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CORPORACIÓN MEXICANA DE INVESTIGACIÓN
EN MATERIALES S.A. DE C.V.
“Análisis de un sistema difuso con respuesta multivariada”
TESIS
Para obtener el Grado Académico de
Maestro en Ciencia y Tecnología en la Especialidad de Ingeniería Industrial y de Manufactura
Presenta:
Isaac Esaú Cerda Durán
Saltillo, Coahuila Diciembre de 2016
CCIIEENNCCIIAA YY
TTEECCNNOOLLOOGGIIAA
"Análisis de un sistema difuso con respuesta multivariada"
Por Isaac Esaú Cerda Durán
Tesis
Presentada al Programa Interinstitucional en Ciencia y tecnología
Sede
Corporación Mexicana de Investigación en Materiales, S.A. de C.V.
Como requisito parcial para obtener el Grado Académico de
Maestría en Ciencia y Tecnología en Ingeniería Industrial y de Manufactura
Programa Interinstitucional en Ciencia y Tecnología COMIMSA / CONACyT
Saltillo, Coahuila Diciembre de 2016
Agradecimientos
A Dios, porque sin duda esta etapa de mi vida no hubiera sido posible sin su
bendición, fortaleza y provisión.
A mis padres Ezequiel Cerda Viera y Hortensia Durán Mandujano, porque sin
ustedes no habría sido posible este logro, por su amor incondicional, a su apoyo
durante todos estos años por su ejemplo de trabajo y esfuerzo que hoy guía mi
vida.
A mi hermano Francisco Ezequiel Cerda Durán y a su esposa Miriam Gamboa
Rodríguez porque en el momento más difícil sus palabras y acciones fueron
fundamentales para que este momento fuera posible y porque su ejemplo sigue
marcando mi vida.
A mi hermano Eliezer Cerda Duran porque siempre estas para mí, por ser la
persona de quien más aprendo y que con sus pláticas hacen que olvide lo malo
del día.
A mi tutor, Dr. Rolando Javier Praga Alejo, por compartir sus conocimientos,
tiempo, esfuerzo, por motivarme y por tener la confianza en mí para este proyecto,
además de sus consejos y observaciones que me hicieron crecer como persona y
como estudiante.
A mi asesor, Dr. David Salvador González González por su tiempo, sus consejos
y preguntas que me han ayudado para revolucionar mi manera de pensar.
Y ambos, porque sin duda la mayor lección de humildad la recibí de ustedes.
A los académicos que de manera directa o indirecta contribuyeron con mi
formación académica, Dr. Pedro Pérez Villanueva, Dr. Arturo Reyes.
A los doctores con quienes tuve oportunidad de conocer en clase y de quienes
aprendí mucho.
Al personal administrativo del posgrado de COMIMSA por su apoyo en cada
actividad que realicé en mi formación académica
Agradezco a El Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) y a la
Corporación Mexicana de Investigación en Materiales por todos los apoyos
que recibí durante la realización de mi programa académico ya que sin su apoyo
este logro no hubiera sido posible
A mis amigos por ser ese apoyo que nunca falla.
Resumen
Hoy en día la industria ha incrementado sus procesos de manufactura y con ello la
complejidad de estos, debido a ello necesitan herramientas capaces de análisis y
toma de decisiones para cada uno de sus procesos.
Los sistemas de inferencia difusa forman parte de los sistemas inteligentes que
permiten construir modelos para procesos de manufactura. A pesar de que estos
sistemas inteligentes permiten la modelado de variables con incertidumbre y utiliza
el conocimiento experto para la construcción del modelo se presentan dificultades
al analizar dichos modelos, ya que a pesar de que la mayoría de los procesos
tengan múltiples respuestas el análisis estadístico que se realiza en los modelos
se hace de manera univariada sin comprobar que no exista correlación entre las
respuestas, además de utilizar el ANOVA si comprobar los supuestos para dicho
análisis. Este trabajo propone el uso de los sistemas de inferencia difusos para el
modelado y predicción en los procesos de manufactura con varias variables de
respuestas y aplicar un análisis estadístico por medio de herramientas como el
MANOVA comprobando los supuestos para su aplicación. Lo anterior nos
permitirá verificar si el modelo construido representa la variabilidad del proceso.
La metodología propuesta se desarrolló en un proceso de fundición en molde
permanente y por gravedad, donde las métricas estadísticas mostraron que el
modelo representaba la variabilidad del proceso.
Palabras clave: Sistemas de inferencia difuso, modelado de procesos, MANOVA
Índice
Capítulo 1........................................................................................................................................... 1
Introducción ....................................................................................................................................... 1
Capítulo 2........................................................................................................................................... 3
Planteamiento del problema ........................................................................................................... 3
2.1 Descripción del problema ..................................................................................................... 4
2.2 Preguntas de Investigación .................................................................................................. 9
2.3 Hipótesis ................................................................................................................................ 10
2.4 Objetivo General .................................................................................................................. 10
2.5 Objetivos Específicos .......................................................................................................... 10
2.6 Justificación .......................................................................................................................... 11
2.7 Delimitaciones ...................................................................................................................... 12
Capítulo 3......................................................................................................................................... 13
Estado del arte ................................................................................................................................ 13
3.1 Conclusiones del estado del arte ...................................................................................... 16
Capítulo 4......................................................................................................................................... 17
Marco teórico ................................................................................................................................... 17
Lógica difusa ............................................................................................................................... 17
Conjunto difuso ........................................................................................................................... 17
Función de membresía .............................................................................................................. 18
Variable lingüística ..................................................................................................................... 20
Operadores difusos .................................................................................................................... 20
Reglas Si-Entonces .................................................................................................................... 21
Fuzzyficación ............................................................................................................................... 22
Mecanismo de inferencia .......................................................................................................... 22
4.2 Análisis múltiple de la varianza (MANOVA)..................................................................... 28
a) Prueba de correlación .................................................................................................... 29
b) Pruebas de normalidad. ................................................................................................ 31
c) Prueba de autocorrealación .......................................................................................... 34
d) Prueba de heterocedasticidad ...................................................................................... 34
e) Análisis de la varianza multivariado (MANOVA) ....................................................... 35
f) Coeficiente de determinación ....................................................................................... 36
Capítulo 5......................................................................................................................................... 38
Metodología ..................................................................................................................................... 38
Capítulo 6......................................................................................................................................... 42
Experimentación con datos históricos ......................................................................................... 42
Proceso de maquinado .................................................................................................................. 43
Proceso de colada .......................................................................................................................... 50
Manufactura de corazones ........................................................................................................... 59
Capítulo 7......................................................................................................................................... 64
Aplicación......................................................................................................................................... 64
Proceso de colada para la elaboración de contrapesos .......................................................... 64
Capítulo 8......................................................................................................................................... 72
Conclusiones ................................................................................................................................... 72
Bibliografía ....................................................................................................................................... 75
Anexo ............................................................................................................................................... 79
1
Capítulo 1
Introducción
Hoy en día la industria ha crecido de manera acelerada gracias a que muchos de
sus procesos se llevan a cabo de manera automatizada, pero aún y cuando estos
procesos se llevan a cabo de esa forma la mayoría de ellos se busca controlar y
mejorar además de predecir ciertos resultados en cada uno de estos procesos.
Por lo anterior es necesario conocer la forma en que las variables del proceso se
relacionan, esto es, como interactúan o afectan las variables de entrada a las
variables de salida
Para conocer la relación que existe entre dichas variables es necesario construir
un modelo, el cual represente el sistema, esto es, modelar el proceso en cuestión,
ya sea un proceso de soldadura, maquinado, etc.
Este modelo puede construirse de manera estadística, matemática y también
mediante los sistemas inteligentes.
Hoy en día los sistemas inteligentes ya que son una herramienta que permite
construir mejores modelos, sobre todo cuando estos son altamente no lineales, en
esta rama las redes neuronales, los algoritmos genéticos, los sistemas difusos y
sus híbridos son los que más se utilizan para dicha tarea.
Gracias a los sistemas inteligentes muchos de los procesos industriales pueden
ser modelados, esto es, se puede definir de manera más adecuada las variables
de entrada y su relación con las variables de salida.
2
Para lo anterior es importante tomar en cuenta que para lograr un mejor modelo es
indispensable conocer el proceso, lo cual, se puede lograr cuando se incorpora el
conocimiento de expertos. Este conocimiento proviene de información lingüística
que describe ciertas etapas del proceso y es de mucha utilidad cuando los valores
de entrada y salida del sistema son difíciles de definir, por ejemplo “la pieza tiene
poca rugosidad, “la temperatura es muy alta”, es decir las variables son difusas.
Es entonces donde los modelos difusos son capaces de incorporar este tipo de
información (información lingüística) de una mejor manera que un cualquier otro
modelador convencional. Además de lo anterior los modelos difusos son capaces
de manejar la no linealidad, esto es de gran utilidad ya que la mayoría de los
sistemas en ingeniería son no lineales.
Otra característica importante de estos sistemas es su interpretación, ya que tiene
una estructura transparente, esto quiere decir que cada regla en el modelo actúa
como un “modelo local” lo cual permite el modelo sea más comprensible.
Además de las ventajas mencionadas su principal ventaja sobre otros tipos de
aproximadores como redes neuronales y regresores no paramétricos es la
facilidad de representar el conocimiento con sus reglas si-entonces, el mecanismo
de razonamiento en términos humanos entendibles y la capacidad de combinar la
información lingüística de los expertos con la información numérica.
Así en el presente trabajo se realizó una aplicación con un proceso de fundición en
molde permanente por gravedad donde se obtuvo un modelo que represento la
variabilidad del proceso esto gracias a las métricas estadísticas multivariadas.
3
Capítulo 2
Planteamiento del problema
Hablando de un proceso de manufactura, cuales fuera, es común que exista más
de una respuesta o salidas del proceso, estas pueden ser las características de
calidad en una pieza, si no exista correlación entre las variables de salida se
realizan modelos independientes para cada respuesta y así el modelo tendrá
conclusiones correctas.
Al tener en cuenta esto la mayoría del análisis que se realiza en este tipo de
modelos se centra en buscar la variable que tenga mayor influencia sobre cada
una de las respuestas, es decir, cual variable es más significante en el proceso
(aplicar un análisis de la varianza ANOVA por sus siglas en inglés). Para realizar
el análisis anterior se asume que cada respuesta es independiente, es decir, que
entre ellas no existe relación alguna, pero por lo general y sobre todo al modelar
procesos de manufactura no se cumple.
Debido a la condición anterior y aunado a la necesidad de construir un modelo que
permita predecir y controlar además de optimizar las respuestas del proceso
cuando sea requerido es necesario realizar un análisis de la relación entre cada
una de las salidas ya que al realizarlo podremos asegurar los supuestos
necesarios para realizar, dependiendo de las condiciones, un ANOVA o un
Análisis de la varianza Multivariado (MANOVA por sus siglas en inglés) según sea
el caso, pero, si esto es ignorado al construir un modelo se tienen principalmente
las siguientes consecuencias:
Se produce un porcentaje de error en el valor de la respuesta real versus la
de predicción.
4
Si las respuestas están altamente correlacionadas obtenemos soluciones
las cuales están alejadas del valor especificado.
El análisis realizado para encontrar la variable con mayor impacto en el
modelo es incorrecto, ya que no cumple con el supuesto de independencia
entre las variables.
Aún y cuando la condición anterior (correlación entre las respuestas) es una
característica evidente y presente en la mayoría de los sistemas y procesos, hay
casos donde se intenta evitar dicha característica de relación, por medio de la
combinación de las mismas, de manera que, se construye una sola respuesta. Al
utilizar esta metodología se tiene un inconveniente el cual evita que podamos
analizar de manera independiente cada respuesta
No se logra un análisis adecuado e independiente de las respuestas.
Además de lo anterior si se quisiera optimizar (maximizar o minimizar) una
respuesta en particular, la metodología ya mencionada evita encontrar los mejores
parámetros en una región.
2.1 Descripción del problema
Por lo anterior se puede asumir que cuando se modela cualquier proceso es
necesario realizar un análisis de las respuestas, ya que éste nos permitirá
identificar si realizamos un modelo independiente en caso de que las variables de
respuesta lo sean o aplicamos otro método para abordar la correlación entre ellas.
El asumir independencia entre las respuestas genera algunas problemáticas ya
vistas y en particular es conveniente revisar cómo algunos autores que realizan un
modelo sin tomar en cuenta la correlación entre las respuestas e.g.:
5
Sharma et al., utiliza la función de deseabilidad para la optimización del modelo
difuso para el torneado de GFRP donde dicho proceso tiene tres respuestas. El
análisis de correlación entre sus respuestas es el siguiente:
Tabla 2.1 Análisis de Correlación Ra MRR
MRR -0.3211
0.1022
VB 0.0641 0.6341
0.7502 0.0002
1. Coeficiente de correlación de Pearson
2. Valor de probabilidad
Los autores mencionan “The analysis of variance (ANOVA) of composite deirability
was performed at 95% confidence level to figured out the most influencing
parameters among v, f and d. The results depicts that the depth of cut (d) is the
most significant parameter followed by feed (f) and cutting speed (v).”
Determinaron mediante un ANOVA que el parámetro que más impacta en el
modelo es la profundidad de corte, dicha conclusión no se puede realizar ya que 2
de las variables tienen correlación, ya que en el caso de VB y MRR existe una
correlación muy alta.
Kumar et al., realizan la optimización de múltiples características en el corte láser
sobre una hoja de Duralumin por medio de lógica difusa y Taguchi, donde se
tienen 3 variables de respuesta que son KWt, KDt y KDb, y su análisis de
correlación se muestra en la siguiente tabla:
6
Tabla 2.2 Análisis de Correlación KW KDt
KDt 0.1371
0.4942
KDb 0.2271 0.7561
0.2552 0.0002
1. Coeficiente de correlación de Pearson
2. Valor de probabilidad
Los autores mencionan “Analysis of variance (ANOVA) has been carried out to find
the relative effect of different control facts on multi-response (FMPI), shows that
control factor A (gas pressure) and C (pulse frequency) are significant”. Por medio
de un ANOVA determinaron que el gas y la frecuencia del pulso eran las variables
de mayor impacto en el modelo, pero de igual manera al realizar un análisis de
correlación se puede observar que ésta existe entre las variables KDt y KDb, por
lo tanto, dicha conclusión no es válida.
Sainia et al., realizan la optimización de respuesta múlti-objetivo durante el
torneado de CNC usando Taguchi Fuzzy donde se tienen 3 variables de respuesta
las cuales son (SNR), (MRR) y (SNR, dB), de las cuales se tiene el siguiente
análisis de correlación entre ellas dando como resultado la siguiente tabla:
Tabla 2.3 Análisis de Correlación SNR MRR
MRR -0.4831
0.0112
SNR dB -0.3441 0.9541
0.0792 0.0002
1. Coeficiente De correlación de Pearson
2. Valor de probabilidad
Aunque no se menciona la manera en que se obtuvo, los autores mencionan
“Amongst selected independent parameters, feed is found to be the most
significant parameter followed by depth of cut and spindle speed for surface
roughness while depth of cut is most significant parameter for material removal
7
rate followed by feed and spindle speed the results are presented through”,
mencionan que el parámetro más significante es la alimentación, seguido la
profundidad de corte para la rugosidad de la superficie, mientras que la
profundidad de corte es el más significativo, seguido por la velocidad de
alimentación para el índice de remoción de metal. Se puede observar que la
conclusión no es válida, ya que existe la correlación entre las variables MRR y
SNR y también entre las variables SNR dB y MRR por lo que es necesario realizar
un análisis multivariado de dicho modelo.
En los casos anteriores se asumió que las respuestas eran independientes lo cual
por medio de los análisis de correlación demostramos que es incorrecto y que es
necesario realizar un análisis diferente (multivariado) para evitar errores al realizar
la inferencia en este tipo de modelos.
Además de los autores anteriores Salmasnia et al., en su modelo realiza una
combinación lineal de las respuestas, lo cual “evita” o “resuelve” la dependencia
entre las respuestas, pero como lo comentamos esto evita mejorar las respuestas
de manera independiente.
Lo anterior nos muestra la necesidad y deficiencia que existe en la construcción y
análisis de sistemas difusos para modelar procesos cuando estos tienen múltiples
respuestas y éstas se encuentran correlacionadas.
Una parte de suma importancia en el análisis de los sistemas difusos es el
proceso de defuzzyficación el cual es parte fundamental en la construcción del
modelo. Para esta transformación se tiene que una variable difusa se convierte a
una variable real o continua (crisp), es decir, es el proceso inverso a la
fuzzyficación. Esta transformación se puede realizar mediante varios métodos,
aquí mostramos algunos ejemplos.
El más usado en la actualidad es el “Centro de área” o “Centro de gravedad”
también conocido como “Centroide”, este método permite encontrar el área bajo
una función de membresía, en el caso continuo se define como
8
𝑧𝑐∗ =
∫𝜇𝐶(𝑧) ∙ 𝑧𝑑𝑧
∫ 𝜇𝐶(𝑧)𝑑𝑧
Y para el caso discreto se construye de la siguiente manera.
𝑧𝑑∗ =
∑ 𝜇𝐶(𝑧𝑖) ∙ 𝑧𝑖𝑚𝑖=1
∑ 𝜇𝐶(𝑧𝑖)𝑚𝑖=1
En ambos casos 𝑧𝑐∗ y 𝑧𝑑
∗ es el centro de área, el cual es el valor defuzzificado
de la combinación del traslape de cada uno de los consecuentes de las reglas del
sistema de inferencia difuso, donde 𝑧𝑖 son los valores reales (crisp) que puede
tomar la respuesta, 𝜇𝐶(𝑧𝑖) es el valor difuso asociado al valor 𝑧𝑖.
Otro método que se utiliza también es bisector de área el cual divide el área del
polígono en 2 para obtener la respuesta, y se define de la siguiente manera.
∫ 𝜇𝐴(𝑥)
𝑍𝐵𝑂𝐴
∝
𝑑𝑥 = ∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝛽
𝑍𝐵𝑂𝐴
Donde 𝛼 = 𝑚𝑖𝑛{𝑧|𝑧 ∈ 𝑍} y 𝛽 = 𝑚𝑎𝑥{𝑧|𝑧 ∈ 𝑍} , esta línea en algunas ocasiones
coincide con la línea del centroide.
Estos solo son 2 de una gran variedad de métodos por los cuales se puede llevar
a cabo el proceso de defuzzyficación.
Para ambos casos como para los faltantes es necesario resolver la integral o la
sumatoria para encontrar nuestro valor real (crisp), en todos los casos se resuelve
de manera univariada, es decir, una integral o sumatoria para cada respuesta,
pero
(2.1)
(2.2)
(2.3)
9
¿Qué ocurriría en el proceso de defuzzyficación si las respuestas están
correlacionadas?,
¿Acaso es necesario utilizar una doble integral?
𝑧∗ =∫∫𝜇𝐶(𝑧) ∙ 𝑧𝑑𝑧
∫∫ 𝜇𝐶(𝑧)𝑑𝑧
O ¿será necesaria una doble sumatoria?
𝑧∗ =∑∑ 𝜇𝐶(𝑧𝑖) ∙ 𝑧𝑖
𝑚𝑖=1
∑∑ 𝜇𝐶(𝑧𝑖)𝑚𝑖=1
Por lo anterior también se realizará un análisis de estos procesos para conocer su
funcionamiento a detalle y verificar si existen cambios en ellos cuando la
defuzzyficación se realiza con variables correlacionadas.
Lo anterior nos motiva el siguiente trabajo ya que a pesar de que los sistemas de
inferencia difusos son utilizados para el modelado de procesos no se analizan
estadísticamente de manera correcta.
Debido a esto se plantea lo siguiente:
2.2 Preguntas de Investigación
¿Cómo se realiza el proceso de defuzzyficación en un sistema difuso
cuando sus respuestas están correlacionadas?
(2.4)
(2.5)
10
¿Qué métricas estadísticas se utilizan para medir la eficiencia de un modelo
construido por medio de un sistema de inferencia difuso?
¿Cómo se aplican dichas métricas?
¿Cómo se aplica un análisis multivariado a un sistema de inferencia difuso?
2.3 Hipótesis
𝐻1 : El proceso de defuzzyficación es afectado cuando las respuestas están
correlacionadas.
𝐻2: El análisis multivariado de las respuestas en el modelo difuso permitirá realizar
una inferencia más acertada para las variables de entrada y salida.
2.4 Objetivo General
Analizar el modelo creado por medio sistema difuso con respuestas
multivariadas.
2.5 Objetivos Específicos
Construir un modelo multivariado mediante un sistema difuso
Crear una metodología para el análisis de modelos creaos por medio de un
sistema de inferencia difuso.
Realizar un análisis de los supuestos para el ANOVA y MANOVA en cada
uno de los modelos.
Hacer un estudio de los procesos de defuzzyficación para respuestas
múltiples correlacionadas.
11
2.6 Justificación
Actualmente en la industria es necesario para el análisis y control de procesos la
utilización de herramientas que permitan predecir, analizar o controlar el
comportamiento de ciertos procesos, además en algunos casos se desea que el
proceso se realice de una manera más eficiente.
Hoy en día pueden ser modelados por medio de los sistemas difusos, esto trae
como ventaja el análisis específico de ciertas variables tanto de entrada como de
salida las cuales representan dicho proceso, además de permitir de cierta manera
el control del mismo en casos específicos.
Estos modeladores en particular son capaces de manejar información lingüística
dada por los expertos en los procesos, esto facilita la comprensión del proceso y
permite crear un modelo para cada variable de entrada.
Los sistemas difusos son capaces de modelar sistemas altamente no lineales,
esto es, que pueden modelar procesos los cuales sea complicado establecer una
relación entre las variables de entrada y de salida. Esta dificultad se presenta con
frecuencia en la mayoría de los procesos.
Otra de sus ventajas es su manera de representar ciertos conocimientos respecto
al proceso por medio de sus reglas si-entonces, las cuales por medio de sencillas
conexiones permite construir un modelo adecuado para cada variable.
Sabemos que la mayoría de los procesos reales tienen más de una respuesta, es
por ello que es necesario realizar un análisis en el sistema difuso de estas
respuestas mediante herramientas estadísticas (ANOVA) y (MANOVA) que nos
permitan realizar la inferencia adecuada en el modelo y tener mayor comprensión
del mismo.
12
2.7 Delimitaciones
En este proyecto se trabajará con sistemas difusos para el modelado de un
proceso con las características antes planteadas. El modelo será analizado en la
parte de las respuestas, y dependiendo de los resultados que se obtengan de
dicho análisis se recurrirá al análisis más adecuado (univariado o multivariado)
para realizar la inferencia correspondiente al modelo.
Además, el análisis también incluirá al proceso de defuzzyficación, ya que si las
salidas están correlacionadas es necesario analizar si el proceso sufre algún
cambio o no con esta característica, de ser así, hay que verificar que tipo de
cambios sufre el proceso.
13
Capítulo 3
Estado del arte
Dentro de la búsqueda de artículos relacionados con lo descrito en el
planteamiento del problema encontramos lo siguiente:
Pavel Kovac et al., (2014) construyeron un modelo difuso de múltiples salidas para
la temperatura de corte y la vida de la herramienta de fresado frontal, donde
lograron con un 90 % de confianza la adecuación del modelo y éste puede ser
usado para predecir con buena precisión.
Sharma et. al., (2014) realizaron un modelo por medio de lógica difusa del
torneado de GFRP (Glass fiber-reinforced polymer por sus siglas en inglés) y su
optimización utilizando el análisis de la función de deseabilidad por medio del cual
encontraron que el valor más alto del compuesto de deseabilidad fue 𝑑𝐺 = 0.6094
obtenido en el ensayo 21 del experimento, además de que por medio de un
ANOVA el compuesto de deseabilidad mostró que la profundidad de corte (𝑑) es
el parámetro más significante.
Lo anterior muestra que los sistemas difusos modelan de manera adecuada este
tipo de procesos, por ejemplo, Kumar et al., (2011) realizaron el modelo difuso y la
optimización del corte láser en una hoja de Duralumin, en por medio de un modelo
difuso (FMPI) que optimizaron las salidas de dicho modelo. Además, con un
ANOVA encontraron que las variables de entrada con mayor influencia en el
modelo son la presión de gas y la frecuencia de pulso respectivamente.
Continuando con el proceso de corte o remoción Sharma et al., (2011) por medio
de un modelo Taguchi difuso modelaron el proceso de corte de carbón por medio
de tecnología tipo chorro de agua, con un ANOVA encontraron que el parámetro
14
más significante es la presión, además cuando se realizó la optimización del
modelo se encontró la mejor combinación de entradas.
También en cuanto a la manufactura se refiere el torneado CNC es muy
importante, debido a esto Saini et al., (2014) realizaron la optimización al modelo
de torneado CNC por medio de una aplicación Taguchi-difusa, en la cual se
encontró que el parámetro más significante en el modelo es la alimentación (feed).
En los artículos descritos anteriormente encontramos que su principal
característica es que son modelos con múltiples respuestas, por ello sabemos que
es importantes hacer un análisis de este tipo de artículos.
Por lo anterior Bashiri et al., (2009) por medio de la teoría de conjuntos difusos
optimiza la superficie de múltiples respuestas, primero realizando modelos de
regresión difusos para cada respuesta, luego por medio de la función de
deseabilidad transforma el modelo con múltiples respuestas a uno con 2, y para
terminar por medio de un grado de satisfacción el modelo termina con una sola
respuesta, método que ejemplificó numéricamente.
También en el proceso de soldadura podemos ver la aplicación de la lógica difusa,
éste es el caso de Parida et al., (2015) realizan una optimización de un modelo de
soldadura por fricción-agitación con múltiples características de calidad mediante
fuzzy assisted grey taguchi.
Además de lo anterior Liu et al., (2008) proponen un el método grey-fuzz logic con
el cual optimizan el proceso de pintado de una placa, calculando sus coeficientes
grises de relación y después fuzzyficando estas respuestas y obteniendo sus
respectivas salidas difusas y después por medio de un ANOVA encontrando las
variables óptimas del proceso.
El hecho de que la mayoría de los procesos reales tienen múltiples respuestas ha
ocasionado atención en los investigadores, por ejemplo, Salmasnia et al., (2012)
realizan un enfoque novedoso para la optimización de respuestas múltiples
15
basado en la función de deseabilidad y lógica difusa aquí para manejar la
correlación entre las respuestas utilizaron ANFIS y la función de deseabilidad
entre las respuestas.
Mohamad Jaya et al. (2014) implementó una nueva aproximación para predecir la
rugosidad del recubrimiento en el nitrito de titanio mediante lógica difusa. Utilizaron
las funciones de membresía triangulares y de campana para crear la base de
reglas difusas. Las variables lingüísticas de entrada fueron la presión del N2 y del
Argón, la velocidad de la placa giratoria y la variable de salida fue la rugosidad de
recubrimiento. El modelo construido con las funciones de membresía triangular
tuvo un error residual de 7.85% mostrando la mejor aproximación, y el modelo
construido con las funciones de campana mostro un error residual de 9.24%.
Además, el modelo difuso construido mediante las funciones de membresía
triangulares obtuvo un 95.05% de exactitud al predecir, esto quiere decir que este
modelo tiene un buen desempeño al predecir. Por lo anterior los autores
concluyen que los modelos difusos son una buena alternativa para predecir este
tipo de rugosidad.
Latha & Senthilkumar (2015) modelan y analizan los parámetros de la rugosidad
en una superficie de compuesto GFPR perforada por medio de un sistema difuso.
Los autores mencionan que la respuesta obtenida y los valores que ya se tenían
son valores muy cercanos, esto es, que el modelo es capaz de predecir la
rugosidad de la superficie de una manera efectiva, además que el modelo
construido mediante las funciones de membresía trapezoidales se comporta mejor
que el modelo construido mediante las funciones de membresía triangulares. Y en
particular uno de los principales resultados es que este modelo puede mejorar la
calidad de la perforación, además de disminuir el trabajo de la construcción del
modelo, su tiempo computacional y costo.
16
3.1 Conclusiones del estado del arte
La revisión de literatura nos muestra la amplia utilidad que tienen los sistemas de
inferencia difusa en el modelado de procesos, sobre todo, los procesos los cuales
son altamente no lineales, es decir, que sus respuestas no son lineales además de
que permiten modelar variables con incertidumbre por medio de los conjuntos
difusos y utilizar el conocimiento experto para la construcción del modelo.
La problemática en cada uno de los artículos ya mencionados es que no plantean
una solución ante la correlación entre las variables de salida, además de omitir
este análisis y suponer que dichas variables son independientes cuando no lo son.
Lo anterior provoca que el análisis estadístico que se realiza en algunos de ellos
sea erróneo, además de que no verifican los supuestos para la construcción de
dicho análisis.
Lo anterior nos muestra la necesidad que hay en los sistemas de inferencia difusa
en aplicar un análisis estadístico que cumpla con las necesidades del modelo
construido, es decir, si el modelo es multivariado verificar si las respuestas tienen
o no correlación, y dependiendo de esta característica se debe comprobar los
supuestos para realizar el ANOVA o MANOVA y así verificar si el modelo
construido representa la variabilidad del proceso.
17
Capítulo 4
Marco teórico
Lógica difusa
Lógica difusa es una transición dela verdad absoluta a la verdad parcial, la cual
generaliza la lógica clásica de dos valores representando cada proposición con
valores en el intervalo [0,1]. La lógica difusa no es difusa, más bien es una lógica
precisa del razonamiento aproximado e impreciso (Zadeh 1975a, b, 1979, 2008)
Conjunto difuso
Un conjunto difuso 𝐴 en el universo en discurso 𝑈 es caracterizado por una
función de membresía (MF) 𝜇𝐴(𝑥) la cual toma valores dentro de un intervalo [0,1]
(Zadeh 1965). Un conjunto difuso puede ser representado por un conjunto de
pares ordenados de un elemento cualquiera 𝑥 y su valor de membresía, esto es:
𝐴 = {(𝑥, 𝜇𝐴(𝑥)): 𝑥 ∈ 𝑈}
Cuando 𝑈 es continua 𝐴 generalmente se escribe como
𝐴 = ∫𝜇𝐴(𝑥)
𝑥𝑈
Donde la integral no representa integración, denota la colección de todos los
puntos 𝑥 ∈ 𝑈 asociados con su función de membresía.
(4.1)
(4.2)
18
Cuando 𝑈 es discreto 𝐴 se escribe como
∑𝜇𝐴(𝑥)
𝑥𝑈
Donde la suma no representa la adición aritmética, denota la adición de todos los
puntos 𝑥 ∈ 𝑈 asociados con su función de membresía.
Un conjunto difuso tiene una sola función de membresía, esto es, debe haber una
única función de membresía asociada con el conjunto difuso y a la vez, una
función de membresía debe representar a un conjunto difuso.
Función de membresía
Las funciones de membresía están asociadas en primera instancia a la conexión
entre una variable difusa y su conjunto, es decir representan el grado de
pertenencia de una variable a su conjunto difuso. En particular son esenciales en
la creación de sistemas difusos ya que deben ser representativas del espacio
generado por las entradas y las salidas del mismo además de que estas afectan
directamente el modelado y precisión del sistema y su rendimiento.
Dentro de las funciones de membresía encontramos las siguientes
Función de membresía triangular
Esta función se especifica por medio de tres parámetros {𝑎, 𝑏, 𝑐} y se define de la
siguiente manera.
(4.3)
19
𝜇(𝑥) =
{
0 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑐 − 𝑥
𝑐 − 𝑏𝑠𝑖 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
0 𝑠𝑖 𝑐 ≤ 𝑥
Función de membresía trapezoidal
Esta función está definida por 4 parámetros {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y se define de la siguiente
manera.
𝜇(𝑥) =
{
0 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1 𝑠𝑖 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
𝑑 − 𝑥
𝑑 − 𝑐𝑠𝑖 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑
0 𝑠𝑖 𝑑 ≤ 𝑥
Ambas funciones son las más utilizadas cuando se modelan procesos o cierto tipo
de controladores.
Función Gaussiana
La función gaussiana depende de 2 factores que son {𝑚, 𝜎} y se define como:
𝜇(𝑥) = 𝑒−12(𝑥−𝑚𝜎)2
(4.4)
(4.5)
(4.6)
20
Variable lingüística
En un sistema difuso si una variable (𝑥) toma palabras o enunciados (alto, bajo,
mucha potencia) como sus valores, a ésta se le denomina variable lingüística. Las
palabras o variables lingüísticas son caracterizadas por conjuntos difusos
definidos en el universo del discurso en el que se define variable.
En muchas ocasiones una sola palabra no puede definir de manera precisa a la
variable estudiada, es por eso que se utilizan modificadores lingüísticos (hedges)
que ayudan en este proceso. Los modificadores actúan dentro de los siguientes
procesos:
Intensificación y concertación
Dilatación
Fuzzyficación
Y se pueden representar de la siguiente forma {𝐻,𝑀, 𝑇, 𝐶} dónde:
H: Es el conjunto de modificadores (muy, mucho, bastante, muy muy, etc.)
M: Marca ( ), [ ], { }
T: Conjunto de términos primarios
C: Conexiones
Operadores difusos
Cuando las entradas han sido fuzzyficadas gran parte del antecedente está
realizada, pero si estos antecedentes están formados por 2 o más enunciados,
entonces es necesario realizar una operación entre ellos para obtener el valor que
represente el antecedente de esa regla, para ello utilizamos la operación AND y
OR.
La operación AND permite obtener el valor que representa al antecedente de la
regla por medio del mínimo y del producto algebraico.
21
A su vez la operación OR tiene esa misma cualidad solo que esta lo hace por
medio del máximo y la suma algebraica.
A pesar de tener esto dos operadores se puede construir la operación AND y OR a
conveniencia.
Reglas Si-Entonces
Esta parte es quizá la más esencial ya que es la que permite unir los antecedentes
difusos con los consecuentes de igual manera difusos, estos, traducen el
conocimiento y experiencia humana en reglas simples que crean la parte de la
inferencia difusa.
Cuando decimos “si hace mucho calor entonces, subimos mucho el frio del A/A”
(aire acondicionado) estamos creando un enunciado difuso el cual tiene un
antecedente ‘si hace mucho calor’ y tiene una consecuencia ‘subimos mucho el
frio’, es así como por medio de estos podemos crear un sistema de inferencia
utilizando este tipo de reglas formadas no solamente con un antecedente sino con
varios unidos por medio de una operación difusa los cuales tienen un consecuente
o conclusión.
Es en esta parte donde se utilizan los operadores borrosos, ya que permiten
realizar conexiones entre 2 o más enunciados difusos y unirlos con un
consecuente, por ejemplo: “si la comida es buena o el servicio es bueno,
entonces, dejaré buena propina”, donde resaltamos cada palabra que pertenece a
un conjunto difuso además del conector que une 2 enunciados difusos y los asocia
con su consecuente.
Por lo anterior se plantea que esta parte es la más importante dentro de un
sistema difuso ya que, está forma por conexiones difusas las cuales se obtienen
por medio del conocimiento o bien la ayuda de un experto en el proceso.
22
Fuzzyficación
Ésta es la primera parte en un sistema de inferencia difuso (SID) ya que es la
sección donde las variables lingüísticas que pertenecen a un universo en discurso
e.g. “hace mucho calor” dependiendo claramente del contexto, pertenece a un
intervalo de temperatura el cual dependiendo del lugar puede ser 𝑡 ∈ [0,50] donde
para cada valor de 𝑡 en ese intervalo se le asociara un valor en el intervalo [0,1]
donde 0 y 1 nos muestran la pertenencia o exclusión de ese elemento en dicho
conjunto difuso, y los valores diferentes a 0 y 1 nos muestran una pertenencia
parcial a dicho conjunto.
Lo anterior se puede definir de la siguiente manera.
𝑥 ∈ 𝑈𝜇𝐴(𝑥)→ 𝜇𝐴(𝑥) ∈ [0,1]
Donde 𝑥 ∈ 𝑈 y 𝜇𝐴(𝑥) es la función de membresía aplicada al elemento 𝑥 y que
éste tendrá un valor en el intervalo [0,1] que será su valor de pertenencia al
conjunto difuso.
Mecanismo de inferencia
La inferencia difusa es el proceso de formular un mapeo entre el espacio de las
variables de entrada y el espacio de las variables de salida, este proceso involucra
todas las funciones de membresía de entradas y salidas además de utilizar los
operadores lógicos y las reglas si-entonces.
Dentro de los mecanismos de inferencia están 3 que son los más usados, los
cuales se diferencian por sus reglas difusas, sus procesos de agregación y
desfuzzficación, los cuales son:
(4.7)
23
Mecanismo de inferencia Mamdani, Sugeno ó Tsukamoto
A continuación, se describirá a detalle cada uno de ellos.
Mecanismo de inferencia Mamdani
El modelado difuso tipo Mamdani es el más usado en la práctica, éste modelo se
propuso como el primer intento de controlar una máquina de vapor y caldera por
medio de un conjunto de reglas difusas obtenidas de la experiencia humana de un
operador.
Éste modelo está formado por las siguientes reglas las cuales describen un mapeo
de 𝑈1×𝑈2×⋯×𝑈𝑟 de 𝑊.
𝑅𝑖: 𝐼𝐹 𝑥1 ∈ 𝐴𝑖1 𝑎𝑛𝑑…𝑎𝑛𝑑 𝑥𝑟 ∈ 𝐴𝑖𝑟 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑦 ∈ 𝐶𝑖
Donde 𝑥𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑟) son las variables de entrada, 𝑦 es la variable de salida, 𝐴𝑖𝑗
y 𝐶𝑖 son los conjuntos difusos de 𝑥𝑗 y 𝑦 respectivamente.
Mecanismo de inferencia Sugeno
Este sistema de inferencia conocido como TSK por sus creadores Takagi y
Sugeno (1985) toma la parte del antecedente de la misma manera que el
mecanismo anterior, su diferencia radica en que el consecuente es una función
polinómica la cual se forma o depende de las variables de entrada. La principal
motivación para el desarrollo de este modelo es reducir el número de reglas
requeridas por el modelo Mamdani, especialmente en problemas muy complejos y
o de grandes dimensiones.
Para alcanzar el propósito descrito antes el modelo remplaza los conjuntos difusos
en el consecuente (Entonces o then en inglés) del modelo Mamdani con una
ecuación lineal la cual depende de las variables de entrada.
24
Por ejemplo, una regla con 2 variables de entrada y una de salida en el modelo
TSK se describe de la siguiente manera
𝐼𝑓 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝑦 ∈ 𝐵 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes numéricas.
En general las reglas de un modelo TSK tienen la forma
𝑖𝑓 𝑥1 ∈ 𝐴𝑖1 𝑎𝑛𝑑 …𝑎𝑛𝑑 𝑥𝑟 ∈ 𝐴𝑟1 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑦 = 𝑓𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟) = 𝑏𝑖0 + 𝑏𝑖1𝑥1 +⋯+ 𝑏𝑖𝑟𝑥𝑟
Donde 𝑓𝑖 es un modelo lineal y 𝑏𝑖𝑗(𝑗 = 0,1, … , 𝑟) son los parámetros de valor real.
La inferencia realizada por el modelo TSK es una interpolación de todos los
modelos lineales relevantes. Este grado de relevancia es determinado por el grado
de pertenencia de los datos de entrada al sub-espacio difuso asociado con el
modelo lineal. Estos grados se transforman en el peso en el proceso de la
interpolación.
La salida total del modelo se describe por la siguiente ecuación
𝑦 =∑ 𝛼𝑖𝑓𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟)𝐿𝑖=1
∑ 𝛼𝑖𝐿𝑖=1
= ∑ 𝛼𝑖(𝑏𝑖0, 𝑏𝑖1𝑥1, … , 𝑏𝑖𝑟𝑥𝑟)𝐿𝑖=1
∑ 𝛼𝑖𝐿𝑖=1
Donde 𝛼𝑖 es el grado de emparejamiento de la regla 𝑅𝑖.
Las entradas del modelo TSK son no difusas.
(4.8)
25
Sistema de inferencia Tsukamoto
En este sistema el consecuente de cada una de las reglas (Si-Entonces ó if-then
en inglés) es representado por un conjunto difuso con una función de membresía
monótona. Como resultado la salida inferida de cada regla es definida por un valor
real. La salida total se toma como el promedio ponderado de cada regla. Dado que
cada regla infiere una salida real, este sistema evita el proceso de
desfuzzyficación.
Desfuzzyficación
Es el proceso inverso a la fuzzyficación. Matemáticamente es el proceso de
transformar una cantidad difusa a una cantidad clásica, básicamente es un mapeo
del espacio difuso a un espacio no difuso.
Existen varios métodos para realizar éste proceso, aunque se debe elegir
cuidadosamente ya que en muchas ocasiones esta elección depende de la
aplicación en la que se haya construido el sistema difuso.
A continuación, se presentan y describen algunos métodos los cuales se dividen
en los siguientes grupos.
Métodos de área
El valor de desfuzzyficación divide el área bajo la función de membresía en dos o
más o menos partes iguales. Estos métodos son matemáticamente elegantes y
muy usados en los sistemas de control difuso, dentro de esta clasificación se
encuentran los siguientes.
26
Bisector de área
El bisector de área 𝑍𝐵𝑂𝐴 es la línea vertical que divide el área en 2 partes iguales y
se define como
∫ 𝜇𝐴(𝑥)
𝑍𝐵𝑂𝐴
∝
𝑑𝑥 = ∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝛽
𝑍𝐵𝑂𝐴
Donde 𝛼 = 𝑚𝑖𝑛{𝑧|𝑧 ∈ 𝑍} y 𝛽 = 𝑚𝑎𝑥{𝑧|𝑧 ∈ 𝑍} , esta línea en algunas ocasiones
coincide con la línea del centroide.
Centro de gravedad o centro de área
Es el método de desfuzzyficación más usado, éste método encuentra el centroide
del área bajo la función de membresía, y dependiendo del caso se define de la
siguiente manera:
En el caso continuo está definida por
𝑧 =∫ 𝜇𝐶(𝑧) ∙ 𝑧𝑑𝑧
∫ 𝜇𝐶(𝑧)𝑑𝑧
Y en el caso discreto se está definida por
𝑧 =∑ 𝜇𝐶(𝑧𝑖) ∙ 𝑧𝑖𝑚𝑖=1
∑ 𝜇𝐶(𝑧𝑖)𝑚𝑖=1
(4.9)
(4.10)
(4.11)
27
Donde 𝑧 es el centroide del área, el cual es el valor ya desfuzzyficado del
consecuente difuso.
A pesar de que éste método es el más usado hay que considerar que para
encontrar 𝑧 es necesario realizar una gran cantidad de cálculos, esto contribuye a
un gasto de tiempo computacional además de ser necesaria mucha memoria para
almacenar los datos.
Centro de sumas
En este proceso se realiza la suma algebraica individual de cada conjunto difuso
para cada una de las respuestas en lugar de realizar el proceso con la unión de
dichos conjuntos. Debido a lo anterior éste método se vuelve más rápido que el
anterior, de manera discreta se define como
z =∑ zimi=1 ∙ ∑ μk(zi)
nk=1
∑ ∙ ∑ μk(zi)nk=1
mi=1
Basados en este principio, existen varios métodos que permiten la
desfuzzyficación los cuales se conocen como métodos de máxima:
Selección aleatoria de máxima (RCOM)
Primero de máxima (FOM)
Último de máxima (LOM)
Mitad de máxima (MOM)
Métodos de distribución y derivados
Este tipo de métodos transforman la función de membresía en una distribución de
probabilidad y calculan el valor esperado. Su principal ventaja es la propiedad de
(4.12)
28
continuidad que estos tienen. Dentro de estos métodos enunciamos los más
utilizados:
a) Centro de gravedad (COG)
b) Media de máxima (MeOM)
c) Distribución básica de defuzzyficación (BADD)
d) Defuzzyficación de nivel generalizado (GLSD)
e) Centro de gravedad indexado (ICOG)
f) Defuzzyficación semi-lineal (SLIDE)
g) Media difusa (FM)
h) Media difusa ponderada (WFM)
i) Método de calidad (QM)
j) Método de calidad extendido (EQM)
Métodos de máxima y sus derivados
Su función es seleccionar un elemento del núcleo del conjunto difuso como el
valor de la desfuzzyficación, su principal ventaja es la simplicidad de los mismos.
4.2 Análisis múltiple de la varianza (MANOVA)
Generalmente cuando hablamos del análisis de la varianza multivariado
(MANOVA por sus siglas en inglés), hablamos de una extensión del análisis de la
varianza univariado (ANOVA por sus siglas en inglés), este mide el efecto de
varias variables independientes sobre una variable dependiente, mientras que el
análisis multivariado permite medir el efecto de varias variables independientes
sobre múltiples variables dependientes de manera simultánea.
29
Este análisis se realiza principalmente por dos razones:
1. No sólo proporcionan información del efecto de las variables
independientes sobre cada variable dependiente, sino que también muestra
las posibles interacciones entre estas, así es más fácil encontrar el factor de
mayor importancia.
2. MANOVA permite evitar errores Tipo 1 los cuales ocurren cuando se realiza
el ANOVA en cada variable dependiente.
MANOVA utiliza valores de la prueba F multivariada como lo son los criterios de
Lambda de Wilk´s, T de Hotelling.
A continuación, se presentan los supuestos bajo los cuales se puede realizar dicho
análisis.
a) Prueba de correlación
El objetivo principal de un análisis de correlación es cuantificar la relación entre 2
variables métricas u ordinales (guía práctica de análisis de datos). Cuando existe
correlación, es decir, hay un alto grado de relación entre 2 variables indica un alto
grado de causa-efecto entre ellas, lo contrario no siempre es verdadero. Lo
anterior se debe a que el análisis de correlación mide el grado de relación lineal
entre dos variables.
Prueba de correlación de Pearson
Al tenerse 2 variable aleatorias es importante analizar cuál es la correspondencia
entre estas, es decir, si la variable aleatoria 𝑋 está relacionada con la variable
aleatoria 𝑌.
30
Éste análisis se denomina análisis de correlación el cual intenta medir la
intensidad de la relación entre las 2 variables por medio de un número
denominado coeficiente de correlación.
Éste coeficiente también se denomina coeficiente de correlación de Pearson
donde 𝑟 que es dicho coeficiente se define de la siguiente manera:
𝑟 =𝑆𝑥𝑦
√𝑆𝑥𝑥𝑆𝑦𝑦
Donde 𝑆𝑥𝑥 es la covarianza de (𝑋, 𝑌), 𝑆𝑥𝑥 y 𝑆𝑦𝑦 son las deviaciones estándar de
las variables 𝑋 y 𝑌.
El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1,1]:
Si 𝑟 = 1 , el índice indica una dependencia total entre las dos variables
denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también
lo hace en proporción constante.
Si 0 < 𝑟 < 1, existe una correlación positiva.
Si 𝑟 = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que
las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no
lineales entre las dos variables.
Si −1 < 𝑟 < 0, existe una correlación negativa.
Prueba de hipótesis para el coeficiente de correlación de Pearson 𝑟
Hipótesis estadística nula 𝐻0: 𝑟 = 0
Hipótesis estadístico alternativo 𝐻𝑎: 𝑟 ≠ 0
El propósito de la prueba es evaluar la posibilidad de rechazar la hipótesis nula. El
rechazo de 𝐻0 ocurre cuando el valor del coeficiente de correlación de Pearson (𝑟)
(4.13)
31
supera un valor crítico el cual se encuentra en las tablas de 𝑡 − 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 (𝑡(𝑎,𝑁−2))
con 𝛼: 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑎 y 𝑁 − 2 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑,(𝑡(𝑎,𝑁−2)) = 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒.
Si 𝑟 > 𝑡(𝑎,𝑁−2) se rechaza 𝐻0 por lo tanto las variables están relacionadas.
Si 𝑟 < 𝑡(𝑎,𝑁−2) no es posible rechazar 𝐻0 por lo tanto las variables no están
relacionadas.
Prueba 𝝉 de Kendall
Debido a que la prueba de correlación de Pearson mide la relación lineal que hay
entre 2 variables, es necesario realizar otra prueba que sea capaz de medir otro
tipo de relación entre 2 variables. Para lo anterior Una prueba menos sensible a la
correlación lineal es el coeficiente de correlación 𝜏 de Kendall. Dicho coeficiente
de correlación entre dos variables 𝑖 y 𝑗 se representa mediante la expresión:
𝜏𝑖,𝑗 = 4∫ ∫ 𝐶𝑖,𝑗𝑑𝑖𝑑𝑗
1
0
1
0
Dónde:
𝐶𝑖,𝑗 = 𝐶(1,… ,1, 𝐹𝑖(𝑡), 1, … , 1, 𝐹𝑗(𝑡), 1, … ,1)
b) Pruebas de normalidad.
La variable dependiente debe estar distribuida normalmente dentro de grupos. En
general, la prueba F es robusta a la no normalidad, si la no normalidad es causada
por la asimetría o por los valores atípicos. Las pruebas de valores atípicos se
deben ejecuta ejecutar antes del análisis MANOVA y los valores atípicos deben
(4.14)
(4.15)
32
ser transformados o eliminados. A continuación, se mencionan algunas pruebas
para la normalidad multivariada:
Prueba de Marida
Mardia (1970) propuso una prueba multivariada de normalidad, la cual está
basada en la extensión multivariada de la asimetría (4.3.1) y la curtósis (4.3.2) las
cuales se definen como
𝛽1,𝑝 =1
𝑛∑∑𝑚𝑖𝑗
3
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝛽2,𝑝 =1
𝑛∑𝑚𝑖𝑖
2
𝑛
𝑖=1
Prueba de Henze-Zirkler
La prueba Henze-Zirkler está basada en una distancia funcional no negativa que
mide la distancia entre dos funciones de distribución. El estadístico
Henze-Zirkler (𝐻𝑍) está dado por la ecuación (4.18)
𝐻𝑍 =1
𝑛∑∑𝑒−
𝛽2
2𝐷𝑖𝑗 − 2(1 − 𝛽2)−
𝑝2∑𝑒
−𝛽2
2(1+𝛽2)𝐷𝑖+ 𝑛(1 + 2𝛽2)−
𝑝2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
(4.16)
(4.17)
(4.18)
33
Dónde
𝑝: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝛽 =1
√2(𝑛(2𝑝 + 1)
4)
1𝑝+4
𝐷𝑖𝑗 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)′𝑆−1(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝐷𝑖 = (𝑥𝑖 − �̅�)′𝑆−1(𝑥𝑖 − �̅�) = 𝑚𝑖𝑖
Prueba Shapiro-Wilk
Uno de los métodos más utilizados para probar la normalidad en un conjunto de
datos es la prueba Shapiro-Wilk. Esta prueba se caracteriza por ser una de las
más potentes y sencillas y se utiliza bajo la condición de la cantidad de datos, en
este caso deben ser 50 o menos. La prueba se basa en el siguiente estadístico de
prueba el cual se define como:
𝑊𝑐 =𝑏2
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1
Este estadístico se compara con un valor de tablas, si el valor calculado es menor
que el valor de tablas se dice que los datos siguen una distribución normal
multivariada.
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
34
c) Prueba de autocorrealación
La autocorrelación es un problema que surge cuando los términos de error del
modelo no son independientes entre sí, es decir, 𝐸(𝑒𝑖𝑒𝑗) ≠ 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗. Para
comprobar si los términos del error tienen esta característica, se propone la
siguiente prueba.
Prueba Durbin-Watson
Una de las pruebas más utilizadas para la detección de autocorrealción, es la
prueba Durbin-Watson, para esta prueba se define el siguiente estadístico:
d =∑ (𝑒𝑡𝑒𝑡−1)
2𝑛𝑡=2
∑ 𝑒𝑡2𝑛
𝑡=1
La autocorrelación está dada por la determinación del estadístico 𝑑, comparándolo
con dos límites para llegar a una conclusión. Si 𝑑 < 𝑑𝐿 existe autocorrelación. Si
𝑑 > 𝑑𝑈 no existe autocorrelación. Si 𝑑𝐿 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑈 la prueba no es concluyente.
d) Prueba de heterocedasticidad
Existen varias pruebas que permiten encontrar la saber si los en los residuos son
heterocedásticos, esto es, que no tienen igual varianza según el nivel de variables
independientes. Las pruebas que se tienen para este análisis construyen una
regresión auxiliar de los residuos sobre las variables independientes.
(4.23)
35
Prueba de White
Se obtienen los residuos del modelo inicial
Se calcula el coeficiente de determinación de la regresión de los residuos al
cuadrado sobre el modelo original más todas las combinaciones
multiplicativas de las mismas y sus cuadrados
El producto de 𝑛 ∙ 𝑅2 se distribuye como una 𝒳𝑘2
Si el valor de 𝑛 ∙ 𝑅2 excede el valor crítico rechazamos que los residuos son
homocedásticos. El estadístico de White está dado por (4.24)
Σ̂𝑊 =𝑁
𝑁 − 𝑘(𝑋′𝑋)−1 (∑�̂�𝑖
2𝑥𝑖𝑥𝑖𝑇
𝑁
𝑖=1
) (𝑋′𝑋)−1
e) Análisis de la varianza multivariado (MANOVA)
Dadas las características del sistema inteligente con el que construimos nuestros
modelos no se cuenta con los parámetros del modelo debido a que no se calculan
betas en el modelo, por esa razón es necesario construir el análisis en base a la
información que se tiene, es decir, en la suma de cuadrados del error y la suma de
cuadrados total, las cuales se describen a continuación.
Para la construcción del análisis multivariado de la varianza se utilizaron la suma
de cuadrados del error y la suma de cuadrados del total, para así obtener la suma
de cuadrados del modelo y construir la tabla MANOVA. Lo anterior se describe en
las siguientes ecuaciones.
Para describir la suma de cuadrados de los residuales se tiene
(4.24)
36
𝐸 = 𝑌′𝑌 − �̂�𝑌
Para describir la suma de cuadrados total se tiene
𝐸 + 𝐻 = 𝑌′𝑌 − 𝑛�̅��̅�
De lo anterior podemos construir la tabla MANOVA la cual se describe a
continuación y resume las ecuaciones anteriores.
Tabla 4.1 Construcción de la tabla MANOVA
Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadrados 𝚲
Modelo 𝑞 |𝑯| |𝑬|
|𝑬 + 𝑯|
Residual 𝑛 − 𝑞 − 1 |𝑬|
Total 𝑛 − 1 |𝑬 + 𝑯|
f) Coeficiente de determinación
Además de construir el MANOVA se propone tener un coeficiente de
determinación que permita tener más información del modelo construido, por lo
anterior se propuso utilizar una extensión de la 𝑅2 , la cual es una métrica
multivariada y su ecuación es la siguiente
𝑅𝑞2 = (�̂�𝑌 − 𝑛�̅��̅�′)(𝑌′𝑌 − 𝑛�̅��̅�′)−1
(4.25)
(4.26)
(4.27)
37
Para convertir 𝑅𝑞2 a un escalar se tienen según la literatura dos maneras de
obtener ese valor, el primero es por medio de la traza de la matriz formada por 𝑅𝑞2
dividida entre el número de respuestas (𝑝) , dicha ecuación se describe a
continuación
𝑡𝑟(𝑅𝑞2)
𝑝
El siguiente método es obtener el determinante de dicha matriz, es decir
𝑑𝑒𝑡(𝑅𝑞2)
Con las métricas anteriores se puede obtener más información con una base
estadística sólida que nos permita tomar decisiones relacionadas con el modelo
construido.
(4.28)
(4.29)
38
Capítulo 5
Metodología
Figura 5.1 Metodología General
Proceso de manufactura
Análisis de datos
Prueba de correlación
Modelado
Análisis de supuestos para
construir MANOVA
Construcción del MANOVA para analizar el
modelo
39
Definición del proceso de manufactura
Se buscará un proceso el cual tenga las características necesarias para ser
modelado por medio de sistemas difusos, esto es,
Que sea altamente no lineal
Que tenga variables las cuales puedan ser modeladas por medio de
conjuntos difusos, es decir que dichos conjuntos utilicen variables
lingüísticas,
Que se pueda utilizar la experiencia humana para la construcción de las
reglas si-entonces.
Que este tenga respuestas múltiples.
Cuando se define el proceso de manufactura es necesario contar con un diseño
de experimentos que nos permita obtener los datos necesarios para construir el
modelo, en el siguiente diagrama se explica esta parte de la metodología.
Figura 5.2 Análisis de datos
Después de realizar el diseño de experimentos es necesario analizar si las
variables de salida, es decir, las respuestas tienen correlación, para ello
utilizaremos el coeficiente de correlación de Pearson descrito en la ecuación
Definición del proceso de
manufactura
Diseño de experimentos
Análisis de respuestas
40
(4.13). Si las respuestas muestran correlación significativa entonces se procede a
modelar el proceso de manera multivariada.
Modelado
La siguiente parte en la metodología propuesta es el modelado, esta se llevará a
cabo por medio de un sistema de inferencia difuso. El sistema de inferencia difuso
dependerá del proceso que se quiera modelar, ya que, cada proceso tiene
distintas variables de entrada y de salida, esto hace que cada proceso sistemas de
inferencia difuso sea distinto, algunas de sus diferencias estarán en:
La elección de sus funciones de membresía
La elección de su mecanismo de inferencia
La elección del método de defuzzyficación, este también dependerá del
mecanismo de inferencia utilizado.
En estas tres características la literatura no propone alguna forma de elegir por
ejemplo las funciones de membresía para algún tipo de proceso en específico, es
por esto que el modelo está acompañado por un análisis estadístico el cual se
describe en la siguiente parte de la metodología.
Análisis de supuestos
Para construir el análisis de la varianza multivariado (MANOVA por sus siglas en
inglés) es necesario revisar si los datos cumplen con los supuestos para llevar a
cabo dicho análisis. Los supuestos son los siguientes.
41
i. Normalidad multivariada
Para comprobar este supuesto se usaron tres pruebas las cuales se
describieron en el marco teórico. La primera de ellas es la prueba de Mardia
descrita en las ecuaciones (4.16) y (4.17), la segunda de ellas es la prueba
Henze-Zirkler (4.18), (4.19), (4.20), (4.21) y la tercera es la prueba Shapiro-
Wilk (4.22). Se realizan tres pruebas para que el análisis sea más completo,
es decir que si alguna prueba no muestra normalidad es porque es más
sensible cierto tipo de datos, además si una de las pruebas muestra
normalidad es suficiente para asegurar que los datos se distribuyen normal
mulitivariado.
ii. Autocorrelación
Es importante comprobar que los residuales no están correlacionados entre
sí, para detectar esta característica se propone utilizar la prueba Durbin-
Watson (4.23).
iii. Heterocedasiticidad
Para realizar el análisis multivariado de la varianza es necesario conocer si
los residuos no tienen igual varianza según los niveles de variables
independientes. En este caso utilizamos la prueba de White (4.24) para
analizar dicha característica en los datos.
Construcción del MANOVA para analizar el modelo
Si los datos cumplen con los supuestos entonces se puede realizar el Análisis de
la varianza multivariado (MANOVA) descrito en la tabla (4.1) además se puede
realizar una prueba dada por el coeficiente de determinación (4.27) para obtener
más información del modelo.
42
Capítulo 6
Experimentación con datos históricos
Una de las ventajas de los sistemas de inferencia difusos es su capacidad de
utilizar datos históricos para la construcción de modelos, además de no necesitar
una gran cantidad de datos para lograrlo.
El siguiente capítulo muestra 3 modelos construidos por sistemas de inferencia
difusos los cuales se utilizaron para comprender la construcción y la forma en que
se construyen las reglas y funciones de membresía.
Los procesos que se modelaron tienen las características ya antes planteadas, es
decir:
Tienen variables que se pueden modelar con conjuntos difusos (variables
lingüísticas)
Son multivariados (tienen múltiples entradas y respuestas)
Son no lineales
En cada modelo se comprobaron algunos de los supuestos planteados en la
metodología.
43
Proceso de maquinado
El maquinado es un término general que describe un grupo de procesos cuyo
propósito es la remoción de material y la modificación de las superficies de una
pieza de trabajo, después de haber sido producida por diversos métodos. Por
ende, el maquinado comprende operaciones secundarias y de acabado.
En la actualidad es uno de los procesos más importantes en la industria ya que
por medio de este proceso se elaboran piezas que se utilizan para complementar
estructuras ya elaboradas por medio del proceso de fundición entre otras.
El primer caso de estudio que se presenta es un proceso de maquinado el cual
tiene características difusas ya que sus variables pueden ser modeladas a través
de variables lingüísticas, además de que se pude utilizar la experiencia del
operador para construir las reglas del sistema de inferencia difuso y por sus
características se comporta de manera no lineal, es por el tipo de salidas que
presenta.
Las características mencionadas nos permiten utilizar los sistemas de inferencia
difusos para construir un modelo que describa el comportamiento del proceso.
A continuación, se muestra como se desarrolló la metodología para el proceso ya
planteado.
Modelado del proceso
Se procede al análisis de los datos históricos, esto es, revisar los datos del diseño
de experimentos, de los cuales se construyó la tabla (6.1)
44
Tabla 6.1 Valores experimentales del proceso de maquinado
Pieza Velocidad de usillo (RPM)
Velocidad de alimentación
(m/min) D1 D2 H
1 2500 300 7.78 4.18 3.8
2 2750 275 7.88 4.18 4.56
3 3000 250 7.86 4.17 3.82
4 2750 275 7.76 4.05 4.46
5 2750 275 7.82 4.13 4.1
6 2750 239.645 7.72 3.95 4.67
7 2396.45 275 7.85 4.1 3.93
8 2750 310.355 7.44 3.97 3.67
9 2750 275 7.92 4.03 3.78
10 2500 250 7.47 4.07 4.18
11 3103.55 275 7.75 3.99 4.39
12 3000 300 7.47 3.93 4.74
13 2750 275 7.71 4.01 5.59
Para modelar las variables de entrada y de salida se utilizaron las funciones de
membresía triangular. En las siguientes tablas se establecen los conjuntos difusos
que se definieron para cada variable de entrada y salida.
Tabla 6.2 Conjuntos difusos para la velocidad de husillo
Velocidad Baja
Velocidad Media
Velocidad Alta
A 2259 2560 2862
B 2500 2802 3104
C 2741 3043 3345
Tabla 6.3 Conjuntos difusos para la velocidad de alimentación
Velocidad Baja
Velocidad Media
Velocidad Alta
A 211.4 254.3 282.1
B 239.6 275 310.4
C 267.9 298 338.6
45
Tabla 6.4 Conjuntos difusos para el diámetro 1
Muy pequeño
Pequeño Mediano Grande Muy
Grande
A 7.32 7.42 7.52 7.62 7.718
B 7.42 7.52 7.62 7.72 7.822
C 7.52 7.62 7.72 7.82 7.958
Tabla 6.5 Conjuntos difusos para el diámetro 2
Muy pequeño
Pequeño Mediano Grande Muy
Grande
A 3.5 3.94 4.02 4.1 4.158
B 3.9 3.98 4.06 4.14 4.198
C 3.94 4.02 4.1 4.18 4.238
Tabla 6.6 Conjuntos difusos para la altura
Muy pequeña
Pequeña Mediana Grande Muy
Grande
A 3.4 3.9 4.4 4.9 5.4
B 3.65 4.15 4.65 5.15 5.65
C 3.9 4.4 4.9 5.4 5.9
Además de establecer los conjuntos difusos para cada una de las variables, es
importante analizar la relación que existe entre cada una de ellas, es decir, hacer
una conexión entre las variables de entrada con las variables de salida. Está parte
se realiza mediante la construcción de reglas las cuales provienen del
conocimiento experto de quien trabaja con dicho proceso. Para construir el modelo
de este proceso se utilizaron 10 reglas difusas, de las cuales se muestran algunas
a continuación.
R1: Si la velocidad de husillo es media y la velocidad de alimentación es
media Entonces el diámetro 1 es muy grande, el diámetro 2 es mediano, la
altura es mediana.
R2: Si la velocidad de husillo es media y la velocidad de alimentación es
alta Entonces el diámetro 1 es muy pequeño, el diámetro 2 es pequeño, la
altura es muy pequeña.
46
Todas las reglas anexo (A1)
Otras características que permiten la construcción del sistema de inferencia difuso
para el modelado de este proceso son los siguientes.
– Método AND: Mínimo
– Método de implicación: Mínimo
– Método de defuzzificación: Centroide
– Mecanismo de inferencia: Mamdani
Inferencia difusa
Utilizando el sistema difuso mencionado anteriormente se procedió a realizar la
inferencia difusa, y obtener así la predicción.
El modelo construido por medio del sistema de inferencia difuso se comparó con
los datos experimentales, dicha comparación se muestra en las figuras (6.1), (6.2),
(6.3).
Figura 6.1 Comparación de respuestas (Diámetro 1)
0 2 4 6 8 10 12 147.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
8
Piezas
Diá
metr
o 1
Proceso
Predicción
47
Figura 6.2 Comparación de respuestas (Diámetro 2)
Figura 6.3 Comparación de respuestas (Altura)
0 2 4 6 8 10 12 143.9
3.95
4
4.05
4.1
4.15
4.2
Piezas
Diá
metr
o 2
Proceso
Predicción
0 2 4 6 8 10 12 143.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
Piezas
Altura
Proceso
Predicción
48
Análisis de respuestas
Al obtenerse la predicción, es decir las respuestas predichas del modelo
construido por medio del sistema de inferencia difuso, se realizó el análisis
planteado en la metodología. Las pruebas estadísticas son las siguientes:
Prueba de correlación de Pearson
Tabla 6.7 Análisis de correlación Salidas 𝑦1 𝑦2
𝑦2 0.67581 -
0.01122 -
𝑦3 0.15571 0.40881
0.61162 0.16552
1.- Coeficiente de correlación de Pearson
2.- Valor P
En la tabla (6.7) se muestra que las variables 𝑦1 e 𝑦2 están correlacionadas, ya
que el coeficiente de correlación de Pearson es 0.6758 y el P-valor es menor que
0.05. Esto dio para publicarse en el WIEM 2015 (Cerda et. Al 2015)a
Pruebas de normalidad
Tabla 6.8 Valores para pruebas de normalidad
Henze-Zirkler Mardia Shapiro-Wilk
Estadístico de prueba 0.59 0.68 0.944
Valor P asociado a la prueba estadística
0.28 0.05 0.866
La taba (6.8) nos muestra por medio de la prueba Henze-Zirkler que los datos
muestran normalidad multivariada ya que el valor P es mayor al nivel de
significancia que es 0.05. La prueba de Shapiro-Wilk también indica normalidad
multivariada ya que el estadístico de prueba es mayor al valor P.
49
Prueba de autocorrelación
Tabla 6.9 Valores de la prueba Durbin-Watson
𝑑1 1.86
𝑑2 2.87
𝑑3 1.48
𝑑𝑢 1.25
La tabla (6.9) nos muestra que los datos no tienen autocorrelación ya que los
valores 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3 > 𝑑𝑢, por lo tanto, se cumple el supuesto de la inexistencia de
autocorrelación.
Prueba de homogeneidad
Tabla 6.10 Valores de la prueba de White
𝑤1 19.5
𝑤2 18.63
𝑤3 19.22
𝒳2 21.26
Para la prueba de homogeneidad en las varianzas la tabla 6.10 nos muestra que
los residuales cumplen con esa característica ya que los valores de 𝑤1, 𝑤2 y 𝑤3
son menores que un valor chi-cuadrada de tablas.
Pruebas de supuestos para MANOVA
Los resultados anteriores nos muestran que, si se desea realizar inferencia
estadística en el modelo, esto es, identificar si el modelo representa la variabilidad
50
del proceso o cuales son las variables de mayor influencia en él es necesario
realizar un análisis multivariado, para ello se necesitan cumplir los supuestos de
normalidad, heterocedasticidad y autocorrelació.
Proceso de colada
El segundo caso de estudio que se presenta es de un proceso de colada el cual
tiene como característica el vaciado de metal fundido en un molde permanente el
cual tienen un movimiento (basculamiento) para que el metal se distribuya a lo
largo de todo el molde y así se forme la pieza. Esta pieza es utilizada para
estaciones eléctricas y es conocido como tanque muerto.
Figura 6.4 Tanque muerto para estación eléctrica
Modelado del proceso.
Para la construcción del sistema de inferencia difuso se revisaron los datos
históricos y se trabajó con un diseño de experimentos el cual se describe en la
tabla (6.11)
51
Tabla 6.11 Niveles para las variables del proceso de colada
Temperatura Metal
Temperatura del Molde
Basculamiento
760 390 20
760 390 35
760 440 35
760 440 20
790 390 20
790 390 35
790 440 35
790 440 20
Para la construcción del sistema de inferencia difuso del proceso anterior se
siguieron dos recomendaciones. Una de ellas era construir el sistema difuso para
el proceso de manera multivariada, esto es, tomando en cuenta todas las
características de calidad que se plantean a continuación:
Conteo de poros visibles
Conteo de rechupes
Falta de material
Conteo de marcas por flujo de metal liquido
Mal llenado
Dadas las características anteriores se contó con un diseño de experimentos el
cual contenía la información necesaria para construir el sistema de inferencia
difuso para ambas recomendaciones.
Para ver las reglas del sistema de inferencia difuso ver anexo (A2)
52
Tabla 6.12 Defectos en el proceso de vaciado
Conteo de poros
visibles
Conteo Rechupes
Falta de material
Mal llenado
Conteo de marcas por
flujo de metal liquido
20 4 0 0 0
61 4 0 3 0
25 0 1 0 0
20 10 0 0 1
0 3 0 15 1
51 22 1 2 0
22 3 1 29 0
0 6 96 28 2
Siguiendo con las recomendaciones de la empresa se procedió a construir el
sistema de inferencia difuso para una sola respuesta, esto es, para la suma de los
defectos encontrados.
Las variables de entrada se modelaron por medio de funciones de membresía
triangular y cada una con 3 niveles.
A continuación, se presenta un ejemplo de la una de las variables de entrada
Tabla 6.13 Parámetros para la variable de entrada temperatura del metal
Niveles
Bajo Medio Alto
A 748 763 778
B 760 775 790
C 772 787 802
53
Y para modelar la respuesta se utilizó la función de membresía triangular la cual
se define por medio de 3 parámetros.
Tabla 6.14 Parámetros para los conjuntos difusos de la variable poros visibles
POCOS ALGUNOS MUCHOS
A -24.4 6.1 36.6
B 0 30.5 61
C 24.4 54.9 85.4
Además de las variables de entrada, sus funciones de membresía y parámetros a
se presentan las características del sistema de inferencia difuso para el modelado
de dicho proceso.
– Reglas: 7
– Método AND: Mínimo
– Método de implicación: Máximo
– Método de defuzzificación: Centroide
– Mecanismo de inferencia: Mamdani
Inferencia difusa
El modelo construido por medio del sistema de inferencia se comparó con los
datos experimentales, el resultado de la inferencia difusa se presenta en la
siguiente tabla, donde se compara la respuesta real vs la predicción, la
comparación se muestra en las figuras (6.5), (6.6), (6.7), (6.8) y (6.9).
54
Figura 6.5 Comparación de respuestas (Conteo de poros visibles)
Fig. 6.6 Comparación de respuestas (Conteo de rechupes)
1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
60
70
Pieza
Cont.
Poro
s v
isib
les
Proceso
Predicción
1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
Pieza
Cont.
Rechupes
Proceso
Predicción
55
Figura 6.7 Comparación de las respuestas (Falta de material)
Figura 6.8 Comparación de respuestas (Mal llenado)
1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pieza
Falta d
e m
ate
rial
Proceso
Predicción
1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
Pieza
Mal llenado
Proceso
Predicción
56
Figura 6.9 Comparación de respuestas (Conteo de marcas por flujo de metal
liquido)
1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Pieza
Marc
as p
or
flujo
Proceso
Predicción
57
Análisis de respuestas
Siguiendo la metodología ya planteada se procedió a realizar las pruebas de
correlación, normalidad, homosedasticidad y aurocorrelación.
Prueba de correlación de Pearson
Tabla 6.15 Análisis de correlación
Salidas 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝒚4
𝒚𝟐 0.4011 - - -
0.3252 - - -
𝒚𝟑 -0.4621 -0.0261 - -
0.2492 0.9512 - -
𝒚𝟒 0.5171 -0.2371 0.591 -
0.1892 0.5822 0.1242 -
𝒚𝟓 -0.6941 0.0271 0.7971 0.4851
0.0562 0.9492 0.0182 0.2232
1.- Coeficiente de correlación de Perason
2.- Valor P
La tabla (6.15) nos muestra que existe una correlación significativa entre las
variables 𝑦1, 𝑦5 y entre 𝑦3, 𝑦5 ya que su valor P es menor a 0.05. Debido a que
existe correlación entre 3 variables es necesario que el modelo y el análisis de los
datos sea de manera multivariada. Estos resultados se publicaron en Cerda et. al.
2016 b.
Pruebas de normalidad
Tabla 6.16 Valores para las pruebas de normalidad
Henze-Zirkler Mardia Shapiro-Wilk
Estadístico de prueba 1342.1BT 0.01 905.0MW
Valor P asociado al estadístico de prueba
0.0004 0.05 0.897
58
La tabla (6.16) de las pruebas de normalidad indica que por medio la prueba
Henze-Zirkler indica que no los datos no son normales multivariados, por lo tanto
se procede a verificar otra de las pruebas. La prueba Shapiro-Wilk los datos
muestran normalidad multivariada ya que el valor del estadístico de prueba es
mayor al valor P. Como se mencionó en la metodología se necesita que al menos
una prueba muestra normalidad multivariada en los datos para decir que los datos
se distribuyen normales multivariados.
Prueba de autocorrelación
Tabla 6.17 Valores de la prueba Durbin-Watson
𝑑1 1.21
𝑑2 1.37
𝑑3 0.88
𝑑4 0.647
𝑑5 1.84
𝑑𝑢 0.53
Los valores obtenidos en la tabla (6.17) indican que no hay autocorrelación en los
residuales ya que todos los valores desde 𝑑1 hasta 𝑑5 son mayores que 𝑑𝑢 por lo
tanto concluimos que los datos no presentan dicha característica.
Prueba de homogeneidad
Tabla 6.18 Valores de la prueba de White
𝑤1 20.33
𝑤2 19.74
𝑤3 23.89
𝑤4 21.43
𝑤5 19.05
𝒳2 24.8
59
La prueba de homogeneidad de las varianzas de White que se muestra en la tabla
6.18 indica que todos los valores del estadístico de prueba son menores que un
valor 𝜒2 de tablas el cual es 𝜒2 = 24.8, por lo que se concluye que los residuos
cumplen con el supuesto de homocedasticidad.
Manufactura de corazones
Esta experimentación consistió en construir un modelo para el proceso de
fabricación de corazones para piezas complejas de aluminio, en el cual se
analizará la flexión y la tracción de la pieza con respecto al porcentaje de resina, la
cantidad de compuesto de resina y las horas del curado de la pieza.
Los datos con los cuales se construyó el modelo se tomaron de la tabla (6.19).
Tabla 6.19 Datos experimentales del proceso
% Resina Compuesto de Resina
Horas De curado
Flexión Tracción
1.25 50 24 36 5.8586788
1.25 60 24 39 5.97609
1.25 50 1 25 7.0307
1.5 50 1 39 7.94469
1.25 60 1 37 9.1399
1.5 60 1 42 9.49144
1.5 50 24 41 11.8116
1.5 60 24 56 12.5146
60
Modelado del proceso
Para construir el sistema difuso se utilizaron funciones de membresía triangulares
para cada una de las variables de entrada, a continuación, las tablas muestran los
parámetros y niveles de cada uno de ellas.
Tabla 6.20 Valores y niveles para de la variable de entrada % Resina
Además de las variables de entrada, sus funciones de membresía y sus
parámetros a continuación se presentan las características del sistema de
inferencia difuso que para el modelado de dicho proceso.
– Variables de entrada: 3
– Variables de salida: 1
– Reglas: 7
– Método AND: Mínimo
– Método de implicación: Mínimo
– Método de defuzzificación: Centroide
– Mecanismo de inferencia: Mamdani
Se utilizaron diferentes funciones de membresía para analizar mediante la métrica
𝑅𝑞2 si el cambio en las funciones de membresía se reflejaba en dicha métrica.
(Cerda et. al. 2016)c
Niveles
Bajo Medio Alto
A 1.15 1.275 1.4
B 1.25 1.375 1.5
C 1.35 1.475 1.6
61
Inferencia difusa
El modelo construido por medio del sistema de inferencia se comparó con los
datos experimentales, el resultado de la inferencia se comparó con la respuesta
del proceso. La comparación se muestra en las figuras (6.4) y (6.5)
Figura 6.4 Comparación de las respuestas (Flexión)
Figura 6.4 Comparación de respuestas (Flexión)
1 2 3 4 5 6 7 825
30
35
40
45
50
55
60
Pieza
Fle
xió
n
Proceso
Predicción
1 2 3 4 5 6 7 85
6
7
8
9
10
11
12
13
Pieza
Tra
cció
n
Proceso
Predicción
62
Análisis de respuestas
Al obtenerse la predicción, es decir las respuestas del modelo construido por
medio del sistema de inferencia difuso se prosiguió a realizar la prueba de
correlación entre cada una de ellas, para lo anterior se llevó a cabo la prueba de
correlación de Pearson de la cual se obtuvieron los siguientes resultados.
Prueba de correlación de Pearson
Tabla 6.21 Análisis de correlación Salidas 𝑦1
𝑦2 0.698
0.054
1.- Coeficiente de correlación de Pearson
2.- Valor P
En la tabla (6.21) nos indica que debido a que el valor P es .05 y el coeficiente de
correlación es .698 podemos decir que las respuestas están correlacionadas, por
lo que hay que verificar ahora si estas cumplen con los supuestos para construir el
análisis multivariado.
Pruebas de normalidad
Tabla 6.26 Valores para las pruebas de normalidad
Henze-Zirkler Mardia Shapiro-Wilk
Estadístico de prueba 1342.1BT 0.01 905.0MW
Valor P asociado al estadístico de prueba
0.0004 0.05 0.897
La tabla 6.26 muestra por medio de la prueba Shapiro-Wilk que los datos se
distribuyen normal multivariados ya que su estadístico de prueba es mayor que el
valor P asociado a la prueba.
63
Prueba de autocorrelación
Tabla 6.27 Valores de la prueba Durbin-Watson
𝑑1 1.64
𝑑2 1.82
𝑑𝑢 1.32
La tabla (6.27) nos indica que los residuales no muestran autocorrelación debido a
que los valores 𝑑1 y 𝑑2 son mayores que 𝑑𝑢.
Prueba de homogeneidad
Tabla 6.28 Valores de la prueba de White
𝑤1 21.54
𝑤2 23.61
𝒳2 27.8
La prueba de homogeneidad de las varianzas de White en la tabla 6.28 mostró
que los estadísticos de prueba son menores a un valor 𝜒2 de tablas el cual es
𝜒2 = 27.8, por lo que se concluye que los residuos cumplen con el supuesto de
homocedasticidad.
64
Capítulo 7
Aplicación
Proceso de colada para la elaboración de contrapesos La aplicación se realizó en un proceso de colada, el cual tiene como finalidad el
colocar un contrapeso para cabeceras de asientos de automóviles, los cuales se
muestran en la figura (7.1).
Fig. 7.1 Contrapesos para cabeceras
Siguiendo la metodología establecida se procedió a realizar una estancia en la
fundidora Aluminios y Bronces de Saltillo (ALBRONSA S.A de C.V).
Modelado del proceso
En esta primera parte se procedió a revisar y analizar las características del
proceso, esto es:
o Variables de entrada
o Variables de salida (características de calidad)
o Tipo de proceso (colada en molde permanente)
o Desarrollo del proceso (seguimiento paso a paso del mismo)
65
Después de realizar dichas observaciones se procedió a construir el diseño de
experimentos, este se obtuvo a partir de un diseño central compuesto con 6
puntos centrales y 6 puntos axiales definidos por un 𝛼 = 1.682 , esto al tomar
como variables de entrada la temperatura del metal, la temperatura del molde y el
basculamiento, a continuación, se muestra la tabla con los valores obtenidos en la
aplicación del diseño de experimentos.
Tabla 7.1 Datos experimentales del proceso de colada Variables de entrada Variables de salida
Temperatura del Metal
Temperatura del Molde
Basculamiento Peso SCP2 SPC3 Rechupe
390 210 18 0.922 -0.03 -1.2 0.2032
415 250 18 0.929 -0.08 -10.05 0.4699
390 210 30 0.924 -0.03 -0.21 0.11
415 210 30 0.923 -0.65 -0.59 0.17
390 250 30 0.925 -0.24 0.17 0.09
415 250 30 0.918 0.76 -0.47 0.08
402.5 230 24 0.926 -0.7 -0.44 0.15
402.5 230 24 0.928 -0.93 0.27 0.07
402.5 230 24 0.928 -0.5 0.01 0.07
402.5 230 24 0.928 -1.1 0.2 0.02
382.0875 230 24 0.925 0.36 0.09 0.1
422.9125 230 24 0.926 -0.65 0.12 0.08
402.5 197.34 24 0.925 -0.15 -1.17 0.37
402.5 262.66 24 0.923 0.87 -1.02 0.08
402.5 230 14.202 0.925 -1.05 -0.58 0.22
402.5 230 33.798 0.924 -0.97 -0.66 0.13
402.5 230 24 0.929 -0.16 -0.32 0.02
402.5 230 24 0.927 -0.86 -0.59 0.03
66
Dadas las características del proceso se procede a construir el sistema de
inferencia difuso para obtener el modelo del proceso tiene las siguientes
características:
– Variables de entrada: 3
– Variables de salida: 4
– Reglas: 13
– Método AND: Mínimo
– Método de implicación: Máximo
– Método de defuzzificación: Centroide
– Mecanismo de inferencia: Mamdani
En la tabla (7.2) se muestra un ejemplo de los valores y niveles de la función de
membresía que se utilizó para modelar la temperatura del metal.
Tabla 7.2 Valores y niveles para la temperatura del metal
Niveles
Bajo Medio Alto
A 365.8 386.2 406.6
B 382.1 402.5 422.9
C 398.4 418.8 439.2
Para ver todas las reglas revisar anexo A(3)
Inferencia difusa
Al realizar la inferencia del sistema difuso se obtuvo una predicción para cada una
de las respuestas. Cada respuesta del proceso fue comparada con la predicción
las comparaciones se muestran en las figuras (7.2), (7.3), (7.4), (7.5).
67
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180.918
0.92
0.922
0.924
0.926
0.928
0.93
0.932
Pieza
Peso
Proceso
Predicción
Figura 7.2 Comparación de respuestas proceso vs predicción (Peso)
Figura 7.3 Comparación de respuestas proceso vs predicción (SPC2)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Pieza
SP
C2
L
Proceso
Predicción
68
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Pieza
SP
C3
H
Proceso
Predicción
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Pieza
Rechupe
Proceso
Predicción
Figura 7.4 Comparación de respuestas proceso vs predicción (SPC2)
Figura 7.5 Comparación de respuestas proceso vs predicción (Rechupe)
Para este caso se utilizó la traza y el determinante de la matriz formada por 𝑅𝑞2
para verificar si había diferencia entre ambos resultados. (Cerda et. al. 2016) d
69
Análisis de las respuestas
Al obtener la predicción de cada una de las respuestas por medio del modelo, es
necesario realizar una prueba de correlación, de esta manera procederemos a
realizar el análisis correspondiente, ya sea univariado (ANOVA) o multivariado
(MANOVA). En la siguiente tabla se muestran los resultados de la prueba de
correlación de Pearson.
Tabla 7.3 Valores de la prueba de correlación de Pearson
𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑦2 -0.4881 -
-
0.042 - -
𝑦3 0.5661 -0.3571 -
0.0142 0.1462 -
𝑦4 -0.3161 0.2191 -0.7921
0.2012 0.3832 0.0002
1.- Coeficiente de correlación de Pearson
2.- Valor P
El análisis de las respuestas nos indica que existe correlación significativa entre
las variables 𝑦1 y 𝑦3 , 𝑦3 y 𝑦4 , además de que las variables 𝑦1 y 𝑦2 también
presentan correlación.
Debido a la condición anterior es importante ahora verificar cada uno de los
supuestos para así realizar el análisis multivariado, a continuación presentamos
los resultados de cada una de las pruebas, cada una de ellas se realizaron con los
residuales, esto es, la diferencia entre los datos del proceso y la predicción
obtenida por el modelo 𝑒𝑖 = 𝑦 − �̂�.
70
Pruebas de normalidad
Tabla 7.4 Valores para las pruebas de normalidad
Henze-Zirkler Mardia Shapiro-Wilk
Estadístico de prueba 1342.1BT 0.01 905.0MW
Valor P asociado al estadístico de prueba
0.0004 0.05 0.897
Los residuos mostraron para la prueba de normalidad de Mardia y Henze-Zirkler
que se distribuyen de manera normal multivariada
Prueba de homogeneidad de varianzas
Tabla 7.5 Valores de la prueba de White
𝑤1 13.58
𝑤2 9.48
𝑤3 9.94
𝑤4 12.67
𝒳2 27.6
La prueba de homogeneidad de las varianzas de White mostró que el estadístico
es menor a un valor 𝜒2 de tablas el cual es 𝜒2 = 27.6, por lo que se concluye que
los residuos cumplen con el supuesto de homocedasticidad.
Prueba de autocorrelación
Tabla 7.6 Valores de la prueba Durbin-Watson
𝑑1 1.84
𝑑2 1.85
𝑑3 1.91
𝑑4 2.24
𝑑𝑢 1.82
71
Para la prueba de linealidad se obtuvieron los valores de la prueba Durbin Watson,
para cada residual, obteniendo que todos los valores fueron mayores a un 𝑑𝑈 =
1.82, por lo que, dada la prueba, aseguramos que el supuesto de linealidad se
cumple para los residuos.
Análisis multivariado de la varianza (MANOVA)
Ya que los residuales cumplieron cada uno de los supuestos es posible ahora
construir el MANOVA, el cual se describe en la siguiente tabla.
Tabla 7.7 Tabla MANOVA
Fuente Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cociente VC
Modelo 3 -0.00003 0.046748 0.194
Residual 14 -0.000015
Total 17 0.00032
La tabla (7.7) que muestra el Análisis multivariado de la varianza nos permite
identificar por el valor del cociente y debido a que este es menor que el valor
crítico que el modelo describe que la variabilidad del proceso
72
Capítulo 8
Conclusiones
Hoy en día la industria de la manufactura busca analizar y saber el
comportamiento de cada uno de sus procesos, esto, para la toma de decisiones
en cada uno de ellos. La toma de decisiones es afectada cuando los datos no
siempre cumplen con supuestos para su análisis, y en otros casos los procesos
tienen un comportamiento no lineal en sus variables de salda, lo que hace que el
conocer el comportamiento de dicho proceso se aún más difícil.
Los sistemas de inferencia difusos nos permiten construir un modelo que utiliza la
información que se conoce del proceso para conocer la relación entre cada una de
las variables y saber su comportamiento, sin embargo, en la literatura dichos
modelos hacen el análisis de manera univariada sin hacer alguna prueba que
fundamente dicha decisión.
Debido a estas dificultades y a las ventajas que los sistemas de inferencia difusos
presentan ante estos tipos de procesos se investigó y se desarrolló este trabajo
donde se presentan varios procesos los cuales se modelaron por medio de
sistemas de inferencia difusos. Además, se utilizaron métricas estadísticas para
verificar supuestos y así construir el MANOVA (por sus siglas en inglés).
Lo anterior como una metodología general propuesta para el modelado y análisis
de proceso propiciando así que sean más robustos.
73
Para cumplir con el objetivo general y el objetivo específico uno en esta
investigación se modelaron 4 proceso por medio de distintos sistemas de
inferencia difusos, todos los proceso tenían como característica múltiples
respuestas, además en cada uno de ellos se realizó el análisis estadístico
correspondiente, es decir, se realizaron pruebas de correlación, normalidad
multivariada, homogeneidad de las varianzas y autocorrelación, además de
realizar el MANOVA, además cada modelo fue evaluado mediante la métrica 𝑅𝑞2
para conocer la eficiencia de cada modelo. Lo anterior permitió contestar las
pregunta de investigación 2.-¿Qué métricas estadísticas se utilizan para medir la
eficiencia de un modelo construido por medio de un sistema de inferencia difuso?
3.-¿Cómo se aplican dichas métricas? y 4.¿Cómo se aplica un análisis
multivariado a un sistema de inferencia difuso?
Todos los procesos han sido modelados y analizados seguido la metodología
propuesta cumpliendo así el objetivo específico dos, en cada uno de ellos se
analizaron sus respectivas respuestas y en todos los casos dichas respuestas
estaban correlacionadas.
El análisis propuesto en esta metodología permitió hacer una inferencia más
acertada en los modelos por lo cual se cumple la (𝐻2), ya que en particular y como
se plantea en el estado del arte en este tipo de modelos no se realizaba un
análisis multivariado de la varianza.
Lo anterior nos permitió continuar con la revisión de los supuestos para cada
modelo lo cual cumple con el objetivo específico 3 y en particular con el proceso
de la aplicación se procedió a realizar el análisis multivariado de la varianza, el
cual nos permitió hacer inferencia acerca del modelo construido, que en este caso
nos mostró que el modelo representaba la variabilidad del proceso. Para encontrar
la variable de mayor influencia se necesitan realizar otras consideraciones las
cuales se plantean como trabajo futuro.
74
Como consecuencia del objetivo general y de la pregunta de investigación (4) se
encontró en la literatura que otra forma de construir modelos por medio de
sistemas de inferencia difusos es a través de mínimos cuadrados difusos, la
revisión de la metodología nos permite continuar con la investigación, ya que con
este método se encuentran los parámetros para cada regla del sistema de
inferencia difuso lo que nos indica que puede ser posible realizar un análisis
estadístico más profundo ya que los parámetros nos podrían indicar que funciones
de membresía, reglas, variables, etc., son más importantes mediante pruebas de
hipótesis, lo cual nos deja una línea abierta para trabajo futuro.
Lo anterior también nos permitirá realizar un análisis sobre los métodos de
defuzzyficación y como estos afectan en los sistemas de inferencia, lo cual es
trabajo futuro al ser consecuencia de las características anteriores.
75
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79
Anexo
(A1) Reglas del sistema de inferencia difuso para el proceso de maquinado
1. Si la velocidad de husillo es media y la velocidad de alimentación es media
entonces el D1 es muy grande el D2 es mediano y H es mediano.
2. Si la velocidad de husillo es media y la velocidad de alimentación es alta
entonces el D1 es muy pequeño el D2 es pequeño y H es muy pequeño.
3. Si la velocidad de husillo es baja y la velocidad de alimentación es alta
entonces el D1 es muy grande el D2 es muy grande y H es muy pequeño.
4. Si la velocidad de husillo es baja y la velocidad de alimentación es baja
entonces el D1 es pequeño el D2 es mediano y H es pequeño.
5. Si la velocidad de husillo es alta y la velocidad de alimentación es baja
entonces el D1 es mediano el D2 es muy grande y H es muy pequeño.
6. Si la velocidad de husillo es alta y la velocidad de alimentación es media
entonces el D1 es grande el D2 es pequeño y H es pequeño.
7. Si la velocidad de husillo es alta y la velocidad de alimentación es alta
entonces el D1 es pequeño el D2 es muy pequeño y H es mediano.
(A2) Reglas del sistema de inferencia difuso para el proceso de colada
1. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es bajo entonces los poros visibles son medios, el rechupe
es bajo, la falta de material es bajo, el mal llenado es bajo y las marcas por
flujo de metal es bajo.
2. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es alto entonces los poros visibles son altos, el rechupe es
bajo, la falta de material es bajo, el mal llenado es bajo y las marcas por
flujo de metal es bajo.
80
3. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es alto entonces los poros visibles son medios, el rechupe
es bajo, la falta de material es bajo, el mal llenado es bajo y las marcas por
flujo de metal es bajo.
4. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es bajo entonces los poros visibles son medios, el rechupe
es medio, la falta de material es bajo, el mal llenado es bajo y las marcas
por flujo de metal es medio.
5. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es bajo entonces los poros visibles son medios, el rechupe
es bajo, la falta de material es bajo, el mal llenado es medio y las marcas
por flujo de metal es medio.
6. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es alto entonces los poros visibles son altoss, el rechupe es
alto, la falta de material es bajo, el mal llenado es bajo y las marcas por
flujo de metal es bajo.
7. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es alta entonces los poros visibles son medios, el rechupe
es bajo, la falta de material es bajo, el mal llenado es bajo y las marcas por
flujo de metal es bajo.
8. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es bajo entonces los poros visibles son bajos, el rechupe es
medio, la falta de material es bajo, el mal llenado es alto y las marcas por
flujo de metal es alto.
81
A(3) Reglas del sistema de inferencia difuso para el proceso de colada para la
elaboración de contrapesos.
1. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es rápido entonces el peso es casi normal, SCP2 es
irregular, SCP3 es deficiente y el rechupe es poco.
2. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es rápido entonces el peso es casi normal, SCP2 es malo,
SCP3 es bueno y el rechupe es bastante.
3. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es lento entonces el peso es normal, SCP2 es irregular,
SCP3 es irregular y el rechupe es casi nada.
4. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es lento entonces el peso es casi normal, SCP2 es rregular,
SCP3 es bueno y el rechupe es poco.
5. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es lento entonces el peso es encima de lo normal, SCP2 es
bueno, SCP3 es malo y el rechupe es casi nada.
6. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es lento entonces el peso es bastante ligero, SCP2 es muy
malo, SCP3 es irregular y el rechupe es casi nada.
7. Si la temperatura del metal es media y la temperatura del molde es media y
el basculamiento es normal entonces el peso es encima de lo normal, SCP2
es regular, SCP3 es muy malo y el rechupe es nada.
8. Si la temperatura del metal es baja y la temperatura del molde es media y el
basculamiento es normal entonces el peso es encima de lo normal, SCP2
es malo, SCP3 es malo y el rechupe es casi nada.
9. Si la temperatura del metal es alta y la temperatura del molde es media y el
basculamiento es normal entonces el peso es encima de lo normal, SCP2
es regular, SCP3 es malo y el rechupe es casi nada.
82
10. Si la temperatura del metal es media y la temperatura del molde es baja y el
basculamiento es normal entonces el peso es encima de lo normal, SCP2
es bueno, SCP3 es deficiente y el rechupe es leve.
11. Si la temperatura del metal es media y la temperatura del molde es alta y el
basculamiento es normal entonces el peso es casi normal, SCP2 es muy
malo, SCP3 es regular y el rechupe es casi nada.
12. Si la temperatura del metal es media y la temperatura del molde es media y
el basculamiento es rápido entonces el peso es encima de lo normal, SCP2
es deficiente, SCP3 es bueno y el rechupe es poco.
13. Si la temperatura del metal es media y la temperatura del molde es media y
el basculamiento es lento entonces el peso es encima de lo normal, SCP2
es deficiente, SCP3 es bueno y el rechupe es casi nada.
