Control clásico y moderno sobre células Peltier en un entorno didáctico

Carlos PlateroEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial (UPM), c/ Ronda de Valencia, 3 – 28012 Madrid

cplatero@fais.upm.es

Luis Castedo, Manuel Ferre, Carlos VicenteEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial (UPM), c/ Ronda de Valencia, 3 – 28012 Madrid

castedo@fais.upm.es, mferre@fais.upm.es, cvicente@correo.fais.upm.es

Resumen

Con el objeto de sintetizar las enseñanzas de laAutomática con la Electrónica Industrial, la Unidaddocente de Electrónica y Automática de la EUITI-UPM ha diseñado una maqueta didáctica sobre elcontrol de las células Peltier. Los objetivos sonvarios; en primer lugar, se ha tenido en menteintentar combinar las prácticas experimentales delas asignaturas de Automática con los bloquestípicos de la Electrónica Industrial, con el propósitode facilitar el proceso de concreción de losdiagramas de bloques a su implementación física. Ensegundo término, la maqueta debería de cubrir tantolos aspectos del control clásico como del controlmoderno; de forma que el alumno, en las diversasasignaturas de Automática, encontrase elementoscomunes y pudiera comparar los ámbitos deaplicación de los dos tipos de control anteriormentemencionados. De otro lado, la dificultad que suponela modelización de las células Peltier, permitirá laintroducción de técnicas estadísticas para laidentificación del sistema, abriendo más, si cabe, elespectro de experimentos que se pueden realizar. Porúltimo, también se podría destacar la introducciónen los fundamentos de la Termoelectricidad, a travésde uno de los elementos de mayor auge en larefrigeración, las células Peltier.

Palabras Clave: Docencia en Automática. Controlclásico. Control moderno.

1 INTRODUCCIÓN

Uno de los inconvenientes clásicos del desarrollodocente de las asignaturas de Automática es el uso delas funciones de transferencia (FDT), donde lossistemas físicos se representan por medio de cajasnegras y sus comportamientos dinámicos se modelanmediante las FDTs. Si bien este planteamiento no sediscute, por razones obvias, no es menos verdad que,muchas veces, el alumno pierde las nociones físicasal aplicar las técnicas de análisis y diseño de la teoría

del Control. Además, el encuentro del estudiante consistemas físicos reales, le introduce en los usosprácticos típicos de la ingeniería, tales como: elempleo de la instrumentación, la validación de lashipótesis y las aproximaciones ingenieriles, tanempleadas en el trabajo de campo y tan desestimadasen las clases de teoría o en los problemas desimulación con ordenador.Sin duda alguna, la llegada de programas comoMATLAB, SCILAB o CC han vitalizadoenormemente la didáctica de la Automática, sobretodo, en el laboratorio y como herramienta de estudiopersonal. Sin embargo, estas habilidades no cubrenmuchos de los conceptos empleados en el trabajoexperimental. El éxito del laboratorio nace de lacombinación del trabajo de la simulaciónacompañado con su puesta en práctica. Por tanto, serequiere de una maqueta de entrenamiento que seacapaz de ilustrar los conceptos básicos del control,que pueda integrar los conceptos de la especialidad(en este caso de Electrónica Industrial), que interfasecon los programas de simulación y que además searepresentativa de la problemática industrial actual.Esta sinergia se puede encontrar en el control detemperatura de una célula Peltier. Experiencias enesta dirección ya han sido apuntadas por otrasescuelas[2].El control de la temperatura por medio de una célulaPeltier tiene grandes ventajas. Primero, esrepresentativo de los problemas típicos del Controlindustrial. Segundo, su comportamiento dinámicopermite emplear tanto técnicas de Control clásicocomo de Control moderno. Tercero, se requiere de laactuación tanto de la Electrónica de Potencia comode la Instrumentación Electrónica. Cuarto, permiteabordar cuestiones relativas a la programación entiempo real. Quinto, los procesos de calentamiento yenfriamiento tienen una corta duración temporal,pudiéndose realizar varios experimentos en unajornada de prácticas. Sexto, pone al alumno encontacto con una de las tecnologías de mayor pujanzaen los procesos de refrigeración. Séptimo, serefuerzan los conceptos de la Termodinámica y de laTransmisión de Calor. Y octavo, y último, el diseñode una maqueta de control sobre una célula Peltier esrelativamente barato.

2 EL COMPORTAMIENTO DE LASCÉLULAS PELTIER

Si bien el efecto Peltier es conocido desde 1834, suaplicación práctica necesitó del desarrollo de lossemiconductores, pues éstos resultan ser buenosconductores de la electricidad pero pobresconductores del calor. La circulación de una corrienteeléctrica a través de dos materiales semiconductorescon diferente densidad de electrones libres, produceque se libere o se absorba energía. La transferenciade energía tiene lugar en forma de flujo caloríficoentre las dos caras de los semiconductores (ver figura1)[9].

Figura 1: Elementos de una célula Peltier

El enfriamiento termoeléctrico empezó a ser factiblea partir de los estudios de Telkes en los años 30 y deLofee en 1956. Los nuevos materialessemiconductores irrumpían en la escena produciendorendimientos mucho más altos. Telkes utilizó pares osoldaduras de PbS y ZnSb y Loffee descubrió el usode PbTe y PbSe [3]. Actualmente, se empleafundamentalmente el bismuto-teluro como materialsemiconductor, fuertemente dopado para crear unexceso (tipo-n) o una deficiencia (tipo-p) deelectrones.

2.1 ECUACIONES DE LA CÉLULAPELTIER

Son varios los fenómenos que acontecen dentro deuna célula Peltier, pudiéndose enunciar los efectosPeltier, Thomson y Joule, además de las propiascaracterísticas de la transmisión de calor. Sinembargo, dichos procesos no son todos de igualmagnitud e importancia. De hecho, en el rango detemperaturas de los experimentos a realizar, se puededespreciar el flujo calorífico producido por lacirculación de la corriente eléctrica con variación detemperatura, esto es, el denominado efecto Thomson.Así que, teniendo en cuenta esta simplificación, alaplicar una diferencia de potencial sobre la célula, seproducirá una cesión de calor por unidad de tiempoen la cara caliente igual a:

ITQ CPC α= (1)

Donde TC es la temperatura de la cara caliente, α esel coeficiente Seebeck e I la corriente que atraviesa alcircuito. Por el mismo efecto, la absorción de calorpor unidad de tiempo en la cara fría será:

ITQ FPF α= (2)

Siendo TF la temperatura de la cara fría. De otro lado,si se consideran las pérdidas por unidad de tiempopor efecto Joule, las cuales se supone que se repartenmitad para cada cara, éstas quedarán expresadas por:

RIQJ2

2

1= (3)

Donde R es la resistencia eléctrica de la célulaPeltier. La diferencia de temperaturas entre ambascaras producirá un efecto de conducción térmicaentre la cara caliente y la cara fría, cuantificablecomo:

TH

FCCT R

TTQ

−= (4)

En donde RTH representa la resistencia térmica entrela cara caliente y la fría. El flujo neto caloríficoabsorbido por la cara fría, será haciendo el balanceenergético a:

TH

FCFCTJPFF R

TTRIITQQQQ

−−−=−−= 2

2

1α (5)

Mientras que el calor cedido y que debe ser disipadoa través de la cara caliente será igual a:

TH

FCCCTJPCC R

TTRIITQQQQ

−−+=−+= 2

21α (6)

Aplicando el primer principio de termodinámica,resultará que la potencia eléctrica suministrada serála diferencia entre los flujos caloríficos de disipacióny de absorción, concluyendo que:

RITIRIITTQQP FCFCe22)( +∆=+−=−= αα (7)

Estas expresiones coinciden básicamente con lasdadas por Redondo [8], si se considera despreciableel efecto Thomson y considerando sólo los valoresmedios de las propiedades de transporte del calor. Elcoeficiente de Seebeck, la resistividad eléctrica y laconductividad térmica varían con la temperatura. Seha verificado que para el rango de temperaturas delas prácticas, éstos pueden ser consideradosconstantes [7]. Además, el fabricante de las célulasempleadas, MELCOR, también emplea expresionessimilares [5].

2.2 MODELADO DEL COMPORTAMIENTODINÁMICO

Un análisis exhaustivo del fenómeno termoeléctricoen las células Peltier resulta bastante difícil deconseguir, incluso para problemas reducidos delrégimen dinámico en los que se requiere distintaspresunciones, tales como las propiedades promediode los módulos [3]. Con este fin, se va a proceder abuscar un símil térmico eléctrico que facilite alalumno la comprensión del modelo y sussimplificaciones. La figura 2 esquematiza lasecuaciones 5 y 6, reflejando los efectos Peltier yJoule junto con los de la transmisión de calor.Obsérvese que la referencia a masa indica el punto dereposo de la temperatura en ambas caras, esto es, latemperatura ambiente.

Figura 2: Símil térmico-eléctrico equivalente

Por otra parte, los flujos caloríficos absorbidos por lacara fría y los disipados por la cara caliente, puedenser modelados como capacidades caloríficas, lascuales reflejarán las inercias térmicas de ambas caras(ver figura 3). Sin duda alguna, la inserción de undisipador adosado a la cara caliente de la célula, conalta conductividad térmica, y al que se le ha añadido,además, un circuito de convección forzada,garantizará que la temperatura de la cara caliente, TC,se mantenga prácticamente constante y próxima a latemperatura ambiente. El circuito de disipacióntérmica adosado a la Peltier quedará modelado poruna gran capacidad calorífica. Chavez et al[1] hancuantificado las capacidades térmicas equivalentesCC y CF; siendo CC mayor en más de dos órdenes demagnitud respecto de CF.

Figura 3: Circuito térmico-eléctrico equivalente

En estas condiciones, el equivalente Norton entre lasdos caras se reducirá a una capacidad térmica devalor CF en paralelo con una fuente de flujo

calorífico de valor RIITC22/1+α , o bien

aplicando la ec. 7, RIITP Fe22/1−+α ; el

circuito térmico quedará como:

Figura 4: Circuitos equivalentes simplificados

Cuyas expresiones matemáticas quedarán definidaspor:

RITIP

RIITPRIITR

T

dt

TdC

e

FeCTH

F

2

22

21

21

+∆=

−+=+≅∆+∆

α

αα (8)

2.2.1 Modelo simplificado

Partiendo de la ec. 8 y considerando que latemperatura de la cara caliente se mantieneprácticamente constante (gracias al diseño dedisipación de calor aplicado a esta cara), y que elefecto Joule es de segundo orden respecto al efectoPeltier, se puede concluir que la variación detemperatura es proporcional a la intensidad quecircula por la célula. El coeficiente Seebeck semantiene prácticamente constante en todo el rango detemperatura de los experimentos. Aplicando elmodelo de MELCOR sobre α, se ha verificado lavalidez de la suposición anterior[7]. La validación dela propuesta queda reflejada en la figura 4, alcompararse la respuesta en régimen permanente conla del modelo propuesto.

Figura 5: Relación entre la corriente eléctrica y ladiferencia de temperaturas entre las dos caras

La FDT simplificada se puede exponer como:

( )( )

[ ]( )sCR

T

sI

sT

FTH

C

+=∆

1

α(9)

De estas reflexiones se deduce que el mejor controlsobre una célula Peltier viene dado por el empleo deun amplificador de transconductancia. Para elprototipo desarrollado, con objeto de trabajar en lazona más lineal y exigir los mínimos requisitos a lafuente de alimentación del equipo, se ha diseñadouna etapa de potencia lineal con entrada de 0÷10V ycapaz de suministrar hasta un amperio a la célula. Endefinitiva, esta etapa de potencia tiene una gananciade 100 mS.

De otro lado, al considerar que la temperatura en lacara caliente es prácticamente constante e igual a latemperatura del ambiente, sólo se ha construido unaetapa de acondicionamiento capaz de medir lavariación de temperatura en la cara fría. La señal desalida de esta tarjeta es proporcional a la diferenciade temperatura entre ambas caras, al ser introducidosdos potenciómetros de ajuste. El primero se utilizapara la calibración de la temperatura ambiente y elsegundo para definir la ganancia de temperaturamínima con la máxima tensión de salida, en estecaso, 10V.

3 PRÁCTICAS DE CONTROLCLÁSICO

3.1 Identificación del sistema

El alumno se enfrentará en su primera práctica a laidentificación de los parámetros del modelo. Con talpropósito, los estudiantes emplearán las técnicas del

análisis temporal, proponiéndoles que observen ydecanten las estimaciones de los parámetros ante laevolución del sistema ante entradas en escalón.Debido a que la constante de tiempo suele ser dealrededor de 20s, las mediciones requerían el uso deun osciloscopio digital. Pero como también se handiseñado prácticas de control digital, se hadesarrollado mediante software la emulación de talosciloscopio digital. Éste tiene como característicasmás relevantes: una frecuencia máxima de muestreoen modo monocanal de hasta 30kHz y, en modomulticanal, (6 canales) hasta 100Hz. Adicionalmente,ha sido necesario diseñar una tarjeta de aislamientogalvánico entre el PC y el equipo de prácticas paraevitar problemas con las masas y proteger elordenador. Posteriormente, esta tarjeta y el softwaredesarrollado se ha universalizado para todas lasprácticas de Automática y Electrónica de la EUITI-UPM.

3.2 Identificación del sistema mediante ARX

Un análisis más exhaustivo de la respuesta delsistema ante la entrada en escalón revelará que éstedebe de tener más de un polo en la cadena abierta.Un modelo más exacto del conjunto puede serdefinido mediante técnicas ARX[6].

Ésta es, además, una buena oportunidad para que elalumno comprenda cómo se puede identificar unsistema, sin necesidad de conocer el conjunto deecuaciones algebro diferenciales que modelan sucomportamiento. Es ésta una de las operaciones máscomúnmente utilizadas en la Ingeniería de Control yque, muchas veces, no encuentra hueco en eldesarrollo teórico de las asignaturas de Control.

Para aclarar y facilitar la identificación sobre elsistema Peltier, se ha diseñado una sencilla interfazentre el equipo didáctico y el programa MATLAB.Así, los conceptos de estimación de un modeloparamétrico mediante mínimos cuadrados se tratan através del System Identification Toolbox deMATLAB.

Figura 6: Cuadro de diálogos para la identificaciónSISO de la célula Peltier

Para ello, se define una señal binaria aleatoria yposteriormente esta señal se empleará como entrada ala maqueta Peltier. La tensión de salida de la tarjetade acondicionamiento en respuesta a esta excitaciónse guardará con formato MATLAB. Tras dichoexperimento, el alumno podrá abrir el GUI(Graphical User Interface) del anterior toolbox ydeterminar un modelo paramétrico que sea capaz deexplicar el comportamiento de la célula[4].Los conceptos de modelos ARX, correlacióncruzada, muestras de entrenamiento y de test, seharán familiares para el alumno. El resultado es laobtención de una nueva FDT que esta vez será desegundo orden, evidenciando la mejora del modelocon respecto a la anterior práctica.

3.3 Análisis temporal y Lugar de las Raíces

A partir del modelo conseguido anteriormente,correspondiente a un sistema sobreamortiguado, laimplementación de un amplificador diferencial comoamplificador de error, permitirá observar elcomportamiento del conjunto ante cambios de laganancia del amplificador diferencial. Éste serámontado por el alumno en una protoboard, demanera que, dada la facilidad para cambiar el valorde las resistencias, podrá variar la ganancia estáticade la cadena abierta. El alumno podrá comparar larespuesta de la simulación con los datos obtenidosexperimentalmente, profundizando tanto en lastécnicas del análisis temporal como en el Lugar deRaíces.

3.4 Diseño de reguladores analógicos

Por la misma razón que fue abordada en la anteriorpráctica, resulta sencillo la modificación del lugar deraíces del sistema mediante la realización de nuevoscircuitos. Utilizando la protoboard se pueden montarreguladores analógicos. Habiendo dos intereses, deun lado el refuerzo en las técnicas del lugar de raícesal ubicar nuevos polos y ceros en la cadena abierta y,de otro, que el alumno asocie los circuitos de laElectrónica industrial con las estructuras físicas delos reguladores analógicos PD, PI y PID.

3.5 Sistemas muestreados y reguladoresdiscretos

A esta altura del curso, a los alumnos les resultará yafamiliar la arquitectura de los sistemas muestreados,pues habrán estado empleando en las anterioresprácticas las prestaciones del software desarrollado.La utilización del PC como osciloscopio digital leshabrá permitido comparar la distinta naturaleza de lasseñales analógicas y las secuencias representadas enel programa. Además, las prácticas en cadena abiertacon la célula Peltier les mostraron la posibilidad deactuar sobre el sistema. Por tanto, ya resultará

sencillo entender el sentido de los reguladoresdiscretos. Se empieza con la discretización de losanteriores reguladores analógicos mediante lastransformadas bilineales y seguidamente se empleanlas técnicas de Síntesis directa. El programa tiene laposibilidad de implementar un regulador IIR hasta deorden 6.

Figura 7: Cuadro de diálogos para el control discretosobre la célula Peltier

4 LA TEORÍA MODERNA DECONTROL Y LA MAQUETAPELTIER

El equipo didáctico desarrollado se puede empleartambién en la experimentación en un curso másavanzado de Control con conceptos de la teoríamoderna. Con dicho propósito se habrá de elaborarun modelo de variables de estados. En razón de loanteriormente expuesto, se observa que, en principio,el equipo podrá tener como variables de estados ladiferencia de temperatura entre ambas caras, ∆T, y lapotencia eléctrica suministrada, Pe. Según la ec. 8 yconsiderando que el control es efectuado por unafuente de corriente constante, las expresionesresultantes quedarán como:

IRITTIP

RIITPCCR

TT

e

FeFFTH

2

2

11 2

+∆+∆=

−++∆−=∆

���

�

αα

α(10)

La introducción de la potencia eléctrica comovariable de estado complica el modelo encomparación a lo expresado en la ec. 9. Sin embargo,y tal como se había comentado anteriormente, el usode un modelo de un solo polo implica una varianzano explicada entre la salida y el modelo del 0.1%,mientras con dos polos se reduce al 0.02%. Por todoello, se propone al alumno la sintonización de unmodelo más simplificado, el correspondiente a:

∆

=

+

∆

−

−=

∆

ee

ACOND

CP

P

F

e

P

FFTH

e

P

T

G

G

p

u

u

T

KC

K

P

T

T

CCR

P

T

3

2

2

1

0

0

10

11

�

�

(11)

Donde K1 representará los efectos secundarios delefecto Peltier y el efecto Joule. Experimentalmente seha observado que la evolución temporal de lapotencia eléctrica instantánea sigue, en una primeraaproximación, a un sistema de primer orden, por loque TP será la constante del polo y K2 sucorrespondiente ganancia estática. Tanto K1 como K2

llevan incluida la ganancia del amplificadortransconductivo, G1. G2 es la ganancia de la tarjeta deacondicionamiento, esto es, la relación entre latensión de acondicionamiento, uACOND, y la diferenciade temperaturas entre caras. Para la obtención de lapotencia eléctrica en la célula Peltier, se ha diseñadoun observador que incluye dos amplificadores deinstrumentación, los cuales son capaces demonitorizar la tensión y la corriente por la Peltier. Sufuncionalidad es doble: permite medir fácilmenteambas magnitudes y posibilita la capacidad de sermuestreadas, al haber adecuado sus rangos dinámicosal del convertidor analógico-digital.

4.1 Identificación de los parámetros del modelo

Para poder determinar los parámetros del anteriormodelo se han empleado las técnicas de estimaciónde parámetros cruzados[4]. El paquete softwareelaborado permite registrar implícitamente las dosvariables de estados propuestas, la potencia eléctricadada a la Peltier y la diferencia de temperaturas entrelas caras. En ese sentido, se justifica la construccióndel observador, no sólo para medir la tensión ycorriente de la célula en las anteriores prácticas, sinotambién para poder hacer control moderno. Esta vez,ante una excitación binaria aleatoria, se guardarán lasvariables de estados mensurables, para estimardespués los parámetros de los modelos mediantefunciones específicas escritas en MATLAB.

En primer lugar, se procederá a estimar cuales sonlos valores de CF, RTH, K1, K2 y TP. Empleando losvalores del fabricante y colocando las condiciones decontorno, los resultados son los esperados. Laconstante de tiempo CFRTH está alrededor de los 17 s,el valor de K1 es, aproximadamente, cero, indicandoque las no linealidades son despreciables y TP

coincide con la constante del segundo polo que salíadel modelo de ARX. Además, la FDT del modelo devariable de estado coincide con la dada por el modeloARX.

Figura 8: Comparación entre el modelo y lasmuestras de test

4.2 Control por realimentación de estado

La posibilidad de tener accesible las variables deestados permite presentar el control porrealimentación de variables de estados. A tal efecto,el alumno podrá variar las dos ganancias estáticasasociadas a las variables de estado. Una vezpresentada la formulación de Ackermann, seobservará que la ubicación de los polos resultaráválida en el sentido de que el modelo del sistema sigasiendo válido. En teoría, se pueden colocar los polosen cualquier lugar; en la práctica, esto resulta serfalso, ya que aparecen las no linealidades a poco quese exijan mejoras sustanciales en las prestacionesdinámicas del sistema.

5 CONCLUSIONES Y FUTUROSTRABAJOS

Se ha presentado una maqueta didáctica para elcontrol de temperatura de las células Peltier. Éstasresultan ser ideales para el trabajo de laboratorio,pues tienen un comportamiento relativamentesencillo de modelar e implican la interacción de lossaberes de la Automática, la Electrónica y la

Informática Industrial. Además, es representativa delos procesos típicos industriales y permite reforzar deforma secundaría los conceptos de Termoelectricidady de la Transmisión de Calor.

El artículo presenta un novedoso modelo de variablede estado del comportamiento de temperatura de lacara fría de la célula Peltier, a parte de mostrar losmodelos más utilizados para explicar su dinámica. Apartir de esta concepción, se han diseñado lasestructuras hardware y software necesarias. Elconjunto total es capaz de cubrir, en combinación conla simulación, las prácticas fundamentales de lateoría clásica de Control y de introducción a la teoríamoderna.

De cara al futuro se seguirá trabajando en laelaboración de nuevas prácticas de Control moderno,basadas en el modelado estocástico de la célula;dando paso a la implementación de filtros de Kalmany el uso del control óptimo. Desde el punto de vistaelectrónico, se está trabajando en el diseño de unafuente conmutada a cuatro cuadrantes, capaz deaprovechar también el efecto Seebeck, que permitaemplear la Peltier como generador termoeléctrico.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado por la UniversidadPolitécnica de Madrid dentro de la convocatoria deProyectos de Innovación para la Mejora de laCalidad de la Enseñanza.

Referencias

[1] Chávez, J.A., Ortega, J.A., Turó, Salazar, J.,García, M.J., (1998) “Circuito eléctricoequivalente de una célula termoeléctricaPeltier”, Seminario Anual de Automática,Electrónica Industrial e Instrumentación,Pamplona 15-18, septiembre 1998.

[2] García, E., Valera, A., (1998) “Sistema decontrol de temperatura de una célula Peltier”,Jornadas de Automática, pp. 43-48.

[3] Germán, “Introducción a la termoelectricidad ”,http://inopia.upc.es/AIT/german/libro/, 2000

[4] Ljung, L.,(1998) System Identification Toolbox,The MathWorks, Inc

[5] MELCOR, (2000) “Device PerformanceFormulae”,http://www.melcor.com/formula.htm

[6] Ollero, A.,(1991) Control por computador.Descripción interna y diseño óptimo,Marcombo, pp 227-270, 1991.

[7] Platero, C., Castedo, L., Ferre, M., (2000) “Unenfoque multidisciplinar para los laboratorio deElectrónica y Automática”, VIII Congreso deInnovación Educativa en Enseñanzas Técnicas,San Sebastián, 4-6 septiembre.

[8] Redondo, J.M., (1995), “Termodinámica de losprocesos irreversibles, efectos termoeléctricos”,Rev. Termoelectricidad., pp 16-29, enero 95.

[9] Sears, F., Zemansky, M.W., (1981) FísicaGeneral, Aguilar, pp 573-580.