1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS

La manera usual de representar un punto en el piano es mediante las coordenadasV#

rectangulares . Sin embargo, como ya seguramente lo aprendió el lector ena bBß Ccálculo elemental, las coordenadas polares en el piano pueden ser muy útiles. Como semuestra en la figura 1.4.1, las coordenadas están relacionadas con a b a b<ß Bß C)

mediante las fórmulas

B œ < -9= C œ < =/8) ) y ,

donde usualmente tomamos y .< � ! ! Ÿ #) 1

Figura 1.4.1 Las coordenadas polares de son .a b a bBß C <ß )

A los lectores no familiarizados con las coordenadas polares se les recomiendaestudiar las secciones respectivas en su libro de cálculo. Ahora vamos a exponer dosmaneras de representar puntos en el espacio, además de las coordenadas cartesianasrectangulares . Estos sistemas coordenados alternativos son particularmentea bBß Cß Dadecuados para ciertos tipos de problemas, como por ejemplo, la evaluación deintegrales (ver la sección 6.3).

DEFINICIÓN (ver la figura 1.4.2). Las de uncoordenadas cilíndricas a b<ß ß D)

punto están definidas pora bBß Cß D

B œ < -9= C œ < =/8 D œ D) )y , (1)

Figura 1.4.2 Representación de un punto en términos de sus coordenadasa bBß Cß Dcilíndricas <ß C DÞ)

o, explícitamente,

< œ B C ß D œ Dß œ

>+8 ÐCÎBÑ B ! C � !

>+8 ÐCÎBÑ B !

# >+8 ÐCÎBÑ B ! C !

È # #

"

"

"

si y

si

si y

) 1

1

donde está entre Si entonces para y y . , >+8 ÐCÎBÑ Î# Î# B œ ! œ Î# C !" 1 1 ) 1

$ Î# C ! B œ C œ !1 )para Si no está definido. . ,

En otras palabras, para cada punto representamos la primera y segundaa bBß Cß Dcoordenadas en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. La fórmula(1) muestra que, dados , la terna está completamente determinada y,a b a b<ß ß D Bß Cß D)

viceversa, si restringimos al intervalo (a veces es conveniente la extensión) 1Ò!ß # ÑÐ ß < !1 1]) y requerimos que . Para ver por qué usamos el término "coordenadas cilíndricas", nótese que si! Ÿ # ß _ D _ < œ +) 1 y es una constante positiva, entonces el lugargeométrico de estos puntos es un cilindro de radio (ver la figura 1.4.3).+

Figura 1.4.3 La grafica de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas satisfacen es< œ +un cilindroÞ

EJEMPLO 1 (a) Hallar las coordenadas de y localizar el punto. (b) Si un puntoa b'ß 'ß )tiene coordenadas cilíndricas , ¿cuáles son sus coordenadas cartesianas?a b)ß # Î$ß $1

Localizarlo.

SOLUCIÓN Para la parte (a), tenemos y< œ ' ' œ ' #È È# #

) 1 1œ 'Î' œ " œ Î% ' #ß Î%ß )tan tan . Así, las coordenadas cilíndricas son ." "a b a b Š ‹ÈÉste es el punto de la figura 1.4.4. Para la parte (b), tenemosT

B œ < -9= œ ) -9= œ œ %) # )$ #1

y

C œ < =/8 œ ) =/8 œ ) œ % $) #$ #

$1 È È .

Así, las coordenadas cartesianas son . Éste es el punto de la figura. Š ‹È %ß % $ß $ U

Figure 1.4.4 Ejemplos de conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas no son las únicas generalizaciones posibles de lascoordenadas polares a tres dimensiones. Recuerden que en dos dimensiones la

magnitud del vector (esto es, ) es la en el sistema de coordenadasB3 C4 B C <È # #

polares. Para las coordenadas cilíndricas, la longitud del vector , a saber,B3 C4 D5

3 œ B C DÈ # # #

no es una de las coordenadas del sistema (usamos sólo la magnitud , el< œ B CÈ # #

ángulo y la "altura" .)) D

Ahora modificaremos esto introduciendo el sistema de ,coordenadas esféricas

que usa a como coordenada. Las coordenadas esféricas suelen ser útiles para resolver3

problemas donde hay simetría esférica (simetría alrededor de un punto), mientras quelas coordenadas cilíndricas se pueden aplicar donde haya simetría cilíndrica (simetríaalrededor de una recta). Dado un punto , seaa bBß Cß D − V$

3 œ B C DÈ # # #

y representemos y mediante coordenadas polares en el piano :B C BC

B œ < -9= ß C œ < =/8) ) (2)

donde y está dada por la formula (1). La coordenada está dada por< œ B C DÈ # # )

D œ -9= ß3 9

donde es el ángulo (entre y , inclusive) que forma el radio vector v9 1! œ B3 C4 D5con el eje , en el plano que contiene al vector v y al eje (ver la figura 1.4.5). Usando elD Dproducto punto podemos expresar como sigue:9

-9= œ ß œ Þ9 9v k v kv v† †

m m m m i.e., Š ‹

Figura 1.4.5 Cordenadas esféricas ; la gráfica de los puntos que satisfacena b3 ) 9ß ß3 œ + es una esfera.

Tomamos como coordenadas las cantidades . Como3 ) 9ß ß

< œ =/83 9

podemos usar la fórmula (2) para expresar , y en términos de coordenadasB C Desféricas .3 ) 9ß ß

DEFINICIÓN :Las coordenadas esféricas de se definen como siguea bBß Cß D

B œ =/8 -9= ß C œ =/8 =/8 ß D œ œ -9=3 9 ) 3 9 ) 3 9

(3)

donde

3 ) 1 9 1� !ß ! Ÿ # ß ! Ÿ .

Nótese que las coordenadas esféricas y se parecen a las coordenadas geográficas de) 9

longitud y latitud si consideramos al eje de la Tierra como el eje . Sin embargo, hayDdiferencias: la longitud geográfica es y se llama longitud este u oeste, dependiendol l)

de si es positivo o negativo; la latitud geográfica es y se llama latitud norte o) 1 9l Î# lsur, dependiendo de si es positivo o negativo.1 9Î# Nótese que en coordenadas esféricas la ecuación de la esfera de radio con+centro en el origen toma la forma particularmente sencilla

3 œ +.

EJEMPLO 2

(a) Hallar las coordenadas esféricas de y localizarlo.a b"ß "ß "(b) Hallar las coordenadas cartesianas de y localizarlo.a b$ß Î'ß Î%1 1

(c) Sea un punto con coordenadas cartesianas . Hallar sus coordenadasa b#ß $ß 'esféricas y localizarlo.(d) Sea un punto con coordenadas esféricas . Hallar susa b"ß Î#ß Î%1 1

coordenadas cartesianas y localizarlo.

SOLUCIÓN

(a) 3 œ B C D œ " " " œ $ßÈ É a b È# # # # ##

tan tan) œ œ œ ß" "CB " %

"ˆ ‰ ˆ ‰ 1

°9 œ -9= œ -9= ¸ !Þ*&& ¸ &%Þ(% Þ" "D "$

Š ‹ Š ‹3 ÈVer la figura 1.4.6(a).

Figura 1.4.6 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas del punto y (b) lasa b"ß "ß "coordenadas cartesianas de .a b$ß Î'ß Î%1 1

(b) B œ =/8 -9= œ $ =/8 -9= œ $ œ ß3 9 ) ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹1 1% ' # # #

"#

$ $ $È È ÈÈ C œ =/8 =/8 œ $ =/8 =/8 œ $ œ ß3 9 ) ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹1 1

% ' #" " $# # #È È

D œ œ -9= œ $ -9= œ œ Þ3 9 ˆ ‰1% #

$# #

$ #È È

Ver la figura 1.4.6(b).

(c) 3 œ B C D œ # $ ' œ %* œ (ßÈ É a b È# # # # ##

tan tan °) œ œ ¸ !Þ*)$ ¸ &'Þ$" ß" "CB #

$ˆ ‰ ˆ ‰ °9 œ -9= œ -9= ¸ !Þ&%" ¸ $"Þ! Þ" "D '

(Š ‹ ˆ ‰3

Ver la figura 1.4.7(a).

(d) B œ =/8 -9= œ " =/8 -9= œ † ! œ !ß3 9 ) ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹1 1% # #

#È C œ =/8 =/8 œ " =/8 =/8 œ " œ ß3 9 ) ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹a b1 1

% # # # # #È È

D œ œ -9= œ " -9= œ Þ3 9 ˆ ‰1% #

#È

Ver la figura 1.4.7(b).

Figura 1.4.7 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas de y (b) lasa b#ß $ß 'coordenadas cartesianas de .a b"ß Î#ß Î%1 1

EJEMPLO 3 Expresar (a) la superficie y (b) la superficie enBD œ " B C D œ "# # #

coordenadas esféricas.

SOLUCIÓN De la fórmula (3), , , y, por lo tanto, laB œ =/8 -9= D œ œ -9=3 9 ) 3 9

superficie (a) está formada por todos los tales quea b3 ) 9ß ß

3 9 ) 9 3 9 )# #=/8 -9= -9= œ " =/8 # -9= œ #, i.e., .

Para la parte (b) podemos escribir

B C D œ B C D #D œ # -9= ß# # # # # # # # # #3 3 9

de manera que la superficie es , o bien .3 9 3 9# # #a b a b" # -9= œ " -9= # œ "

Figura 1.4.8 Vectores ortonormales e e y e asociados con las coordenadas< Dß )

cilíndricas. El vector e es paralelo a la recta denominada r.<

Figura 1.4.9 Vectores ortonormales e e y e asociados con las coordenadas3 ) 9ßesféricas.

Hay vectores unitarios asociados con las coordenadas cilíndricas y esféricas, queson la contraparte de , y para las coordenadas rectangulares. Se muestran en las3 4 5figuras 1.4.8 y 1.4.9. Por ejemplo, e , es el vector unitario paralelo al piano , en< BCdirección radial, de manera que e . De manera análoga, en< œ -9= 3 =/8 4a b a b) )

coordenadas esféricas e es el vector unitario tangente a la curva parametrizada por la9

variable , manteniendo fijas las variables y . Usaremos estos vectores unitarios más9 3 )

adelante, cuando en cálculos vectoriales se utilicen coordenadas cilíndricas y esféricas(ver la sección 3.5).