1.1.1 SISTEMADECOORDENADASRECTANGULARESDos líneas rectas que se corten en ángulo rectoconstituyen un sistema de ejes de coordenadasrectangulares, conocido también como sistema deCoordenadasCartesianas;nombrequeseledaenhonoral matemático francés Descartes, iniciador de lageometríaanalítica.

En la intersección de las rectas se tiene el origen O decoordenadas.Alejex‐xseledenominaejedelasabscisasyalejey‐yejedelasordenadas.En la figura 1‐1, el punto "P" queda perfectamentedefinido por la distanciamedida sobre cada uno de losejes desde el origen hasta la proyección del punto "P";así pues, la distancia "x", medida desde el eje de lasordenadashastaelpunto"P",sellamaabscisadelpunto,y la distancia "y", medida desde el eje de las abscisashastaelpunto"P",sedenominaordenadadelpunto.EnTopografía,elejedelasordenadasseasumecomoejeNorte‐Sur,y el de las abscisas como eje Este‐Oeste; deestamanera,alaordenadadelpunto"P"seledenominaNORTEdelpuntoyalaAbscisa,ESTEdelpunto.Por lasdefinicionesdadas, lascoordenadasdeunpuntoseanotandelasiguientemanera:

endonde:Np=CoordenadanortedelpuntoP.Ep=CoordenadaestedelpuntoP.La figura 1‐2.a representa los cuadrantes utilizados entrigonometríaygeometríaanalítica.Nóteseque,enestecaso,elsentidopositivoderotacioneseselantihorario,yqueelorigenderotacionescoincideconelejeX‐X.

La figura 1‐2.b representa los cuadrantes utilizados entopografía.Enestecaso,elsentidopositivoderotacioneses el horario, y el origen de rotaciones coincide con ladirecciónnorte.Los cuadrantes topográficos se denominan de lasiguientemanera:

1.1.2SISTEMADECOORDENADASPOLARESLa posición de un punto "P2" con respecto a un punto"P1",tambiénquedadefinidamedianteelánguloϕentreelejedereferenciaylaalineacióndeP1P2,yladistanciaD,segúnseobservaenlafigura1‐3.

El ángulo ϕ y la distancia D, constituyen lasCOORDENADASPOLARESdelpuntoP2.Enformaanálogaa la expresada para el sistema de coordenadasrectangulares,lascoordenadasdeunpuntoseindicandelasiguientemanera:La dirección de una alineación cualquiera se puededefinir por el ángulo horizontal, (medido en sentidohorario), quedichaalineación formaconunaalineaciónde referencia. Si la alineación de referencia es el ejenorte,elángulohorizontalsedenominaACIMUT(ϕ).Enlafigura1‐4seindicanlosAcimutescorrespondientesaalineacionesubicadasendiferentescuadrantes.

ElánguloagudoqueladirecciónNorte‐SurformaconlaalineacióndadasedenominaRUMBO(α).Enlafigura1‐5seindicanlosrumbosdealineacionesenloscuatrocuadrantes.

1.1.3 RELACIONES GEOMETRICAS ENTRE AMBOSSISTEMASDe acuerdo a la figura 1‐3, las relaciones geométricasexistentes entre los puntos P1(N1;E1) y P2(N2;E2)quedanexpresadasmediantelassiguientesecuaciones:

Endonde:ϕ=AcimutdelaalineaciónP1P2α=RumbodelaalineaciónP1P2Ni,Ei=CoordenadasRectangularesdelPi.ΔN,ΔE=DistanciaenproyecciónsobrelosejesNyEdesdeelpuntoPihastaelpuntoPi+1.DP1P2=Distanciahorizontalentreambospuntos.Nota: En las ecuaciones 1.2,1.3 y 1.4 se puede utilizarigualmenteelrumboα,ensustitucióndelacimutϕ.Ejemplo1.1Dadaslascoordenadasdelospuntos1y2representadosenlafiguraE1.1,calcularladistanciaD1‐2,elrumboα1‐2yelacimutϕ1‐2delaalineación1‐2.

SoluciónMediante la aplicación de las ecuaciones 1.1 y 1.2, setiene:E2‐E1=50,327‐137,419=‐87,092m.N2‐N1=105,565‐192,241=‐86,676m.Nótese que por ser las proyecciones norte y estenegativas, el rumbode laalineación1‐2perteneceal IIIcuadranteyporlotantoesrumboS‐O.

tanα1‐2=‐87,092/‐86,676=1,004779

Nota: Salvo que se indique lo contrario, los valoresangulares se especificaran en º ' " (grados, minutos,segundos enteros) y las distancias hasta elmm, ya queéstas son, generalmente, las precisiones de losinstrumentostopográficos.Ejemplo1.2Dadaslascoordenadasdelpunto1(208,325;175,422),elacimut ϕ1‐2 de la alineación 1‐2 y la distancia D1‐2,calcularlascoordenadasdelpunto2.

SoluciónMediante la aplicación de las ecuaciones 1.3 y 1.4, setiene:

Como ΔE1‐2 y ΔN1‐2 son las distancias en proyeccióndesde1hasta2,lascoordenadasde2serán:

1.1.4LARECTAUnarectaquepaseporlospuntosP1(N1;E1)yP2(N2;E2),como la mostrada en la figura 1‐6, se representamatemáticamentemediantelasecuaciones1.5a1.7.

yparaunpuntogenéricoP(N;E),pertenecientealarecta:

Las coordenadasdel punto I de intersecciónde la rectaconelejenortesonby0.Sustituyendoestosvaloresen6setendrá:

endonde:N,E=Coordenadasdeunpuntogenéricosobrelarecta.m=cotgdelánguloα(Defineladireccióndelarecta).b=OrdenadadelpuntodeinterseccióndelarectaconelejeNorte.(Intersecto)Ejemplo1.3Calcular la ecuación general de la rectamostrada en lafigura E1‐3 que pasa por los puntos P1 y P2, decoordenadasconocidas.

SoluciónAplicandolaecuación1.6,setiene:

Ejemplo1.4:INTERSECCIONDERECTASCalcular las coordenadas del punto de intersección I delas dos rectas que se muestran en la figura E1‐4. Seconocenlascoordenadasdelospuntos1,2,3y4.

SoluciónLascoordenadasdelpuntodeinterseccióndedosrectasse obtienen resolviendo el sistema constituido por lasdosrectas.Sustituyendo valoresde las coordenadas en la ecuación1.6,setiene:

Restando:[A]‐[B]

ReemplazandoelvalorobtenidoparaEen[A]:

Ejemplo1.5:RECTASPERPENDICULARESDadas las coordenadas de los puntos P1, P2 y P3representados en la figura E1‐5, se pide calcular lascoordenadas del punto de intersección "B" de la rectaperpendicularaP1P2quepasaporP3.

SoluciónLaecuacióngeneraldeunarectaquepaseporelpuntoP3 conocido, y que sea perpendicular a la recta dadaP1P2,estádefinidaporlasiguienteexpresión:

LascoordenadasdelpuntodeintersecciónBseobtienenigualando las expresiones obtenidas por las ecuaciones1.6y1.8.ElvalordemdelarectaP1P2seobtienedelaecuación1.5.m=(N2‐N1/E2‐E1)=525/245m=105/49

LaecuacióndeP1P2seobtienede1.6

LaecuacióndelarectaP3Bseobtienede1.8,

igualando[A]y[B]setiene:

Ejemplo1.6:RECTASPARALELASDadaslascoordenadasdelospuntos1y2representadosen la figura E1‐6, que definen la recta A, calcule laecuaciónde la rectaBquepasaporelpunto3 tambiénconocido;siendoestaúltimaparalelaalarectaA.

SoluciónSi se analiza la ecuación general de una recta (ec. 1.6),puedeobservarsequeeltérmino"m"eselquedefineladirección de la recta; por lo tanto, la condiciónindispensable y suficiente para que dos rectas seanparalelasesquetenganelmismovalorde"m".Aplicando la ecuación 1.5, calculamos el valor de mAcorrespondientealarectaA

Aplicando laecuación1.6, conociendoque lapendientemB de la recta B debe ser igual amA y que la recta Bdebepasarporelpunto3,setiene:

1.1.5ELCÍRCULOLaecuacióngeneraldeuncírculopuedeexpresarsepor:

Endonde,N,E=CoordenadasrectangularesdelpuntoP.a,b=Coordenadasrectangularesdelcentrodelcírculo.r=Radiodelcírculo.En el caso particular en que a=0, b=0, tenemos que elcentro del círculo es el origen O de coordenadas , y laecuación1.9quedadelasiguienteforma:

Ejemplo1.7:INTERSECCIONDERECTAYCÍRCULO.ParalosdatosdelafiguraE1‐7,calculelascoordenadasdelospuntosdeinterseccióndelarectaABconelcírculodecentroOyradioR=350,000m.

SoluciónDelaecuación1.6:

delaecuación1.9:

sustituyendo[A]en[B],

Hallandolasraícesdelaecuación[C]

1.1.6CÁLCULODEÁREASEl área es una medida de superficie que representa eltamañodelamisma.Enlostrabajostopográficoscomunes,eláreaseexpresaenmetros cuadrados (m2), hectáreas (ha) o kilómetroscuadrados (km2), dependiendo del tamaño de lasuperficieamedir.Laequivalenciaentrelasunidadesdesuperficiemencionadases,1ha=>10.000m21km2=>100ha

El cálculo del área de una superficie se determinaindirectamente, midiendo ángulos y distancias yrealizandoloscálculoscorrespondientes.Existen distintos métodos y procedimientos para elcálculodelasáreas.Enelpresentecapítuloestudiaremoselcálculodeáreasde figuras fundamentales,elmétododelcálculodeáreasdepolígonosporsuscoordenadas,ylosmétodosparasuperficies irregularesde lostrapecios(odeBezout),eldeSimpsonyeldeEasa.1.1.6.1ÁREADEFIGURASELEMENTALESEnel cálculodeáreasde superficiesdepocaextensión,endondesepuederealizarellevantamientomedianteelempleo de cintas métricas, la superficie se puededescomponer en figuras conocidas: como triángulos,rectángulos,uotrasfiguraselementalescuyasáreassepueden calcular mediante la aplicación de fórmulassencillas.EnlatablaT1‐1seresumenlasexpresionesmáscomunesparaelcálculodefiguraselementales.Ejemplo1.8EneldiseñodeunaurbanizaciónesnecesarioconstruirlaAvenida4ylaCalle12.LaparcelaA‐1,representadaenlafiguraE1‐8,originalmentecolindabaporelnorteconelejedelaCalle12yporeloesteconelejedelaAvenida4.Lasdosvíasaconstruirsonperpendicularesentresi,ysedebecumplirconlossiguientesretiros:•8mapartirdelejedelaAvenida4.•4mapartirdelejedelaCalle12.Sepidecalcular:a.‐ Lanuevaáreade laparcelaA‐1, teniendoencuentaademás que su esquina noroeste debe ser redondeadaconunarcodecircunferenciaderadioR=2.00m.b.‐ El área a expropiar de la parcela A‐1 para laconstrucción de ambas vías. Los demás datos semuestran en la figura E1‐8.

Solución.El área original A0 de la parcela A‐1 es el área de unrectánguloA0=35,280*20,820=734,530m2.El área final Af de la parcela A‐1 será el área delrectánguloA1234menoseláreaenexcesodelcírculoAe.

1.1.6.2ÁREADEUNPOLIGONOPORSUSCOORDENADASLa expresión general para el cálculo del área de unpolígono cerrado a partir de las coordenadas de susvértices, se puede deducir de la figura 1‐8, observandoqueeláreadelpolígonoABCDes:

restando[A]‐[B]

Desarrollando[C]yagrupandotérminos

Una regla práctica para memorizar la ecuación 1.11 esobservarqueenellasecumpleque"eldobledeláreadeun polígono cerrado es igual a la suma algebraica delproducto de cada una de las coordenadas norte por ladiferencia entre la coordenada este anterior y lacoordenadaestesiguiente."Enformagenerallaecuación1.11sepuedeescribir,

Donde:

Si desarrollamos [C] y agrupamos términos en formadiferente

yenformageneral

El cálculo correspondiente a la ecuación 1.12 puedeorganizarse en forma tabulada como se indica acontinuación:

Secolocanenformaordenadalosparesdecoordenadasde cada punto, luego en la posición anterior al primerpuntoserepitelacoordenadaestedelúltimo,ydespuésdel último punto, se repite la coordenada este delprimero. Se unen mediante flechas cada una de lascoordenadasnorteconlosestesanterioresyposteriores.Finalmente,lasumaalgebraicadelproductodecadaunode los nortes por la diferencia entre los estes indicadosnosdaráeldobledelárea.

Enformaanálogalaecuación1.14

Secolocanenformaordenadalosparesdecoordenadasdecadaunode lospuntos.Despuésdelúltimopuntoserepiten las coordenadas del primero. Se conectanmediantelíneaselnortedecadapuntoconelestequelesigue y en el otro sentido se conectan el este de cadapuntoconelnortesiguiente.Luegosemultiplicaencruz,tomandocomopositivoelproductodenortesporestesycomo negativo el producto de estes por nortes.Finalmente el doble del área del polígono es la sumaalgebraicadelosproductosanteriores.Alaplicar lasexpresionesanteriores,el resultadopuededar valores positivos o negativos, dependiendo delsentidoenqueserecorraelpolígono,pero lógicamentesedebetomarsiempreenvalorabsoluto.EjemploE1‐9Calcular el área del polígono representado en la figuraE1‐9.

SoluciónPara aplicar la ecuación 1.12 ordenamos los datos enformatabulada:

Aplicandolaecuación(1.13)

Tomandoelvalorabsoluto

1.1.6.3ÁREADESUPERFICIESIRREGULARESLafigura1‐9representaelcasocomúndeunasuperficiedeformairregular.Enlapráctica,paraelcálculodeláreade dicha superficie se recurre, entre otros, al métodoaproximadodeLosTrapeciosyalMétododeSimpson.

Para la aplicación de ambos métodos debemos medirprimerounabase,ennuestrocasoAB,dividiéndolaluegoenintervalosigualesyfinalmentemedir lasordenadasyabscisas del contorno de la superficie a lo largo de labase.MÉTODODELOSTRAPECIOSEl método de los trapecios, conocido también comoFórmula de Bezout, asume que el contorno de lasuperficie esta representado por segmentos rectos queunen las ordenadas descomponiendo la figura en unnúmero par o impar de trapecios intermedios y dostriángulosexternos.Paraelcálculodeláreadelostrapecios

Endonde,At=Areadelostrapecios.Δx=Basedelostrapecios.Elvalordelabaseesigualparatodoslosintervalos.hi=Ordenadaoalturadelostrapecios.Eláreatotaldelafiguraseráeláreadelostrapeciosmáseláreadelostriángulosextremos.

En el caso de que los triángulos extremos tengan lamisma base Δx, al sumar las áreas correspondientes, eláreatotaldelafiguraserá:

MÉTODODESIMPSONEste método, ilustrado en la figura 1‐10, asume que lalínea que une tres ordenadas consecutivas es unpolinomiodesegundogrado.

ElmétododeSimpsongeneralmenteseconocecomolaFORMULADEL1/3yselimitasóloalcálculodeláreadeunasuperficiedivididaenunnúmeroparde intervalosiguales.UnageneralizacióndelmétododeSimpsonparaelcasode un número impar de intervalos o para el caso deintervalos no iguales, fue desarrollada por Easa1 en1.988.La fórmula de 1/3 de Simpson se reproduce acontinuación

endonde,As=AreasegúnlafórmuladeSimpson.Δx=Intervaloconstanteentreabscisas.hi=Ordenadaidelpolinomio.Paraelcálculodeláreatotalsedebeagregareláreadelostriángulosextremos.

Ejemplo1.10Calcular el área de la figura 1‐9 por el método de lostrapecios.SoluciónSustituyendovaloresenlaecuación1.15

Eláreadelostriángulosextremos

Eláreatotalserá,

Ejemplo1.11Calcular el área de la figura 1‐9 por el método deSimpson.SoluciónSustituyendovaloresenlaecuación1.17

El área de los triángulos extremos calculada en elejemploanterior

Eláreatotalserá

Nótese que existe una pequeña discrepancia en elresultadofinal.Estadiscrepanciasedebealasdiferentesconsideraciones entre ambos métodos, considerándosemásprecisoelmétododeSimpson.En la práctica, en la aplicación delmétodo de Simpson,cuandose tieneunnúmero imparde intervalos iguales,sedeterminaprimeroeláreadelimitadaporunnúmeropardeintervalosigualesaplicandodichométodoyluegoelárearestanteporelmétododelostrapecios.

Enaquelloscasosenquenosepuedadividireláreaenintervalosigualesserecomiendautilizarlaecuación1.18desarrolladaporEasa1paraelcasodeunnúmeropardeintervalosnoiguales.

De acuerdo con las indicaciones de la figura 1‐11, setendrá:

endonde:i=Númeropardeintervalos.bi=Amplituddelintervaloi.hi=Ordenadai.xi=Abscisadelpuntoi.Ejemplo1.12CalculeeláreadelafiguraE1‐12.

SoluciónParalaaplicacióndelafórmulageneralizadadeSimpsonpara número par de intervalos no iguales, la ecuación1.18 se aplicará a los intervalos (b0 – b5), luego secalculará el área de los triángulos extremos (A1 yA3) yporúltimo,eláreadeltrapeciofinal(A2).Eláreadelostrapeciosinternossegúnlaecuación1.18,

As=696,200m2ÁreasdeFigurasElementales

eláreadeltrapeciofinal,

eláreadelostriángulosextremos,

Finalmenteeláreatotalserá

Nótese que en el cálculo del área, el intervalo 8 seaproximó a un trapecio. Unamayor precisión se puedelograr aplicando la fórmula basada en un polinomiocuadrático desarrollada por Easa y descrita en lareferencia(1).

1.1.7VOLUMENTodoproyectodeingenieríarequierelamodificacióndelterrenooriginal.En el proceso de construcción de una carretera, esnecesario mover grandes cantidades de tierra. En laconstrucción de terraplenes, por ejemplo, es necesariocalcular el volumen del terraplén, y el volumen delmaterial de corte o préstamo necesario para suconstrucción.Enelcasode laconstruccióndecortes,esnecesariodeterminarelvolumenafindeestimarelcostodelacarreodelmaterialasudestinofinal.En la construcción de represas, embalses, canales, etc.,se requiereel cálculodelvolumendeconstrucciónydealmacenamiento.En la construcciónde edificaciones, aparte del volumende excavación para las fundaciones, es necesariodeterminar el volumen de concreto requerido para elvaciado de las estructuras, siendo estas generalmentefigurasgeométricasconocidas.

El volumen, definido como la medida del espaciolimitadoporuncuerpo,generalmenteseexpresaenm3,cm3ymm3,siendoelm3launidaddemedidaempleadaenproyectosdeingeniería.Vista la importancia del cálculo del volumen y susdiferentes aplicaciones en proyectos de ingeniería, elpresentecapítulo lodedicaremosalestudiodefórmulasyprocedimientosparasudeterminación.1.1.7.1VOLUMENDESÓLIDOSELEMENTALESEnlatablaT1‐2seresumenlasexpresionesmáscomunesempleadas en el cálculo del volumen de sólidoselementales.

1.1.7.2VOLUMENENTRESECCIONESTRANSVERSALESGeneralmente, el cálculo de los volúmenes se realiza apartir de secciones transversales tomadasperpendicularmentealolargodelejecentral.Las secciones transversales pueden ser: corte entrinchera, corte en ladera, en relleno o terraplén y amedia ladera. En la figura 1‐12 se representangráficamente los diferentes tipos de seccionestransversales.

La distancia o separación entre dos seccionesconsecutivas depende de la topografía de la zona,recomendándose secciones a cada 40 m en terrenosllanosya cada20men terrenosdemontaña. Sedebe,además,trazarseccionesenlospuntoscaracterísticosdelalineamiento,talescomolospuntosdondecomienzanyterminan las curvas horizontales, y en aquellos puntosdondeelterrenopresentequiebressignificativos.Los métodos más utilizados para el cálculo de losvolúmenes correspondientes al movimiento de tierra,son el método de las áreas medias y el método delprismoide, los cuales se describen, brevemente, acontinuación.1.1.7.2.1MÉTODODELASÁREASMEDIASDiversos factores tales como las irregularidades delterrenonatural,dificultadendeterminarexactamentelaconfiguracióndelasseccionestransversalesalolargodelejedelavía,lasinevitablesdiferenciasentreelproyectooriginal y las secciones terminadas, etc., justifican lautilizacióndelafórmulaaproximadadelasáreasmedias.Este método, sin duda el más empleado en nuestromedio, es el método exigido por las Normas para ladeterminacióndelosvolúmenesdecorteyrellenoenlaconstruccióndecarreteras.

En este método, el volumen entre dos seccionesconsecutivas del mismo tipo, bien sean en corte o enterraplén,(Figura1‐13),estadadopor:

Endonde:V=Volumenentreambasseccionesenm3A1,A2=AreadelasseccionesS1yS2enm2d=DistanciaentreseccionesenmEnelcasodeseccionesdediferentetipo,segeneraunalíneadepaso (Figura1‐14), a lo largode la cual la cotadel terreno coincide con la cota de la superficie desubrasante o superficie terminada del movimiento detierra.Enestecasoparticular,entreambasseccionessegenerará un volumen de corte y un volumen deterraplén.

Para fines prácticos se asume que la línea de paso esperpendicular al eje. El VOLUMEN DE CORTE entre eláreadecorte"Ac"yeláreadelalíneadepaso"A0=0"yel VOLUMEN DE TERRAPLEN entre el área de terraplén"Ar" y el área de la línea de paso "A0=0", se calculanmediantelasecuacionesqueseindicanacontinuación.

endonde:Vc,Vr=Volumendecorteydeterraplénenm3Ac,Ar=Áreasdelasseccionesencorteyterraplénenm2A0=Áreadelasecciónenlalíneadepaso,A0=0dc,dr=Distanciasdecorteyrellenoenm2Para determinar dc y dr, representadosesquemáticamente en la figura 1‐14, por relación detriángulos,setiene:

sustituyendo (1.22) y (1.23) en las ecuaciones (1.20) y(1.21),setendránotrasexpresionesparaVcyVr:

Ejemplo1.13Calcular el volumen entre las secciones transversalesrepresentadasenlafiguraE1‐13.

SoluciónPara la solución de este problema, debemos observarque la secciónS3esuna secciónamedia ladera,por loque su punto de paso debe ser proyectado a lassecciones adyacentes. De esta manera se determina lacorrespondenciaentrelasáreasdelasecciónamedialaderaylasáreasdelasseccionesadyacentesgeneradasporlaproyeccióndelpuntodepaso.

Las áreas correspondientes a cada una de las seccionestransversalespuedensercalculadasporcualquieradelosmétodos estudiados ( figuras elementales, Porcoordenadas,etc.).A manera ilustrativa, calcularemos el área AR1 de lasección S1 por el método de figuras elementales y porcoordenadas.FiguraselementalesDelasmúltiplesformasenquepuedeserdescompuestaAR1 para el cálculo del área por figuras elementales,descompondremos AR1 en dos triángulos y dostrapecios,talycomosemuestraenlasiguientefigura.Labasey laalturadecadaunade las formaspuedeserdeterminadagráficamentemidiendodirectamentesobrelafiguraalaescalacorrespondiente.Aplicandodirectamentelasfórmulasconocidastenemos:

PorcoordenadasParaelcálculodeláreadeunpolígonoporcoordenadas,es necesario determinar las coordenadas de los puntosdeinterseccióndelostaludesconelterreno(chaflanes).

Lascoordenadasdelpuntobdelafiguraanteriorpuedensercalculadashallandolainterseccióndelarecta1‐2conla recta a‐b, aplicando las ecuaciones 1.5, 1.6 y 1.7, endondeN correspondea la cota (Z) y E correspondea ladistanciaaleje(d).Calculandolaecuacióndelarectaa–btenemos,

Deigualforma,calculandolaecuacióndea–btenemos;

Igualando[A]con[B]tenemos

En forma análoga, interceptando la recta 2–3 con c–dtendremoslascoordenadasdelpuntod.Zd=50,00Dd=12,00

Luego, aplicando el procedimiento para el cálculo deáreas explicadoen el punto 1.1.6.2. sobre la sección S1tenemos,

CálculodeVolúmenesVolumenentrelasseccionesS1yS2.

VolumenentrelasseccionesS2yS3.Siendo S3 amedia ladera, se genera un punto de pasotransversalelcualdefineeláreacorrespondienteacorteyrellenoenS3.SeobservaqueentreS2yS3existeunpasoderellenoacorte,por consiguiente, segeneraunpuntodepasoensentidolongitudinalVolumendeRelleno

VolumendeCorte:

(VolumendecorteentreS2yS3)

VolumenentrelasseccionesS3yS4.VolumendeRelleno:

(VolumenderellenoentreS3yS4)VolumendeCorte:

(VolumendecorteentreS3yS4)

VOLUMENTOTALDERELLENO

VOLUMENTOTALDECORTE

Ordenandolosdatosenformatabulada,setendrá:

1.1.7.2.2MÉTODODELPRISMOIDEElmétododelasáreasmediastienelaventajadeserunmétodofácildeentenderydeimplementar,perotieneladesventajadequesusresultadosnosonexactosyaqueasume que el área transversal varia linealmente con lalongitud.En algunos casos particulares se requiere el cálculo delvolumenconunamayorprecisión,porloqueserecurrealmétododelprismoide.Un prismoide es un sólido cuyos lados extremos sonparalelos y sus superficies laterales son planas oalabeadas.Un ejemplo común de prismoide utilizado en elmovimiento de tierra se muestra en la figura 1‐15.

Figura1‐15.Prismoidedeseccionestransversales.A continuación se reproduce la fórmula del prismoidetriangular.

endonde,A1,A2=AreadeS1yS2enm2Am= Area de la sección transversal en el punto medioentreS1yS2enm2d=DistanciaentreS1yS2enmNóteseque la formula 1.19del volumenpor elmétodode las áreas medias puede considerarse un casoparticulardela1.26.Enefecto,enlafórmuladelprismoidesilasgeneratricessonparalelasaunplanodirector,elAREAMEDIA(Am)esigualalaMEDIA(Ma)delasáreasextremas(A1yA2);enfórmulas:

Sustituyendo(1.27)en(1.26),ydesarrollando,setendrá:

lacual,comopuedeobservarseeslafórmula1.19.Lautilizacióndela1.19enlugardela1.26introduce,enelcálculodelvolumen,unerrorE,dadopor:

que permite calcular el volumen del prismoide a partirdelvolumendelasáreasmedias,dedonde:

En la ecuación 1.28, bi y hi son los valorescorrespondientes a la base y altura del área Ai de lasseccionesextremassupuestastriangulares.

Ejemplo1.14La figura E1‐14 representa un muro de concreto desecciónvariable.Sedeseacalcular:a.‐ Volumen de concreto por el método de las áreasmedias.b.‐Volumendeconcretoporelmétododelprismoide.

Solucióna.‐Volumenporlaformuladelasáreasmedias.Areadelasseccionesextremas.

Volumen

b.‐VolumenporlafórmuladelPrismoideParaaplicarlafórmuladelPrismoideserequierecalculareláreadelasecciónmediaAm.Amnoeselpromediodelasáreas,perosusdimensionesserán el promedio de las dimensiones de las seccionesextremas.

Volumen

Nótese que el volumen calculado por la fórmula de lasáreasmedias esmayor que el calculado por la fórmuladelprismoide.Estadiferenciapuedeonosersignificativa,dependiendodelvalordelmaterialconelqueseestatrabajando.Es importante resaltar que ambos métodos han sidodesarrolladossuponiendoquelasseccionestransversalesson paralelas; sin embargo, en alineamientos decarreteras, ferrocarriles, canales e incluso en el caso deconstrucciónderepresas,vigasyobrascivilesengeneral,losalineamientospresentantramoscurvos,ysiendoquelas secciones son perpendiculares al eje, éstas no sonparalelasentresí.Estasituaciónoriginael llamadoerrorde curvatura que, para efectos prácticos, enconstrucciones viales se puede despreciar, pero enalgunas situaciones particulares amerita el cálculo de lacorrecciónporcurvaturadescritapordiferentesautores.