Correccion Ejercicio AyudantıaMAT022 del 12 de Junio, 2014

Con respecto al ejercicio de determinar la grafica de la elipse en coorde-nadas parametricas que hice en la ayudantıa, utilizamos una formula para lasegunda derivada que yo les dı, y esa formula, que saque del apunte oficial,tiene un error GRAVE. La formula mala que les dı fue:

d2y

dx2=

y′′

x′− y′

x′′

(x′)3FORMULA MALA

La formula correcta para la segunda derivada es la siguiente:

d2y

dx2=y′′ · x′ − y′ · x′′

(x′)3FORMULA CORRECTA

Ası, la resolucion correcta del ejercicio:

EJERCICIO: Grafique la siguiente curva parametrica:

C :

{x(t) = 2cos(t)y(t) = sin(t)

, t ∈ [0, 2π]

SOLUCION:

Primero, se identfican puntos conocidos. Para este caso:

- Si t = 0 ⇒ x(0) = 2 e y(0) = 0. Entonces, en t = 0 estoy parado enel punto (2, 0).

- Si t =π

2⇒ x

(π2

)= 0 e y

(π2

)= 1. Entonces, en t =

π

2estoy parado en

el punto (0, 1).- Si t = π ⇒ x(π) = −2 e y(π) = 0. Entonces, en t = π estoy parado en elpunto (−2, 0).

- Si t =3π

2⇒ x

(3π

2

)= 0 e y

(3π

2

)= −1. Entonces, en t =

3π

2estoy

parado en el punto (0,−1).

1

Ahora se deben analizar las derivadas. Recordando:

- Sidy

dx> 0⇒ Funcion creciente.

- Sidy

dx< 0⇒ Funcion decreciente.

- Sid2y

dx2> 0⇒ Funcion concava hacia arriba (carita feliz).

- Sid2y

dx2< 0⇒ Funcion concava hacia abajo (carita triste).

Calculando la primera derivada para la curva parametrica, se tiene:

dy

dx=y′

x′

x′ = −2sin(t)

y′ = cos(t)

⇒ dy

dx=

cos(t)

−2sin(t)⇒ dy

dx= −1

2

1

tan(t)

El signo de la primera derivada depende del signo de la funcion tan(t).

La funcion tan(t) es positiva en el primer y tercer cuadrante, y negativaen el segundo y cuarto cuadrante.

tan(t) > 0 ∀t ∈ ]0,π

2[⋃

]π,3π

2[

⇒ dy

dx= −1

2

1

tan(t)< 0 ∀t ∈ ]0,

π

2[⋃

]π,3π

2[

⇒ La curva es decreciente en el intervalo ]0,π

2[⋃

]π,3π

2[.

tan(t) < 0 ∀t ∈ ]π

2, π[

⋃]3π

2, 2π[

⇒ dy

dx= −1

2

1

tan(t)> 0 ∀t ∈ ]0

π

2, π[

⋃]3π

2, 2π[

⇒ La curva es creciente en el intervalo ]π

2, π[

⋃]3π

2, 2π[.

2

Hasta aquı no ha cambiado nada con respecto a lo que hice en la ayu-dantıa. Ahora es donde cambia.

Calculando la segunda derivada:

d2y

dx2=y′′ · x′ − y′ · x′′

(x′)3

x′′ = −2cos(t)

y′′ = −sin(t)

⇒ d2y

dx2=

(−sin(t)) · (−2sin(t))− (cos(t)) · (−2cos(t))

(−2sin(t))3=

2sin2(t) + 2cos2(t)

−8sin3(t)

=2(sin2(t) + cos2(t))

−8sin3(t)

⇒ d2y

dx2=−1

4

1

sin3(t)

El signo de la segunda derivada depende del signo de la funcion sin(t).

La funcion sin(t) es positiva en el primer y segundo cuadrante y negativaen el tercer y cuarto cuadrante.

sin(t) > 0 ∀t ∈ ]0, π[

⇒ d2y

dx2=−1

4

1

sin3(t)< 0 ∀t ∈ ]0, π[

⇒ La curva es concava hacia abajo (carita triste) en el intervalo ]0, π[.

sin(t) < 0 ∀t ∈ ]π, 2π[

⇒ d2y

dx2=−1

4

1

sin3(t)> 0 ∀t ∈ ]π, 2π[

⇒ La curva es concava hacia arriba (carita feliz) en el intervalo ]π, 2π[.

Luego, con toda esta informacion es posible graficar finalmente la curva:Ası, se tiene que la curva es una elipse, y orientada positiva.

3

Figura 1: Grafico de la curva parametrica

4