Controlar La Calidad Cuestionario Evidencia Aprendizaje 6 Desarrollado

7/21/2019 Controlar La Calidad Cuestionario Evidencia Aprendizaje 6 Desarrollado

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!ORMATO DE CUESTIONARIO!,-.-)++.*/ Versión 01, Mayo de 2012PROCESO E$ECUCI0N DE LA !ORMACI0N PRO!ESIONALPROCEDIMIENTO P*+.-)++.*/ PROCEDIMIENTO PARA DESARROLLARACCIONES DE !ORMACI0N PRO!ESIONAL TITULADA Cen!ro de Ges!ión Ind"s

Sis!e$a In!e%rado de Ge

PAG





INTRODUCCI-N........................../

O&*ETIVO GENERAL.......................

O&*ETIVOS ESPECI'ICOS.....................

1 ESTADISTICA........................10

12 ESTADISTICA INDUCTIVA ( DESCRIPTIVA.......... 10

1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA E IN'ERENCIAL......... 10

11 ANALISIS ESTADISTICO................... 11

12 DATOS ( VARIA&LES.................... 11

2 CLASI'ICACION DEVARIA&LES...............

12

21 REPRESENTACION DE DATOS................ 12

22 METODOS DE REPRESENTACION DE DATOS CUANTITATIVOS 1

DISTRI&UCION DE

'RECUENCIAS..............

1

1 ORGANI+ACI-N DE DATOS AGRUPADOS........... 1

2 GRA'ICOS DE UNA DISTRI&UCION DE 'RECUENCIA..... 13

3 4ISTOGRAMA........................ 15

31 POLIGONO DE 'RECUENCIAS................ 15

32 CURVAS DE 'RECUENCIA.................. 15

3 MEDIDAS DESCRIPTIVAS.................. 1)

33 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIOS...... 1)

5 MEDIA ARITMETICA..................... 1)

PAG





) MEDIANA.......................... 1

)1 DATOS SIN AGRUPAR.................... 1

)2 DATOS AGRUPADOS.................... 1

/MODA...........................

20

/1 MODA DATOS AGRUPADOS................ 20

/11 E6e$7#o........................... 21

CUARTILES, DECIL ( PERCENTIL.............. 21

CALCULO DE CUARTILES DE DATOS AGRUPADOS ENINTERVALOS........................

21 CUARTILES......................... 2

2 PERCENTILES....................... 23

10 MEDIDAS DEDISPERSION..................

25

101 RANGO........................... 25

102 RE8UISITOS DERANGO...................

2)

1021 E6e$7#os.......................... 2)

10 VARIAN+A......................... 2)

101 Pro7iedades........................ 2/

103 DESVIACION TIPICA..................... 2/

1031 Des9ia:ión T;7i:a Maes!ra# 2

1032 Des9ia:ión T;7i:a Po<#a:iona#................ 2

PAG





103 E6e$7#o.......................... 2

1033 Co9arian=a......................... 2

11 CONCEPTOS GENERALES DEPRO&A&ILIDAD........

0

111 PO&LACION >N?...................... 0

112 MUESTRA >n?........................ 0

11 MUESTREO......................... 0

111 Ti7os de M"es!reo...................... 1

113 ESPACIO MUESTRAL.................... 1

115 TIPOS DE ESPACIO MUESTRAL............... 1

11) DISCRETOS........................ 1

11/ CONTINUOS........................

11 EVENTOS ALEATORIOS...................

11 E@PERIMENTO ESTADISTICO................ 3

12 TECNICAS DECONTEO...................

5

121 'ORMULA DE LA MULTIPLICACION.............. 5

122 LE( DE LA SUMA...................... /

12 NOTACION 'ACTORIAL................... /

123 PERMUTACIONES.....................

125 COM&INACIONES......................

1 A@IOMAS DE LASPRO&A&ILIDADES.............

PAG





11 PROPIEDADES 8UE DEDUCEN LOS A@IOMAS........ 31

13 TEOREMAS 'UNDAMENTALES DE LAPRO&A&ILIDAD.....

32

131 PROPOSICION....................... 32

132 TEOREMA >PRO&A&ILIDAD COMPUESTA?......... 33

15 PRO&A&ILIDAD CONDICIONAL............... 3

1) TEOREMA DE &A(ES.................... 51

1/ DISTRI&UCION DE VARIA&LE DISCRETA........... 5

1/1 &INOMIAL....................... 5

1/2 CARACTERISTICAS ANALITICAS............... 53

1/ 4IPERGEOMETRIA..................... 55

1/3 PROPIEDADES....................... 55

1

POISSON..........................

5)

11 PROPIEDADES....................... 5/

12 SUMA DE VARIA&LEA ALEATORIAS DE POISSON....... 5

1 DISTRI&UCION &INOMIAL.................. 5

13 DISTRI&UCION &INOMIAL.................. 5

15 DISTRI&UCION E@PONENCIAL................ 5

1 DISTRI&UCION DE VARIA&LECONTINUA...........

5

20 DISTRI&UCIONNORMAL..................

)1

201 E6e$7#os.......................... )





INTRODUCCI0N

Cono:er #a es!ad;s!i:a 7ar!iendo de "n 7#an!ea$ien!o y rea#i=ar "n an#isis de

Da!os reB"iere de #a Es!ad;s!i:a :o$o "na de s"s 7rin:i7a#es erra$ien!as, 7or #o

B"e #os in9es!i%adores de 7roesión y #as 7ersonas B"e de "na y o!ra or$a #a

rea#i=an reB"ieren ade$s de #os :ono:i$ien!os es7e:ia#i=ados en s" :a$7o de

a:!i9idades, de# $ane6o ei:ien!e de #os :on:e7!os, !:ni:as y 7ro:edi$ien!os

es!ad;s!i:os





O$ETIVO GENERAL

Generar "na in9es!i%a:ión 7ar!iendo de "na re:o#e::ión de da!os 7ara s" an#isis

o eF7eri$en!a:ión de si!"a:iones 7ara e# des:"<ri$ien!o de n"e9os e:os, #a

re9isión o es!a<#e:i$ien!o de !eor;as y #as a7#i:a:iones 7r:!i:as de #as $is$as,

<asndonos en #os 7rin:i7ios de O<ser9a:ión y Ra=ona$ien!o, 7ar!iendo de "na

ne:esi!a en s" :ar:!er :ien!;i:o e# an#isis !:ni:o de Da!os 7ara o<!ener de e##os

inor$a:ión :onia<#e y o7or!"nos





O$ETIVOS ESPECI!ICOS

Disear "n is!o%ra$a <asndonos en da!os de $edi:ión so<re 7rod":!os o

7ro:esos de #a e$7resa

'or$"#ar e i$7#e$en!ar "n 7ro:eso de :on!ro# y an#isis de da!os 7ara ##e9ar "na

res7"es!a :onia<#e y :on!ro#ar #a 7rod"::ión

Desarro##ar e# sis!e$a de %es!ión de #a :a#idad "!i#i=ando de #a es!ad;s!i:a :o$o

"na erra$ien!a de an#isis y :on!ro#





+( ESTAD1STICA

Es e# :on6"n!o de 7ro:edi$ien!os y !:ni:as e$7#eadas 7ara re:o#e:!ar, or%ani=ar

y ana#i=ar da!os, #os :"a#es sir9en de <ase 7ara !o$ar de:isiones en #as

si!"a:iones de in:er!id"$<re B"e 7#an!ean #as :ien:ias so:ia#es o na!"ra#es

+()( ESTAD1STICA INDUCTIVA " DEDUCTIVA

Uno de #os 7ro<#e$as "nda$en!a#es de #a Es!ad;s!i:a es e# es!"dio de #a re#a:ión

eFis!en!e en!re "na 7o<#a:ión y s"s $"es!ras Se%Hn #a dire::ión de !a# re#a:ión #a

Es!ad;s!i:a 7"ede ser

Ded":!i9a, :"ando a 7ar!ir de# :ono:i$ien!o de #a 7o<#a:ión se !ra!a de

:ara:!eri=ar :ada $"es!ra 7osi<#e

Ind":!i9a, :"ando a 7ar!ir de# :ono:i$ien!o deri9ado de "na $"es!ra se 7re!ende:ara:!eri=ar #a 7o<#a:ión

+(,( ESTAD1STICA DESCRIPTIVA E IN!ERENCIAL

Es!ad;s!i:a Des:ri7!i9a se reiere a #a re:o#e::ión, 7resen!a:ión, des:ri7:ión,

an#isis e in!er7re!a:ión de "na :o#e::ión de da!os, esen:ia#$en!e :onsis!e en

res"$ir s!os :on "no o dos e#e$en!os de inor$a:ión >$edidas des:ri7!i9as? B"e:ara:!eri=an #a !o!a#idad de #os $is$os La es!ad;s!i:a Des:ri7!i9a es e# $!odo de

o<!ener de "n :on6"n!o de da!os :on:#"siones so<re s; $is$os y no so<re7asan e#

:ono:i$ien!o 7ro7or:ionado 7or s!os P"ede "!i#i=arse 7ara res"$ir o des:ri<ir

:"a#B"ier :on6"n!o ya sea B"e se !ra!e de "na 7o<#a:ión o de "na $"es!ra, :"ando





en #a e!a7a 7re#i$inar de #a Ineren:ia Es!ad;s!i:a se :ono:en #os e#e$en!os de

"na $"es!raEs!ad;s!i:a Ineren:ia# se reiere a# 7ro:eso de #o%rar %enera#i=a:iones a:er:a de

#as 7ro7iedades de# !odo, 7o<#a:ión, 7ar!iendo de #o es7e:;i:o, $"es!ra Las

:"a#es ##e9an i$7#;:i!os "na serie de ries%os Para B"e s!as %enera#i=a:iones

sean 9#idas #a $"es!ra de<en ser re7resen!a!i9a de #a 7o<#a:ión y #a :a#idad de #a

inor$a:ión de<e ser :on!ro#ada, ade$s 7"es!o B"e #as :on:#"siones as;

eF!ra;das es!n s"6e!as a errores, se !endr B"e es7e:ii:ar e# ries%o o

7ro<a<i#idad B"e :on B"e se 7"eden :o$e!er esos errores La es!ad;s!i:a

ineren:ia# es e# :on6"n!o de !:ni:as B"e se "!i#i=a 7ara o<!ener :on:#"siones B"e

so<re7asan #os #;$i!es de# :ono:i$ien!o a7or!ado 7or #os da!os, <"s:a o<!ener

inor$a:ión de "n :o#e:!i9o $edian!e "n $e!ódi:o 7ro:edi$ien!o de# $ane6o de

da!os de #a $"es!ra

En s"s 7ar!i:"#aridades #a Ineren:ia dis!in%"e #a Es!i$a:ión y #a Con!ras!a:ión de

4i7ó!esis Es es!i$a:ión :"ando se "san #as :ara:!er;s!i:as de #a $"es!ra 7ara

a:er ineren:ias so<re #as :ara:!er;s!i:as de #a 7o<#a:ión Es :on!ras!a:ión de

i7ó!esis :"ando se "sa #a inor$a:ión de #a $"es!ra 7ara res7onder ain!erro%an!es so<re #a 7o<#a:ión

+(,(+( An'lisis Estad2sti3o

E# an#isis es!ad;s!i:o es !odo e# 7ro:eso de or%ani=a:ión, 7ro:esa$ien!o,

red"::ión e in!er7re!a:ión de da!os 7ara rea#i=ar ineren:ias

+(,()( Datos 4 Varia5les

C"ando se :onsideran #os $!odos de or%ani=a:ión, red"::ión y an#isis de da!os

es!ad;s!i:os, se a:e ne:esario a:#arar #os si%"ien!es :on:e7!os

Varia<#es es !oda :ara:!er;s!i:a B"e 9ar;a de "n e#e$en!o a o!ro de #a 7o<#a:ión





Da!os son $edidas o 9a#ores de #as :ara:!er;s!i:as s"s:e7!i<#es de o<ser9ar y

:on!ar, se ori%inan 7or #a o<ser9a:ión de "na o $s 9aria<#es de "n %r"7o dee#e$en!os o "nidades

)( CLASI!ICACI0N DE VARIALES

Las 9aria<#es 7"eden :#asii:arse en :a!e%óri:as o :"a#i!a!i9as >a!ri<"!os?, no

!ienen nin%Hn %rado de :o$7ara:ión n"$ri:a, e6e$7#o seFo, es!ado :i9i# y

n"$ri:as o :"an!i!a!i9as, son :ara:!er;s!i:as a:!i<#es de eF7resar 7or $edio de

nH$eros, es!as 7"eden ser Dis:re!as, B"e so#o 7"eden !o$ar :ier!os 9a#ores

ais#ados en "n in!er9a#o, y Con!in"as, B"e 7"eden !o$ar :"a#B"ier 9a#or en "n

in!er9a#o

)(+( REPRESENTACI0N DE DATOS

Los da!os son :o#e::iones de "n nH$ero :"a#B"iera de o<ser9a:iones

re#a:ionadas en!re s;, 7ara B"e sean H!i#es se de<en or%ani=ar de $anera B"ea:i#i!en s" an#isis, se 7"edan se#e::ionar !enden:ias, des:ri<ir re#a:iones,

de!er$inar :a"sas y ee:!os y 7er$i!an ##e%ar a :on:#"siones #ó%i:as y !o$ar

de:isiones <ien "nda$en!adas 7or esa ra=ón es ne:esario :ono:er #o $!odos

de Or%ani=a:ión y Re7resen!a:ión, #a ina#idad de s!os $!odos es 7er$i!ir 9er

r7ida$en!e !odas #as :ara:!er;s!i:as 7osi<#es de #os da!os B"e se an

re:o#e:!ado

Re7resen!a:ión Ta<"#arPresen!a #a 9aria<#e y #as re:"en:ias :on B"e #os 9a#ores de s!as se en:"en!ran

7resen!es en e# es!"dio

Re7resen!a:ión Gri:a

Se ##a$an %ri:as a #as dieren!es or$as de eF7resar #os da!os "!i#i=ando #os

$edios de re7resen!a:ión B"e 7ro7or:iona #a %eo$e!r;a





)()( METODOS DE REPRESENTACI0N DE DATOS CUANTITATIVOS

Arre%#o de Da!os Es "na or$a de 7resen!ar #os da!os en "n arre%#o as:enden!e o

des:enden!e Ore:e #as 9en!a6as si%"ien!es des:ri<e #os 9a#ores $;ni$os y

$Fi$os, en # se 7"eden di9idir #os da!os :i#$en!e en se::iones, 7er$i!e darse

:"en!a de #os 9a#ores B"e a7are:en $s de "na 9e=, se 7"ede o<ser9ar #a

dis!an:ia en!re 9a#ores :onse:"!i9os

Dia%ra$a de P"n!os M"es!ra #a re:"en:ia :on B"e a7are:e :ada "no de #os

9a#ores

Dia%ra$a de Ta##o y 4o6a Es H!i# 7ara rea#i=ar "na eF7#ora:ión 7re#i$inar de#

:on6"n!o, %enera "na i$a%en ade:"ada de e##os sin 7erder inor$a:ión

Dis!ri<":ión de 're:"en:ias Es "na or$a de sin!e!i=ar #os da!os y :onsis!e en

9a#erse de "na !a<#a 7ara :#asii:ar #os da!os se%Hn s" $a%ni!"d, en e##a se sea#a

e# nH$ero de 9e:es B"e a7are:e :ada "no de #os 9a#ores C"ando se dis7one de

"n %ran nH$ero de 9a#ores dis:re!os o :"ando #as 9aria<#es son :on!in"as, !iene

sen!ido or$ar "na !a<#a B"e 7resen!e #a dis!ri<":ión de re:"en:ias de #os da!osa%r"7ados en in!er9a#os o :#ases, de i%"a# !a$ao si es 7osi<#e, sin e$<ar%o "na

!a<#a de es!e !i7o s"7one "na :on:en!ra:ión de da!os B"e 7rod":e 7rdida de

inor$a:ión

,( DISTRIUCI0N DE !RECUENCIAS

,(+( ORGANI#ACI0N DE DATOS AGRUPADOS

C#ases o in!er9a#os de :#ase Gr"7o de 9a#ores B"e des:ri<en "na :ara:!er;s!i:a

De<en in:#"ir !odas #as o<ser9a:iones y ser eF:#"yen!es Los in!er9a#os :on!ienen

#os #;$i!es de :#ase B"e son #os 7"n!os eF!re$os de# in!er9a#o Se deno$inan





in!er9a#os :errados, :"ando :on!ienen a$<os #;$i!es e in!er9a#os a<ier!os si

in:#"yen so#o "n #;$i!eLi$i!es Rea#es Sir9en 7ara $an!ener #a :on!in"idad de #as :#ases

An:"ra o !a$ao de# in!er9a#o es #a dieren:ia en!re #os #;$i!es rea#es de "na

:#ase

NH$ero de :#ases es e# nH$ero !o!a# de %r"7os en B"e se :#asii:a #a inor$a:ión,

se re:o$ienda B"e no sea $enor B"e 5 ni $ayor B"e 15

Mar:a de C#ase Es e# 7"n!o $edio de# in!er9a#o de :#ase, se re:o$ienda o<ser9ar

B"e #os 7"n!os $edios :oin:idan :on #os da!os o<ser9ados 7ara $ini$i=ar e# error

're:"en:ia es e# nH$ero de 9e:es B"e a7are:e "n 9a#or

're:"en:ia A:"$"#ada Indi:a :"an!os :asos ay 7or de<a6o o arri<a de "n

de!er$inado 9a#or o #;$i!e de :#ase

're:"en:ia Re#a!i9a Indi:a #a 7ro7or:ión B"e re7resen!a #a re:"en:ia de :ada

in!er9a#o de :#ase en re#a:ión a# !o!a#, es H!i# 7ara :o$7arar 9arias dis!ri<":iones

:on 7ar$e!ros de reeren:ia "nior$es

're:"en:ia A:"$"#ada Re#a!i9a Indi:a #a 7ro7or:ión de da!os B"e se en:"en!ra

7or arri<a o de<a6o de :ier!o 9a#or o #;$i!e de :#ase

,()( GR6!ICOS DE UNA DISTRIUCI0N DE !RECUENCIAS

Los %ri:os son H!i#es 7orB"e 7onen en re#ie9e y a:#aran #as !enden:ias B"e no se

:a7!an :i#$en!e en #a !a<#a, ay"dan a es!i$ar 9a#ores :on "na si$7#e o6eada y

<rinda "na 9erii:a:ión %ri:a de #a 9era:idad de #as so#":iones





7( 8ISTOGRAMA

Es! or$ado 7or re:!n%"#os :"ya <ase es #a a$7#i!"d de# in!er9a#o y !iene #a

:ara:!er;s!i:a B"e #a s"7eri:ie B"e :orres7onde a #as <arras es re7resen!a!i9a de

#a :an!idad de :asos o re:"en:ia de :ada !ra$o de 9a#ores, 7"ede :ons!r"irse :on

:#ases B"e !ienen e# $is$o !a$ao o dieren!e >in!er9a#o 9aria<#e? La "!i#i=a:ión

de #os in!er9a#os de a$7#i!"d 9aria<#e se re:o$ienda :"ando en a#%"no de #os

in!er9a#os, de a$7#i!"d :ons!an!e, se 7resen!e #a re:"en:ia :ero o #a re:"en:ia de

a#%"no o a#%"nos de #os in!er9a#os sean $":o $ayores B"e #a de #os de$s,

#o%rando as; B"e #as o<ser9a:iones se a##en $e6or re7ar!idas den!ro de# in!er9a#o

7(+( POL1GONO DE !RECUENCIAS

Se 7"ede o<!ener "niendo :ada 7"n!o $edio >$ar:a de :#ase? de #os re:!n%"#os

de# is!o%ra$a :on #;neas re:!as, !eniendo :"idado de a%re%ar a# ini:io y a# ina#

$ar:as de :#ase adi:iona#es, :on e# o<6e!o de ase%"rar #a i%"a#dad de# reas

7()( CURVAS DE !RECUENCIA

No es $s B"e #a :"r9a s"a9i=ada B"e se !ra=a so<re e# 7o#;%ono y re7resen!a #a

asi$e!r;a y #a :"r!osis B"e !iene #a dis!ri<":ión, 7er$i!e 9is"a#i=ar "n esB"e$a $s

:#aro de# 7a!rón de da!os EFis!en 9arios !i7os de :"r9a de re:"en:ia C"r9as *,

Si$!ri:as o Asi$!ri:as >ses%ada a #a dere:a o a #a i=B"ierda?, Uni$oda#es,&i$oda#es y M"#!i$oda#es

O6i9as C"ando se !ra!a de re#a:ionar o<ser9a:iones en "n $is$o as7e:!o 7ara

dos :o#e:!i9os dieren!es no es 7osi<#e e6e:"!ar :o$7ara:iones so<re #a <ase de #a

re:"en:ia, es ne:esario !ener "na <ase es!ndar, #a re:"en:ia re#a!i9a La o6i9a

re7resen!a %ri:a$en!e #a or$a en B"e se a:"$"#an #os da!os y 7er$i!en 9er





:"an!as o<ser9a:iones se a##an 7or arri<a o de<a6o de :ier!os 9a#ores Es H!i#

7ara o<!ener "na $edida de #os :"ar!i#es, de:i#es, 7er:en!i#es

7(,( MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Con es!as $edidas se 7ersi%"e red":ir en 7o:as :iras si%nii:a!i9as e# :on6"n!o de

o<ser9a:iones de "na 9aria<#e y des:ri<ir :on e##as :ier!as :ara:!er;s!i:as de #os

:on6"n!os, #o%rando "na :o$7ara:ión $s 7re:isa de #os da!os B"e #a B"e se

7"ede :onse%"ir :on !a<#as y %ri:as

7(7( MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL9 PROMEDIOS

Los 7ro$edios son "na $edida de 7osi:ión B"e dan "na des:ri7:ión :o$7a:!a de

:ó$o es!n :en!rados #os da!os y "na 9is"a#i=a:ión $s :#ara de# ni9e# B"e

a#:an=a #a 9aria<#e, 7"eden ser9ir de <ase 7ara $edir o e9a#"ar 9a#ores eF!re$os

o raros y <rinda $ayor a:i#idad 7ara ee:!"ar :o$7ara:iones

Es i$7or!an!e 7oner en re#ie9e B"e #a no!a:ión de 7ro$edio ##e9a i$7#;:i!a #a ideade 9aria:ión y B"e es!e nH$ero 7ro$edio de<e :"$7#ir :on #a :ondi:ión de ser

re7resen!a!i9o de :on6"n!o de da!os

E# 7ro$edio :o$o 7"n!o !;7i:o de #os da!os es e# 9a#or a# rededor de# :"a# se

a%r"7an #os de$s 9a#ores de #a 9aria<#e

:( MEDIA ARITM;TICA

Es "na $edida $a!e$!i:a, "n nH$ero indi9id"a# B"e re7resen!a ra=ona<#e$en!e

e# :o$7or!a$ien!o de !odos #os da!os

Para da!os no a%r"7ados @ J S Fi K n

Para da!os a%r"7ados @ J S i @i K S i

Donde @i es #a $ar:a de :#ase 7ara :ada in!er9a#o y i es #a re:"en:ia de :#ase





Cara:!er;s!i:as de #a Media

En s" :#:"#o es!n !odos #os 9a#ores de# :on6"n!o de da!os 7or #o B"e :ada"no ae:!a #a $edia

La s"$a a#%e<rai:a de #as des9ia:iones de #os 9a#ores indi9id"a#es res7e:!o

a #a $edia es :ero

La s"$a de# :"adrado de #as des9ia:iones de "na serie de da!os a

:"a#B"ier nH$ero A es $;ni$o si A J @

A"nB"e es :onia<#e 7orB"e re#e6a !odos #os 9a#ores de# :on6"n!o de da!os

7"ede ser ae:!ada 7or #os 9a#ores eF!re$os, y de esa or$a ##e%ar a ser "na $edida $enos re7resen!a!i9a, 7or #o B"e si #a dis!ri<":ión es

asi$!ri:a, #a $edia ari!$!i:a no :ons!i!"ye "n 9a#or !;7i:o

Dados #os nH$eros, #a $edia ari!$!i:a se deine si$7#e$en!e :o$o

Por e6e$7#o, #a $edia ari!$!i:a de , 5 y 1 es i%"a# a

Se "!i#i=a #a #e!ra @ :on "na <arra ori=on!a# so<re e# s;$<o#o 7ara re7resen!ar #a

$edia de "na $"es!ra > ?, $ien!ras B"e #a #e!ra >$i? se "sa 7ara #a $edia

ari!$!i:a de "na 7o<#a:ión, es de:ir, e# 9a#or es7erado de "na 9aria<#eEn o!ras 7a#a<ras, es #a s"$a de n 9a#ores de #a 9aria<#e y #"e%o di9idido 7or n

donde n es e# nH$ero de s"$andos, o en e# :aso de es!ad;s!i:as e# nH$ero de

da!os

La $edia ari!$!i:a de "n :on6"n!o de nH$eros 7osi!i9os sie$7re es i%"a# o

s"7erior a #a $edia %eo$!ri:a

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_geom%C3%A9trica







La $edia ari!$!i:a es! :o$7rendida en!re e# 9a#or $Fi$o y e# 9a#or

$;ni$o de# :on6"n!o de da!os

%( MEDIANA

En e# $<i!o de #a es!ad;s!i:a, #a $ediana es e# 9a#or de #a 9aria<#e B"e de6a e#

$is$o nH$ero de da!os an!es y des7"s B"e #, "na 9e= ordenados es!os De

a:"erdo :on es!a deini:ión e# :on6"n!o de da!os $enores o i%"a#es B"e #a

$ediana re7resen!arn e# 50 de #os da!os, y #os B"e sean $ayores B"e #a

$ediana re7resen!arn e# o!ro 50 de# !o!a# de da!os de #a $"es!ra La $ediana

:oin:ide :on e# 7er:en!i# 50, :on e# se%"ndo :"ar!i# y :on e# B"in!o de:ir

EFis!en dos es!ra!e%ias 7ara :a#:"#ar #a $ediana :onsiderando #os da!os en or$aindi9id"a#, sin a%r"7ar#os, o <ien "!i#i=ando #os da!os a%r"7ados en in!er9a#os de

:#ase Vea$os :ada "na de e##as

%(+( DATOS SIN AGRUPAR

Sean #os da!os de "na $"es!ra ordenada en orden :re:ien!e y

desi%nando #a $ediana :o$o Me, dis!in%"i$os dos :asos

a? Si n es i$7ar, #a $ediana es e# 9a#or B"e o:"7a #a 7osi:ión >n 1? K 2 "na 9e=

B"e #os da!os an sido ordenados >en orden :re:ien!e o de:re:ien!e?, 7orB"e s!e

es e# 9a#or :en!ra# Es de:ir Me J F>n 1? K 2

Por e6e$7#o, si !ene$os 5 da!os, B"e ordenados son F1 J , F2 J ), F J /, F3 J ,

F5 J J E# 9a#or :en!ra# es e# !er:ero F >5 1? K 2 J F J / Es!e 9a#or, B"e es #a





$ediana de ese :on6"n!o de da!os, de6a dos da!os 7or de<a6o >F1, F2? y o!ros dos

7or en:i$a de # >F3, F5?

<? Si n es 7ar, #a $ediana es #a $edia ari!$!i:a de #as dos o<ser9a:iones

:en!ra#es C"ando n es 7ar, #os dos da!os B"e es!n en e# :en!ro de #a $"es!ra

o:"7an #as 7osi:iones n K 2 y n K 2 1 Es de:ir Me J >Fn K 2 >Fn K 2 1?? K 2

Por e6e$7#o, si !ene$os ) da!os, B"e ordenados son F1 J , F2 J ), F J /, F3 J ,

F5 J , F) J 10 J 4ay dos 9a#ores B"e es!n 7or de<a6o de# y o!ros

dos B"e B"edan 7or en:i$a de# si%"ien!e da!o Por !an!o, #a

$ediana de es!e %r"7o de da!os es #a $edia ari!$!i:a de es!os dos da!os

%()( DATOS AGRUPADOS

A# !ra!ar :on da!os a%r"7ados, si :oin:ide :on e# 9a#or de "na re:"en:ia

a:"$"#ada, e# 9a#or de #a $ediana :oin:idir :on #a a<s:isa :orres7ondien!e Si no

:oin:ide :on e# 9a#or de nin%"na a<:isa, se :a#:"#a a !ra9s de se$e6an=a de

!rin%"#os en e# is!o%ra$a o 7o#;%ono de re:"en:ias a:"$"#adas, "!i#i=ando #a

si%"ien!e eB"i9a#en:ia

Dónde Ni y Ni Q 1 son #as re:"en:ias a<so#"!as a:"$"#adas !a#es B"e

, ai Q 1 y ai son #os eF!re$os, inerior y s"7erior, de# in!er9a#o

donde se a#:an=a #a $ediana y Me J ai Q 1 es #a a<s:isa a :a#:"#ar, #a $oda Se

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Davicrege3.JPG





o<ser9a B"e ai Q ai Q 1 es #a a$7#i!"d de #os in!er9a#os se#e::ionados 7ara e#

dia%ra$a

<( MODA

En es!ad;s!i:a, #a $oda es e# 9a#or :on "na $ayor re:"en:ia en "na dis!ri<":ión

de da!os

E# in!er9a#o $oda# es e# de $ayor re:"en:ia a<so#"!a C"ando !ra!a$os :on da!os

a%r"7ados an!es de deinir #a $oda, se a de deinir e# in!er9a#o $oda#

La $oda, :"ando #os da!os es!n a%r"7ados, es "n 7"n!o B"e di9ide a# in!er9a#o

$oda# en dos 7ar!es de #a or$a 7 y :7, siendo : #a a$7#i!"d de# in!er9a#o, B"e

9eriiB"en B"e

Siendo #a re:"en:ia a<so#"!a de# in!er9a#o $oda# #as re:"en:ias a<so#"!as de #os

in!er9a#os an!erior y 7os!erior, res7e:!i9a$en!e, a# in!er9a#o $oda#

<(+( MODA DATOS AGRUPADOS

Para o<!ener #a $oda en da!os a%r"7ados se "sa #a si%"ien!e ór$"#a

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Imagenmarcos3.JPG







Dónde

Li Q 1 J L;$i!e inerior de #a :#ase $oda#D1 J es e# de#!a de re:"en:ia a<so#"!a $oda# y #a re:"en:ia a<so#"!a 7re $oda#

D2 J es e# de#!a de re:"en:ia a<so#"!a $oda# y #a re:"en:ia a<so#"!a 7os $oda#

i J in!er9a#o

<(+(+( E=emplo

En:on!rar #a es!a!"ra $oda# de "n %r"7o B"e se en:"en!ra dis!ri<"ido de #a

si%"ien!e or$a

En!re 1 y 110 ay 1 es!"dian!e

En!re 110 y 115 ay 1,5 es!"dian!es

En!re 120 y 125 ay 2 es!"dian!es

En!re 10 y 15 ay 2, es!"dian!es

En!re 135 y 155 ay es!"dian!es

En!re 150 y 1)0 ay 3 es!"dian!esEn!re 1)0 y 1/0 ay 10 es!"dian!es

En!re 1/0 y 10 ay es!"dian!es

C#ase $oda# J 1)0 y 1/0 >es #a B"e !iene re:"en:ia a<so#"!a $s a#!a, 10?

Li1 J 1)0 D1 J ) D2 J 2 i J 010

Moda J 1)0 >)K? 01 J 1)/5

/( CUARTILES> DECIL " PERCENTIL

En es!ad;s!i:a des:ri7!i9a, #as $edidas de 7osi:ión no :en!ra# 7er$i!en :ono:er

o!ros 7"n!os :ara:!er;s!i:os de #a dis!ri<":ión B"e no son #os 9a#ores :en!ra#es

En!re #as $edidas de 7osi:ión no :en!ra# $s i$7or!an!es es!n #os :"ar!i#es

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptiva






E# !r$ino :"ar!i# "e "sado 7or 7ri$era 9e= 7or enda## en 130 E# :"ar!i# de

orden 7 de "na dis!ri<":ión >:on 0 7 1? es e# 9a#or de #a 9aria<#e F7 B"e $ar:a"n :or!e de $odo B"e "na 7ro7or:ión 7 de 9a#ores de #a 7o<#a:ión es $enor o

i%"a# B"e F7 Por e6e$7#o, e# :"ar!i# de orden 0) de6ar;a "n ) de 9a#ores 7or

de<a6o y e# :"ar!i# de orden 050 se :orres7onde :on #a $ediana de #a dis!ri<":ión

Los :"ar!i#es s"e#en "sarse 7or %r"7os B"e di9iden #a dis!ri<":ión en 7ar!es

i%"a#es en!endidas es!as :o$o in!er9a#os B"e :o$7renden #a $is$a 7ro7or:ión

de 9a#ores Los $s "sados son

Los C"ar!i#es, B"e di9iden a #a dis!ri<":ión en :"a!ro 7ar!es >:orres7onden a

#os :"ar!i#es 025, 050 y 0/5?

Los 8"in!i#es, B"e di9iden a #a dis!ri<":ión en :in:o 7ar!es >:orres7onden a

#os :"ar!i#es 020, 030, 0)0 y 00?

En e# :#:"#o de :"ar!i#es :on dis!ri<":iones de 9aria<#e :on!in"a >7or e6e$7#o, :on

da!os a%r"7ados? 7"ede :onse%"irse :i#$en!e B"e #as 7ar!es en B"e se di9ide #a

dis!ri<":ión sean eFa:!a$en!e i%"a#es Sin e$<ar%o, en #as dis!ri<":iones de9aria<#e dis:re!a >:o$o e# :aso de da!os ais#ados? de<e$os :onor$arnos :on B"e

es!as 7ar!es sean a7roFi$ada$en!e i%"a#es Por des%ra:ia, no ay :onsenso

so<re #a or$a en B"e rea#i=ar es!a a7roFi$a:ión, eFis!iendo en #a #i!era!"ra

:ien!;i:a n"e9e $!odos dieren!es, B"e :ond":en a res"#!ados dieren!es Por

e##o, a# :a#:"#ar :"a#B"ier :"an!i# de da!os no a%r"7ados 7or $edio de :a#:"#adora,

so!are o $an"a#$en!e, es <si:o e# sa<er e indi:ar e# $!odo "!i#i=ado

La "n:ión B"e a :ada 7 #e asi%na e# 7"n!o de :or!e F7, es de:ir, e# 9a#or de# :"ar!i#de orden 7, se deno$ina "n:ión :"ar!i#

http://es.wikipedia.org/wiki/Maurice_Kendall

http://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuantil

http://es.wikipedia.org/wiki/Maurice_Kendall


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuantil





-( C6LCULO DE CUARTILES DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Ca#:"#are$os e# :"ar!i# de orden 00 de #a edad de #a 7o<#a:ión de "na a#dea

res"$ida en #a !a<#a

Edad de #a 7o<#a:ióna<i!an!

es

re:"en:ia

a:"$"#ada

020

2030 1 2/

30)0 2) 5

)00 / )0

0100 3 )3

N"es!ro 7ri$er 7aso ser a##ar e# in!er9a#o en B"e se en:"en!ra n"es!ro :"ar!i#

De "n !o!a# de )3 da!os, e# :"ar!i# 00 o:"7ar #a 7osi:ión n7J)30J12

O<ser9a$os en #a :o#"$na de re:"en:ias a:"$"#adas B"e es!e 9a#or, 7or es!ar

:o$7rendido en!re y 2/, :orres7onde a# in!er9a#o 2030

Den!ro de es!e in!er9a#o, se#e::ionare$os e# 9a#or de n"es!ro :"an!i# 7or si$7#e

in!er7o#a:ión #inea# Para e##o, si%"iendo #as indi:a:iones de# %ri:o, só#o ser

ne:esario a:er "na re%#a de !res

-(+( CUARTILES

Los :"ar!i#es son #os !res 9a#ores B"e di9iden a# :on6"n!o de da!os ordenados en

:"a!ro 7ar!es 7or:en!"a#$en!e i%"a#es A7are:en :i!ados en #a #i!era!"ra :ien!;i:a

7or 7ri$era 9e= en 1/ 7or D M:A#is!er1

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden





La dieren:ia en!re e# !er:er :"ar!i# y e# 7ri$ero se :ono:e :o$o ran%o

in!er:"ar!;#i:o Se re7resen!a %ri:a$en!e :o$o #a an:"ra de #as :a6as en #os##a$ados dia%ra$as de :a6as

Dada "na serie de 9a#ores @1, @2, @@n ordenados en or$a :re:ien!e, 7ode$os

7ensar B"e s" :#:"#o 7odr;a ee:!"arse

Pri$er :"ar!i# >81? :o$o #a $ediana de #a 7ri$era $i!ad de 9a#ores

Se%"ndo :"ar!i# >82? :o$o #a 7ro7ia $ediana de #a serie

Ter:er :"ar!i# >8? :o$o #a $ediana de #a se%"nda $i!ad de 9a#ores

Pero es!o :ond":e a dis!in!os $!odos de :#:"#o de #os :"ar!i#es 7ri$ero >res7

!er:ero? se%Hn #a 7ro7ia $ediana se in:#"ya o eF:#"ya en #a serie de #a 7ri$era

>res7 se%"nda? $i!ad de 9a#ores

C#:"#o :on da!os no A%r"7ados

No ay "nior$idad so<re s" :#:"#o En #a <i<#io%ra;a se en:"en!ran as!a :in:o

$!odos B"e dan res"#!ados dieren!es 2 Uno de #os $!odos es e# si%"ien!e

dados n da!os ordenados,

E# 7ri$er :"ar!i#>n?K3

Para e# !er:er :"ar!i#>n1?K3

-()( PERCENTILES

Se re7resen!an :on #a #e!ra P Para e# 7er:en!i# isi$o, donde #a i !o$a 9a#ores de#

1 a# E# i de #a $"es!ra son 9a#ores $enores B"e # y e# 100i res!an!e son

$ayores

A7are:en :i!ados en #a #i!era!"ra :ien!;i:a 7or 7ri$era 9e= 7or 'ran:is Ga#!on en

15

P25 J 81

http://es.wikipedia.org/wiki/Rango_intercuart%C3%ADlico


http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_caja

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor


http://es.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton



http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_caja

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor


http://es.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton





P50 J 82 J $ediana

P/5 J 8C#:"#o :on da!os no A%r"7ados

Un $!odo 7ara :a#:"#ar "n 7er:en!i# ser;a e# si%"ien!e Ca#:"#a$os

donde n es e# nH$ero de e#e$en!os de #a $"es!ra e i e# 7er:en!i# E# res"#!ado de

rea#i=ar es!a o7era:ión da :o$o res"#!ado "n nH$ero rea# :on 7ar!e en!era E y

7ar!e de:i$a# D Teniendo en :"en!a es!os 2 9a#ores, a7#i:a$os #a si%"ien!e

"n:ión

E# res"#!ado de es!a H#!i$a o7era:ión es e# 9a#or de# 7er:en!i# 7edido

10. MEDIDAS DE DISPERCION

Las $edidas de dis7ersión, !a$<in ##a$adas $edidas de 9aria<i#idad, $"es!ran

#a 9aria<i#idad de "na dis!ri<":ión, indi:ando 7or $edio de "n nH$ero, si #as

dieren!es 7"n!"a:iones de "na 9aria<#e es!n $"y a#e6adas de #a $ediana $edia

C"an!o $ayor sea ese 9a#or, $ayor ser #a 9aria<i#idad, :"an!o $enor sea, $s

o$o%nea ser a #a $ediana $edia As; se sa<e si !odos #os :asos son

7are:idos o 9ar;an $":o en!re e##os

+*(+( RANGO

E# ran%o o re:orrido es!ad;s!i:o es #a dieren:ia en!re e# 9a#or $;ni$o y e# 9a#or

$Fi$o en "n %r"7o de nH$eros a#ea!orios Se #e s"e#e si$<o#i=ar :on R

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_estad%C3%ADstica


http://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(estad%C3%ADstica)



http://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(estad%C3%ADstica)





+*()( RE?UISITOS DEL RANGO

Ordena$os #os nH$eros se%Hn s" !a$ao

Res!a$os e# 9a#or $;ni$o de# 9a#or $Fi$o

10.2.1. E=emplos

Para "na $"es!ra de 9a#ores >, , 5, ), ?, e# da!o de $enor 9a#or MinJ y e# da!ode $ayor 9a#or MaFJ E# $edio ran%o reso#9indo#o $edian!e #a :orres7ondien!e

ór$"#a ser;a

Re7resen!a:ión de# $edio ran%o

+*(,( VARIAN#A

La 9arian=a es "na $edida es!ad;s!i:a B"e $ide #a dis7ersión de #os 9a#ores

res7e:!o a "n 9a#or :en!ra# >$edia?, es de:ir, #a ra;= :"adrada de #as des9ia:iones

http://es.wikipedia.org/wiki/Varianza

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Medio_rango.jpg






10.3.1. Propiedades

La 9arian=a es sie$7re 7osi!i9a o 0

Si a #os da!os de #a dis!ri<":ión #es s"$a$os "na :an!idad :ons!an!e #a

9arian=a no se $odii:a

(i J @i W :

Si a #os da!o de #a dis!ri<":ión #es $"#!i7#i:a$os "na :ons!an!e, #a 9arian=a

B"eda $"#!i7#i:ada 7or e# :"adrado de esa :ons!an!e

Pro7iedad dis!ri<"!i9a V>@ (? J V>@? V>(?

+*(7( DESVIACI0N T1PICA

La 9arian=a a 9e:es no se in!er7re!a :#ara$en!e, ya B"e se $ide en "nidades

:"adr!i:as Para e9i!ar ese 7ro<#e$a se deine o!ra $edida de dis7ersión, B"e es

#a des9ia:ión !;7i:a, o des9ia:ión es!ndar , B"e se a##a :o$o #a ra;= :"adrada7osi!i9a de #a 9arian=a La des9ia:ión !;7i:a inor$a so<re #a dis7ersión de #os

da!os res7e:!o a# 9a#or de #a $edia :"an!o $ayor sea s" 9a#or, $s dis7ersos

es!arn #os da!os Es!a $edida 9iene re7resen!ada en #a $ayor;a de #os :asos 7or

S, dado B"e es s" ini:ia# de s" no$ina:ión en in%#s

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_t%C3%ADpica

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_t%C3%ADpica

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar





10.4.1. Des@ia3ión T2pi3a Maestral

10.4.2. Des@ia3ión T2pi3a Po5la3ional

10.4.3. Ejemplo

Con S:i#a< es!e :#:"#o se a:e de #a si%"ien!e $anera 8UE

FJ X1/ 13 2 5 / ) 5 3 15 Y

F J

1/ 13 2 5 / ) 5 3 15

s!de9>F?

ans J

3/1)11

Pri$ero e$os de:#arado "n 9e:!or :on no$<re @, donde in!rod"=:o #os nH$eros

de #a serie L"e%o :on e# :o$ando s!de9 se a##ar #a des9ia:ión !;7i:a

10.4.4. Co@ariana

La :o9arian=a en!re dos 9aria<#es es "n es!ad;s!i:o res"$en indi:ador de si #as

7"n!"a:iones es!n re#a:ionadas en!re s; La or$"#a:ión :#si:a, se si$<o#i=a 7or

http://es.wikipedia.org/wiki/Covarianza

http://es.wikipedia.org/wiki/Covarianza





#a #e!ra %rie%a si%$a >Z? :"ando a sido :a#:"#ada en #a 7o<#a:ión Si se o<!iene

so<re "na $"es!ra, se desi%na 7or #a #e!ra [sFy[La ór$"#a s"e#e a7are:er eF7resada :o$o

Es!e !i7o de es!ad;s!i:o 7"ede "!i#i=arse 7ara $edir e# %rado de re#a:ión de dos

9aria<#es si a$<as "!i#i=an "na es:a#a de $edida a ni9e# de in!er9a#oKra=ón>9aria<#es :"an!i!a!i9as?

La eF7resión se res"e#9e 7ro$ediando e# 7rod":!o de #as 7"n!"a:iones

dieren:ia#es 7or s" !a$ao $"es!ra# >n 7ares de 7"n!"a:iones, n1 en s" or$a

inses%ada? Es!e es!ad;s!i:o, re#e6a #a re#a:ión #inea# B"e eFis!e en!re dos

9aria<#es E# res"#!ado n"$ri:o #":!Ha en!re #os ran%os de inini!o a inini!o A#

no !ener "nos #;$i!es es!a<#e:idos no 7"ede de!er$inarse e# %rado de re#a:ión

#inea# B"e eFis!e en!re #as dos 9aria<#es, so#o es 7osi<#e 9er #a !enden:ia

11. CONCEPTOS GENERALES DE PROAILIDAD

++(+( POLACIBN N





Es e# :on6"n!o de e#e$en!os B"e 7resen!an "na :ara:!er;s!i:a en :o$Hn so<re #os

:"a#es se "!i#i=a 7ara rea#i=ar de!er$inado es!"dioE6e$7#o Los es!"dian!es de# SENA

++()( MUESTRA n

Es "na 7eB"ea 7ar!e de #a 7o<#a:ión es!"diada y B"e sir9e 7ara re7resen!ar#a E#

es!"dio de $"es!ras es $s sen:i##o B"e e# es!"dio de #a 7o<#a:ión :o$7#e!a

:"es!a $enos y ##e9a $enos !ie$7o

E6e$7#o se rea#i=a "n es!"dio a 50 es!"dian!es de# SENA

++(,( MUESTREO

Es e# 7ro:edi$ien!o e$7#eado 7ara o<!ener "na o $s $"es!ras de "na

7o<#a:ión e# $"es!reo es "na !:ni:a B"e sir9e 7ara o<!ener "na o $s $"es!ras

de 7o<#a:ión

Es!e se rea#i=a "na 9e= B"e se a es!a<#e:ido "n $ar:o $"es!ra# re7resen!a!i9o

de #a 7o<#a:ión, se 7ro:ede a #a se#e::ión de #os e#e$en!os de #a $"es!ra a"nB"e

ay $":os diseos de #a $"es!ra

E6e$7#o Considere$os :o$o "na 7o<#a:ión a #os es!"dian!es de ed":a:ión de#

SENA, de!er$inando 7or #o $enos dos :ara:!eres ser es!"diados en di:a

7o<#a:ión

Re#i%ión de #os es!"dian!es

SeFo

11.3.1. Tipos de M&estreo9 EFis!en dos $!odos 7ara se#e::ionar $"es!ras de7o<#a:iones e# $"es!reo no a#ea!orio o de 6"i:io y e# $"es!reo a#ea!orio o de

7ro<a<i#idad En es!e H#!i$o !odos #os e#e$en!os de #a 7o<#a:ión !ienen #a

o7or!"nidad de ser es:o%idos en #a $"es!ra Una $"es!ra se#e::ionada 7or

$"es!reo de 6"i:io se <asa en #a eF7erien:ia de a#%"ien :on #a 7o<#a:ión A#%"nas

9e:es "na $"es!ra de 6"i:io se "sa :o$o %";a o $"es!ra !en!a!i9a 7ara de:idir

http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml


http://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtml

http://www.monografias.com/Educacion/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos54/resumen-estadistica/resumen-estadistica.shtml


http://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtml

http://www.monografias.com/Educacion/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos54/resumen-estadistica/resumen-estadistica.shtml





:ó$o !o$ar "na $"es!ra a#ea!oria $s ade#an!e Las $"es!ras de 6"i:io e9i!an e#

an#isis es!ad;s!i:o ne:esario 7ara a:er $"es!ras de 7ro<a<i#idad

++(7( ESPACIO MUESTRAL

Consis!e en e# :on6"n!o de !odos #os 7osi<#es res"#!ados indi9id"a#es de "n

eF7eri$en!o a#ea!orio

E6e$7#o si e# eF7eri$en!o :onsis!e en #an=ar dos $onedas, e# es7a:io de

$"es!reo es e# :on6"n!o \>:ara, :ara?, >:ara, :r"=?, >:r"=, :ara? y >:r"=, :r"=?] Un

e9en!o o s":eso es :"a#B"ier s"<:on6"n!o de# es7a:io $"es!ra#, ##a$ndose a #oss":esos B"e :on!en%an "n Hni:o e#e$en!o s":esos e#e$en!a#es En e# e6e$7#o, e#

s":eso [sa:ar :ara en e# 7ri$er #an=a$ien!o[, o \>:ara, :ara?, >:ara, :r"=?], es!ar;a

or$ado 7or #os s":esos e#e$en!a#es \>:ara, :ara?] y \>:ara, :r"=?]

++(:( TIPOS DE ESPACIO MUESTRAL

Se 7"ede dieren:iar en!re dos !i7os de es7a:ios $"s!ra#es dis:re!os y

:on!in"os

++(%( DISCRETOS

Son aB"e##os es7a:ios donde e# nH$ero de s":esos e#e$en!a#es es ini!o o inini!o

n"$era<#e Es7a:io Pro<a<i#;s!i:o dis:re!o Es aB"e# :"yo es7a:io $"es!ra# es dis:re!o Se

7"ede dieren:iar 9arios !i7os de es7a:io 7ro<a<i#;s!i:o dis:re!o

Es7a:io Pro<a<i#;s!i:o Dis:re!o EB"i7ro<a<#e S" es7a:io $"es!ra# es ini!o de !a$ao n

La 7ro<a<i#idad de :"a#B"ier s":eso e#e$en!a# E es,

P >E? J 1 de aB"; se ded":e B"e 7ara !odo s":eso A #a 7ro<a<i#idad es

n

P >A? J n >A?

n

http://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADstico

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADstico






Es7a:io Pro<a<i#;s!i:o 'ini!o

S" es7a:io $"es!ra# es dis:re!o ini!o 4ay a# $enos 2 s":esos e#e$en!a#es B"e :"$7#en P >A? J P >&?

Pro:esos Es!o:s!i:os 'ini!os ( Dia%ra$as de ^r<o#

Un 7ro:eso es!o:s!i:o es "na s":esión ini!a de eF7eri$en!os a#ea!orios, :ada

"no de e##os :on "n n_ ini!o de res"#!ados 7osi<#es Se re7resen!an :on dia%ra$a

de r<o#

E=emplo

I$a%ine$os B"e se #an=an "na $oneda y "n dado

La 7ro<a<i#idad de "n :a$ino es #a $"#!i7#i:a:ión de s"s 7ro<a<i#idades

La 7ro<a<i#idad de sa:ar "na :ara y "n !res ser

P >:? P >? J 1 1 J 1

2 ) 12

La 7ro<a<i#idad de "n s":eso :"a#B"iera es #a s"$a de #as 7ro<a<i#idades

de #os :a$inos

La 7ro<a<i#idad de sa:ar i$7ar ser

P >I? J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 )

Es7a:io Pro<a<i#;s!i:o Inini!o Con!a<#e

AB"e# :"yo es7a:io $"es!ra# es dis:re!o inini!o :on!a<#e Por e6e$7#o

La 7ro<a<i#idad de B"e sa#%a :ara en #a 7ri$era !irada 1

2

La 7ro<a<i#idad de B"e sa#%a :ara en #a se%"nda !irada 1 1 J 1

2 2 3

La 7ro<a<i#idad de B"e sa#%a :ara en #a !er:era !irada 1 1 1 J 1

2 2 2





++(<( CONTINUOS

Son aB"e##os es7a:ios donde e# nH$ero de s":esos e#e$en!a#es es inini!oin:on!a<#e

Es7a:io 7ro<a<i#;s!i:o :on!in"o

Es7a:io $"es!ra# inini!o no n"$era<#e No es 7osi<#e o<ser9ar 7"n!os

:on:re!os de# es7a:io

Tiene sen!ido a<#ar de in!er9a#os o<ser9ados No es 7osi<#e asi%nar

7ro<a<i#idad a "n 7"n!o :on:re!o, se asi%na a in!er9a#os

Por !an!o #a "n:ión P es! deinida so<re in!er9a#os PiFEpHe

4a<i!"a#$en!e :"ando !ra<a6a$os :on $a%ni!"des ;si:as

++(/( EVENTOS ALEATORIOS

Un e@ento es "n s"<:on6"n!o de# es7a:io $"es!ra# Un e9en!o a#ea!orio es aB"e#

B"e 7ro7or:iona dieren!es res"#!ados a"n :"ando se re7i!a sie$7re de #a $is$a

$anera

E=emplo

Considere &n eperimento donde se sele33ionan dos 3omponentes 4 se

3lasii3an 3onorme 3&mplen o no los reJ&erimientos( El res&ltado de

este eperimento es J&e el primero sea a3epta5le> 4 el seg&ndo noK

esto se denotar' 3omo AN( As2 tenemos9

S AA(AN(NA(NN(

Donde AN es &n e@ento aleatorio del eperimento(

++(-( EPERIMENTO ESTAD1STICO

Un eF7eri$en!o B"e !iene #as si%"ien!es :ara:!er;s!i:as es ##a$ado eF7eri$en!o

a#ea!orio o es!ad;s!i:o





Todos #os 7osi<#es res"#!ados de# eF7eri$en!o son :ono:idos an!es de a:er

"na rea#i=a:ión de# eF7eri$en!o E# res"#!ado eFa:!o en :"a#B"ier e6e:":ión de# eF7eri$en!o no es 7rede:i<#e

>a#ea!oriedad? E# eF7eri$en!o 7"ede ser re7e!ido <a6o >$s o $enos? idn!i:as :ondi:iones EFis!e "n 7a!rón 7redi:!i<#e a #o #ar%o de $":as e6e:":iones >re%"#aridad

es!ad;s!i:a?

E=emplos

Lan=ar "na $oneda y o<ser9ar #a :ara

Una <o$<i##a $an"a:!"rada en "na 7#an!a es eF7"es!a a "na 7r"e<a de 9ida y

e# !ie$7o de d"ra:ión de "na <o$<i##a es re%is!rado En es!e :aso no se :ono:e

:"# ser e# !ie$7o de d"ra:ión de #a <o$<i##a se#e::ionada, 7ero :#ara$en!e se

7"ede :ono:er de an!e$ano B"e ser "n 9a#or en!re 0 y oras

Un #o!e de N ;!e$s B"e :on!iene D dee:!"osos es $"es!reado Un ;!e$

$"es!reado no se ree$7#a=a, y se re%is!ra si e# ;!e$ $"es!reado es o no

dee:!"oso E# 7ro:eso :on!in"a as!a B"e !odos #os ;!e$s dee:!"osos sean

en:on!rados

Una $an"a:!"rera de reri%eradores ins7e::iona s"s reri%eradores 7ara 10

!i7os de dee:!os E# nH$ero de dee:!os en:on!rado en :ada reri%erador

ins7e::ionado es re%is!rado

Se#e::ionar "na 7#an!a de "na 7ar:e#a y o<ser9ar si 7ade:e a#%"naener$edad, es de:ir es sana o ener$a

Se#e::ionar "na 7#an!a y $edir s" a#!"ra

12. TCNICAS DE CONTEO





Si "n e9en!o 7"ede s":eder o rea#i=arse de n $aneras dieren!es y si,

:on!in"ando e# 7ro:edi$ien!o "n se%"ndo

E=emplo

P"ede rea#i=arse de n1 $aneras dieren!es y as; s":esi9a$en!e, en!on:es e#

nH$ero de $aneras en B"e #os e9en!os 7"eden rea#i=arse en e# orden indi:ado es

e# 7rod":!o de n1n2n..

+)(+( !BRMULA DE LA MULTIPLICACI0N

Consis!e en des:o$7oner "n eF7eri$en!o en o!ros si$7#es y $"#!i7#i:ar e# nH$ero

de 7osi<i#idades de :ada "no de s!os 7ara :a#:"#ar #as 7osi<i#idades !o!a#es

E*EMPLO

Mar!a !iene en s" $a#e!a de 9ia6e <#"sas de :o#ores <#an:o, a="# y a$ari##o

y 3 a#das de :o#ores 9erde, rosado, <ei%e y ne%ra `De :"an!as $aneras

dieren!es 7"ede a:er#o

Mar!a !iene o7:iones de es:o%er <#"sas

3 o7:iones de es:o%er a#das

A7#i:ando #a !:ni:a de #a $"#!i7#i:a:ión se !endrn #as si%"ien!es 7osi<i#idades

F 3 J 12

A#!erna!i9as 7osi<#es

&LUSA &LANCA 'ALDA VERDE'ALDA ROSADA





'ALDA &EIGE'ALDA NEGRA

&LUSA A+UL

'ALDA VERDE'ALDA ROSADA'ALDA &EIGE'ALDA NEGRA

&LUSA AMARILLA

'ALDA VERDE'ALDA ROSADA'ALDA &EIGE'ALDA NEGRA

+)()( LE" DE LA SUMA

Es!a #ey :onsis!e en e# $ode#o La s"$a de P>A? P>&? :onsidera #a s"$a de

!odos #os 7"n!os $"s!ra#es de AU& 7ero :"en!a dos 9e:es #os 7"n!os $"s!ra#es

de #a in!erse::ión A&, 7or e##o a# res!ar P>A&? se o<!iene e# res"#!ado :orre:!o

La 7ro<a<i#idad de #a "nión AU& es P>AU&?JP>A? P>&? P>A&?

En e# :aso en B"e A y & sean e9en!os $"!"a$en!e eF:#"yen!es P>AU&?JP>A?

P>&? ya B"e P>A&?J0

Genera#i=ando es!o si A,&, 4 son e9en!os $"!"a$en!e eF:#"yen!es, :on

7ro<a<i#idad P>A?, P>&?P>4?, en!on:es #a 7ro<a<i#idad de o:"rren:ia de A o &o 4

es #a s"$a de #as 7ro<a<i#idades P>A? P>&? P>4?

E6e$7#o

Si A es e# e9en!o eF!raer "n as de #a <ara6a de :ar!as, y & es e# e9en!o eF!raer "n

rey

P>A?J3K52J1K y P>&?J1K1

L"e%o #a 7ro<a<i#idad de eF!raer "n as o "n rey es "na eF!ra::iónP>A&?JP>A?P>&?J1K11K1J2K1 7"es!o B"e a$<os no 7"eden eF!raerse en

"na so#a eF!ra::ión Son e9en!os $"!"a$en!e eF:#"yen!es

+)(,( NOTACIBN !ACTORIAL





E# 7rod":!o de nH$eros en!eros 7osi!i9os desde 1 as!a n se e$7#ea :on $":a

re:"en:ia en $a!e$!i:as >nb?nb J 12 ..n

nbJ n>n1? >n2?.12

nbJ n>n1?b

nbJ n>n1? >n2?. >>nr1? >nr?b

>n1?b >n1?n>n1? J n >n1?

>n1?b >n1?b

+)(7( PERMUTACIONES

Una ordena:ión de "n :on6"n!o de n o<6e!os en "n orden dado se ##a$a

perm&ta3ión de los o5=etos >!o$ados !odos a #a 9e=? Una ordena:ión de "n

nH$ero r de di:os o<6e!os rJ n en "n orden dado se ##a$a "na 7er$"!a:ión r o

7er$"!a:ión de n o<6e!os !o$ados r a #a 9e=

P >nr? J nb

>nr?b

rJ n

P>nr? J nb J nb J nb

Ob 1

E6e$7#o

P>nr? J nb

>nr?b rJn

P>nr? J nb J nb J nb

0b 1

SJ a,<,:,d

P >31? J 3b J 3b J 3





>31?b b

P >32? J 3b J 32b J 12 >32?b 2b

P >3? J 3b J 321b J 23

>3?b 1b

P >33? J 3bJ23

+)(:( COMINACIONES

Una :o$<ina:ión de n o<6e!os !o$ados r a #a 9e= es "n s"<:on6"n!o de r

e#e$en!os Una :o$<ina:ión es "na se#e::ión de r o n o<6e!os donde e#

orden no se !iene en :"en!a

C >nr? J P >nr? J nb

rb >nr?b rb

E6e$7#o

Un res!a"ran!e !iene ) 7os!res dieren!es En:"en!re e# nH$ero de or$as en #as

B"e "n :#ien!e 7"eda es:o%er 2 de #os 7os!res

C >nr? J P>nr? J nb

rb >nr?b1b rb

C >)2? J ) J )53 J 15

3b2b 3b2b

13. AIOMAS DE LAS PROAILIDADES





Los aFio$as de pro5a5ilidad son #as :ondi:iones $;ni$as B"e de<en 9erii:arse

7ara B"e "na "n:ión deinida so<re "n :on6"n!o de s":esos de!er$ine:onsis!en!e$en!e s"s 7ro<a<i#idades

E=emplo re7e!i:iones de "n eF7eri$en!o :"yas e9en!"a#idades son 0, 1, y 2

0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2

're:"en:ia eF7eri$en!a# de 0 es K20, #a de 1,2 es de 12K20

E# :on6"n!o de #as re7e!i:iones :ons!i!"ye "n n"e9o eF7eri$en!o a#ea!orio

PRIMER AIOMA

La 7ro<a<i#idad de "n s":eso A es "n nH$ero rea# $ayor o i%"a# B"e 0

SEGUNDO AIOMA

La 7ro<a<i#idad de# !o!a#, c, es i%"a# a 1, es de:ir,

TERCER AIOMA

Si son s":esos $"!"a$en!e eF:#"yen!es >in:o$7a!i<#es dos a dos,dis6"n!os o de in!erse::ión 9a:;a dos a dos?, en!on:es

Se%Hn es!e aFio$a se 7"ede :a#:"#ar #a 7ro<a<i#idad de "n s":eso :o$7"es!o de

9arias a#!erna!i9as $"!"a$en!e eF:#"yen!es s"$ando #as 7ro<a<i#idades de s"s

:o$7onen!es

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_disjuntos



http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_disjuntos





En !r$inos $s or$a#es, "na 7ro<a<i#idad es "na $edida so<re "na Z#%e<ra

de s"<:on6"n!os de# es7a:io $"es!ra#, siendo #os s"<:on6"n!os $ie$<ros de #a Z#%e<ra #os s":esos y deinida de !a# $anera B"e #a $edida de# !o!a# sea 1 Ta#

$edida, %ra:ias a s" deini:ión $a!e$!i:a, 9erii:a i%"a#$en!e #os !res aFio$as

de o#$o%óro9 A #a !erna or$ada 7or e# es7a:io $"es!ra#, #a Z#%e<ra y #a

"n:ión de 7ro<a<i#idad se #a deno$ina Espa3io pro5a5il2sti3o, es!o es, "n

[es7a:io de s":esos[ >e# es7a:io $"es!ra#? en e# B"e se an deinido #os 7osi<#es

s":esos a :onsiderar >#a Z#%e<ra? y #a 7ro<a<i#idad de :ada s":eso >#a "n:ión

de 7ro<a<i#idad?

+,(+( PROPIEDADES ?UE DEDUCEN LOS AIOMAS

De #os aFio$as an!eriores se ded":en o!ras 7ro7iedades de #a 7ro<a<i#idad

1 donde e# :on6"n!o 9a:;o re7resen!a en 7ro<a<i#idad e#

s&3eso imposi5le

2 Para :"a#B"ier s":eso

3 Si en!on:es

5

E=emplos

Co$o e6e$7#o se 7"ede !o$ar :o$o es7a:io $"es!ra# a #os 7osi<#es res"#!ados a#arro6ar "n dado :orrien!e , !o$are$os :o$o Z#%e<ra !odos

#os s"<:on6"n!os 7osi<#es de c >B"e en $a!e$!i:as se deno!a 7or ? y :o$o

"n:ión de 7ro<a<i#idad

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medida

http://es.wikipedia.org/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral





http://es.wikipedia.org/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra









donde re7resen!a e# nH$ero de e#e$en!os de# :on6"n!o A

Es :i# :o$7ro<ar B"e es!a "n:ión 9erii:a #os !res aFio$as de o#$o%óro9 y, 7or !an!o, :ons!i!"ye "na 7ro<a<i#idad so<re es!e :on6"n!o

1. , 7"es!o B"e es e# :o:ien!e de dos nH$eros 7osi!i9os

2

3. Si de !a# $anera B"e

en!on:es

Con #o B"e

+7( TEOREMAS !UNDAMENTALES DE LA PROAILIDAD

4ay a#%"nos res"#!ados i$7or!an!es de# :#:"#o de 7ro<a<i#idades B"e son:ono:idos <a6o #os no$<res de !eore$a de #a 7ro<a<i#idad :o$7"es!a, !eore$a de

#a 7ro<a<i#idad !o!a# y !eore$a de &ayes Vea$os :"a#es son es!os !eore$as, 7ero

7re9ia$en!e 9a$os a en"n:iar a $odo de re:o7i#a:ión, "na serie de res"#!ados

e#e$en!a#es :"ya de$os!ra:ión se de6a :o$o e6er:i:io 7ara e# #e:!or >a#%"nos ya

an sido de$os!rados an!erior$en!e?

+7(+( PROPOSICI0N

Sean no ne:esaria$en!e dis6"n!os Se 9erii:an en!on:es #as si%"ien!es

7ro7iedades

Pro<a<i#idad de #a "nión de s":esos

http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_Kolmog%C3%B3rov

http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_Kolmog%C3%B3rov





Pro<a<i#idad de #a in!erse::ión de s":esos

Pro<a<i#idad de# s":eso :on!rario

Pro<a<i#idad :ondi:ionada de# s":eso :on!rario

E=emplo9

En "na "ni9ersidad e# 50 de #os a#"$nos a<#a in%#s, e# 20 ran:s y e# 5 #os

dos idio$as `C"# es #a 7ro<a<i#idad de en:on!rar a#"$nos B"e a<#en a#%"na

#en%"a eF!ran6era

Sol&3ión9

Sea A e# s":eso a<#ar in%#s

Sea & e# s":eso a<#ar ran:s

E# s":eso a<#ar ran:s e in%#s es

As;





E=emplo9

En "na es!a:ión de esB";, 7ara na9idades, #a eF7erien:ia indi:a B"e ay "n

!ie$7o so#eado só#o e# 15 de #os d;as Por o!ro #ado, se a :a#:"#ado B"e :"ando

"n d;a es so#eado, ay "na 7ro<a<i#idad de# 20 de B"e e# d;a 7os!erior !a$<in #o

sea Ca#:"#ar #a 7ro<a<i#idad de B"e, en na9idades, "n in de se$ana :o$7#e!o

sea so#eado

Sol&3ión9 L#a$e$os S a# s":eso s<ado so#eado y D a# s":eso do$in%o so#eado

La Hni:a $anera en B"e "n in de se$ana :o$7#e!o sea so#eado es B"e #o sea en

7ri$er #"%ar e# s<ado, y B"e e# do$in%o 7os!erior !a$<in Es de:ir

L"e%o só#o e# de #os ines de se$ana son so#eados

E# 7ri$ero de #os !eore$as B"e 9a$os a en"n:iar es "na %enera#i=a:ión de #a

7ro<a<i#idad de #a in!erse::ión de dos s":esos, a #a de "n nH$ero :"a#B"iera 7ero

ini!o de e##os

+7()( TEOREMA PROAILIDAD COMPUESTA

Sea "na :o#e::ión de s":esos a#ea!orios En!on:es

DEMOSTRACI0N







13 TEOREMA >PRO&A&ILIDAD TOTAL?

Sea "n sis!e$a eFa"s!i9o y eF:#"yen!e de s":esos En!on:es

DEMOSTRACI0N

!ig&ra9 Si A1,A2,A,A3 or$a "n sis!e$a

eFa"s!i9o y eF:#"yen!e se s":esos,

7ode$os :a#:"#ar #a 7ro<a<i#idad de & a

7ar!ir de #as :an!idades , o #o

B"e es #o $is$o,





E$EMPLO

Se !ienen dos "rnas, y :ada "na de e##as :on!iene "n nH$ero dieren!e de <o#as

<#an:as y ro6as

• Pri$era "rna, U1 <o#as <#an:as y 2 ro6as

• Se%"nda "rna, U2 3 <o#as <#an:as y 2 ro6as

Se rea#i=a e# si%"ien!e eF7eri$en!o a#ea!orio

Se !ira "na $oneda a# aire y si sa#e :ara se e#i%e "na <o#a de #a 7ri$era "rna, y si

sa#e :r"= de #a se%"nda

`C"# es #a 7ro<a<i#idad de B"e sa#%a "na <o#a <#an:a

Sol&3ión9 La si!"a:ión B"e !ene$os 7"ede ser esB"e$a!i=ada :o$o

U1





U2

Co$o U1 y U2 or$an "n sis!e$a in:o$7a!i<#e y eF:#"yen!e de s":esos >#a <o#a

res"#!ado de<e 7ro9enir de "na de esas dos "rnas y de "na só#o de e##as?, e#

!eore$a de #a 7ro<a<i#idad !o!a# nos 7er$i!e air$ar en!on:es B"e

+:(PROAILIDAD CONDICIONAL

Se se#e::ionan dos se$i##as a#ea!oria$en!e, "na 7or "na, de "na <o#sa B"e

:on!iene 10 se$i##as de #ores ro6as y 5 de #ores <#an:as `C"# es #a 7ro<a<i#idad

de B"e

a La 7ri$era se$i##a sea ro6a< La se%"nda se$i##a sea <#an:a dado B"e #a 7ri$era "e ro6a

Sol&3ión9





a La 7ro<a<i#idad de B"e #a 7ri$era se$i##a sea ro6a es , 7"es!o B"e ay10 se$i##as de #ores ro6as de "n !o!a# de 15 Es:ri!o :on no!a:ión de

7ro<a<i#idad !ene$os

< La 7ro<a<i#idad de B"e #a se%"nda se$i##a sea <#an:a se 9e in#"ida 7or #o

B"e sa#ió 7ri$ero, es de:ir es!a 7ro<a<i#idad es! s"6e!a a "na :ondi:ión, #a

de B"e #a 7ri$era se$i##a sea ro6a Es!e !i7o de 7ro<a<i#idad se #e ##a$a

7ro<a<i#idad :ondi:iona# y se deno!a 7or

, y se #ee #a 7ro<a<i#idad de &2 dado R1

Es!a 7ro<a<i#idad , 7"es!o B"e !oda9;a ay 5 se$i##as <#an:as en "n

!o!a# de 13 res!an!es

Vea$os #a si!"a:ión en "n dia%ra$a de r<o#

Deini3ión de Pro5a5ilidad Condi3ional9 Para dos e9en!os

:"a#esB"iera A y & en "n es7a:io $"es!ra S, !a#es B"e P>A? 0 :on

P>A? 0, #a 7ro<a<i#idad de# e9en!o & dado e# e9en!o A, se deine 7or





E=emplo9

Una 7ersona #an=a "na $oneda 9e:es, `C"# es #a 7ro<a<i#idad de o<!ener

%"i#as dado B"e sa#ió 7or #o $enos "n %"i#a

Sol&3ión9 E# es7a:io $"es!ra de# eF7eri$en!o de #an=ar "na $oneda 9e:es es

S J \aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss]

E# e9en!o A de B"e 7or #o $enos ay "n %"i#a en #os !res #an=a$ien!os es A J \aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa]

E# e9en!o & de B"e o<!en%a %"i#as es & J \aaa]

Por #o !an!o, A & J\aaa] y

De donde

Nó!ese B"e es #a 7ro<a<i#idad de &na o:"rren:ia en #as siete B"e son

7osi<#es en A es de:ir, :a#:"#ar #a 7ro<a<i#idad :ondi:iona# de & dado A es :o$o

:a#:"#ar #a 7ro<a<i#idad de & :on re#a:ión a# :on6"n!o A, :o$o si s!e "era "n

n"e9o es7a:io $"es!ra S J A

PROPOSICIONES

Para dos e9en!os A y & :"a#esB"iera de# es7a:io $"es!ra S,

DEMOSTRACI0N

Para :"a#B"ier e9en!o &,





Co$o #os e9en!os >& A? y >& AC? son $"!"a$en!e eF:#"si9os y s" "nión es &,

en!on:es 7or e# aFio$a , !ene$os XY

Des7e6ando P>A &? de #a deini:ión de 7ro<a<i#idad :ondi:iona#, !ene$os

P>A &? J P>A? P>&KA? y P>AC&? J P>AC? P >&KAC?

S"s!i!"yendo en XY se !iene P>&? J P>A? P>&KA? P>AC? P >&KAC?

O<sr9ese B"e en "n dia%ra$a de r<o# si se $"#!i7#i:a

P>A? P>&KA? J P>A &? y P>AC? P>&KAC? J P>AC&?

E=emplo9

Considere$os dos :a6as, #a :a6a 1 :on!iene eseri!as <#an:as y 3 ro6as y #a :a6a 2

:on!iene <#an:as y 3 ro6as Se se#e::iona "na :a6a a# a=ar y #"e%o se eF!rae "na

esera a# a=ar 4a##ar #a 7ro<a<i#idad de B"e #a esera sea <#an:a

Sol&3iónSea A e# e9en!o de se#e::ionar #a :a6a 1 y A C e# e9en!o de se#e::ionar #a :a6a 2,

en!on:es P>A? J P>AC? J 1K2 ya B"e :"a#B"iera de #as dos :a6as !iene #a $is$a

7ro<a<i#idad de ser eF!ra;da Sea & e# e9en!o de se#e::ionar "na esera <#an:a,

en!on:es P>&KA? J K/ ya B"e en #a :a6a 1 ay eseras <#an:as en "n !o!a# de / y

P>&KAC? J K12 7orB"e en #a :a6a 2 ay eseras <#an:as en "n !o!a# de 12





Aora <ien, 7or #a 7ro7osi:ión 5 !ene$os

+%(TEOREMA DE A"ES(

En e# ao 1/), dos aos des7"s de #a $"er!e de To$as &ayes >1/021/)1?,

se 7"<#i:ó "na $e$oria en #a B"e a7are:e, 7or 9e= 7ri$era, #a de!er$ina:ión de #a

7ro<a<i#idad de #as :a"sas a 7ar!ir de #os ee:!os B"e an 7odido ser o<ser9ados

E# :#:"#o de di:as 7ro<a<i#idades re:i<e e# no$<re de !eore$a de &ayes

Teorema de a4es

Sea A1, A2, ,An "n sis!e$a :o$7#e!o de s":esos, !a#es B"e #a 7ro<a<i#idad de :ada

"no de e##os es dis!in!a de :ero, y sea & "n s":eso :"a#B"ier de# B"e se :ono:en

#as 7ro<a<i#idades :ondi:iona#es P>&KAi? en!on:es #a 7ro<a<i#idad P>AiK&? 9iene

dada 7or #a eF7resión

En #os 7ro<#e$as re#a:ionados :on #a 7ro<a<i#idad, y en 7ar!i:"#ar :on #a

7ro<a<i#idad :ondi:ionada, as; :o$o :on #a 7ro<a<i#idad !o!a# y e# !eore$a de

&ayes, es a:onse6a<#e B"e, :on #a inor$a:ión de# 7ro<#e$a, :ons!r"yas "na !a<#a

de :on!in%en:ia o "n dia%ra$a de r<o#

TIPOS DE SUCESO

EFa"s!i9o se di:e B"e dos o $s s":esos son eFa"s!i9os si se

:onsideran !odos #os 7osi<#es res"#!ados





Si$<ó#i:a$en!e 7 >A o & o? J 1

No eFa"s!i9os se di:e B"e dos o $s s":esos son eFa"s!i9os si no:"<ren !odos #os 7osi<#es res"#!ados

M"!"a$en!e eF:#"yen!es s":esos B"e no 7"eden o:"rrir en or$a

si$"#!nea

P>A y &? J 0 y 7>A o &? J 7>A? 7 >&?

E=emplo9 o$<res, $"6eres

No $"!"a$en!e eF:#"yen!es s":esos B"e 7"eden o:"rrir en or$a

si$"#!nea

P >A o &? J 7 >A? 7 >&? 7 >A y &?

E6e$7#o o$<res, o6os :as

Inde7endien!es S":esos :"ya 7ro<a<i#idad no se 9e ae:!ada 7or #a

o:"rren:ia o no o:"rren:ia de# o!ro

P > AI & ? J P > A ? P > &IA ? J P >&? ( P >A ( &? J P>A? P>&?

E6e$7#o seFo y :o#or de o6os

De7endien!es s":esos :"ya 7ro<a<i#idad :a$<ia de7endiendo de #a

o:"rren:ia o no o:"rren:ia de# o!ro

P > AI & ? diiere de 7 >A? P > &IA ? diiere de P>&?

( P >A ( &?J P > A ? P > &IA ?J P >&? P > AI & ?

E6e$7#o ra=a y :o#or de o6os

+<(DISTRUUCION DE VARIALE DISCRETA

Se deno$ina dis!ri<":ión de 9aria<#e dis:re!a a aB"e##a :"ya "n:ión de

7ro<a<i#idad só#o !o$a 9a#ores 7osi!i9os en "n :on6"n!o de 9a#ores de @ini!o o

inini!o n"$era<#e A di:a "n:ión se #e ##a$a "n:ión de $asa de 7ro<a<i#idad En

es!e :aso #a dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad es e# s"$a!orio de #a "n:ión de $asa,

7or #o B"e !ene$os en!on:es B"e

http://es.wikipedia.org/wiki/Finito


http://es.wikipedia.org/wiki/Finito






(, !a# :o$o :orres7onde a #a deini:ión de dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad, es!a

eF7resión re7resen!a #a s"$a de !odas #as 7ro<a<i#idades desde as!a e#

9a#or F

+<(+( INOMIAL

En es!ad;s!i:a, #a distri5&3ión 5inomial es "na dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad

dis:re!a B"e $ide e# nH$ero de Fi!os en "na se:"en:ia de n ensayos

inde7endien!es de &erno"##i :on "na 7ro<a<i#idad i6a 7 de o:"rren:ia de# Fi!o

en!re #os ensayos

Un eF7eri$en!o de &erno"##i se :ara:!eri=a 7or ser di:o!ó$i:o, es!o es, só#o son

7osi<#es dos res"#!ados A "no de es!os se deno$ina Fi!o y !iene "na

7ro<a<i#idad de o:"rren:ia 7 y a# o!ro, ra:aso, :on "na 7ro<a<i#idad B J 1 7 En

#a dis!ri<":ión <ino$ia# e# an!erior eF7eri$en!o se re7i!e n 9e:es, de or$a

inde7endien!e, y se !ra!a de :a#:"#ar #a 7ro<a<i#idad de "n de!er$inado nH$ero de

Fi!os Para n J 1, #a <ino$ia# se :on9ier!e, de e:o, en "na dis!ri<":ión de

&erno"##i

+<()( CARACTERISTICAS ANALITICAS

E=emplos

Las si%"ien!es si!"a:iones son e6e$7#os de eF7eri$en!os B"e 7"eden

$oderni=arse 7or es!a dis!ri<":ión

Se #an=a "n dado die= 9e:es y se :"en!a e# nH$ero @ de !reses o<!enidos

en!on:es @ f &>10, 1K)?

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica


http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Bernoulli




http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Bernoulli







Se #an=a "na $oneda dos 9e:es y se :"en!a e# nH$ero @ de :aras

o<!enidas en!on:es @ f &>2, 1K2? Una 7ar!;:"#a se $"e9e "nidi$ensiona#$en!e :on 7ro<a<i#idad B de

$o9erse de aB"; 7ara a## y 1B de $o9erse de a## 7ara a:

" "n:ión de 7ro<a<i#idad es

donde

siendo #as :o$<ina:iones de en > e#e$en!os

!o$ados de en ?

E=emplo9

S"7on%a$os B"e se #an=a "n dado 50 9e:es y B"ere$os #a 7ro<a<i#idad de

B"e e# nH$ero sa#%a 20 9e:es En es!e :aso !ene$os "na @ f &>50, 1K)?

y #a 7ro<a<i#idad ser;a P>@J20?

+<(,( 8IPERGEOMETRICA

En !eor;a de #a 7ro<a<i#idad #a distri5&3ión ipergeomtri3a es "na dis!ri<":ión

dis:re!a re#a:ionada :on $"es!reos a#ea!orios y sin ree$7#a=o S"7ón%ase B"e se!iene "na 7o<#a:ión de N e#e$en!os de #os :"a#es, d 7er!ene:en a #a :a!e%or;a A y

Nd a #a & La dis!ri<":ión i7er%eo$!ri:a $ide #a 7ro<a<i#idad de o<!ener F >

? e#e$en!os de #a :a!e%or;a A en "na $"es!ra de n e#e$en!os de #a

7o<#a:ión ori%ina#

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_probabilidad



http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADstica




http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADstica





+<(7( PROPIEDADES

La "n:ión de 7ro<a<i#idad de "na 9aria<#e a#ea!oria :on dis!ri<":ión

i7er%eo$!ri:a 7"ede ded":irse a !ra9s de ra=ona$ien!os :o$<ina!orios y es

i%"a# a

DondeN es e# !a$ao de 7o<#a:ión, n es e# !a$ao de #a $"es!ra eF!ra;da, d es e#

nH$ero de e#e$en!os en #a 7o<#a:ión ori%ina# B"e 7er!ene:en a #a :a!e%or;a

deseada y F es e# nH$ero de e#e$en!os en #a $"es!ra B"e 7er!ene:en a di:a

:a!e%or;a La no!a:ión a:e reeren:ia a# :oei:ien!e <ino$ia#, es de:ir, e#

nH$ero de :o$<ina:iones 7osi<#es a# se#e::ionar < e#e$en!os de "n !o!a# a

E# 9a#or es7erado de "na 9aria<#e a#ea!oria@ B"e si%"e #a dis!ri<":ión

i7er%eo$!ri:a es

( s" 9arian=a,

En #a ór$"#a an!erior, deiniendo

(

Se o<!iene


http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_esperado

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria



http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_esperado







La dis!ri<":ión i7er%eo$!ri:a es a7#i:a<#e a $"es!reos sin ree$7#a=o y #a

<ino$ia# a $"es!reos :on ree$7#a=o En si!"a:iones en #as B"e e# nH$eroes7erado de re7e!i:iones en e# $"es!reo es 7res"$i<#e$en!e <a6o, 7"ede

a7roFi$arse #a 7ri$era 7or #a se%"nda Es!o es as; :"ando N es %rande y e#

!a$ao re#a!i9o de #a $"es!ra eF!ra;da, nKN, es 7eB"eo

+/( POISSON

La dis!ri<":ión de Poisson es "na dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idaddis:re!a B"e

eF7resa, a 7ar!ir de "na re:"en:ia de o:"rren:ia $edia, #a 7ro<a<i#idad B"e

o:"rra "n de!er$inado nH$ero de e9en!os d"ran!e :ier!o 7eriodo de !ie$7o

'"e des:"<ier!a 7or Si$eónDenis Poisson, B"e #a dio a :ono:er en 1 en s"

!ra<a6o Re :er:es s"r #a 7ro<a<i#i! des 6"%e$en!s en $e!ieres :ri$ine##es e!

$e!iere :i9i#e >In9es!i%a:ión so<re #a 7ro<a<i#idad de #os 6"i:ios en $a!erias

:ri$ina#es y :i9i#es?

+/(+( PROPIEDADES

La "n:ión de $asa de #a dis!ri<":ión de Poisson es

Donde

W es e# nH$ero de o:"rren:ias de# e9en!o o enó$eno >#a "n:ión nos da #a7ro<a<i#idad de B"e e# e9en!o s":eda 7re:isa$en!e W 9e:es?

g es "n 7ar$e!ro 7osi!i9o B"e re7resen!a e# nH$ero de 9e:es B"e se

es7era B"e o:"rra e# enó$eno d"ran!e "n in!er9a#o dado Por e6e$7#o, si e#

s":eso es!"diado !iene #"%ar en 7ro$edio 3 9e:es 7or $in"!o y es!a$os

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial


http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta

http://es.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson

http://es.wikipedia.org/wiki/1838



http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta

http://es.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson

http://es.wikipedia.org/wiki/1838





in!eresados en #a 7ro<a<i#idad de B"e o:"rra W 9e:es den!ro de "n in!er9a#o

de 10 $in"!os, "sare$os "n $ode#o de dis!ri<":ión de Poisson :on g J103 J 30

La $oda de "na 9aria<#e a#ea!oria de dis!ri<":ión de Poisson :on "n g no

en!ero es i%"a# a , e# $ayor de #os en!eros $enores B"e g >#os s;$<o#os

re7resen!an #a "n:ión 7ar!e en!era? C"ando g es "n en!ero 7osi!i9o, #as

$odas son g y g Q 1

La "n:ión %eneradora de $o$en!os de #a dis!ri<":ión de Poisson :on 9a#or

es7erado g es

Las 9aria<#es a#ea!orias de Poisson !ienen #a 7ro7iedad de ser inini!a$en!e

di9isi<#es

La di9er%en:ia "##<a:WLei<#er desde "na 9aria<#e a#ea!oria de Poisson de

7ar$e!ro g0 a o!ra de 7ar$e!ro g es

+/()( SUMA DE VARIALE ALEATORIAS DE POISSON

La s"$a de 9aria<#es a#ea!orias de Poisson inde7endien!es es o!ra 9aria<#e

a#ea!oria de Poisson :"yo 7ar$e!ro es #a s"$a de #os 7ar$e!ros de #asori%ina#es Di:o de o!ra $anera, si

SonN 9aria<#es a#ea!orias de Poisson inde7endien!es, en!on:es

http://es.wikipedia.org/wiki/Moda_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parte_entera

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora_de_momentos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Infinitamente_divisible&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_de_Kullback-Leibler

http://es.wikipedia.org/wiki/Independencia_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Moda_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parte_entera

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora_de_momentos



http://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_de_Kullback-Leibler

http://es.wikipedia.org/wiki/Independencia_estad%C3%ADstica





+/(,( DISTRIUCION INOMIAL

La dis!ri<":ión de Poisson es e# :aso #;$i!e de #a dis!ri<":ión <ino$ia# De e:o,

si #os 7ar$e!ros n y h de "na dis!ri<":ión <ino$ia# !ienden a inini!o y a :ero de

$anera B"e se $an!en%a :ons!an!e, #a dis!ri<":ión #;$i!e o<!enida es de

Poisson

+/(7( APORIMACION NORMAL

Co$o :onse:"en:ia de# !eore$a :en!ra# de# #;$i!e, 7ara 9a#ores %randes de g, "na

9aria<#e a#ea!oria de Poisson @ 7"ede a7roFi$arse 7or o!ra nor$a# dado B"e e#

:o:ien!e

Con9er%e a "na dis!ri<":ión nor$a# de $edia n"#a y 9arian=a 1

+/(:( DISTRIUCION EPONENCIAL

S"7ón%ase B"e 7ara :ada 9a#or ! 0, B"e re7resen!a e# !ie$7o, e# nH$ero de

s":esos de :ier!o enó$eno a#ea!orio si%"e "na dis!ri<":ión de Poisson de

7ar$e!ro g! En!on:es, #os !ie$7os dis:"rridos en!re dos s":esos s":esi9os si%"e

#a dis!ri<":ión eF7onen:ia#

E*EMPLOS

Si e# 2 de #os #i<ros en:"adernados en :ier!o !a##er !iene en:"aderna:ión

dee:!"osa, 7ara o<!ener #a 7ro<a<i#idad de B"e 5 de 300 #i<ros en:"adernados en


http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_del_l%C3%ADmite

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencial


http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_del_l%C3%ADmite

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencial





es!e !a##er !en%an en:"aderna:iones dee:!"osas "sa$os #a dis!ri<":ión de

Poisson En es!e :aso :on:re!o, W es 5 y , g, e# 9a#or es7erado de #i<rosdee:!"osos es e# 2 de 300, es de:ir, Por #o !an!o, #a 7ro<a<i#idad <"s:ada es

Es!e 7ro<#e$a !a$<in 7odr;a reso#9erse re:"rriendo a "na dis!ri<":ión <ino$ia#

de 7ar$e!ros W J 5, n J 300 y hJ0,02

+-( DISTRIUCION DE VARIALE CONTINUA

Se ##a$a 3ontin&a si s" "n:ión de dis!ri<":ión es :on!in"a P"es!o B"e #a "n:ión

de dis!ri<":ión de "na 9aria<#e a#ea!oria @ 9iene dada 7or ,

#a deini:ión i$7#i:a B"e en "na dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad :on!in"a @ se :"$7#e

PX@ J aY J 0 7ara !odo nH$ero rea#a, es!o es, #a 7ro<a<i#idad de B"e @ !o$e e#

9a#or a es :ero 7ara :"a#B"ier 9a#or de a Si #a dis!ri<":ión de @ es :on!in"a, se

##a$a a @@aria5le aleatoria 3ontin&a

En #as dis!ri<":iones de 7ro<a<i#idad :on!in"as, #a dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad es

#a in!e%ra# de #a "n:ión de densidad, 7or #o B"e !ene$os en!on:es B"e

Para "na 9aria<#e :on!in"a ay inini!os 9a#ores 7osi<#es de #a 9aria<#e y en!re

:ada dos de e##os se 7"eden deinir inini!os 9a#ores $s En es!as :ondi:iones no

es 7osi<#e ded":ir #a 7ro<a<i#idad de "n 9a#or 7"n!"a# de #a 9aria<#e :o$o se

7"ede a:er en e# :aso de 9a dis:re!as, 7ero es 7osi<#e :a#:"#ar #a 7ro<a<i#idad

a:"$"#ada as!a "n :ier!o 9a#or >"n:ión de dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad?, y se

7"ede ana#i=ar :ó$o :a$<ia #a 7ro<a<i#idad a:"$"#ada en :ada 7"n!o >es!os

:a$<ios no son 7ro<a<i#idades sino o!ro :on:e7!o #a "n:ión de densidad

En e# :aso de 9aria<#e :on!in"a #a dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad es #a in!e%ra# de #a

"n:ión de densidad, 7or #o B"e !ene$os en!on:es B"e


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua




http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidad




http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua











Sea @ "na 9a :on!in"a, "na dis!ri<":ión de 7ro<a<i#idad o "n:ión de densidad de

7ro<a<i#idad >'DP? de @ es "na "n:ión >F? !a# B"e, 7ara :"a#esB"iera dos

nH$eros a y <siendo

La %ri:a de >F? se :ono:e a 9e:es :o$o :"r9a de densidad, #a 7ro<a<i#idad de

B"e @ !o$e "n 9a#or en e# in!er9a#o Xa, <Y es e# rea <a6o #a :"r9a de #a "n:ión de

densidad as;, #a "n:ión $ide :on:en!ra:ión de 7ro<a<i#idad a#rededor de #os

9a#ores de "na 9aria<#e a#ea!oria :on!in"a

^rea <a6o #a :"r9a de >F? en!re a y <Para B"e >F? sea "na 'DP >'DP J >F?? sea #e%;!i$a, de<e sa!isa:er #as si%"ien!es

dos :ondi:iones

1 >F? 0 7ara !oda F

2

(a B"e #a 7ro<a<i#idad es sie$7re "n nH$ero 7osi!i9o, #a 'DP es "na "n:ión no

de:re:ien!e B"e :"$7#e

1 Es de:ir, #a 7ro<a<i#idad de !odo e# es7a:io $"es!ra# es

1





2 Es de:ir, #a 7ro<a<i#idad de# s":eso n"#o es :ero

)*( DISTRIUCION NORMAL

En es!ad;s!i:a y 7ro<a<i#idad se ##a$a distri5&3ión normal, distri5&3ión de

Ga&ss o distri5&3ión ga&ssiana, a "na de #as dis!ri<":iones de 7ro<a<i#idad de

9aria<#e :on!in"a B"e :on $s re:"en:ia a7are:e en enó$enos rea#esLa %ri:a de s" "n:ión de densidad !iene "na or$a a:a$7anada y es si$!ri:a

res7e:!o de "n de!er$inado 7ar$e!ro Es!a :"r9a se :ono:e :o$o :a$7ana de

Ga"ss

La i$7or!an:ia de es!a dis!ri<":ión radi:a en B"e 7er$i!e $ode#ar n"$erosos

enó$enos na!"ra#es, so:ia#es y 7si:o#ó%i:os Mien!ras B"e #os $e:anis$os B"e

s"<ya:en a %ran 7ar!e de es!e !i7o de enó$enos son des:ono:idos, 7or #a

enor$e :an!idad de 9aria<#es in:on!ro#a<#es B"e en e##os in!er9ienen, e# "so de#

$ode#o nor$a# 7"ede 6"s!ii:arse as"$iendo B"e :ada o<ser9a:ión se o<!iene

:o$o #a s"$a de "nas 7o:as :a"sas inde7endien!es

De e:o, #a es!ad;s!i:a es "n $ode#o $a!e$!i:o B"e só#o 7er$i!e des:ri<ir "n

enó$eno, sin eF7#i:a:ión a#%"na Para #a eF7#i:a:ión :a"sa# es 7re:iso e# diseo

eF7eri$en!a#, de a; B"e a# "so de #a es!ad;s!i:a en 7si:o#o%;a y so:io#o%;a sea

:ono:ido :o$o $!odo :orre#a:ionar

La dis!ri<":ión nor$a# !a$<in es i$7or!an!e 7or s" re#a:ión :on #a es!i$a:ión 7or

$;ni$os :"adrados, "no de #os $!odos de es!i$a:ión $s si$7#es y an!i%"os A#%"nos e6e$7#os de 9aria<#es aso:iadas a enó$enos na!"ra#es B"e si%"en e#

$ode#o de #a nor$a# son

:ara:!eres $oro#ó%i:os de indi9id"os :o$o #a es!a!"ra

:ara:!eres isio#ó%i:os :o$o e# ee:!o de "n r$a:o


http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidades


http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continua

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica


http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Campana_de_Gauss


http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados

http://es.wikipedia.org/wiki/Morfolog%C3%ADa_(biolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Fisiolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1rmaco


http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidades


http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continua

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica


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http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados

http://es.wikipedia.org/wiki/Morfolog%C3%ADa_(biolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Fisiolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1rmaco





:ara:!eres so:io#ó%i:os :o$o e# :ons"$o de :ier!o 7rod":!o 7or "n $is$o

%r"7o de indi9id"os :ara:!eres 7si:o#ó%i:os :o$o e# :o:ien!e in!e#e:!"a#

ni9e# de r"ido en !e#e:o$"ni:a:iones

errores :o$e!idos a# $edir :ier!as $a%ni!"des

e!:

La dis!ri<":ión nor$a# !a$<in a7are:e en $":as reas de #a 7ro7ia es!ad;s!i:a

Por e6e$7#o, #a dis!ri<":ión $"es!ra# de #as $edias$"s!ra#es es

a7roFi$ada$en!e nor$a#, :"ando #a dis!ri<":ión de #a 7o<#a:ión de #a :"a# se

eF!rae #a $"es!ra no es nor$a#X1Y Ade$s, #a dis!ri<":ión nor$a# $aFi$i=a #a

en!ro7;a en!re !odas #as dis!ri<":iones :on $edia y 9arian=a :ono:idas, #o :"a# #a

:on9ier!e en #a e#e::ión na!"ra# de #a dis!ri<":ión s"<ya:en!e a "na #is!a de da!os

res"$idos en !r$inos de $edia $"es!ra# y 9arian=a La dis!ri<":ión nor$a# es #a

$s eF!endida en es!ad;s!i:a y $":os !es! es!ad;s!i:os es!n <asados en "na

s"7"es!a [nor$a#idad[

En 7ro<a<i#idad, #a dis!ri<":ión nor$a# a7are:e :o$o e# #;$i!e de 9arias

dis!ri<":iones de 7ro<a<i#idad :on!in"as y dis:re!as

)*(+ E$EMPLOS

P# F +(7, Q +(7, *(-),%

<? a #a dere:a de = J 0

P# H .*(/- + . Q .*(/- +. *(+/%< *(/+,,:? en!re = J 21) y = J 0)5

P .)(+% F#F .*(%: Q .)(+% . Q.*(%: *()%7, *(+:7 *()7-*

d? a #a i=B"ierda de = J 1

P# F.+(,- Q .+(,- *(*/),

e? a #a dere:a de = J 1)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Consumo

http://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_intelectual

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruido_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_experimental

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_muestral

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal#cite_note-0



http://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa_(informaci%C3%B3n)


http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_continua

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_discreta

http://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Consumo

http://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_intelectual

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruido_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_experimental

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_muestral

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa_(informaci%C3%B3n)


http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_continua

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_discreta





P# H +(-% + . Q +(-% + *(-<:* *(*):*

? en!re = J 03 y = J 1/3P .*(7/ F#F +(<7 Q +(<7 . Q.*(7/ *(-:-+ *(,+:%

2 Dada "na dis!ri<":ión nor$a# es!ndar :on J 0 y Z J ), en:"en!re

a? P>+W?J 0032/

Q *(*7)< .+(<)

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