal. En particular, el ejemplodescrito a continuacion, presenta regiones de operacion con multiplicidades de salida.A continuacion se presenta la descripcion del problema en cuestion.

Supongamos que la reaccion A → B se lleva a cabo en un reactor continuo tipotanque agitado. El modelo matematico (con las suposiciones usuales de mezclado perfecto,volumen constante y parametros y propiedades fısicas tambien constantes) que representala conducta dinamica del proceso esta dado por:

dCa

dt=

Q

V(Co

a − Ca)− koe−E/RTCa

dT

dt=

Q

V(T o − T )− UA

ρV Cp

(T − Tc) +

(−∆H

ρCp

)koe

−E/RTCa

dTc

dt=

Qc

Vc

(T oc − Tc) +

UA

ρcVcCpc

(T − Tc)

el modelo matematico representando por el anterior conjunto de ecuaciones diferenciales or-dinarias no-lineales puede reescribirse en forma adimensional empleando, para este proposito,las variables de escalamiento mostradas en la siguiente tabla.

x1 = Ca/Coa x2 = (T − T o)γ/T o x3 = (Tc − T o

c )γ/Toc

qc = Qc/Qo γ = E/RT o κ(x2) = exp

(x2

1+x2/γ

)β = (−∆H)Co

a

ρCpT o δ = UA/ρCpQo φ = (V/Qo)koe

−γ

q = Q/Qo τ = (Qo/V )t δ1 = V/Vc

δ2 = ρCp/ρcCpc xo1 = Co

a/Cafo xo2f = (Tf − Tfo)γ/Tfo

xo3f = (Tcf − Tfo)γ/Tfo

usando las anteriores variables adimensionales el modelo original queda expresado de la

11

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

(a) Tiempo

Re

sp

ue

sta

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−5

−4

−3

−2

−1

0

1

(b) Tiempo

U

Figura 15: Respuesta a lazo cerrado enmpleando un esquema de control en cascada enparalelo.

siguiente manera.

dx1

dt= q(x1f − x1)− φx1κ(x2)

dx2

dt= q(x2f − x2)− δ(x2 − x3) + βφx1κ(x2)

dx3

dt= δ1[qc(x3f − x3) + δδ2(x2 − x3)]

los valores de todos los parametros se muestran en la siguiente tabla.

φ 0.11 β 7δ 0.5 γ 20q 1 δ1 10δ2 1 x1f 1x2f 0 x3f -1qc 0.4

La variable manipulada es el flujo de agua de enfriamiento qc, la perturbacion al procesoocurre en la temperatura del agua de enfriamiento x3f y la temperatura del reactor x2 esla variable controlada.

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) Tiempo

Re

sp

ue

sta

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

(b) Tiempo

U

Figura 16: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema de control feedback detipo PI.

1. Determinar el estado estacionario alrededor del cual opera el proceso.

2. Cuales son las funciones de transferencia que se requieren evaluar para la imple-mentacion lineal de los esquemas de control en serie y paralelo ? Determinar dichasfunciones de transferencia.

3. Implementar un controlador PI , sintonizados usando las reglas de ZN, para el controlen cascada en serie de la temperatura del reactor; probar el esquema de control paracambio en la temperatura del agua de enfriamiento x3f de -1 a -0.2. Comparar eldesempeno del esquema de control en cascada contra el que se obtendrıa usando uncontrolador PI feedback puro. En este caso, la implementacion del control a lazocerrado es lineal.

4. De manera semejante al caso anterior, implementar un controladore PI, sintonizadosusando las reglas de ZN, para el control en cascada en paralelo de la temperaturadel reactor; probar el esquema de control para cambio en la temperatura del agua deenfriamiento x3f de -1 a -0.2. Comparar el desempeno del esquema de control encascada contra el que se obtendrıa usando un controladores PI feedback puro.

1. Bajo las condiciones de operacion mostradas el estado estacionario del proceso

13

es unico y esta dado por:

x1 = 0.1947, x2 = 4.4301, x3 = 2.0167

2. Para la implementacion lineal del esquema de control en cascada en serie reque-rimos las siguientes funciones de transferencia:

x3

qc

,x2

x3

mientras que para el correspondiente esquema en parelelo se requieren las sigu-ientes funciones de transferencia:

x2

qc

,x3

qc

en ambos casos, para probar cualquier esquema de control tambien requerimoslas funciones de transferencia de la perturbaciones sobre los estados del sistema:

x2

x3f

,x3

x3f

a continuacion se muestran las funciones de transferencia.

x3(s)

qc(s)=

−30.17s2 − 86.19s− 118.4

∆

x2(s)

x3(s)=

15.08s+ 77.46

30.17s2 + 86.19s+ 118.4

x2(s)

qc(s)=

−15.08s− 77.46

∆

x2(s)

x3f (s)=

2s+ 10.27

∆

x3(s)

x3f (s)=

4s2 + 11.43s+ 15.7

∆

∆ = s3 + 11.86s2 + 27.14s+ 22.48

3. En la figura 17 se muestra el diagrama de bloques del esquema en serie del controlcascada. Para el diseno del esquema en serie del control en cascada, primero sesintonizo el controlador del lazo esclavo empleando la funcion de transferenciax3(s)/qc(s). El controlador fue puramente proporcional con ganancia igual a-0.5; esta parte del esquema de control se probo a lazo cerrado usando comoperturbacion la funcion de transferencia x3(s)/x3f (s) cuya entrada fue modificadade -1 hasta -0.2.

A continuacion se sintonizo el lazo maestro. Notese que la planta usada parasintonizar el lazo maestro G3 esta dada por:

G3 = GclEG1

14

KK21

qc

x3f

x3f

x2

rx

2x3x

3q

c

x2

x3

x3

x3f

x2

x3f

+ +

- -

+

++

+

Figura 17: Diagrama de bloques del esquema en serie del control cascada.

donde

GclE =

K2G2

1 +K2G2

G2 =x3(s)

qc(s)

G1 =x2(s)

x3(s)

ademas K2 es la funcion de transferencia del controlador esclavo.

Si el orden (grado del polinomio del denominador) de la planta G3 es grande (eneste caso el grado del polinomio del denominador fue 8) , la determinacion de laganancia final Ku y del periodo final de oscilacion Pu puede resultar complicado.Sin embargo, sin importar el orden de G3, la mayorıa de las veces sera posibleaproximar G3 por una funcion de transferencia de primer orden con retardo G4

con la cual determinamos Ku y Pu. Para determinar G4 primero se realizo unasimulacion a lazo cerrado de G3, despues se registraron los datos de salida yel tiempo de simulacion y finalmente su uso el programa ControlStation pararealizar el ajuste. La planta resultante esta dada por:

G4 =0.6192

0.5495s+ 1e−0.1327s

del diagrama de root-locus de G4 obtenemos Ku =14.9904 y Pu=0.3741; por lotanto los parametros de sintonizacion del controlador maestro son Kc =6.8138 yτI=0.3118.

Para sintonizar los controladores PI y PID, suponiendo control feedback puro, lafuncion de transferencia x2(s)

qc(s)se aproximo en teminos de una funcion de transfer-

encia de primer orden con retardo G5 dada por:

G5 =−3.58

0.9172s+ 1e−0.2257s

15

los valores de la ganancia final Ku y el periodo final de oscilacion Pu fueron2.5497 y 0.6352. Los valores de los parametros de sintonizacion fueronKc=4.4963y τI=0.5293. En la figura 18 se muestra el resultado del esquema en serie delcontrol cascada a lazo cerrado; para propositos de comparacion tambien se incluyela respuesta a lazo cerrado usando un controlador feedback PI.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Tiempo

x2

CascadaPI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

Tiempo

qc

CascadaPI

Figura 18: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema en serie de control cascada.

16