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APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN COORDENADAS POLARES

El sistema de coordenadas polares al igual que las coordenadas rectangulares, permite ubicar un punto, teniendo en consideración su Angulo de inclinación respecto al eje polar y su magnitud.

COORDENADAS POLARES: Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES: Las coordenadas polares son un sistema que define la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia. En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. En ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas en forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas o esféricas.

Este sistema consiste en un punto O llamado polo y en un rayo llamado eje polar que tiene a O como extremo. Las coordenadas de un punto P se representan por el par ordenado (r,Ɵ), donde r es la distancia del punto al polo y Ɵ es la medida del ángulo desde el eje polar al segmento OP. Cuando el ángulo se mide a favor de las manecillas del reloj es negativo, y en contra positivo. Si la distancia del polo al punto se mide en el sentido del ángulo, es positiva, si no es negativa

AREA DE UNA REGION PLANA EN COORDENADAS POLARES

El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:

CAMBIO DE COORDENADAS DE POLAR A RECTANGULAR

De polares a cartesianas: Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo 1: tenemos (13, 23 °) en coordenadas cartesianas

 

Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

   

Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

CAMBIO DE COORDENADAS DE RECTANGULAR A POLAR

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo 1: tenemos (12,5) en coordenadas polares

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52

r = √ (122 + 52)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:

r = √ (x2 + y2)

θ = atan( y / x )

 

GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES (Definición, Características, Graficas)

LIMACON O CARACOL: Limacon viene del latín limax que significa caracol. 

El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limacon o las gráficas polares que generan limacones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos Ɵ

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

CIRCUNFERENCIA O CIRCULOS: Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:

Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS: El siguiente gráfico es cómo se forma una figura parecida a una rosa con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada: