Coordenadas Polares

10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre

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Localizacindeunpuntoencoordenadaspolares.

CoordenadaspolaresDeWikipedia,laenciclopedialibre

Lascoordenadaspolaresosistemaspolaressonunsistemadecoordenadasbidimensional en el cual cada punto del plano sedeterminaporunadistanciayunngulo,ampliamenteutilizadosenfsicaytrigonometra.

Demaneramsprecisa,setoman:unpuntoOdelplano,alquese le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, osegmentoOL)quepasaporO,llamadaejepolar(equivalentealejex del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Conestesistemadereferenciayunaunidaddemedidamtrica(parapoderasignardistanciasentrecadapardepuntosdelplano),todopuntoPdelplanocorrespondeaunparordenado(r,)donderesladistanciadePalorigenyeselnguloformadoentreelejepolarylarectadirigidaOPquevadeOaP.Elvalorcreceensentido antihorario y decrece en sentido horario.La distancia r(r0)seconocecomolacoordenadaradialoradiovector,mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulopolar.

Enelcasodelorigen,O,elvalorderescero,peroelvalordeesindefinido.Enocasionesseadoptalaconvencinderepresentarelorigenpor(0,0).

ndice

1Historia2Representacindepuntosconcoordenadaspolares3Conversindecoordenadas

3.1Pasodecoordenadaspolaresarectangularesyviceversa3.1.1Conversindecoordenadaspolaresarectangulares3.1.2Conversindecoordenadasrectangularesapolares

4Ecuacionespolares4.1Circunferencia4.2Lnea4.3Rosapolar4.4EspiraldeArqumedes4.5Seccionescnicas

5Nmeroscomplejos6Clculoinfinitesimal

6.1Clculodiferencial6.2Clculointegral6.3Generalizacin6.4Clculovectorial

7Extensinamsdedosdimensiones7.1Tresdimensiones

7.1.1Coordenadascilndricas7.1.2Coordenadasesfricas

7.2ndimensiones

8Aplicaciones



Sistemadecoordenadaspolaresconvariosngulosmedidosengrados.

8Aplicaciones8.1Posicinynavegacin8.2Modelado8.3Camposescalares

9Vasetambin10Referencias11Enlacesexternos

Historia

Sibienexistenejemplosdequelosconceptosdenguloyradiose conocen ymanejan desde la antigedad, no es sino hasta elsigloXVII,posterioralainvencindelageometraanaltica,enquesepuedehablardelconceptoformaldesistemacoordenadaspolares.

Los primeros usos empricos de relaciones entre ngulos ydistancias se relacionan con aplicaciones a la navegacin y elestudio de la bveda celeste. El astrnomo Hiparco(190a.C.120a.C.) creuna tabla trigonomtrica quedaba lalongitud de una cuerda en funcin del ngulo y existenreferencias del uso de coordenadas polares para establecer laposicin de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arqumedesdescribe la espiral de Arqumedes, una funcin cuyo radiodepende del ngulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacanuso de un sistema de coordenadas como medio de localizarpuntos enelplano, situacinanlogaal estadode lageometra antesde la invencinde lageometraanaltica.

En tiempos modernos, Grgoire de SaintVincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de formaindependienteelconceptoamediadosdelsigloXVIIen la solucindeproblemasgeomtricos.SaintVincentescribisobreestetemaen1625ypublicsustrabajosen1647,mientrasqueCavalieripublicsusescritosen1635yunaversincorregidaen1653.CavalieriutilizenprimerlugarlascoordenadaspolarespararesolverunproblemarelacionadoconelreadentrodeunaespiraldeArqumedes.BlaisePascalutilizposteriormentelascoordenadaspolaresparacalcularlalongituddearcosparablicos.

Sinembargo,elconceptoabstractodesistemadecoordenadapolarsedebeaSirIsaacNewton,quienensuMtodode las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas decoordenadas(ademsdelascartesianas)pararesolverproblemasrelativosatangentesycurvas,unodeloscuales,elsptimo,eseldecoordenadaspolares.2EnelperidicoActaEruditorumJacobBernoulliutilizen1691unsistemaconunpuntoenunalnea,llamndolospoloyejepolarrespectivamente.Lascoordenadassedeterminabanmedianteladistanciaalpoloyelngulorespectoalejepolar.EltrabajodeBernoulli sirvi de base para encontrar el radiode curvatura de ciertas curvas expresadas en estesistemadecoordenadas.

El trmino actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por losescritores italianosdel sigloXVIII.El trmino aparecepor primeravez en ingls en la traduccinde1816 efectuada por George Peacock del Tratado del clculo diferencial y del clculo integral deSylvestre Franois Lacroix,3 mientras que Alexis Clairaut fue el primero que pens en ampliar lascoordenadaspolaresatresdimensiones.



Lospuntos(3,60)y(4,210)enunsistemadecoordenadaspolares.

Representacindepuntosconcoordenadaspolares

Enlafiguraserepresentaunsistemadecoordenadaspolaresenelplano,elcentrodereferencia(puntoO)ylalneaOLsobrelaquesemidenlosngulos.ParareferenciarunpuntoseindicaladistanciaalcentrodecoordenadasyelngulosobreelejeOL.

El punto (3, 60) indica que est a una distancia de 3unidades desdeO, medidas con un ngulo de 60 sobreOL.El punto (4, 210) indica que est a una distancia de 4unidadesdesdeOyunngulode210sobreOL.

Unaspectoaconsideraren lossistemasdecoordenadaspolareses que un nico punto del plano puede representarse con unnmeroinfinitodecoordenadasdiferentes,locualnosucedeenelsistemadecoordenadascartesianas.Oseaqueenelsistemadecoordenadaspolaresnohayunacorrespondenciabiunvocaentrelospuntosdelplanoyelconjuntodelascoordenadaspolares.Estoocurrepordosmotivos:

Un punto, definido por un ngulo y una distancia, es elmismo punto que el indicado por esemismo nguloms un nmero de revoluciones completas y lamisma distancia. En general, elpunto( ,)sepuederepresentarcomo( , 360)o( ,(2 +1)180),donde esunnmeroenterocualquiera.4Elcentrodecoordenadasestdefinidoporunadistancianula,independientementedelosngulosqueseespecifiquen.Normalmenteseutilizanlascoordenadasarbitrarias(0,)pararepresentarelpolo, ya que independientemente del valor que tome el ngulo , un punto con radio 0 seencuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitarconfusionesenestesistemadecoordenadas.Paraobtenerunanicarepresentacindeunpunto,sesuele limitar a nmeros no negativos 0 y al intervalo [0, 360) o (180, 180] (enradianes,[0,2)o(,]).6

Los ngulos en notacin polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo delcontexto.Porejemplo,lasaplicacionesdenavegacinmartimautilizanlasmedidasengrados,mientrasque algunas aplicaciones fsicas (especialmente lamecnica rotacional) y lamayor parte del clculomatemticoexpresanlasmedidasenradianes.7

Conversindecoordenadas

Pasodecoordenadaspolaresarectangularesyviceversa

Lascoordenadasrectangulares(x,y)decualquierpuntodeunplanoimplicansolamentedosvariables,xey.Portanto,laecuacindecualquierlugargeomtricoenunsistemadecoordenadasrectangularesenunplano ,contieneunaoambasdeestasvariables,peronootras.Porestoesapropiado llamaraunaecuacindeestaclaselaecuacinrectangulardellugargeomtrico.

Lascoordenadaspolares(r,)decualquierpuntodeunplanoimplicansolamentedosvariables,ry,demaneraquelaecuacindecualquierlugargeomtricoenelplanocoordenadopolarcontieneunaoambasvariables,peronootras.Talecuacinsellama,deacuerdoconesto,laecuacinpolardellugargeomtrico.As,laecuacin=/4yr=cossonlasecuacionespolaresdedoslugaresgeomtricosplanos.



Diagramailustrativodelarelacinentrelascoordenadaspolaresylascoordenadascartesianas.

Paraunlugargeomtricodeterminado,conviene,frecuentemente,sabertransformarlaecuacinpolarenlaecuacinrectangular,yrecprocamente.ParaefectuartalYtransformacindebemosconocerlasrelacionesqueexistenentrelascoordenadasrectangularesylascoordenadaspolaresdecualquierpunto,X,Adel lugar geomtrico. Se obtienenY relaciones particularmente simples cuando el polo y el ejepolardelsistemapolarsehacencoincidir,respectivamente,conelorigenylapartepositivadelejeXdelsistemarectangular.SeaPunpuntocualquieraquetengaporcoordenadasrectangulares(x,y)yporcoordenadaspolares(r,)Entoncessededuceninmediatamentelasrelaciones

EnelplanodeejesxyconcentrodecoordenadasenelpuntoOsepuededefinirunsistemadecoordenadaspolaresdeunpuntoM del plano, definidas por la distancia r al centro decoordenadas,yelngulo delvectordeposicinsobreelejex.

Conversindecoordenadaspolaresarectangulares

Definidounpuntoencoordenadaspolaresporsungulo sobreelejex,ysudistanciaralcentrodecoordenadas,setiene:

Conversindecoordenadasrectangularesapolares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares(x,y),setienequelacoordenadapolarres:

(aplicandoelTeoremadePitgoras)

Paradeterminarlacoordenadaangular,sedebendistinguirdoscasos:

Para =0,elngulopuedetomarcualquiervalorreal.Para 0, para obtener un nico valor de , debe limitarse a un intervalo de tamao 2. Porconvencin,losintervalosutilizadosson[0,2)y(,].



Paraobtenerenelintervalo[0,2),sedebenusarlassiguientesfrmulas( denotalainversadelafuncintangente):

Paraobtenerenelintervalo(,],sedebenusarlassiguientesfrmulas:

oequivalentemente

Muchoslenguajesdeprogramacinmodernosevitantenerquealmacenarelsignodelnumeradorydeldenominadorgraciasalaimplementacindelafuncinatan2,quetieneargumentosseparadosparaelnumerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la funcin atanpuederecibircomoparmetrolacoordenadax(comoocurreenLisp).

Ecuacionespolares

Se le llamaecuacinpolar a la ecuacinquedefineunacurva expresada en coordenadaspolares.Enmuchoscasossepuedeespecificartalecuacindefiniendo comounafuncinde.Lacurvaresultanteconsiste en una serie de puntos en la forma ( (), ) y se puede representar como la grfica de unafuncin .

Sepuedendeducirdiferentesformasdesimetradelaecuacindeunafuncinpolar .Si ()= ()lacurvasersimtricarespectoalejehorizontal(0/180),si (180)= ()sersimtricarespectoalejevertical(90/270),ysi ()= ()sersimtricorotacionalmenteensentidohorariorespectoalpolo.

Debidoalanaturalezacirculardelsistemadecoordenadaspolar,muchascurvassepuedendescribirconunasimpleecuacinpolar,mientrasqueensuformacartesianaseramuchomsintrincado.Algunasdelascurvasmsconocidassonlarosapolar,laespiraldeArqumedes,lalemniscata,elcaracoldePascalylacardioide.

Paralosapartadossiguientesseentiendequeelcrculo,lalneaylarosapolarnotienenrestriccioneseneldominioyrangodelacurva.



Uncrculoconecuacin ()=1.

Unarosapolarconecuacin()=2sin4.

Circunferencia

La ecuacin general para una circunferencia con centro en (0,)yradio es

En ciertos casos especficos, la ecuacin anterior se puedesimplificar.Porejemplo,paraunacircunferenciaconcentroenelpoloyradioa,seobtiene:8

Lnea

Las lneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) serepresentanmediantelaecuacin

dondeeselngulodeelevacindelalnea,estoes,=arctan donde eslapendientedelalneaen el sistema de coordenadas cartesianas. La lnea no radial que cruza la lnea radial = perpendicularmentealpunto( 0,)tienelaecuacin

Rosapolar

La rosapolar es una famosa curvamatemtica que parece unaflor con ptalos, y puede expresarse como una ecuacin polarsimple,

paracualquierconstante (incluyendoal0).Sikesunnmeroentero,estasecuacionesrepresentanunarosadekptaloscuandok es impar, o 2k ptalos si k es par. Si k es racional pero noentero, la grfica es similar a una rosa pero con los ptalossolapados.Nteseque estas ecuacionesnuncadefinenuna rosacon2,6,10,14,etc.ptalos.Lavariablearepresentalalongituddelosptalosdelarosa.

Sitomamosslovalorespositivospararyvaloresenelintervalopara ,lagrficadelaecuacin:



UnbrazodelaespiraldeArqumedesconecuacinr()=para0



Ilustracindeunnmerocomplejozenelplanocomplejo.

IlustracindeunnmerocomplejoenelplanocomplejousandolafrmuladeEuler.

dondei es launidadimaginaria.De formaalternativa, sepuedeescribir en formapolar (mediante lasfrmulasdeconversindadasarriba)como

porloquesededuceque

dondeeeslaconstantedeNeper.9Estaexpresinesequivalentea la mostrada en la frmula de Euler. (Ntese que en estafrmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienenexponenciales de ngulos, se asume que el ngulo estexpresadoenradianes.)Parapasarde laformapolara la formarectangular de un nmero complejo dado se pueden usar lasfrmulasdeconversinvistasanteriormente.

Para las operaciones de multiplicacin, divisin yexponenciacin de nmeros complejos, es normalmentemuchomssimpletrabajarconnmeroscomplejosexpresadosenformapolarqueconsuequivalenteenformarectangular:

Multiplicacin:

Divisin:

Exponenciacin(FrmuladeDeMoivre):

Clculoinfinitesimal

El clculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares.A lolargodeestaseccinseexpresalacoordenadaangularenradianes,alserlaopcinconvencionalenelanlisismatemtico.1011

Clculodiferencial

Partiendo de las ecuaciones de conversin entre coordenadas rectangulares y polares, y tomandoderivadasparcialesseobtiene



LareginRestdelimitadaporlacurvar()ylassemirrectas=ay=b.

LareginRseaproximapornsectores(aqu,n=5).

Paraencontrarlapendienteencartesianasdelarectatangenteaunacurvapolarr()enunpuntodado,lacurvadebeexpresarseprimerocomounsistemadeecuacionesparamtricas

Diferenciandoambasecuacionesrespectoaresulta

Dividiendolasegundaecuacinporlaprimeraseobtienelapendientecartesianadelarectatangentealacurvaenelpunto(r,r()):

Clculointegral

SeaRunaregindelplanodelimitadaporlacurvacontinuar()ylassemirrectas=ay=b,donde0



Generalizacin

Usandolascoordenadascartesianas,unelementodereainfinitesimalpuedesercalculadocomodA=dxdy.Elmtodode integracinporsustitucinpara las integralesmltiples estableceque, cuando seutilizaotrosistemadecoordenadas,debetenerseencuentalamatrizdeconversinJacobiana:

Porlotanto,unelementodereaencoordenadaspolarespuedeescribirsecomo:

Unafuncinencoordenadaspolarespuedeserintegradacomosigue:

dondeReslaregincomprendidaporunacurvar()ylasrectas=ay=b.

LafrmulaparaelreadeRmencionadaarribaseobtienetomandofcomounafuncinconstanteiguala1. Una de las aplicaciones de estas frmulas es el clculo de la Integral de Gauss :

Clculovectorial

El clculovectorial puede aplicarse tambin a las coordenadas polares. Sea el vector de posicin,conry dependientesdeltiempot.

Sea

unvectorunitarioenladireccinde y

unvectorunitarioortogonala .Lasderivadasprimeraysegundadelvectordeposicinson:



Unpuntorepresentadoencoordenadascilndricas.

Unpuntorepresentadoencoordenadasesfricas.

Extensinamsdedosdimensiones

Tresdimensiones

Elsistemadecoordenadaspolarespuedeextenderseatresdimensionescondossistemasdecoordenadasdiferentes: el sistemade coordenadas cilndricas y el sistemade coordenadas esfricas.El sistemadecoordenadas cilndricas aade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadasesfricasaadeunacoordenadaangular.

Coordenadascilndricas

El sistema de coordenadas cilndricas es un sistema decoordenadas que extiende al sistema de coordenadas polaresaadiendounaterceracoordenadaquemidelaalturadeunpuntosobreelplano,delamismaformaqueelsistemadecoordenadascartesianasseextiendeatresdimensiones.Laterceracoordenadase suele representar por h, haciendo que la notacin de dichascoordenadassea(r,,h).

Las coordenadas cilndricas pueden convertirse en coordenadascartesianasdelasiguientemanera:

Coordenadasesfricas

Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tresdimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es ladistanciaalorigen,eselnguloconrespectoalejez(medidode0a180),yeselnguloconrespectoalejex(igualqueenlas coordenadas polares, entre 0 y 360) Este sistema decoordenadasessimilaralsistemautilizadoparadenotarlaaltitudy la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde sesitaelorigenenelcentrodelaTierra,lalatitudeselngulocomplementariode(esdecir,=90),ylalongitudlvienedadapor180.12

Las coordenadas esfricas pueden convertirse en coordenadascartesianasdelasiguientemanera:



Lascoordenadaspolaresenelespaciotienenespecialinterscuandolosngulosdeterminanlafuncin,comoenelcasodelahlice.

ndimensiones

Esposiblegeneralizarestasampliacionesdeformaqueseobtengaunsistemaderepresentacinpara4omsdimensiones.Porejemplo,para4dimensionesseobtiene

Aplicaciones

Lascoordenadaspolaressonbidimensionales,porloquesolamentesepuedenusardondelasposicionesdelospuntossesitenenunplanobidimensional.Sonlasmsadecuadasencualquiercontextodondeelfenmenoaconsiderarestdirectamenteligadoconladireccinylongituddeunpuntocentral,comoenlas figuras de revolucin, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. LosejemplosvistosanteriormentemuestranlafacilidadconlaquelascoordenadaspolaresdefinencurvascomolaespiraldeArqumedes,cuyaecuacinencoordenadascartesianasseramuchomsintrincada.Ademsmuchossistemasfsicos,talescomolosrelacionadosconcuerposquesemuevenalrededordeunpuntocentral,olosfenmenosoriginadosdesdeunpuntocentral,sonmssimplesymsintuitivosdemodelarusandocoordenadaspolares.Lamotivacininicialdelaintroduccindelsistemapolarfueelestudiodelmovimientocircularyelmovimientoorbital.

Posicinynavegacin

Lascoordenadaspolaresseusanamenudoennavegacin,yaqueeldestinooladireccindeltrayectopuedenvenirdadosporunnguloyunadistanciaalobjetoconsiderado.Lasaeronaves,porejemplo,utilizanunsistemadecoordenadaspolaresligeramentemodificadoparalanavegacin.

Modelado

LosSistemassonBusternianosimetraradialposeenunascaractersticasadecuadasparaelsistemadecoordenadas polares, con el punto central actuando como polo.Un primer ejemplo de este uso es laecuacin del flujo de las aguas subterrneas cuando se aplica a pozos radialmente simtricos. De lamismamanera,lossistemasinfluenciadosporunafuerzacentralsontambinbuenoscandidatosparaeluso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioelctricas, o los camposgravitatorios,queobedecenalaleydelainversadelcuadrado(vaseelproblemadelosdoscuerpos).

Lossistemasradialmenteasimtricostambinpuedenmodelarseconcoordenadaspolares.Porejemploladirectividaddeunmicrfono,quecaracterizalasensibilidaddelmicrfonoenfuncindeladireccindel sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrfono cardioideestndar,elmscomndelosmicrfonos,tieneporecuacinr=0,5+0,5sen.13

Camposescalares



Unproblemaenelanlisismatemticodefuncionesdevariasvariableses ladificultadparaprobar laexistencia de un lmite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados segn la trayectoria deaproximacinalpunto.Enelorigendecoordenadas,unode lospuntosquetienenmsintersparaelanlisis(poranularhabitualmentefuncionesracionalesologartmicas),esteproblemapuedesolventarseaplicandocoordenadaspolares.Enotrospuntosesposiblerealizaruncambiodesistemadereferenciayasaplicareltruco.

Alsustituirlascoordenadascartesianasx,y,z...porsuscorrespondientesequivalenciasencoordenadaspolares,ellmitealaproximarsealorigensereduceaunlmitedeunanicavariable,loqueresultafcildecalcularporserelsenoyelcosenofuncionesacotadasyruninfinitsimo.Sielresultadonomuestradependenciaangular,esposibleaseverarqueellmiteesindistintodelpuntoytrayectoriadesdeelquesehaaproximado.

Vasetambin

CoordenadascelestesCoordenadasesfricasCoordenadasgeogrficas

Referencias

Enlacesexternos

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