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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

Octubre, 2013

1

Índice

Modelado del comportamiento dinámico y estático de Procesos Químicos

3

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Modelado del comportamiento dinámico y estático de Procesos Químicos

4

Modelar un proceso químico es una actividad muy sintética, lo que requiere el uso de los

principios básicos de la ciencia de la ingeniería química, tales como balance de masa, cinética,

termodinámica, fenómenos de transporte, etc. Para el diseño de controladores para un proceso

químico, el modelado es un paso muy importante.

Desarrollo de un modelo matemático

Según McGraw Hill Dictionary of Scientifc and Technical Terms: “Modelo” es un sistema

físico o matemático, que obedeciendo a ciertas condiciones específicas, su comportamiento es

utilizado para comprender un sistema físico, biológico o social, al cual es análogo de cierta

forma.

5

¿Por qué necesitamos un Modelado Matemático para el control de Procesos?


Modelos

Estáticos

Dinámicos

Parámetros Distribuidos (PDE)

Parámetros Agrupados (ODE)

Clasificación de los modelos

Conserva la

dependencia

espacio-tiempo

Se reemplaza la

dependencia

espacial por su

promedio en la

región del espacio


Modelos de parámetros agrupados (ODE)

Estocásticos

Determinísticos

No lineales

Lineales

Coeficientes variables

Coeficientes constantes

Continuos

Discretos

6

Clasificación de los modelos

Principios de:

Superposición: varias señales de entrada actuando simultáneamente, obtenemos una sola salida

Proporcionalidad: la señal de salida es proporcional a la señal de entrada


7

• Los sistemas dinámicos, con parámetros agrupados, determinísticos, lineales son descritos

mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, en las cuales todos sus términos son lineales.

2xx8yx5y'x'3y'

• Los sistemas dinámicos, con parámetros agrupados, determinísticos, no lineales son

descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, en las cuales al menos uno de sus

términos es no lineal.

0xyexy'2x'y' x

• Los sistemas dinámicos, con parámetros agrupados, determinísticos, lineales, con

coeficientes constantes son descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, en las

cuales todos sus coeficientes son invariantes en el tiempo.

06y5y''y'

• Los sistemas dinámicos, con parámetros agrupados, determinísticos, lineales, con

coeficientes variables son descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, en las

cuales todos sus coeficientes son funciones del tiempo.

04yxy''y'x2


Definamos algunos términos:

Parámetros: En el modelo son objetos o símbolos que representan a entidades o atribuciones del

sistema que permanecen constantes durante el estudio.

Variables: Son objetos o símbolos en el modelo, que representan a entidades o atributos del

sistema que cambian en el tiempo durante el estudio.

Relaciones funcionales: Son los proceso físicos o las relaciones entre los símbolos de un

modelo, que representan a las actividades y a las relaciones entre los elementos de un sistema.

6 etapas en la que se desarrolla un modelo matemático:

1. Descripción del fenómeno, planteándose las variables que intervienen y las hipótesis del

comportamiento.

2. Se plantean las ecuaciones que describen matemáticamente el fenómeno, las condiciones de

frontera y la variabilidad de solución.

3. Seleccionar el método de solución del modelo matemático es decir, la elección del algoritmo

de cálculo.

4. La programación del algoritmo de cálculo para un computador.

5. La calibración, verificación y validación del modelo.

6. La explotación del modelo, utilización del mismo con base en datos de campo, de

experimentos en laboratorios o de supuestos para obtener.


Variables de estado y ecuaciones de estado de un proceso químico

Con el fin de caracterizar un sistema de procesamiento (tanque calentador, reactor por lotes,

columna de destilación, intercambiadores de calor, etc) y su comportamientos necesitamos:

1. Un conjunto de cantidades que dependen fundamentalmente de valores que describen el

estado natural de un sistema dado (valores en estado estacionario).

2. Un conjunto de ecuaciones con las variables anteriores, que se describe cómo el estado

natural de los cambios en el sistema dado con el tiempo.

9

El principio de conservación de la cantidad de S establece que:

La cantidad S puede ser cualquiera de las siguientes cantidades fundamentales:

*Masa total

*Masa de componentes individuales

*La energía total

*Momento

10


Balance de masa total (E-C+F-S=A):

dt

ρVdFρFρ

salidas :j

jj

entradas :i

ii

Balance de masa de componentes individuales (E-C+F-S=A):

dt

VCd

dt

)d(nrV FCFC AA

entradas :i salidas :j

jAjiAi

Balance total energía:

dt

PKUd

dt

dE Ws Q hFρhFρ

entradas :i salidas :j

jjjiii

11


Ejemplo 1: Del tanque agitado con serpentín de la figura. Donde Fi y F son los caudales

volumétricos. Determine las ecuaciones fundamentales de masa y energía, los cuales

proporcionan la información sobre el calentador:

(a) La masa total del líquido en el tanque

(b) La energía total del material en el tanque

Balance de masa total (E-C+F-S=A) en estado estacionario:

h*A*ρV*ρ

)(F)(F 21

masamasa

0 0 0

Balance de energía total (E-C+F-S=A) en estado estacionario:

0 0 0

refref T-T*Cp*h*A*ρT-T*Cp*V*ρH

WQΔHΔEpΔEc

0 0 0

¿Cuáles son las variables y cuales no?

Variables de estado: h, T

Constantes: ρ, V, A, Cp, Tref

12


Balance de masa total (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

dt

dh*AFFi

dt

h*A*ρd

dt

V*ρdF*ρ-Fi*ρ

dt

dm)(F)(F 21

masamasa

Balance de energía total (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

dt

T*hd*A

Cp*ρ

QT*FTi*Fi

ctte es Cpy 0T que asumimos Si

dt

T-T*Cp*h*A*ρdQT-T*Cp*F*ρT-Ti*Cpi*Fi*ρ

dt

dEQ)H-H(*mQΔHΔEpΔEc

ref

refrefref

fi

0 0

0 0

0 0

dt

dT*h*A

Cp*ρ

QTTi*Fi

dt

dT*h*AF-Fi*T-

Cp*ρ

QT*F-Ti*Fi

Resultando

FFi*Tdt

dT*h*A

dt

dh*T*A

dt

dT*h*A

dt

T*hd*A

Cp*ρ

QT*FTi*Fi

derivadas de smatemática spropiedadePor

13

Desarrollo de un modelo matemático FFi

dt

dh*A

Consideremos que la temperatura de entrada «Ti» decrece a partir del estado estable o estacionario

¿Qué le sucedería a la altura del liquido y a la temperatura del tanque?

14


Consideremos que el flujo de entrada «Fi» decrece a partir del estado estable o estacionario

¿Qué le sucedería a la altura del liquido y a la temperatura del tanque?

Elementos adicionales de los modelos matemáticos

Además de las ecuaciones de balance, necesitamos otras relaciones para

expresar equilibrios termodinámicos, las velocidades de reacción, las tasas de

transporte de calor, la masa, el impulso, y así sucesivamente, veamos algunas

relaciones.

15


Ecuaciones de velocidad de transporte de calor

La cantidad de calor Q suministrado por el vapor al líquido en el tanque calentador (Ejemplo

anterior) está dada por la siguiente ecuación de velocidad de transferencia de calor:

Donde:

U = coeficiente global de transferencia de calor

AT = área total de transferencia de calor

Tst = temperatura del vapor

T = temperatura

TTAUQ stT **

Ecuaciones de las velocidades cinéticas

La velocidad de reacción de una reacción de primer orden que tiene lugar en un CSTR esta

dada por:

A*TR

E

o C*e*kr

Donde:

ko = constante cinética preexponencial

r = velocidad de reacción

E = energía de activación para la reacción

R = constante de los gases ideales

T = temperatura

CA = concentración del líquido del componente A en la reacción.

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Modelo matemático de un continuo reactor de tanque agitado (CSTR)

Ejemplo 2: Considere el siguiente reactor de tanque agitado continuo que se muestra en la

figura. Se da una reacción exotérmica sencilla A B dentro del reactor, que es a su vez es

enfriado por un líquido refrigerante que fluye a través de la chaqueta que esta alrededor del

reactor. Realice el modelo matemático correspondiente a:

(a) La masa total de la mezcla de reacción en el tanque

(b) Masa de producto químico A en la mezcla de reacción

(c) La energía total de la mezcla de reacción en el tanque


dt

dVFFi ρiρ Si ,

dt

dV*ρF*ρFi*ρi

dt

V*ρdF*ρFi*ρi

Donde:

ρi, ρ = densidad de los flujos de entrada y salida respectivamente

Fi, F = flujo volumétrico de la corrientes de entrada y salida

V = volumen de la mezcla de reacción en el tanque

A = área transversal del tanque

h = altura del líquido en el tanque

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Balance para el componente A en base molar (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

A*TR

E

oAAiiA

iAA

AA*TR

E

oiAi

AA

AAAiAi

C*e*kCC*V

F

dt

dC

FF*Cdt

dC*VF*CV*C*e*kF*C

dt

dC*V

dt

dV*C

dt

V*Cd

dt

ndF*CV*rF*C

0

Donde:

ko = constante cinética preexponencial

CAi, CA = concentraciones molares (moles / volumen) de A en la entrada y de salida

E = energía de activación para la reacción

R = constante de los gases ideales

T = temperatura

Fi, F = flujo volumétrico de la corrientes de entrada y salida

dt

dVFFi

Balance para el componente B (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

0 0

dt

V*Cd

dt

ndF*CV*r BB

B

18


Dado que el sistema es un sistema líquido, podemos hacer la siguiente aproximación:

dt

dH

dt

dU

Por otra parte,

la cantidad de energía total con la corriente de entrada por unidad de tiempo = ρi*Fi*Ĥi(Ti)

la cantidad de energía total con la corriente de salida por unidad de tiempo = ρ*F*Ĥ(T)

Donde:

Ĥi = la entalpía específica (entalpía por unidad de masa) de la alimentación

Ĥ = la entalpía específica de la corriente de salida.

Por consiguiente, el saldo total de energía conduce a la ecuación

dt

dHQTH*F*ρTH*F*ρ iiii

En el balance anterior hemos descuidado el trabajo mecánico realizado por el impulsor del

mecanismo de agitación. La energía total de la reacción de la mezcla viene dado por:

ET = U + EC + EP

Donde:

U = energía interna1, EC= energía cinética, EP = energía potentia1

Por lo tanto, suponiendo que el reactor no se mueve (es decir, dEC / dt = dEP / dt = 0), el lado

izquierdo de la rendimientos totales del balance de energía

Balance de energía (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

0 0

19


F*C-V*r*HV*rF*CF*C*Hdt

dT*Cp*V*ρ

dt

dH

doSustituyen

ˆ ;THn

H Cp;*V*ρ

pero

dt

dH

expresión la ndoDiferencia

n,nT,HH

ncomposiciósu y ra temperatula defunción es líquidoun de entalpía la que Sabemos

dt

dHQTH*F*ρTH*F*ρ

BBAiAiA

A

A

BA

iiii

THn

H

T

H

dt

dn

n

H

dt

dn

n

H

dt

dT

T

H

B

B

B

B

A

A

dt

ndF*CV*rF*C A

AiAi

dt

ndF*CV*r B

B

20


QV*r*HHTT*Cp*F*ρdt

dT*Cp*V*ρ

forma la de queda ndo simplificay ndo sustituye emente, Consecuent

TH*CTH*C*FTH*F*ρ

y

TT*Cp*ρTH*C*FTH*F*ρ

:que escribir Podemos

F*C-V*r*HV*rF*CF*C*HQ-TH*F*ρ-TH*F*ρdt

dT*Cp*V*ρ

F*C-V*r*HV*rF*CF*C*Hdt

dT*Cp*V*ρQ-TH*F*ρ-TH*F*ρ

tenemosentalpía, de les diferencia los Igualando

BAiiii

BBAA

iiiAAiiiiii

BBAiAiAiiii

BBAiAiAiiii

Por último, (ĤA-ĤB) = (-ΔHr) = calor de reacción a la temperatura T, y ρ = ρi, Cp = Cpi,

Cp*ρ*V

Q

Cp*ρ

C*e*k*ΔH

V

TT*F

dt

dT

Cp*ρ

Q

Cp*ρ

V*r*ΔHTT*F

dt

dT*V

A*TR

E

orii

rii

21

Desarrollo de un modelo matemático Modelo matemático de un proceso de mezclado

Ejemplo 3: Dos corrientes 1 y 2 se mezclan en un tanque bien agitado, produciendo una

corriente de producto 3 (ver figura). Cada una de las dos corrientes de alimentación se compone

de dos componentes, A y B, con concentraciones molares CA1, CB1 y CA2, CB2, respectivamente.

También sean F1 y F2 los caudales volumétricos de la dos corrientes (ft3/min o m3/min) y T1 y T2

sus temperaturas correspondientes.

Por último, sean CA3, CB3, F3, T3 las concentraciones, el flujo y la temperatura de la corriente de

productos. Un serpentín también se sumerge en el líquido del tanque y que se utiliza para

suministrar calor al sistema con vapor de agua, o eliminar el calor con agua de refrigeración.

Describir en el proceso de mezclado:

(a) La masa total en el tanque

(b) Las cantidades de los componentes A y B en el tanque

(c) la energía total

22



dt

dh*AFFF ρρρρ Si

,dt

h*Ad*ρF*ρF*ρF*ρ

dt

V*ρdF*ρF*ρF*ρ

321321

332211332211

Balance de masa para el componente A (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

dt

dC*VF*C-CF*C-C

dt

dC*VF*C-CF*C-CF*C-C

CC

mezclado, entecomplentam esta tanqueel aque Debido

FFF*Cdt

dC*VF*CF*CF*C

dt

dC*V

dt

dV*C

dt

V*Cd

dt

ndF*CF*CF*C

A32A3A21A3A1

A33A3A32A3A21A3A1

A3A

321AA

3A32A21A1

AA

AA3A32A21A1

0 0

0

23


Balance de energía (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

0 0

ET = U + EC + EP

Donde:

U = energía interna1, EC= energía cinética, EP = energía potentia1

Por lo tanto, suponiendo que el reactor no se mueve (es decir, dEC / dt = dEP / dt = 0)

Dado que el sistema es un sistema líquido, podemos hacer la siguiente aproximación:

dt

dH

dt

dU

dt

3Hd*V*ρQH*F*ρH*FH*F*ρ 332211

la cantidad de energía total con la corriente de entrada por unidad de tiempo = ρ*(F1*Ĥ1+F2*Ĥ2)

la cantidad de energía total con la corriente de salida por unidad de tiempo = ρ*F3*Ĥ3

Debido a la suposición de agitación perfecta, la específica entalpía del material en la corriente 3

es la misma que la entalpía específica del material en el tanque, así:

3H*V*ρH

Consecuentemente, el balance de energía queda:

24


0S2A2BB2AA202

0S1A1BB1AA101

0S3A3BB3AA303

0

0220222

0110111

0330333

TH~

Δ*CH~

*CH~

*CTH*ρ

TH~

Δ*CH~

*CH~

*CTH*ρ

TH~

Δ*CH~

*CH~

*CTH*ρ

referencia de ra temperatula es T :Donde

TT*CpTHTH

TT*CpTHTH

TT*CpTHTH

La pregunta ahora es cómo caracterizar Ĥ1, Ĥ2, Ĥ3 en términos de otra variables (es decir,

temperaturas, concentraciones, etc). Sabemos que:

Donde:

A y B son las entalpías molares (entalpía/mol) de los componentes A y B a la temperatura To.

Δ S1, Δ S2 y Δ S3, son los calores de solución para los flujos 1, 2, y 3 por mol de A a la

temperatura To.

H~

H~

H~

H~

H~

Si asumimos que Cpl = Cp2 = Cp3 = Cp, tenemos

dt

dT*V*Cp*ρQTT*Cp*F*ρ

TT*Cp*F*ρH~

ΔH~

Δ*F*CH~

ΔH~

Δ*F*C

3322

311S3S22A2S3S11A1

25

Desarrollo de un modelo matemático Modelo matemático de una columna de destilación binaria Ideal

Ejemplo 4: Considere una mezcla binaria de los componentes A y B, para ser separados en dos

corrientes de productos utilizando destilación convencional. La mezcla es alimentada en la columna

como un líquido saturado (es decir, en su punto de burbuja), en la alimentación de la bandeja f (Ver

figura), con una velocidad de flujo molar (mol / min) Ff y una fracción molar del componente A , Cf. La

corriente de vapor del tope se enfría y se condensa por completo, y luego desemboca en el tambor de

reflujo. El enfriamiento del vapor del tope se lleva a cabo con agua de refrigeración. El líquido del

tambor de reflujo se bombea de nuevo en parte a la columna (bandeja superior, N) con un flujo molar

FR (corriente de reflujo) y se elimina en parte el producto destilado con una velocidad de flujo molar

FD. Llamaremos MRD al líquido mantenido en el tambor de reflujo y XD la fracción molar del

componente A en el líquido del tambor de reflujo. Es claro que XD es la composición para tanto el

reflujo y la corrientes de destilado.

En la base de la columna de destilación, una corriente de producto líquido (el producto de fondo) se

denota con un flujo FB y una composición XB (fracción molar de A). Una corriente de líquido con un

flujo molar V que también se extrae de la parte inferior de la columna y después de que se ha calentado

utilizando vapor de agua, se vuelve a la base de la columna. La composición de la recirculación de

vuelta a la columna es XB. Sea MB la cantidad de líquido retenido en el fondo de la columna.

La columna contiene N platos numerados desde la parte inferior a la parte superior. Sea Mi la cantidad

de líquido retenido en el plato i. El cantidad de vapor retenido en cada plato se supone que es

insignificante. En la figura, vemos que el material fluye dentro y fuera de la bandeja de alimentación.

Del mismo modo, en la figura se muestra el material fluyendo por la parte superior (enésimo plato) y

bandejas inferiores (primer plato). Para simplificar el sistema, vamos a hacer los siguientes supuestos:


1. Vapor retenido en cada plato se puede despreciar.

2. Los calores molares de vaporización de ambos

componentes (A y B) son aproximadamente igual.

Esto significa que 1 mol de vapor condensado

libera suficiente calor para evaporar 1 mol de

líquido.

3. Se supone que las pérdidas de calor de la

columna hacia los alrededores son insignificante.

4. La volatilidad relativa de uno de los dos

componentes se mantiene constante a lo largo de la

columna.

5. Cada plato se supone que es 100% eficiente (es

decir, el vapor que sale cada plato está en equilibrio

con el líquido).

Los tres primeros supuestos implican que

V1 = V2 = V3 = … = Vn

y no hay necesidad para el balance de energía alrededor de cada plato.

27

Desarrollo de un modelo matemático Los dos últimos suposiciones implican que una simple relación en el equilibrio líquido-vapor, se

puede utilizar para relacionar la fracción molar de A en el vapor que sale del plato i-ésimo (Yi)

con la fracción molar de A en el líquido que sale del mismo plato (Xi):

Xi*1α1

Xi*αYi

Donde:

α: es la volatilidad relativa de los dos componentes A y B.

Los supuestos finales que vamos a hacer son los

siguientes:

6. Despreciar la dinámica del condensador y el

rehervidor. Está claro que estas dos unidades

(cambiadores de calor) constituyen los sistemas

de procesamiento en su propio derecho y como

tales, tienen un comportamiento dinámico. Por

lo tanto, el modelado preciso debe incluir las

ecuaciones de estado que describen el

comportamiento dinámico del condensador

y hervidor.

7. Supone que la velocidad de flujo molar del

líquido que sale de cada plato está relacionado

con la retención del líquido del plato a través de

la fórmula de Francis para vertedero:

28

Desarrollo de un modelo matemático Para el plato de alimentación ( i = f ):

Balance de masa total (E-C+F-S=A)

dt

dMLLFVLVLF f

f1ffff1f1ff

Balance de masa para el componente A (E-C+F-S=A)

0 0

0 0

dt

X*MdY*VX*LY*VX*LC*F ff

ffff1f1f1f1fff

Para el plato de tope ( i = N ):


0 0

dt

dMLFVLVF N

NRNN1NR


0 0

dt

X*MdY*VX*LY*VX*F NN

NNNN1N1NDR

29

Desarrollo de un modelo matemático Para el plato de fondo ( i = 1 ):


dt

dMLLVVLL 1

12112


0 0

0 0

dt

X*MdY*VX*LY*VX*L 11

1111B22

Para el i-esimo plato ( i = 2,…,N-1 y i≠f ):


0 0

dt

dMLLVVLL i

i1ii1-ii1i


0 0

dt

X*MdY*VX*LY*VX*L ii

iiii1i1i1i1i

30

Desarrollo de un modelo matemático Para el tanque de reflujo:


dt

dMFFV RD

DRN


0 0

0 0

dt

X*MdX*FFY*V DRD

DDRNN

Para el fondo de la columna:


0 0

dt

dMFVL B

B1


0 0

dt

X*MdX*FY*VX*L BB

BBB11

31


Dificultades de modelado

Podemos clasificar las dificultades encontradas durante la matemática del modelado de un

proceso en tres categorías:

1

• Los derivados de la poco conocida fenomenología de los procesos químicos o físicos

2 • Los producidos a partir de valores

inexactos de diversos parámetros

3 • Los causados por el tamaño y la

complejidad del modelo resultante

32


Procesos poco conocidos

Para entender completamente los fenómenos físicos y químicos que se producen en un proceso

químico es prácticamente imposible. Incluso un aceptable grado de conocimiento es a veces muy

difícil. Ejemplos típicos podemos incluir:

Sistemas de reacción multicomponente con interacciones poco conocidas entre los diversos componentes y una cinética poco conocida e imprecisa.

Equilibrio termodinámico de vapor-líquido o líquido-líquido para sistemas multicomponente

Interacciones de transferencia de calor y masa en columnas de destilación con mezclas no ideales de componentes múltiples, mezclas azeotrópicas, y así sucesivamente

33


Parámetros conocidos imprecisos

La disponibilidad de los valores precisos para los parámetros de un modelo es muy necesario para

cualquier análisis cuantitativo del comportamiento de un proceso.

Desafortunadamente, esto no siempre es posible. Los ejemplos típicos incluyen la constante

preexponencial de una expresión cinética de velocidad.

También hay que señalar que los valores de los parámetros no permanecen constante durante

largos períodos de tiempo. Por lo tanto, para el efectivo modelado no solo necesitamos valores

exactos, sino también algunas descripciones cuantitativa de cómo los valores de los parámetros

cambian con el tiempo. Ejemplo típico de cambio de parámetros son la actividad de un

catalizador y el coeficiente de transferencia de calor global de los sistemas de transferencia de

calor (intercambiadores, reactores con chaqueta, etc.)

Cuando no hay valores fiables de los parámetros disponibles, se recurre a los experimentos con el

proceso real en un esfuerzo para estimar algunos "buenos" valores para ellos.

Tamaño y complejidad de un modelo

En un esfuerzo para desarrollar lo más exacto y preciso un modelo matemático como sea posible,

su tamaño y la complejidad aumentan significativamente.

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