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ESTADSTICA E INTRODUCCIN A LA ECONOMETRA-Control 2Curso
2014/15.9 de enero de 2015Soluciones
Nombre........................................................Apellidos.................................................................Grado
en:.....................................................Grupo:
...................................................................-
En cada uno de los apartados que requieran utilizar las tablas
adjuntas, indique qu tabla o
tablas ha utilizado para responder a dicho apartado.- En todos
los contrastes debe especicar la hiptesis nula y alternativa, el
estadstico de con-
traste, la distribucin del estadstico de contraste bajo la
hiptesis nula, el valor del estadstico decontraste en la muestra y
la conclusin a la que llegue.- Cuando en un contraste no se
especique el nivel de signicacin, tome = 0;05 .
Anexo. Tabla estadstica
z0;05 = 1;65 t1246;0;05 = 1;65 t520;0;05 = 1;65 F1;1246;0;05 =
3;85 F2;520;0;95 = 0;051 F2;520;0;05 = 3;01z0;025 = 1;96
t1246;0;025 = 1;96 t520;0;025 = 1;96 F1;1246;0;025 = 5;04
F2;520;0;975 = 0;025 F2;520;0;025 = 3;72
1. (3.5 p) Considere el siguiente modelo que relaciona el precio
de alquiler de un piso con su nmero dehabitaciones.
alquiler = 0 + 1habitaciones+ u (1)
donde alquiler es el precio mensual en euros y habitaciones es
el nmero de habitaciones que tiene el piso.
a) (0.75 p) Qu factores podran estar en u? Te parece razonable
suponer que dichos factores no estncorrelacionados con el nmero de
habitaciones?Con una muestra de 1248 pisos en alquiler en Espaa se
ha estimado el modelo anterior obtenindoselos siguientes
resultados:
\alquiler = 604;52(20;70)
+ 161;96(8;63)
habitaciones R2 = 0;2202
b) (0.5 p) Interpreta la constante y la pendiente estimada.
c) (0.5 p) Qu precio de alquiler predice el modelo para un piso
de 4 habitaciones?
d) (1 p) Suponiendo que el modelo satisface los supuestos del
modelo lineal clsico, contrasta de dos modosdistintos la
signicatividad global del modelo al 5%.
e) (0.75 p) Si en el modelo anterior midisemos la variable
alquiler en cientos de euros, cmo cambiaranlos coecientes estimados
del modelo, sus errores estndar y el R2?
Solucin:
a) Uno de los factores que est contenido en u es la supercie del
piso, y esperaramos que, ceteris paribus,cuanto mayor sea su
supercie mayor debera ser el alquiler. Si tenemos en cuenta que los
pisos conmayor nmero de habitaciones suelen tener mayor supercie,
entonces suponer que la supercie no estcorrelacionada con el nmero
de habitaciones no es razonable.
b) La constante estimada es 604;52 indicando que el precio de
alquiler que predice el modelo para un pisocon cero habitaciones
(un estudio) es 604;52. Podra interpretarse como el precio de
alquiler mnimo(Ntese que \alquiler = 604;52 cuando habitaciones =
0).La pendiente estimada es 161;96 indicando que por cada habitacin
adicional el modelo predice unaumento en el precio mensual de
alquiler de 161;96 euros.
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c) Si habitaciones = 4 entonces \alquiler = 604;52 + 161;96 4 =
1252;36 euros al mes.d) Para contrastar la signicatividad global
del modelo tenemos que contrastar:
H0 : 1 = 0
H1 : 1 6= 0
Podemos usar como estadstico de contraste el tratio:
t =b1
se(b1) t1246 Bajo H0 ) t = 161;968;63 = 18;767Si tomamos como
nivel de signicacin el 5%, el valor crtico para este contraste es
t1246;0;025 = 1;96:Como j18;767j > 1;96; tenemos que la variable
habitaciones es estadsticamente signicativa al 5% ypor tanto el
modelo es globalmente signicativo al 5%:Tambin podramos haber usado
como estadstico de contraste:
F =R2=1
(1R2) =(1248 1 1) F1;1246 Bajo H0
El valor del estadstico de contraste en la muestra es
F =0;2202
(1 0;2202) =1246 = 351;85
y la regin crtica es C = (F1;1246;0;05;1) = (3;85;1). Como
351;85 2 C; podemos rechazar H0 al 5%y el modelo es globalmente
signicativo.Ntese que F = t2 salvo errores de redondeo.
e) Sea alquiler = alquiler100
; se tiene que:
\alquiler =\alquiler100
= 6;0452(0;2070)
+ 1;6196(0;0863)
habitaciones R2 = 0;2202
2. (1.5 p.) Considere el siguiente modelo que relaciona el
precio de alquiler de un piso con su nmero dehabitaciones y
supercie y satisface los supuestos de Gauss Markov.
alquiler = 0 + 1habitaciones+ 2m2 + u (2)
donde alquiler es el precio mensual en euros, habitaciones es el
nmero de habitaciones que tiene el piso ym2 es la supercie del piso
en m2. Si estimsemos este modelo usando los mismos datos que en el
ejercicioanterior, esperara obtener un coeciente estimado para la
variable habitacionesmayor o menor que 161;96?.En cuanto al R2
esperara que el nuevo R2 fuese mayor o menor que 0;2202?
Solucin:
Si el modelo (2) satisface los supuestos de Gauss Markov,
entonces sabemos que si estimsemos el modeloomitiendo la variable
m2, el estimador de MCO de 1 sera, en general, sesgado y el signo
de su sesgo vendradado por el signo de
2 Cov(m2; habitaciones)
Como esperamos que a mayor supercie, mayor precio, 2 > 0 y
adems esperamos que a mayor nmero dehabitaciones, mayor supercie,
Cov(m2; habitaciones) > 0: Por lo tanto, el estimador con el que
se habraobtenido b1 = 161;96 estara sesgado y su sesgo sera
positivo.
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Por todo lo anterior, si estimsemos el modelo (2) usando los
mismos datos que en el ejercicio anterior,esperara obtener un
coeciente estimado para la variable habitaciones menor que
161;96:
En cuanto al R2; esperaramos que fuese mayor que 0;2202, pues
sabemos que cuando aadimos una variableal modelo, el coeciente de
determinacin nunca disminuye y en general aumenta.
3. (5 p) Considere el siguiente modelo para el salario que
suponemos satisface los supuestos del modelo linealclsico
log(wage) = 0 + 1exper + 2exper2 + 3female+ 4nonwhite+ 5female
nonwhite+ u (1)
donde wage es el salario por hora en dlares, exper son los aos
de experiencia laboral y exper2 su cuadrado,female es una variable
binaria que toma el valor 1 si el individuo es una mujer y nonwhite
es otra variablebinaria que toma el valor 1 si el individuo no es
de raza blanca y 0 si es de raza blanca. Utilizando unamuestra de
526 trabajadores se han obtenido los resultados que se presentan en
las tablas adjuntas.
a) (1 p) Interprete los coecientes estimados de female y
nonwhite:
b) (0.5 p) Manteniendo constante el sexo y la raza de los
trabajadores, cul es el cambio porcentualestimado en el salario por
hora ante un incremento de 10 aos en la experiencia laboral de
aquellostrabajadores que tienen 5 aos de experiencia?
c) (1 p) Contraste que la experiencia no es relevante a la hora
de explicar el salario de los trabajadores.
d) (1 p) Contraste que no hay diferencias entre el salario medio
de las mujeres blancas y las mujeres noblancas, con los mismos aos
de experiencia.
e) (1 p) Considere ahora el modelo anterior al que aadimos la
variable binaria white que toma el valor1 si el individuo es de
raza blanca y 0 en otro caso:
log(wage) =
0+1exper+2exper2+3female+4nonwhite+5femalenonwhite+6white+u (2)
Satisface este modelo los supuestos de Gauss-Markov? Si su
respuesta es s, razone por qu. Si surespuesta es no, indique cul es
el supuesto o supuestos que no se satisfacen.
f ) (0.5 p) Suponga ahora que los errores no son normales.
Cambiaran las conclusiones de los apartados(c) y (d)?
Solucin:
a) Usando la Tabla 1 en la que se muestran las estimaciones del
modelo (1), podemos ver que el coecienteestimado de la variable
female es 0;3704 y el de nonwhite es 0;0423. Por tanto el modelo
prediceque el salario medio de las mujeres blancas es un 37;04%
menor que el de los hombres blancos con losmismo aos de experiencia
laboral y que el salario medio de los hombres de raza no blanca es
un 4;23%menor que el de los hombres blancos con los mismo aos de
experiencia laboral. Notar que
Hombres no blancos: E (log(wage)jfemale = 0; nonwhite = 1) = 0 +
1exper + 2exper2 + 4Hombres blancos: E (log(wage)jfemale = 0;
nonwhite = 0) = 0 + 1exper + 2exper2
Mujeres blancas: E (log(wage)jfemale = 1; nonwhite = 0) = 0 +
1exper + 2exper2 + 3Mujeres no blancas: E (log(wage)jfem = 1;
nonwhi = 1) = 0 + 1exper + 2exper2 + 3 + 4 + 5
Y por tanto, 1003 mide la diferencia porcentual entre el salario
medio de las mujeres blancas y el delos hombres blancos con los
mismo aos de experiencia laboral y 1004 mide la diferencia
porcentualentre el salario medio de los hombres de raza no blanca y
el de los hombres blancos con los mismo aosde experiencia
laboral.
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b) Al estar la experiencia al cuadrado este cambio no es
independiente de la experiencia laboral del traba-jador. Para los
trabajadores con 5 aos de experiencia laboral, el incremento de un
ao de experiencialaboral si mantenemos jo el sexo y la raza,
causara un aumento estimado en su salario medio deb1 + 2b2 5
100%Por tanto, para aquellos trabajadores con 5 aos de experiencia
laboral, el incremento de 10 aos deexperiencia laboral si
mantenemos jo el sexo y la raza, causara un aumento estimado en su
salariomedio de b1 + 10b2 10 100%En la Tabla 1 podemos encontrar
las estimaciones y por tanto el aumento estimado en el salario
mediode estos trabajadores sera de
(0;0434 10 0;0009) 10 100% = 34;4%
c) Tenemos que contrastar
H0 : 1 = 2 = 0
H1 : 1 6= 0 y=o 2 6= 0
El estadstico de contraste es
(SCRr SCRnr) =2SCRnr=(526 5 1)
=(R2nr R2r) =2
(1R2nr) =(526 5 1) F2;520 bajo H0
siendo R2r el coeciente de determinacin del modelo restringido y
R2nr el coeciente de determinacin
del modelo no restringido.El modelo restringido es
log(wage) = 0 + 1female+ 2nonwhite+ 3female nonwhite+ u
Usando las tablas 1 y 2, el valor del estadstico en la muestra
es F = (127;3356113;6051)=2113;6051=520
= (0;2341040;141537)=2(10;234104)=520 =
31;424: Como F = 31;424 > F2;520;0;05 = 3;01, podemos
rechazar H0 al 5% y concluimos que la experi-encia s es relevante a
la hora de explicar el salario de los trabajadores.
d) La diferencia porcentual entre el salario medio de las
mujeres blancas y las mujeres no blancas con losmismos aos de
experiencia viene dada por 100(4 + 5): Por lo tanto, tenemos que
contrastar:
H0 : 4 + 5 = 0
H1 : 4 + 5 6= 0
Para poder realizar este contraste reparametrizamos el modelo de
forma que esta hiptesis se reera aun nico parmetro. Denimos = 4 + 5
) 4 = 5 y sustituyendo en el modelo se obtiene:
log(wage) = 0 + 1exper + 2exper2 + 3female+ ( 5)nonwhite+
5female nonwhite+ u
= 0 + 1exper + 2exper2 + 3female+ nonwhite 5(nonwhite female
nonwhite) + u
= 0 + 1exper + 2exper2 + 3female+ nonwhite 5nonwhite (1 female)
+ u
= 0 + 1exper + 2exper2 + 3female+ nonwhite 5nonwhitemale+ u
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Los resultados de la estimacin de este modelo reparametrizado se
encuentran en la tabla 3.El contraste anterior es ahora
H0 : = 0
H1 : 6= 0
El estadstico de contraste es bseb t520 bajo H0
Usando los datos de la tabla 3, tenemos que el valor del
estadstico de contraste en la muestra es
0;13530;099
= 1;367
Tomando = 0;05; t520;0;025 = 1;96; y la regin crtica es C =
(1;1;96)[(1;96;1). Como 1;367 =2C; no podemos rechazar H0 al 5% y
concluimos que no se puede rechazar la hiptesis de que no
haydiferencias entre el salario medio de las mujeres blancas y las
mujeres no blancas, con los mismos aosde experiencia .
e) En el modelo:
log(wage) =
0+1exper+2exper2+3female+4nonwhite+5femalenonwhite+6white+u (2)
hay un problema de colinealidad perfecta ya que hay una relacin
lineal exacta entre las variablesbinarias nonwhite y white: Ntese
que nonwhite + white = 1: Por tanto el modelo viola el
supuestoRLM.4 y podemos decir que no satisface los supuestos de
Gauss-Markov.
f ) No, los resultados no cambiaran. Sabemos por el Teorema
Central del Lmite que si el tamao de lamuestra es sucientemente
grande el estadstico t sigue una distribucin aproximadamente N(0;
1) bajola H0 aunque los errores no sean normales.En nuestro caso, n
= 520 es una muestra grande por lo que las conclusiones de los
contrastes delos apartados c) y d) seguiran siendo las mismas.
Ntese que en el apartado d) el valor crtico seraz0;025 = 1;96 que
coincide con el que hemos usado: t520;0;025 = 1;96. El valor crtico
aproximado queusaramos en el apartado c) es exactamente el mismo
que el que hemos usado.
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TABLA 1:
TABLA 2:
Nota: femalexnonwhite=female nonwhiteTABLA 3:
Nota: nonwhitexmale=nonwhite (1 female)
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