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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 1/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
CONTROLO3º ano – 2º semestre – 2005/2006
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 2 – Modelação de Sistemas Físicose Resposta no Tempo
PARTE I
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Setembro de 2001revistas em Março de 2002,
Setembro de 2004 e Setembro de 2005
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos
autores
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 2/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
M
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asco
al
MODELAÇÃOREPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA eRESPOSTA NO TEMPOde sistemas físicos
• Sistemas mecânicos• Circuitos eléctricos• Sistemas electromecânicos• Sistemas térmicos• Sistemas hidráulicos• Dinâmica de populações• ......
Entrada Saída
r(t) y(t)Sistema
Representação matemática• De entrada-saída – relaciona directamente a entrada com
a saída
• Equação diferencial
• Função de Transferência (para SLITs)
• De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 3/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translação
Lei de Newton (séc. XVII)
– F = soma das forças aplicadas ao corpo (N)– v = vector velocidade do corpo (m/s)– m = massa do corpo (Kg)– mv= momento linear Kgm/s
A força total aplicada a um corpo rígido é igual à
derivada em ordem ao tempo do seu momento linear
F= d(mv)/dt
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 4/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translação• Elementos básicos
X2
2
dt)t(xd
m)t(f =
Massa
Armazena energia cinéticam f(t)
Mola X
K
)t(x K)t(fs −=
Mola armazena energia potencial
K=constante da mola
Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0)
fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão).
K )t(x K
)t(fs
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 5/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translação
• Elementos básicos
Atrito
dt)t(xd
)t(fd β−=
Atrito - Elemento dissipador de energia
β=coeficiente de atrito viscoso
A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade
• simplificação da realidade
• é usualmente uma função não linear da velocidade
X
β
β
Xx(t)
dt)t(xd
β
)t(fd
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 6/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem
X
β
m f(t) Força externa aplicada
f(t) dt)t(xd
(t)v =Sistema
dt)t(dv
mdt
)t(xdmaplicadas forças 2
2
==∑
dt)t(dv
m)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+
A força de atrito opõe-se ao movimento
)t(f)t(vdt
)t(dvm =β+
• Representação de entrada-saída
o no domínio do tempo
o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem
o Sistema de 1ª ordem
Força externa
Força do atrito
Lei de Newton
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 7/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo
)t(f)t(vdt
)t(dvm =β+
• Para
�Uma entrada f(t)=F para t≥0
�A massa inicialmente em repouso, v(0)=0
• Como é a evolução temporal da velocidade ?
tme
FF)t(v
β−
β−
β= Para 0t ≥
Resolução da equação diferencial
Resposta forçada Resposta natural
βF
t
F
F
saída
β1
Ganho em regime estacionário
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 8/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem
)t(f)t(vdt
)t(dvm =β+
EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Representação matemática do sistema no domínio do tempo
• para uma dada entrada
• a saída pode obter-se por resolução da equação diferencial
Sistema Linear Invariante no Tempo
Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas
)s(F)s(V)s(msV =β+
∫∞
τ−
−
ττ=
=
=
0
s de)(x)s(X
)]t(f[TL)s(F
)]t(v[TL)s(V
Transformada de Laplaceunilateral
β+=
ms1
)s(F)s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Representação matemática do sistema no domínio da variável complexa s
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 9/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Transformada de Laplace Unilateral
∫∞
τ−
−
ττ=0
s de)(x)s(XTransformada de Laplaceunilateral
TLu
2
2
dt)t(xd
dt)t(dx
)t(x
)(x)(sx)s(Xs
)(x)s(sX
)s(X
−−
−
−−
−
00
0
2 &
TL
TL
TL
Propriedades da TL unilateral
Propriedades semelhantes às da TL bilateral, mas
( )44 344 21
43421
)(
0)0(
00
)()()(
ssX
st
x
ststdtsetxetxdte
dt
tdx
−
∞−
−
∞−−∞
∫∫−
−
−
−
−−=
verificação
• desempenha papel importante na análise de sistemas causais especificados por equações diferenciais com condições iniciais não nulas.
• pode ser considerada como a transformada bilateral de um sinal cujo valor para t<0 é zero.
t
x(t) Transformada bilateral = Transformada unilateral
ROCRegião de convergência
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 10/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Função de TransferênciaCaso Geral
SLITr(t) y(t)
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais
0.i.c)s(R)s(Y
)s(G=
=G(s)
R(s) Y(s)
Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =
r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TL TL-1
Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída
)s(R).s(G)s(Y =
Se as condições iniciais forem nulas
A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
Resolução da eq.diferencial
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 11/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem-continuação
msm1
)s(Gβ+
=
β
m f(t) )s(VG(s)
)s(F
u(t) = escalão de Heaviside
1sF
))t(f(TL s1
))t(u(TL =→=
β+=
ms1
.sF
)s(V
β+== −−
ms1
.sF
TL))s(V(TL)t(v 11
( )
β+
β−
β=
β+=
β+ )ms1
s1
.F)ms(s
m1Fms
1sF
TL-1
decomposição em fracções parciais
0t para e1
F1
F)t(v
)t(ue1
F)t(u1
F)t(v
tm
tm
≥β
−β
=
β−
β=
β−
β−
f(t) = F u(t)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 12/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Função de TransferênciaCaso Geral
G(s)R(s) Y(s)
n grau de polinómiom grau de polinómio
)s(D)s(N
)s(G ==
001
1n1n
nn
011m
1mm
m Nn,m ,asasbsabsbsbsb
)s(D)s(N
)s(G ∈++++++++
==−
−
−−
L
L
Função de transferência
• própria ⇔ n≥m
• estritamente própria ⇔ n>m
• não própria ⇔ n<m
Só estudaremos este tipo de FT
Pólo
λ∈C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=∞
Zero
λ∈C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=0
)s(D)s(N
)s(G =
Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns
• Os pólos do sistema são os zeros de D(s)
• Os zeros do sistema são as zeros de N(s)
cuidado ao cancelar factores comuns nos polinómios N(s) e D(s)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 13/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Função de TransferênciaCaso Geral
001
1n1n
nn
011m
1mm
m Nn,m ,asasbsabsbsbsb
)s(D)s(N
)s(G ∈++++++++
==−
−
−−
L
L
Representações alternativasSe não houver pólos e/ou zeros na origem, n≥m
0n21
m21 Nn,m ,)ps)....(ps)(ps()zs)....(zs)(zs(
K)s(D)s(N
)s(G ∈++++++
==
021
210 , ,
)1)....(1)(1(
)1)....(1)(1(
)(
)()( Nnm
sss
sTsTsTK
sD
sNsG
n
m ∈+++
+++==
τττ
i
ip
1=τ
i
iz
T1
=
Pólos {-p1, -p2, ... , -pn}
Zeros {-z1, -z2, ... , -zm}
Forma das constantes de tempo
Se -pi for um pólo real
constante de tempo
0K ganho estático Atenção ao valor do ganho estático quando houver pólos
e/ou zeros na origem
(em rad/seg)
(em seg)
i
ip
1=τ
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 14/Cap.2Setembro.2005
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem-continuação
msm1
)s(Gβ+
=
β
m f(t) )s(VG(s)
)s(F
σ
jw
mβ
−
pólo =mβ
−
não tem zeros
1m
=β
375.0m
=β
|pólo| a aumentar
σ
jw
375.0−1−
Quando aumenta,
• a resposta do sistema torna-se mais rápida.
• a constante de tempo diminui
• o regime transitório atenua-se mais rapidamente
mβ
−
constante de tempo= β
m
β+β=
ms111
)s(GFT na forma das constantes de tempo
75.0=β
Ganho estático= = 1.33β1
(seg)
(rad/seg)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 15/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no TempoCaso Geral – 1ªordem
R(s) Y(s)as
aK)s(G 0 +
=
σ
jw
a−
Pólo = -a (rad/seg)
Constante de tempo = 1/a (seg)
Ganho estático = K0
r(t)=u(t)s1
)s(R =as
Ks
Kas
a.
s1
K)s(Y 000 +
−=+
=
at00 eKK)t(y −−= Para t≥0
K0
a1
a2
a3
a4
a5
a.Ktempo de tetancons
1.Kdeclive 00 ==
63. 2
%
86.5
%
9 5%
9 8%
Tempo de estabelecimento (a 2%)– tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de ±2% do valor final.
tempo de tetancons*4a4
ts ==
ts a 5%
a3
ts =
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 16/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Teorema dos Valores Inicial e Final
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (SLIT)
)]t(x[TL)s(X =Teorema do Valor Inicial
)s(sX lim)t(xlims0t ∞→→
=+
quando os limites existem
Teorema do Valor Final
)s(sX lim)t(xlim0st →∞→
= quando os limites existem
De que modo estes teoremas podem ser usados na análise do comportamento (da saída) de SLITs ?
G(s)R(s) Y(s)
)s(R).s(G)s(Y =
Sem o cálculo explícito da saída para uma da entrada é possível avaliar valores particulares da saída:
),....0(y ),0(y ),t(ylim ),0(yt
&&&∞→
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 17/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Teorema dos Valores Inicial e Finalno cálculo de características da saída de um SLIT
Valor Inicial da Saída
)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylimss0t ∞→∞→→
==+
Valor Final da saída
)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylim0s0st →→∞→
==
G(s)R(s) Y(s)
Entrada escalão unitário
)s(G lims1
)s(sG lim)t(ylimss0t ∞→∞→→
==+s
1)s(R =
Entrada escalão unitário
)s(G lims1
)s(sG lim)t(ylim0s0st →→∞→
==s1
)s(R =
Valor do ganho em regime estacionário
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 18/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Ganho Estáticoexemplos
β
m f(t)
)s(X)s(F)s(G1
)s(V)s(F
msm1β+
)s(X
s1
)ms(sm1
)s(G1 β+=
∞==→
)s(GlimK0s
0
X
Entrada=f(t)
Saída = x(t)este sistema tem um pólo na origem (a posição
é o integral da velocidade)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 19/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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A FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i.não nulas
Utilização da Função de Transferência na obtenção da resposta de um SLIT
r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TL TL-1
)s(R).s(G)s(Y =
Resolução da eq.diferencial
Se as condições iniciais forem nulas
E se as condições iniciais não forem nulas?
Não é possível continuar a usar a Função de Transferência ?
G(S)
R(s)
c.i. ≠0
TLueq.diferencial Y(s) y(t)
TL-1
Já tem em linha de conta as c.i.exemplo
)(/)()( sRsYas
KsG =
+=
1)0(y =−
)t(Kr)t(aydt
)t(dy=+
)s(KR)s(aY)0(y)s(sY =+− −
)s(Ras
Kas)0(y
)s(Y+
++
=−
)t(y
TL-1
TLu
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 20/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-2ªordem
X
m f(t)Força externa aplicada
f(t) (t)xSistema
2
2
dt)t(xd
maplicadas forças =∑
2
2
dt)t(xd
m)t(Kxdt
)t(dx)t(f =−β−
• Representação de entrada-saídao Sistema de 2ª ordem
o Dois pólos. O sistema não tem zeros.
β
K
dt)t(xd
β−
)t(Kx−
)t(f)t(Kxdt
)t(dxdt
)t(xdm 2
2
=+β+
)s(F)s(KX)s(sX)s(Xms2 =+β+
Ksms1
)s(F)s(X
)s(G 2 +β+==
TL com condições iniciais nulas
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 21/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Sistema mecânico de translaçãoexemplo 2 - 2ªordem
β
m f(t)
X
Objectivo: controlar o sistema em posição
)s(V)s(F
msm1β+
)s(X
s1K+
_
)s(R
Qual é a função de transferência do sistema controlado?
)s(G1
[ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X 11 −==
)s(R)s(KG)s(X))s(KG1( 11 =+
)s(KG1)s(KG
)s(R)s(X
1
1
+=
mK
mss
mK
)s(R)s(X
)s(G2 +
β+
==
• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros
• ganho estático = ?
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 22/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no Tempocaso geral – sistema de 2ª ordem sem zeros
2nn
2
2n
wsw2sw
)s(G+ζ+
=G(s)R(s) Y(s)
Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?
• depende da localização dos pólos
0wsw2s 2nn
2 =+ζ+
Pólos complexos conjugados
1wws 2nn −ζ±ζ−=
10 <ζ≤
1=ζ
1>ζ
Pólo real duplo
Pólos reais distintos
2nn 1jww ζ−±ζ−
nn ww −=ζ−
1ww 2nn −ζ±ζ−
Sistema subamortecido
Sistema criticamente amortecido
Sistema sobreamortecido
>>ζ
nw
nw−
njw
njw−
djw
djw−
ζ=θ arcsin
0=ζ
0=ζ
1=ζ
nwζ−
21 ζ−= nd ww
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 23/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no Tempocaso geral-2ª ordem sem zeros
0 ,1wn =ζ=
0.3 ,1wn =ζ=
1 ,1wn =ζ=
2 ,1wn =ζ=
Sistema subamortecido
Sistema criticamente amortecido
Sistema sobreamortecido
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 24/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Resposta no Tempocaso geral-2ª ordem sem zeros –derivada na origem
0.3 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido
zoom zoom
A derivada na origem é nula
Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:
0wsw2s
swlim)t(ylim 2
nn2
2n
s0t=
+ζ+=
∞→→ +
&
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 25/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros - Subamortecido 10 <ζ≤
43421dw
2nn2,1 1wjws ζ−±ζ−=pólos complexos
Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas
-- coeficiente de amortecimento
Wd – frequência das oscilações amortecidas
ζ
Resposta a uma entrada escalão unitária
)t1wsin(e1
11)t(y 2
ntw
2
n Ψ+ζ−ζ−
−= ζ−
ζ
ζ−=Ψ
21arctg
parte real dos pólos
parte imaginária dos pólos
Consequência de o ganho estático ser unitário
Nota: wn actua apenas como factor de escala de tempo
S
Td
tp ts
%2±sobreelevação
Tempo de pico Tempo de estabelecimento
Período das oscilações
0t ≥
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 26/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Pontos em que a derivada se anula
•Período das oscilações - Td
•Tempo de pico - tp
•Sobreelevação – S%
0dt
)t(dy= ,...2,1,0n
1w
nwn
t2
nd
=ζ−
π=
π=
dd w
2T
π=
Para n=0 0)0(y =+& A derivada na origem é nula
Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)
2T
wt d
dp =
π= n=1
final
finalmax
yyy
100%S−
=
21pmax e1)t(yy ζ−
ζπ−
+==
21e.100%S ζ−
ζπ−
=
Só depende do coeficiente de amortecimento
↓↑⇒⇔↑ pd tw pólos dos imaginária parte
↑⇒↓ζ %S
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 27/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – SubamortecidoCaracterísticas da resposta
•Tempo de estabelecimento a 2% - ts
ns w
4t
ζ=
Valores aproximados
Verifique a analogia com os sistemas de 1ªordem
ns w
3t
ζ=a 5%
• Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de ± 2% do valor final
• A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem
)t1wsin(e1
11)t(y 2
ntw
2
n Ψ+ζ−ζ−
−= ζ−
02.0e1
1 tw
2
n =ζ−
ζ−
1)t1wsin( 2n =Ψ+ζ−
aproximação
n
sw
tζ
6.4=a 1%
a 2% ↓↑⇒⇔↑ sn tw |pólos dos real parte| ζ
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 28/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – SubamortecidoCaracterísticas da resposta
•Tempo de subida - tr
Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final
trNão há uma expressão analítica simples que relacione tr com o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.
Mas há expressões aproximadas
n
rw
t8.1
≅
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 29/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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bel R
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ro, A
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io P
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Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – SubamortecidoVários exemplos
Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001Reprodução proibida
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 30/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – Sistema criticamente amortecido
nw−
1=ζ
2nn
2
2n
wsw2sw
)s(G+ζ+
=
2n
2n
)ws(w
)s(G+
=
1=ζ
s1
)s(R =entrada escalão de amplitude unitária
n
32
n
212
n
2n
wsc
)ws(c
sc
)ws(sw
)s(Y+
++
+=+
=
twtwn
nn etew1)t(y −− −−=
twn
n)tew1(1)t(y −+−=
0t ≥
0t ≥
ganho estático unitário
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 31/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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al
Resposta no TempoSistemas de ordem superior só com pólos
)as)(wsw2s(w.a
)s(G 2nn
2
2n
++ζ+=
s1
)s(R =as
Rw)ws(
wR)ws(Rs
R)s(Y 4
2d
2n
d3n21
++
+ζ++ζ+
+=
at4d3d2
tw1 eR)twsinRtwcosR(eR)t(y n −ζ− +++= 0t ≥
• De que modo um pólo influencia a resposta global?
• Através de:
– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)
– parte real - que determina o ritmo de decaimento da componente transitória associada
– resíduo associado – que depende da localização dos outros pólos e zeros.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 32/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no TempoSistemas de ordem superior só com pólos
a=1
a=3
a=8
sistema de 2ª ordem
)25s4s)(as(a*25
)s(G 2 +++=
-1-3-8
-2
� Quando |a| aumenta• a influência do pólo real diminui• O pólo torna-se “menos dominante”• A resposta é “dominada” pelos pólos complexos
� Em qualquer das situações o sistema torna-se mais lento• A largura de banda DECRESCE tanto mais quanto maior for |a|
sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real
a =1, 3, 8 rad/seg
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 33/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Resposta no TempoSistemas de ordem superior – pólos dominantes
)25s4s)(as(a*25
)s(G 2 +++=
� Quando |a| aumenta• a influência do pólo diminui• O pólo torna-se “menos dominante”• Os pólos complexos são pólos dominantes
� Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?
� Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas as contribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.
� Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezesmaior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.
)25s4s)(10s(250
)s(G 2 +++=
)25s4s)(1s101
(
25)s(G
2 +++=
)25s4s(25
)s(G 2 ++≅
O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o
ganho estático
3ªordem
2ªordem
Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no
tempo
Que acontece no domínio da frequência?
Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 34/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no TempoSistemas com zeros
• Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?
)cs)(bs()as(
abc
)s(G++
+=
ganho estático unitário
Entrada escalão de amplitude unitária
)cs
Rbs
Rs
R(
abc
)s(Y 321
++
++=
-b
-c -aCálculo geométrico dos resíduos
)cb)(c(ac
R
)bc)(b(ba
Rbca
R
3
2
1
−−+−
=
−−−
=
=
• Os resíduos R2 ou R3 serão pequenos se o zero estiver próximo de pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.
)eReRR(a
bc)t(y ct
3bt
21−− ++=
32 RR << )eRR(a
bc)t(y ct
31−+=
aproximação
______
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Resposta no TempoSistemas com zeros
• Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?
)1s)(4s()as(
a4
)s(G++
+=
ganho estático unitário
Zero = -3.5 Zero = -2.5
Zero = -2.0 Zero = -1.1
Regime transitório associado ao pólo em - 4
Regime transitório associado ao pólo em - 1
)1s(1
)1s)(4s()5.3s(
5.34
)s(G+
≅++
+=
4s4
)1s)(4s()1.1s(
1.14
)s(G+
≅++
+=
Regime transitório associado ao pólo em -1
Pólo -1
Regime transitório associado ao pólo em -4
Regime transitório associado ao pólo em -1
Regime transitório associado ao pólo em -4
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 36/Cap.2Setembro.2005
MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO
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Resposta no tempoPólos não dominantes -Redução de ordem
Em que condições:Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?
• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES– o resíduo associado ao pólo é pequeno
• Proximidade com um zero
– a parte real do pólo é elevada• Regime transitório extingue-se muito rapidamente
Como se faz a aproximação ?– despreza-se o pólo e o zero– despreza-se o pólo
Cuidado a ter na aproximaçãoO sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático
]3)2s)[(20s)(1s()1.1s(236
)s(G 22 +++++
=
exemplo
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Resposta no TempoSistemas com zeros - Efeito de um zero adicional
2n
2n
)ws()bs(
bw
)s(G+
+=
Para entrada escalão unitário
n2
n
nn2
n
2n
ws1
)ws(b/w)bw(
s1
)ws(s)bs(
bw
)s(Y+
−+
−+=
+
+=
0t ,e1tb
)bw(w1)t(y twnn n ≥
−
−+= −
1 pólo duplo e 1 zero
1)(yb
w)0(y
0)0(y2n
=∞
=
=
+
+
&
Características da respostaUse os teoremas dos valores
inicial e final para chegar a estas conclusões
Pode ser negativo se o zero estiver no
spcd
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Resposta no TempoSistemas com zeros - Efeito de um zero adicional
• Pólo duplo e zero menor do que os pólos
2n
2n
)ws()bs(
bw
)s(G+
+=
-wn-b
bw0 n <<
• Pólo duplo e zero no spce menor do que os pólos
nwb0 <<-wn
-b
4b
2wn
=
=
1b
2wn
=
=
1)t(y ≥ )bw(wb
tnn −
≥
Existe sobreelevação
)s(bY)s(sY)ws(s
1b
w)bs(
)ws(s)bs(
bw
)s(Y
11
)s(Y
2n
2n
2n
2n
1
+=+
+=
=++
=
44 344 21
Combinação linear de um sinal e da sua derivada
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 39/Cap.2Setembro.2005
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Resposta no TempoSistemas com zeros - Efeito de um zero adicional
• Pólo duplo e zero no spcd
-wn-b
nw0b <<
Derivada na origem é negativa
Sistema tem um zero no spcd – sistema de FASE NÃO MÍNIMA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 40/Cap.2Setembro.2005
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Sistemas de fase não mínima
• Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um pólo e/ou um zero no semi-plano complexo direito
– Pólo no spcd – instabilidade– Qual é o efeito de um zero no spcd ?
• Exemplo – Barrilete– Centrais termoeléctricas– Produção de vapor
r(t) h(t)
Caudal de água fria à entrada
Altura da água no barrilete
– Relação entre a abertura da válvula da água fria e a altura da água no barrilete depende de:
– Efeito rápido de contracção da água devido à injecção de água fria
– Efeito de integração devido à adição de massa
barrilete
Lento
Rápido
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Sistemas de fase não mínimaExemplo - Barrilete
• Para certa relação de K1 e ττττ o sistema tem um zero no semi-plano complexo direito (τ τ τ τ <1/ K1 )
• Nos sistemas reais τ<<1, K1<<1.
)s(R)s(H
)s(R)s(H
)s(R)s(H
)s(G 21 +==
)1s(ss)1K(K
1s1
sK
)s(G 111
+τ
−τ+=
+τ−=
entrada escalão r(t) =(t)
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Sistema de fase não mínima
. Manipulador Rígido
θΤ
T-binário motor
. Manipulador Flexível
t0
T(t)
t0
θ(t)
entrada
saída
θΤ
T-binário motor
t0
T(t)
t
θ(t)
entrada
saída
Efeito de “chicote”(FASE NÃO MÍNIMA)
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Sistema de fase não mínimaAeronave
Princípio básico em aerodinâmica(geração de força de sustentação numa asa)
Manobra de mudança de altitude
O leme de profundidade deflecte gera força Lgera binário T que roda a aeronave (para atingir uma altitudeSuperior) á custa da força de propulsão dos motores.
mas ... L é uma força que faz a aeronave perder
altitude na fase inicial da manobra! (Fase não mínima)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 44/Cap.2Setembro.2005
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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo mais complexo-4ªordem com zeros
f(t) (t)x2Sistema
β3
m1 m2
K1
K2
K3
X1 X2
f(t)
β1 β2
No referencial X1
21
2
12131121211 dt)t(xd
m)]t(x)t(x[)t(x)]t(x)t(x[K)t(xK)t(f =−β−β−−−− &&&
No referencial X2
22
2
21232212223 dt)t(xd
m)]t(x)t(x[)t(x)]t(x)t(x[K)t(xK =−β−β−−−− &&&
)s(F)s(X)sK()s(X)]KK(s)(sm[ 232121312
1 =β+−++β+β+
0)s(X)]KK(s)(sm[)s(X)Ks( 232322
2123 =++β+β+++β−
∆+β
=)Ks(
)s(G 23
∆ Polinómio de 4º grau
Sistema com 4 pólos e um zero