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CONTROL DE
PROCESOS
QUÍMICOS
23229
Luz Marina BallesterosIngeniera Química
Magister en Ciencias en Química
Doctora en Electroquímica, Ciencia y Tecnología
Facultad de Ingeniería
Físico-Química
Programa de Ingeniería Química
Introducción
Conceptos Básicos,
Transformada de Laplace
SEMANA TEMÁTICA
1 (01-03 Oct) Introducción, Conceptos Básicos, Transformada de Laplace.
2 (06-10 Oct) Modelado, Grados de Libertad, Linealización, Variables de Desviación.
3 (13-17 Oct)Respuesta de Sistemas de Primer Orden, Estabilidad, Diagramas de Bloques
(construcción y álgebra)
4 (20-24 Oct)Diagramas de Bloques (construcción y álgebra), Sistemas de Segundo Orden y
Orden Superior.
5 (27-31 Oct)
Sistemas de Segundo Orden y Orden Superior. Otros Conceptos Propios de
Orden Superior, Sobreamortiguado, Críticamente Amortiguado y
Subamortiguado.
6 (03-07 Nov) Clases Taller
Primer Examen 10% Viernes 07 de Noviembre (2 - 4 pm)
7 (10-14 Nov) Sensores, Elementos Finales de Control
8 (17-21 Nov)Controladores Feedback. Lazo Cerrado: Representación en Diagrama de
Bloques
9 (24-28 Nov) Lazo Cerrado: Criterio de Estabilidad, Prueba de Routh, Sustitución Directa.
10 (01-05 Dic)Sintonización de Sistemas de Control FB: Técnicas de Sintonización de Lazo
Cerrado y Lazo Abierto.
11 (08-12 Dic) Root Locus: Conceptos Básicos, Construcción y Análisis.
12 (15-19 Dic) Clases Taller
Segundo Examen 25% Viernes 19 de Diciembre (9 – 12 m)
Cronograma
RECESO ACADÉMICO
Enero 15 y 16 Regreso a Clase
13 (19-23 Ene) Técnicas en el Dominio de la Frecuencia: Conceptos Básicos, Diagrama de
Bode, Criterio de Estabilidad, Diagrama de Nichols y de Nyquist, Sintonización.
14 (26-30 Ene) Técnicas en el Dominio de la Frecuencia: Conceptos Básicos, Diagrama de
Bode, Criterio de Estabilidad, Diagrama de Nichols y de Nyquist, sintonización.
15 (2-6 Feb) Control en Cascada
16 (9-13 Feb) Clases TALLER
Tercer Examen 25% Martes 17 de Febrero (8-10 am y 10.30-12.30 m)
HORAS DE CONSULTA
CORTE 25% BIBLIOGRAFÍA
Lunes 3-5 p.m.
Jueves 8-10 a.m.
Quices Junior (10%)
(lecturas, tareas, quices
sorpresa)
Quices Senior (15%)
(talleres, trabajos, asistencia)
Control Automático de Procesos. Smith y Corripio.
Process Dynamics and Control. Seborg, Mellichamp, Edgar & Doyle.
Cronograma
Funciones de Ing. Qco.
Diseño Control automático
Como se desea
que funcione Hacer que funcione
automáticamente
Introducción
Operación
Como debe funcionar
Proceso
Desde el punto de vista de la producción, se considera un proceso como
un lugar donde: materias primas + energía = producto deseado.
Desde el punto de vista del control, un proceso se identifica como una o
más variables asociadas cuyos valores son importante conocer y controlar.
Proceso
transferida, medida, mezclada,
calentada, enfriada, filtrada,
almacenada o manipulada
Operación manual de un proceso
Observar Comparar
Decidir Actuar
Conceptos Básicos
Operación de un proceso
PROCESO
Conceptos Básicos
MedirActuar
Respuesta dinámica
Cambios Respuestas
Comparar
Decidir
Sustituye al
operador
humano
Operación Automática
PROCESO
Conceptos Básicos
MedirActuar
Respuesta dinámica
Cambios Respuestas
REG
ULA
DO
R
Sustituye al
operador
humano
El Sistema de controlConceptos Básicos
requiere la ocurrencia de tres operaciones
básicas:
Medición (M): la medición de la variable que se
controla se hace generalmente mediante la
combinación de sensor y transmisor.
Decisión (D): con base en la medición, el controlador
decide que hacer para mantener la variable en el
valor que se desea.
Acción (A): como resultado de la decisión del
controlador se debe efectuar una acción en el
sistema, generalmente ésta es realizada por el
elemento final de control.
Componentes del SistemaConceptos Básicos
Sensor = elemento primario.
Transmisor = elemento secundario.
Controlador = “cerebro!’ del sistema de
control.
Elemento final de control, frecuentemente
se trata de una válvula de control.
Otros elementos finales de control son las
bombas de velocidad variable, los
transportadores y los motores eléctricos.
Componentes del Sistema de
Control
• Trasductor: convierte una señal física en una
eléctrica.
• Convertidor: convierte una señal de un
dominio en otro.
• Transmisor: convierte la lectura de un sensor
en una señal estándar que pueda ser
transmitida.
Conceptos Básicos
Conceptos Básicos
Las variables de entrada y salida del proceso
son de diferentes tipos:
VARIABLES DE PROCESO
Variable controlada:
cantidad o condición que se mide y
controla. (Salida)
P.Ej: Temperatura de salida, Composición
de salida en un sistema de reacción.
Conceptos Básicos
Variable manipulada:cantidad o condición modificada por el
controlador a fin de afectar la variable
controlada. Estas afectan el curso del
proceso y pueden ser medidas y
cambiadas a voluntad.
P. Ej: caudal de vapor en el calentador,
composición de entrada en un sistema de Rx.
Conceptos Básicos
Perturbaciones. Es una señal que tiende a
afectar adversamente el valor de la
salida del sistema. Estas afectan
directamente el curso del proceso pero
no pueden ser cambiadas a voluntad.
P.Ej: Cambio repentino en el caudal de
entrada en un sistema de reacción.
• Perturbaciones Internas: se generan dentro
del sistema.
• Perturbaciones Externas: se generan fuera del
sistema y constituye una entrada.
Causa principal para requerir el
control automático de proceso
Conceptos Básicos
• Parámetros. Son las variables que toman un valor fijo
durante el proceso. P. Ej.: la presión de operación en
un reactor.
• Control = medir el valor de la variable controlada y
aplicar al sistema la variable manipulada para
corregir o limitar la desviación del valor medido,
respecto al valor deseado
• Variables intermedias. Son variables relacionadas
con el curso del proceso solo indirectamente. P. Ej.:
la temperatura del vapor en el tanque de
calentamiento o la temperatura del agua de
enfriamiento en un sistema de reacción.
Conceptos Básicos
• Lazo cerrado: Es aquel sistema de control
que utiliza alguna relación entre la variable de
salida y alguna variable de referencia, como
medio de control.
• Lazo abierto: Es un sistema de control en
donde la salida no tiene efecto sobre la
acción de control. La salida puede ser o no ser
medida, pero esa medición no afecta al
controlador. (Control manual)
Sistema de Control
Sistemas de Control
Objetivo del proceso: Lavar la ropa
Remojo, Lavado y enjuague
Opera en base al tiempo
(Proceso Dinámico)Limpieza de
la ropa Señal de
Salida:
Ropa (Cantidad de Ropa, Grado de
suciedad, Color, Delicadeza, etc)
Programa de Lavado
Agua (Nivel, Dureza, Temperatura,
Flujo, Presión, etc)
Detergente (Cantidad , TIPO, etc)
Seleccionar el Programa
Sistemas de Control
Control de
lavadora
Proceso
de Lavado
Grado de
Limpieza
Selección del
Programa
Sistema lazo Abierto
Ejercicios
Sistema Lazo Abierto
Sistema Lazo Cerradp
Sistemas de Control
Objetivo del proceso: Calentar un recinto
Remojo, Lavado y enjuague
Opera en base al tiempo
(Proceso Dinámico)Limpieza de
la ropa Señal de
Salida:
Ropa (Cantidad de Ropa, Grado de
suciedad, Color, Delicadeza,
Temperatura habitación
TH< TR Calefactor produce calor
Termostato: Regula automáticamente la
Temperatura de Referencia
TH= TR Calefactor se apaga automáticamente
Sistemas de Control Ropa (Cantidad de Ropa, Grado de
suciedad, Color, Delicadeza,
OBJETIVO del Control
El objetivo del sistema de control automático
de proceso es utilizar la variable manipulada
para mantener a la variable controlada en el
punto de control a pesar de las
perturbaciones.
Conceptos Básicos
Señales (transmitir información)
Neumáticas (3 – 15 psi)
Cambios en la presión de aire de una
cañería, proporcionales a las variaciones de
magnitud medida, y se siguen utilizando en
aplicaciones particulares
Analógicas (4 – 20 mA), (1 – 5 V)
transmisión mas común desde los años 1960.
A partir de los 90 se comenzaron a reemplazar
por señales digitales.
Conceptos Básicos
¿Por qué es Necesario
Controlar un Proceso ?
Seguridad
Mantener o Mejorar la Calidad del Producto
Mantener o Incrementar la Productividad• Minimizando Costo de Mano de Obra y de Materiales
• Reducción de Tiempo de Manufactura
• Reducción de Inventario en Proceso
• Certificación (Mercados Internacionales)
• Protección del Medio Ambiente (Desarrollo Sustentable)
Conceptos Básicos
Para poder diseñar un sistema de controlautomático, se requiere
Conocer el proceso que se desea controlar,es decir, conocer la ecuación diferencial quedescribe su comportamiento, utilizando lasleyes físicas, químicas y/o eléctricas.
A esta ecuación diferencial se le llamamodelo del proceso.
Una vez que se tiene el modelo, se puedediseñar el controlador.
Transformada de Laplace
Herramienta matemática muy útil para el
análisis de sistemas dinámicos lineales.
Permite resolver ecuaciones diferenciales
lineales mediante la transformación en
ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita
su estudio.
Una vez que se ha estudiado el
comportamiento de los sistemas dinámicos,
se puede proceder a diseñar y analizar los
sistemas de control de manera simple.
Transformada de Laplace
DefiniciónTransformada de Laplace
no contiene
información acerca
del comportamiento
de f(t) para t < 0.
Ejemplo: Encontrar la transformada
de Laplace de la función: f(t) = 1
Según la definición:
F s = 0
∞
e−st 1 dt
Integramos:
F s = −e−st
𝑠
𝑡=0
𝑡=∞
=1
𝑠 Ejercicio: Encontrar la transformada de
Laplace de la función:
1. f(t) = e−at
2. f(t) = 1 - cos (3 t)
PropiedadesTransformada de Laplace
Linealidad
Transformación de
funciones trasladadas
Transformación de la
diferenciación real
Transformación de la integral temporal
Teorema del valor inicial
Teorema del valor final
f t − L = 0 ⇒ t − L < 0;
Función Escalón
de altura M
Transformada de Laplace
Función Pulso
TablaTransformada de Laplace
Resolver:Transformada de Laplace
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡+ 3𝑥 𝑡 = 0 ; 𝑥 0 = 2
1. Linealizar
2. Transformada F(s)
3. Resolver algebraicamente la
transformada
4. Transformada inversa f(t)
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2 + 3𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑡 + 2𝑥 𝑡 = 0 ; 𝑥 0 = 𝑎 &
𝑑𝑥
𝑑𝑡0 = 𝑏Hallar x(t):
Cómo o abordar la dinámica de un sistema
Modelado
¿Qué se desea conocer?
q2(t)h(t)
A
q1(t)
R
1. Se realiza el diagrama de flujo del sistema: En
ese diagrama se marcan todas las variables
implicadas. En este caso se trata de un
depósito que se descarga por gravedad. Las
variables implicadas son:
• Sección del depósito: A(t)
• Resistencia de la tubería al paso
del fluido: R
• Caudales volumétricos de
entrada y salida: q1(t) y q2(t)
• Nivel del depósito: h(t)
• Densidad del fluido: (t)
Cómo o abordar la dinámica de un sistema
Modelado
¿Qué se desea conocer?
2. Planteamiento del modelo matemático: Un
modelo matemático es un conjunto de
ecuaciones que relacionan entre sí las variables
del sistema. Se basan en ecuaciones de estado,
leyes de equilibrio, ecuaciones cinéticas y
balances de materia, energía y cantidad de
movimiento.
q2(t)h(t)
A
q1(t)
R
• Balance Macroscópico de Materia:
𝑑𝐴 𝑡 ℎ(𝑡)𝜌(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜌 𝑡 𝑞1 𝑡 − 𝜌(𝑡)𝑞2(𝑡)
En el momento de plantear el modelo
matemático hay que explicitar todas las
hipótesis o simplificaciones realizadas
Cómo o abordar la dinámica de un sistema
Modelado
¿Qué se desea conocer?
• La densidad () y el área del depósito (A) son constantes e independientes del
tiempo.
• El caudal de salida del depósito depende del nivel y de la resistencia de la
tubería al paso del fluido de este modo: q2(t)= h(t)/R
q2(t)h(t)
A
q1(t)
R
Balance Macroscópico de Materia:
𝐴𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑞1 𝑡 −
ℎ(𝑡)
𝑅
3. Definición de las variables dedesviación: realmente importante en
control es conocer cuánto se ha
desplazado el sistema respecto al
estado estacionario.
• Para el ejemplo, el balance
macroscópico de materia en
estado estacionario es:
Cómo o abordar la dinámica de un sistema
Modelado
¿Qué se desea conocer?
q2(t)h(t)
A
q1(t)
R
0 = 𝑞𝑒1 −ℎ𝑒
𝑅
3. Definición de las variables de desviación:
• Balance macroscópico de materia en estado estacionario:
𝐴𝑑(ℎ 𝑡 − ℎ𝑒)
𝑑𝑡= 𝑞1 𝑡 − 𝑞𝑒1 −
ℎ 𝑡 − ℎ𝑒
𝑅
𝐻 ≡ ℎ 𝑡 − ℎ𝑒 𝑄1 = 𝑞1 𝑡 − 𝑞𝑒1
𝑨𝒅𝑯(𝒕)
𝒅𝒕= 𝑸𝟏(𝒕) −
𝑯(𝒕)
𝑹
Modelo Matemático
Función de Transferencia
Modelado
Transformaciones de Laplace en control de procesos = representación de
la dinámica del proceso en términos de “Funciones de Transferencia”.
FT = son relaciones salida-entrada y se obtienen mediante la transformada
de Laplace de ecuaciones algebraicas y diferenciales. G(s)
𝐺 𝑠 =ℒ(𝑦 𝑡 )
ℒ(𝑓 𝑡 )=
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
PROCESO
Entrada Salida
x(t) y(t)G(s)
ℒ𝑨𝒅𝑯(𝒕)
𝒅𝒕= ℒ 𝑸𝟏(𝒕) −
𝑯(𝒕)
𝑹
Función de Transferencia
Modelado
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)=
𝑅
(𝑅𝐴𝑠 + 1)
FT típica de primer orden
Función de Transferencia
Modelado
Para procesos más complicados y diagramas de bloques más complejos,
se recurre al algebra de funciones de transferencia.
Diagrama de Bloques en Paralelo
Función de Transferencia
Modelado
Para procesos más complicados y diagramas de bloques más complejos,
se recurre al algebra de funciones de transferencia.
Diagrama de Bloques en Serie
EjercicioModelado
Hallar: a) la FT
b) Respuesta en tiempo real si la entrada fuera un impulso unidad
𝑦 𝑡 = 1 −7
3𝑒−𝑡 +
3
2𝑒−2𝑡 −
1
6𝑒−4𝑡
La respuesta a un escalón unidad de un sistema viene dada por:
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)= ?
PROCESO
Entrada Salida
X(s) Y(s)G(s)
EjercicioModelado
Determinar las funciones de transferencia para:
𝐺 𝑠 =𝐻(𝑠)
𝐹(𝑠)= ?
EjercicioTanque Sin Interacción
Determinar las funciones de transferencia para: 𝐺 𝑠 =𝐻(𝑠)
𝐹(𝑠)= ?
𝐹 =ℎ
𝑅
Solución
Un sistema de tanques sin interacción
ya que el nivel del segundo
tanque no influye en el nivel del primer
tanque o en el caudal F1.
Tanques sin interacción
El objetivo es encontrar la siguiente
función de transferencia
(las primas indican que se tratan de variables de desviación)
EjercicioTanque Sin Interacción
Si el sistema no presenta interacciones el bloque anterior es equivalente a
un sistema en el que hay dos procesos en serie :
(las primas indican que se tratan de variables de desviación)
Cada uno de los bloques representa a un depósito. Y por lo tanto, las
funciones de transferencia de estos bloques serán:
EjercicioTanque Sin Interacción
(las primas indican que se tratan de variables de desviación)
Al tratarse de dos procesos en serie:
Para calcular G1 hay que obtener el modelo matemático que represente
la variación con el tiempo del nivel de un depósito en función del caudal
de entrada. Se trata del mismo modelo que el del ejemplo del capítulo 2,
por tanto:
Donde
EjercicioTanque Sin Interacción
(las primas indican que se tratan de variables de desviación)
Al tratarse de dos procesos en serie:
Para calcular G1 hay que obtener el modelo matemático que represente
la variación con el tiempo del nivel de un depósito en función del caudal
de entrada. Se trata del mismo modelo que el del ejemplo del capítulo 2,
por tanto:
Donde
Balance Macroscópico de Materia:
𝑑𝐴1 𝑡 ℎ1(𝑡)𝜌(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜌 𝑡 𝐹𝑖 𝑡 − 𝜌(𝑡)𝐹1(𝑡)
EjercicioTanque Sin Interacción
Al tratarse de dos procesos en serie:
Balance Macroscópico de Materia:
Suponiendo:• () y (A) = constantes e independientes del tiempo.
• F1(t) = h1(t)/𝑅1
𝑑𝐴1 𝑡 ℎ1(𝑡)𝜌(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜌 𝑡 𝐹𝑖 𝑡 − 𝜌(𝑡)𝐹1(𝑡)
𝐴1𝑑ℎ1(𝑡)
𝑑𝑡= 𝐹𝑖 𝑡 −
ℎ1 (𝑡)
𝑅1
Definición de variables de desviación• Estado Estacionario
0 = 𝐹𝑖𝑒 −ℎ1𝑒
𝑅1• Restando ambos balances tenemos:
𝐴1𝑑(ℎ1 𝑡 − ℎ1𝑒)
𝑑𝑡= 𝐹𝑖 𝑡 − 𝐹𝑖𝑒 −
ℎ1 𝑡 − ℎ1𝑒
𝑅1
EjercicioTanque Sin Interacción
Al tratarse de dos procesos en serie:
Definición de variables de desviaciónℎ1
′ 𝑡 ≡ ℎ1 𝑡 − ℎ1𝑒
𝐹𝑖′ 𝑡 ≡ 𝐹𝑖 𝑡 − 𝐹𝑖𝑒
• Sustituyendo
𝐴1𝑑ℎ1′ 𝑡
𝑑𝑡= 𝐹𝑖
′ 𝑡 −ℎ1
′ 𝑡
𝑅1• Aplicando Laplace
ℒ𝐴1𝑑ℎ1
′ 𝑡
𝑑𝑡= ℒ 𝐹𝑖
′ 𝑡 −ℎ1
′ 𝑡
𝑅1𝐴1𝑠ℎ1
′ 𝑠 ≡ 𝐹𝑖′ 𝑠 −
ℎ1′ 𝑠
𝑅1
ℎ1′ 𝑠 𝐴1𝑠 +
1
𝑅1≡ 𝐹𝑖
′ 𝑠ℎ1′ 𝑠
𝐴1𝑠𝑅1 + 1
𝑅1≡ 𝐹𝑖
′ 𝑠
EjercicioTanque Sin Interacción
Al tratarse de dos procesos en serie:
ℎ1′ 𝑠
𝐴1𝑠𝑅1 + 1
𝑅1= 𝐹𝑖
′ 𝑠𝐺1 𝑠 =ℎ1
′ 𝑠
𝐹𝑖′ 𝑠
=𝑅1
𝐴1𝑠𝑅1 + 1𝐺1 𝑠 =
𝐾1
𝑠𝜏1 + 1
De igual manera para el segundo de los depósitos:
Balance Macroscópico de Materia:
𝑑𝐴2 𝑡 ℎ2(𝑡)𝜌(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜌 𝑡 𝐹1 𝑡 − 𝜌(𝑡)𝐹2(𝑡)
Balance Macroscópico de Materia:
Suponiendo: • () y (A2) = constantes e independientes del tiempo.
• F2(t) = h2(t)/R2
𝑑𝐴2 𝑡 ℎ2(𝑡)𝜌(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜌 𝑡 𝐹1 𝑡 − 𝜌(𝑡)𝐹2(𝑡)
𝐴2𝑑ℎ2(𝑡)
𝑑𝑡=
ℎ1 (𝑡)
𝑅1−
ℎ2 (𝑡)
𝑅2
EjercicioTanque Sin Interacción
Al tratarse de dos procesos en serie:
Definición de variables de desviación• Estado Estacionario
0 =ℎ1𝑒
𝑅1−
ℎ2𝑒
𝑅2• Restando ambos balances tenemos:
𝐴2𝑑(ℎ2 𝑡 − ℎ2𝑒)
𝑑𝑡=
ℎ1 (𝑡)
𝑅1−
ℎ1𝑒
𝑅1−
ℎ2 𝑡 − ℎ2𝑒
𝑅2
ℎ2′ 𝑡 ≡ ℎ2 𝑡 − ℎ2𝑒
𝐹1′ 𝑡 ≡
ℎ1 𝑡 −ℎ1𝑒
𝑅1=
ℎ1′ 𝑡
𝑅1
• Sustituyendo
𝐴2𝑑ℎ2′ 𝑡
𝑑𝑡= 𝐹1
′ 𝑡 −ℎ2
′ 𝑡
𝑅2
• Aplicando Laplace
ℒ𝐴2𝑑ℎ2
′ 𝑡
𝑑𝑡= ℒ 𝐹1
′ 𝑡 −ℎ2
′ 𝑡
𝑅2𝐴2𝑠ℎ2
′ 𝑠 ≡ 𝐹1′ 𝑠 −
ℎ2′ 𝑠
𝑅2
EjercicioTanque Sin Interacción
Al tratarse de dos procesos en serie:
ℎ2′ 𝑠
𝐴2𝑠𝑅2 + 1
𝑅2≡ 𝐹1
′ 𝑠 ℎ2′ 𝑠 𝐴2𝑠 +
1
𝑅2≡ 𝐹1
′ 𝑠
ℎ2′ 𝑠
𝐴2𝑠𝑅2 + 1
𝑅2= 𝐹1
′ 𝑠 𝐺2 𝑠 =ℎ2
′ 𝑠
𝐹1′ 𝑠
=𝑅2
𝐴2𝑠𝑅2 + 1
𝐺2 𝑠 =𝐾2
𝑠𝜏2 + 1
Sustituyendo F1’ y operando se encuentra la función de transferencia
buscada:
𝑮 𝒔 =𝑲𝟐
(𝒔𝝉𝟏 + 𝟏)(𝒔𝝉𝟐 + 𝟏)𝐺2 𝑠 =𝐾2
𝐾1(𝑠𝜏2 + 1)
EjercicioDeterminar las funciones de transferencia para:
Sistema de tanques con interacción
ya que el caudal de salida del
primer tanque dependerá tanto del
nivel del tanque 1 como del nivel
del tanque 2.
𝐹 =ℎ
𝑅
Tanque con Interacción
Para obtener el modelo matemático se realizarán los Balances
Macroscópicos de Materia a los tanques (se ha supuesto que la densidad
es constante y que no depende del tiempo):
Tanque 1𝐴1𝑑ℎ1
𝑑𝑡= 𝐹𝑖 𝑡 − 𝐹1(𝑡)
Tanque 2𝐴2𝑑ℎ2
𝑑𝑡= 𝐹1 𝑡 − 𝐹2(𝑡)
EjercicioTanque con Interacción
Los caudales de salida de los tanques dependen de las resistencias lineales:
𝐹1(𝑡)=ℎ1 𝑡 − ℎ2(𝑡)
𝑅1
𝐹2(𝑡)=ℎ2(𝑡)
𝑅2
El caudal de salida del primer tanque depende, lógicamente, de la
diferencia de alturas entre los dos tanques ya que la presión ejercida por
la columna de fluido depende de esa diferencia de nivel.
En el caso : h2 > h1 el fluido circularía en sentido contrario. Esta ecuación marca la interacción entre los tanques e impide que las
ecuaciones de los balances de materia se puedan resolver de manera
independiente. Las dos ecuaciones diferenciales se deben resolver de
manera simultanea.
Sustituyendo los caudales en los balances de materia se encuentra:
Tanque 1
𝐴1𝑑ℎ1
𝑑𝑡= 𝐹𝑖 𝑡 −
ℎ1 𝑡 − ℎ2(𝑡)
𝑅1
𝑅1𝐴1𝑑ℎ1
𝑑𝑡= 𝐹𝑖 𝑡 𝑅1 − ℎ1 𝑡 + ℎ2(𝑡)
EjercicioTanque con Interacción
Sustituyendo los caudales en los balances de materia se encuentra:
Tanque 2
𝐴2𝑑ℎ2
𝑑𝑡= 𝐹1 𝑡 −
ℎ2(𝑡)
𝑅2
𝑅2𝐴2𝑑ℎ2
𝑑𝑡= 𝐹1 𝑡 𝑅2 − ℎ2(𝑡)
𝑅2𝐴2𝑑ℎ2
𝑑𝑡=
ℎ1 𝑡 −ℎ2(𝑡)
𝑅1𝑅2 − ℎ2(𝑡)= ℎ1 𝑡
𝑅2
𝑅1− ℎ2(𝑡)
𝑅2
𝑅1− ℎ2(𝑡)
𝑅2𝐴2𝑑ℎ2
𝑑𝑡+ 1 +
𝑅2
𝑅1ℎ2 𝑡 −
𝑅2
𝑅1ℎ1 𝑡 =0
se deben resolver simultáneamente. Esta es la diferencia fundamental
con los sistemas sin interacción
𝑅1𝐴1𝑑ℎ1
𝑑𝑡+ ℎ1 𝑡 − ℎ2(𝑡) = 𝐹𝑖 𝑡 𝑅1
EjercicioTanque con Interacción
Balance de Materia en Estado estacionario
𝑅2𝐴2
𝑑ℎ2′
𝑑𝑡+ 1 +
𝑅2
𝑅1ℎ2
′ −𝑅2
𝑅1ℎ1
′ = 0
ℎ1𝑒 − ℎ2𝑒 = 𝐹𝑖𝑒𝑅1
1 +𝑅2
𝑅1ℎ2𝑒 −
𝑅2
𝑅1ℎ1𝑒 =0
Restando los balances de materia y los balances en estado estacionario:
𝑅1𝐴1
𝑑ℎ1′
𝑑𝑡+ ℎ1
′ 𝑡 − ℎ2′(𝑡) = 𝐹𝑖 𝑡 𝑅1
tomando como variables de desviación:
ℎ1′ 𝑡 ≡ ℎ1 𝑡 − ℎ1𝑒
𝐹𝑖′ 𝑡 ≡ 𝐹𝑖 𝑡 − 𝐹𝑖𝑒
ℎ2′ 𝑡 ≡ ℎ2 𝑡 − ℎ2𝑒
EjercicioTanque con Interacción
Haciendo la transformada de Laplace:
𝑅2𝐴2𝑠 + 1 +𝑅2
𝑅1ℎ2
′(𝑠) −𝑅2
𝑅1ℎ1
′ 𝑠 = 0
(𝑅1𝐴1𝑠 + 1)ℎ1′ 𝑠 − ℎ2
′(𝑠) = 𝐹𝑖′ 𝑠 𝑅1
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
ℎ1′ 𝑠 =
𝜏2𝑅1𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2
𝜏2𝜏1𝑠2 + 𝜏2 +𝜏1 +𝑅2𝐴1 𝑠 + 1𝐹𝑖
′ 𝑠
ℎ2′ 𝑠 =
𝑅2
𝜏2𝜏1𝑠2 + 𝜏2 +𝜏1 +𝑅2𝐴1 𝑠 + 1𝐹𝑖
′ 𝑠
𝜏2 =𝑅2𝐴2 𝜏1 =𝑅1𝐴1
Estrategias de Sistemas de Control
Conceptos Básicos
Estrategias de Sistemas de Control
Conceptos Básicos
Control FEEDFORWARD
con FEEDBACK
Control por Retroalimentación o
FEEDBACK• Operación ensayo
y error
• Compensa todas
las perturbaciones
Control por Retroalimentación o
FEEDFORWARD• Medir perturbaciones y
compensarlas antes de
que la VC se desvié del
SP
• Si aparece otra
perturbación no se
puede compensar
LinealizaciónLinealización
La mayor dificultad en el análisis de la respuesta dinámica de muchos procesos es
que no son lineales no pueden ser representadas por ecuaciones diferenciales
lineales.
• Es realmente una aproximación de la respuesta de sistemas no lineales con
ecuaciones lineales que se pueden resolver por Laplace.
Entalpía
Presión de vapor de una sustancia pura
Equilibrio V-L por volatilidad
relativa
Ec.Arrhenius para la dependencia
de la velocidad a una temperatura
Linealización:Linealización
Considérese la ecuación diferencial de primer orden:
ktxfdt
tdx
• Expandiendo la función no-lineal en series de Taylor alrededor
del punto , se obtiene:x
txf
...
!3
1
!2
1
3
3
3
2
2
2
xtxdx
xfd
xtxdx
xfdxtx
dx
xdfxftxf
La aproximación lineal, consiste en eliminar todas las derivadas de orden
dos y mayores, entonces el valor aproximado de la función será:
xtx
dx
xdfxftxf
Funciones de una Variable
Esta expansión se evalúa en el valor base x
El error introducido en la aproximación es del mismo orden de la magnitud
del termino:
Linealización
Por lo tanto la aproximación lineal, dada en la ecuación, es satisfactoria
cuando x es muy cercano a , pues en ese caso el valor del termino
es muy pequeño.
x ""I
Geométricamente, la aproximación es una línea recta que pasa por el
punto de operación, generalmente corresponde al valor de estado
estacionario, entonces: 00,0 Xxx
...3,2,10
0 npara
dt
Xdn
n
La aproximación linealizada, correspondiente
a la ecuación original, resulta ser:
ktX
dx
xdfxf
dt
tdx
Linealización de Funciones de Dos o más Variables
Se expande la ecuación no lineal en series de Taylor alrededor del punto
base
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
Sistemas Primer Orden
Aquel cuya salida y(t) es modelada mediante una ecuación
diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o
linealizado, se tiene:
ctbxyadt
dya 1
tXa
bY
dt
dY
a
a
1
Ganancia en estado
estacionario (K) [Y/X]
Variable de Entrada
Variable Independiente
1. Ecuación en estado
estacionario
2. Restando las ecuaciones
(Variables desviación)
Variable de Salida (Dependiente)
Constante de
Tiempo () [t]
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
Sistemas Primer Orden
Función
Transferencia
3. Aplicando Laplace
sXs
KsY
1)(
Función unidad
1r
Respuesta de un sistemas de 1er orden ante una entrada impulso X(s) =1
)()(0
0 sXas
bsY
0
1
0
1)(
asbty L
t
taebebty
00
0)(
La salida en Laplace es
Utilizando transformada inversa de Laplace
Se obtiene la salida en función del tiempo
se evalúa la ecuación anterior en tiempos
múltiplos de
0
0
a
bK
0
1
a
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
Sistemas Primer Orden
Respuesta de un sistemas de 1er orden ante una entrada escalón de magnitud A X(s) =A/S
)()(0
0 sXas
bsY
)(
1)(
0
1
0ass
Abty L
t
taeAKeAKty 1)1()( 0
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
Se obtiene la salida en función del tiempo
Ahora se evalúa la ecuación anterior en
tiempos múltiplos de
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
Sistemas Primer Orden
Respuesta de un sistemas de 1er orden ante una entrada rampa de magnitud A X(s) =A/s2
Utilizando transformada inversa
de Laplace
La salida en Laplace es )()(0
0 sXas
bsY
)(
1)(
0
2
1
0ass
Abty L
t
taeAKtAKeAKtAKtY
)()()( 0
Se obtiene la salida en función del tiempo
Attr )(
Nota: Es importante aclarar que la
entrada es de pendiente A, mientras
que la salida presenta pendiente AK
desfasada seg.
Respuesta de Salida
Sistemas Primer Orden
• Todas las raíces reales
Es estable y monotónica
si: Todas las raíces son
negativas
Es inestable y
monotónica si:
Todas las raíces
son positivas
• Par de raíces complejas conjugadas
Es estable y oscilatoria si: raíces complejas con parte real negativa
Es inestable y oscilatoria si: raíces complejas con parte real positiva
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
Sistemas Primer Orden
2.1 Sistema con capacidad de almacenar masa :
Se supondrá que :
• Flujos entrada y salida, la densidad de los
líquidos y la capacidad calorífica de los
líquidos son constantes y que se conocen
todas estas propiedades. E
• l liquido en el tanque se mezcla bien y el
tanque esta bien aislado, es decir el
proceso es adiabático.
Aplicando la ecuación de balance de
energía en estado dinámico del tanque, se
tiene:
2.2 Proceso térmico:
Considérese el tanque con agitación continua, se desea conocer en que
forma responde la temperatura de salida, T(t), a los cambios en la
temperatura de entrada, Ti(t).
= [Kg/m3]Cp y Cv = [J/KgºC]T(t) = ºCV= [m3]
dt
tTCVdtTCftTCf v
pipit
dt
tTdCVtTCftTCf
vpipit
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
Sistemas Primer Orden
0 TCfTCfpipt
)()( tt
dt
td
Cf
CVi
p
v
][
º
º][
3
3
3
3
s
CkgJ
mkg
sm
CkgJ
mkg
m
1
1
)(
)(
ss
s
i
Si se supone que Ti(t) al tanque se incrementa en A ºC sufre un cambio
en escalón con A grados de magnitud, esto se expresa
matemáticamente como sigue:,
tt
eATtTeAt 1)(1)(
Diagrama de Bloques
Diagrama de Bloques
Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de
componentes. Para mostrar las funciones que realiza cada
componente se acostumbra usar representaciones esquemáticas.
• Representación gráfica de las FT• introdujo por cuando se aplicó el concepto de control por
retroalimentación a una máquina de vapor,
Elementos Básicos:
Puntos de
derivación
Puntos de
sumatoria BloqueFlechas
Gc(s)
Bloque • Representa la operación matemática en forma de FT.
• Sirve para representar un sistema al que llega
información (V.E.) y en el que se produce información
(V.S.).
• Se identifica con una letra Mayúscula que da el valor
del bloque.
• Representan la suma algebraica de las flechas que
entran
• Elemento que sirve para combinar dos señales de
entrada generando una salida que es su suma (o
resta)
Puntos de
sumatoria
• Representa el flujo de información: V.E o V.S.
• La dirección del flujo de información (sentido ).
• representan la suma algebraica de las flechas que
entran
• Se identifica con letra minúscula.
Flechas
Diagrama de BloquesElementos
Puntos de
derivación • Posición sobre una flecha, en la cual la información
sale y va de manera concurrente a otros puntos de
sumatoria o bloques.
Diagrama de Bloques
Gc(s)
Puntos de
derivación
Puntos de
sumatoria BloqueFlechas
M(s) = Gc(s)E(s) = Gc(s)[R(s) - C(s)]
R(s) + E(s) M(s)
-
M(s)
C(s)
• Cualquier diagrama de bloques se puede tratar o manejar de manera
algebraica.
• Las reglas del algebra de D.B. son importantes siempre que se requiere
simplificar los diagramas de bloques.
Diagrama de Bloques
)(1
1)( s
ss
i
i(s) (s)
)(1
)(1
)( 21 ss
Ks
s
Ks
si
+
+
i(s)
(s)
s(s)
1
1
s
K
1
2
s
K
+
+
i(s)
(s)
s(s)
1K
2K
Representar en diagrama de Bloque las FTs:
Diagrama de Bloques
Simplificación y Equivalencia Algebra de Diagramas de Bloques
Regla 2.Propiedades Asociativas y Comutativas
Regla 1.
Regla 3. Propiedades Distributiva Regla 4.Bloques en Paralelo
Diagrama de BloquesSimplificación y Equivalencia
Regla 5. Lazo Feedback Positivo
𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂
𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂=
𝑭𝑻𝒇𝒆𝒆𝒅𝒇𝒐𝒓𝒘𝒂𝒓𝒅
𝟏 ∓ 𝒇𝒆𝒆𝒅𝒇𝒐𝒓𝒘𝒂𝒓𝒅 · 𝒇𝒆𝒆𝒅𝒃𝒂𝒄𝒌
Regla 6. Lazo Feedback Negativo
Equivalente 1.
Diagrama de BloquesSimplificación y Equivalencia
Equivalente 2
Diagrama de BloquesSimplificación y Equivalencia
• Combinando los bloques en serie:
• Eliminando el paso de feedback:
Solución:
• Eliminar el feedback
Diagrama de Bloque
Diagrama de Bloque
Diagrama de Bloque
Diagrama de Bloque
Diagrama de Bloque
Diagrama de Bloques
Ejercicios: Reduzca los Diagramas de Bloque y obtenga la FT
1. Lazo Feedforward
2. Negativo Feedback y Bloques en Paralelo
3. Negativo Feedback con un lazo interno
Diagrama de Bloques
Ejercicios: Reduzca los Diagramas de Bloque y obtenga la FT
Sistemas Primer Orden
Reactores Químicos:
Como la estequiometría de las reacciones son dadas en moles se hacen balances molares.
Tasa del
componente
i entrando al
reactor
Tasa de
acumulamiento
del componente
i en el reactor
Tasa del
componente
i saliendo del
reactor
- =
Tasa del
componente
i entrando al
reactor
Tasa de
acumulamiento
del componente
i en el reactor
Tasa del
componente
i saliendo del
reactor
- ≠
Las moles no se conservan necesariamente en las reacciones químicas
Sistemas Primer Orden
Reactores Químicos:
Para tener una igualdad en el balance molar, se debe tener en cuenta la
producción o agotamiento del componente.
Tasa del
componente i
entrando al
reactor
Tasa de
acumulamiento
del componente i
en el reactor
Tasa del
componente i
saliendo del
reactor
- =Tasa de
producción del
componente i+
𝒊 = 𝒗𝒊𝒓𝒌𝑽Coeficiente
estequiométrico
Entalpía de Rx. a 25ºC
Ganancia del
Proceso
Tasa de
Energía
entrando
al reactor
Tasa de
acumulamiento
de Energía en el
reactor
Tasa de
Energía
saliendo
del reactor
- =
Tasa de
Energía
asociada
con la Rx.
+
𝒋 = 𝑽𝒓𝒌∆𝑯𝒓
Sistemas Primer Orden
Ejemplo: Reactor Isotérmico perfectamente mezclado
Temperatura y Volumen constante
Propiedades físicas constantes y el reactor perfectamente mezclado
Sistema de Control de Volumen
𝒓𝑨(𝒕) = 𝒌𝒄𝑨𝟐(𝒕) 𝒌 =
𝒎𝟑
𝑲𝒎𝒐𝒍·𝒔=Constante de Rx
𝒄𝑨 (𝒕) =𝒌𝒎𝒐𝒍 𝒅𝒆 𝑨
𝒎𝟑 = Concentración de A
𝒓𝑨(𝒕) =𝒌𝒎𝒐𝒍 𝒅𝒆 𝑨
𝒎𝟑𝒔=Tasa de Rxde A
• Desarrollar el modelo matemático
• Encontrar la función de transferencia
• Dibujar el diagrama de Bloques relacionando cA(t) y cAd(t) con la
variables de entrada [f(t) y cAi(t)]
CAi(t)
[Kmoles/m3]
f(t)
[m3/s]
CA(t)
[Kmoles/m3]
CAd(t)
[Kmoles/m3]
A B
1
Sistemas Primer OrdenEjemplo: Reactor Isotérmico
perfectamente mezclado 1. Desarrollar el modelo matemático
• Balance Molar del componente A
𝒇 𝒕 𝒄𝑨𝒊 𝒕 − 𝒇 𝒕 𝒄𝑨 𝒕 + −𝟏 𝑽𝒓𝑨 𝒕 = 𝑽𝒅𝒄𝑨 𝒕
𝒅𝒕
Ecuación =
Incógnitas =
1
2
𝒓𝑨(𝒕) = 𝒌𝒄𝑨𝟐(𝒕)
Ecuación =
Incógnitas =
2
2
• Linealización
Eq. Constituyen el modelo matemático para nuestro proceso
𝑽𝒅𝒄𝑨 𝒕
𝒅𝒕= 𝒈[𝒇 𝒕 , 𝒄𝑨𝒊 𝒕 , 𝒄𝑨, 𝒓𝑨 𝒕 ]
𝑽𝒅𝒄𝑨 𝒕
𝒅𝒕≈ 𝒂𝟏𝑭 𝒕 + 𝒂𝟐𝑪𝑨𝒊 𝒕 + 𝒂𝟑𝑪𝑨 𝒕 + 𝒂𝟒𝑪𝑨 𝒕
𝒅 𝒈
𝒅𝒇= 𝒄𝑨𝒊 − 𝒄𝑨
Sistemas Primer OrdenEjemplo: Reactor Isotérmico
perfectamente mezclado 1. Desarrollar el modelo matemático
𝑽
𝒇 + 𝟐𝒌𝒄𝑨𝑽
𝒅𝒄𝑨 𝒕
𝒅𝒕+ 𝑪𝑨 𝒕 =
𝒄𝑨𝒊 − 𝒄𝑨
𝒇 + 𝟐𝒌𝒄𝑨𝑽𝑭 𝒕 +
𝒇
𝒇 + 𝟐𝒌𝒄𝑨𝑽𝑪𝑨𝒊 𝒕
• Reemplazando y Dividiendo todo por el coeficiente de la variable
controlada CA(t):
Constante de
Tiempo () (K1) (K2)
• Aplicando Laplace:
𝑲𝟏
(𝝉𝒔 + 𝟏)𝑭 𝒔 +
𝑲𝟐
(𝝉𝒔 + 𝟏)𝑪𝑨𝒊 𝒔 = 𝑪𝑨 𝒔
𝒓𝑨 𝒕 ≈ 𝒓𝑨(𝒄𝑨) + 𝒅𝒓𝑨
𝒅𝒄𝑨 𝒄𝑨
(𝒄𝑨 𝒕 − 𝒄𝑨) ≈ 𝒓𝑨 + 𝟐𝒌𝒄𝑨(𝒄𝑨 𝒕 − 𝒄𝑨)
Sistemas Primer OrdenEjemplo: Reactor Isotérmico
perfectamente mezclado2. Encontrar la función de transferencia
𝑪𝑨 𝒔
𝑭 𝒔=
𝑲𝟏
(𝝉𝒔 + 𝟏)
𝑪𝑨 𝒔
𝑪𝑨𝒊 𝒔=
𝑲𝟐
(𝝉𝒔 + 𝟏)
Para obtener la relación CAd(t), asumimos flujo ideal por la tubería y sin Rx
por la tubería:
𝒄𝑨𝒅 𝒕 = 𝒄𝑨𝒅 𝒕 − 𝒕𝒐
𝒕𝒐 =𝑳𝑨𝒕
𝒇
• Aplicando Laplace:
𝒄𝑨𝒅 𝒔 = 𝒆−𝒕𝒐𝒔
𝒄𝑨 𝒔 𝒄𝑨 𝒔 =𝒄𝑨𝒅 𝒔
𝒆−𝒕𝒐𝒔
• Reemplazando:
𝑪𝑨𝒅 𝒔
𝑭 𝒔=
𝑲𝟏𝒆−𝒕𝒐𝒔
(𝝉𝒔 + 𝟏)
𝑪𝑨𝒅 𝒔
𝑪𝑨𝒊 𝒔=
𝑲𝟐𝒆−𝒕𝒐𝒔
(𝝉𝒔 + 𝟏)
Sistemas Primer OrdenEjemplo: Reactor Isotérmico
perfectamente mezclado• Dibujar el diagrama de Bloques
relacionando cA(t) y cAd(t) con la
variables de entrada [f(t) y cAi(t)]
+
+
F(s)
CAi(s)
[Kmoles/m3]
[m3/s]
𝑲𝟏𝒆−𝒕𝒐𝒔
(𝝉𝒔 + 𝟏)
𝑲𝟐𝒆−𝒕𝒐𝒔
(𝝉𝒔 + 𝟏)
CAd(s)
[Kmoles/m3]
+
+
F(s)
CAi(s)
[Kmoles/m3]
[m3/s]
𝑲𝟏
(𝝉𝒔 + 𝟏)
𝑲𝟐
(𝝉𝒔 + 𝟏)
CA(s)
[Kmoles/m3]𝒆
−𝒕𝒐𝒔CAd(s)
[Kmoles/m3]
Características de los Sistemas
de Control
Estabilidad
Exactitud
Velocidad de
Respuesta
estable cuando responde en forma limitada a
cambios limitados en la variable controlada.
Características de los Sistemas
de Control
Exactitud
capaz de mantener el error en un valor mínimo, o en
cualquier casa aceptable. No hay sistemas absolutamente
exactos debido a las pequeñas imperfecciones de sus
componentes.
Características de los Sistemas
de Control
Velocidad de
Respuesta
Es la rapidez con la cual la variable controlada
se aproxima a la señal de referencia. Un sistema
debe responder a cualquier entrada en un
tiempo aceptable, ya que aunque sea estable
y exacto, pero demasiado lento no tiene ningún
valor este sistema de control.
Ejercicios:
Sistemas Primer Orden
Sistemas Segundo Orden
SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO ORDEN
Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) es descrita
por la solución de una ecuación diferencial de segundo orden.
Si ao es diferente de cero, y le restamos la ecuación en estado estacionario
ctbxyadt
dya
dt
yda 12
2
2
tKXydt
dY
dt
Yd 2
2
22
Constante de
Tiempo
característica
𝜏2 =𝑎2
𝑎𝑜= [t]
Coeficiente o Factor
de amortiguamiento
a
a12 a
bK
Ganancia del
Proceso
sXss
KsY
1222
Función
Transferencia
Sistemas Segundo Orden
Pueden ser originados a partir de varias situaciones físicas. Estas
pueden ser clasificadas en tres categorías:
• Sistemas de procesamiento con su controlador: pueden ser
representados por sistemas de segundo orden o de ordensuperior.
• Procesos Multicapacitivos: procesos que consisten en dos o más
sistemas de primer orden en serie, a través de los que fluye
materia o energía.
• Sistemas inherentes de segundo-orden: tales como fluido o los
componentes mecánicos sólidos de un proceso que poseen
inercia y están sujetos a la aceleración. Tales sistemas son escasosen procesos químicos. (manómetros o válvulas neumáticas)
Sistemas Segundo Orden
12
2,1
r
Nos define Si r real o compleja
1 r es real
< 1 r es un par de números conjugados complejos
= 0 r es número imaginario puro y r = i/
= 1 r1,2 = -1/
r
Real Compleja
Monotónica OscilatoriaNegativa
Positiva
Estable
Inestable
Parte Real
Negativa
Parte Real
Positiva
La Respuesta
Análisis del denominador para hallar las raíces
Sistemas Segundo Orden
Para La Respuesta es
= 1 Críticamente amortiguado =monotónica y estable
> 1 Sobreamortiguada = monotónica y estable
0< < 1 Subamortiguada = oscilatoria y estable
= 0 No amortiguada = sostenidas oscilaciones
-1< < 0 Inestable = oscilaciones crecientes
Respuesta rápida pero luego comienza a oscilar tratando de alcanzar el valor del escalón
Oscila constantemente entre 0 y 2H
Respuesta rápida sin oscilar
Respuesta Lenta
Sistemas Segundo Orden
Respuesta Sobreamortiguada (> 1)
1222 ss )1)(1())(( 2121
2 ssrsrs ee
sXss
KsY
ee
)1)(1( 21
• Escalón
21
12
2
21
1)( ee
t
ee
e
t
ee
e eetuKAtY
= 1
t
et
tuKAtY 1)(
• Rampa X(s) = A/s2
21
12
2
21
2
2211
ee
t
ee
t
ee
teeKAtY eeee
22 tetKAtYt
= 1
• Sinusoidal X(s) = A/(s2+2)
2
1
1
1
22
2
22
1
21
tantan
sin11
21
ee
ee
tt
tKA
eAeAtY ee
Sistemas Segundo Orden
Respuesta Subamortiguada
Son importantes debido a que es la respuesta más común de sistemas
de control feedback
0< < 1
22
2,1
1)1(1
ir
• Escalón
)sin(1
1)(
2
tetuKAtYt
21
21
tan1
Frecuencia Angulo de
la Fase
Período de Oscilación y Frecuencia Cíclica
Relación de Decaimiento o Asentamiento
Tiempo de elevación
Tiempo de asentamiento
Definición de términos importantes en Respuestas Subamortiguadas
Sistemas Segundo Orden
Período de Oscilación
Tiempo que toma en completar
un ciclo entero o 2 (radianes)
21
22
T
la frecuencia cíclica se
relaciona con el período:
2
112
T
f
T
R
Sistemas Segundo Orden
Relación de Decaimiento o Asentamiento
Es la relación por la cual la
amplitud de la onda sinusoidal
es reducida durante un ciclo
completo
21
2
eeB
C T
sirve como criterio para establecer
la respuesta satisfactoria de los
sistemas de control feedback
T
BC
Sobrepaso:
es la cantidad en que la respuesta excede el valor final de estado
estacionario; generalmente se expresa como la relación de B/A:
A
212
eeB
AT
Sistemas Segundo Orden
Tiempo de elevaciónEs el tiempo que tarda la
respuesta en alcanzar por
primera vez el valor del
estado final.
TTR4
1
T
B C
tR
Tiempo de asentamiento
Es el tiempo que tarda la
respuesta en llegar a ciertos
límites preestablecidos del
valor final y permanecer
dentro de ellos. tS
• Dichos límites son arbitrarios; los valores típicos son 5 %, 3% y 1 % .
• Parte real de las raíces del denominador de la función de transferencia
controla ts 5/
Sistemas Segundo Orden
Respuesta Subamortiguada
Son importantes debido a que es la respuesta más común de sistemas
de control feedback
0< < 1
22
2,1
1)1(1
ir
• Rampa
2)sin(1 2
tteKAtYt
12
12tan
2
21
Angulo de
la Fase• Sinusoidal 𝑿 𝒔 =
𝑨𝛚
𝒔𝟐+𝛚𝟐
)sin(
21
)sin(2222
tKA
teKADtYt
22
1
1
2tan
Amplitud
Linealización
Constante de Tiempo () [t]
Relacionada con la velocidad de
respuesta del proceso
• Si es grande la respuesta es lenta, es decir, tarda
más en llegar al estado estacionario.
• Si es pequeña la respuesta es rápida
Linealización
Ganancia del proceso o estado estacionario
• indica cuánto cambia la variable de salida por
unidad de cambio en la función de forzamiento o
variable de entrada
• la sensibilidad del proceso
• Relaciona la personalidad del proceso
• Depende de las propiedades físicas y los parámetros
del proceso
𝐾 =∆𝑂
∆𝐼=
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
[dimensionales
or
adimensional]