Cristales sonicos

Daniela Zahndaniela@tarzahn.com

Gabriel Scoccolagabos94@hotmail.com

Manuel Szewcmanuelsz24@gmail.com

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad de Buenos Aires

3 de junio de 2015

Resumen

En este trabajo se estudio la propagacion de ondas de sonido a traves de un cristal sonico. Secaracterizo la respuesta en frecuencia propia del par microfono-parlante para comparar los resulta-dos siguientes. Se encontro el band gap del cristal para la direccion de propagacion perpendiculara las paredes, pero se verifico que, debido a rebotes en el cristal y otros desperfectos, inferferıanotras componentes de propagacion. Se introdujeron defectos en el cristal y se midio la respuesta enfrecuencia, observadose nuevos picos, y cierta repuesta donde antes estaba el band-gap. Al colocarel microfono dentro de la cavidad tambien se encontraron picos de resonancia en el band gap. Otramedicion fue estudiar los efectos de las guıas de ondas. Se encontro que una parte considerable dela onda se propagaba por ese camino, aumentando la amplitud medida y alterando completamentela respuesta en frecuencia del sistema.

1. Introduccion

Un cristal sonico es un objeto que tiene unadensidad y/o elasticidad periodica. Por ejemplo,un cristal sonico tıpico consiste en barras mon-tadas periodicamente en una placa (ver figura1). Este set up se utilizo en los experimentos.

Figura 1: Un cristal sonico 2D. Las on-das incidentes son reflejadas a las interfasesentre el aire y las barras. Reflexiones multi-ples resultan en una estructura de bandadel cristal

Debido a los cambios de impedancia en las in-terfases entre los materiales, las ondas son refle-jadas allı. El resultado es que el cristal muestra

una estructura de bandas con bandas prohibi-das. En el caso de cristales sonicos, la periodici-dad de la estructura esta en el orden de las lon-gitudes de onda de sonidos. Sin embargo, existenestructuras similares con periodicidades en el or-den de la luz visible, llamados cristales fotonicos.Parte del interes en los cristales sonicos surge desu similitud con los cristales fotonicos.

Si la reflectividad en las interfases es alta1,los objetos solidos en el cristal se pueden tratarcomo fluidos de gran densidad [1]. La ecuacionde propagacion de ondas sonicas en un fluido seve en la ecuacion 1:

1

B(~r)

1

c2∂2p

∂t2− ~∇(

1

ρ(~r)− ~∇p) = 0 (1)

donde B es la constante elastica, ρ es la densi-dad, c es la velocidad del sonido en el medio y pes la presion. Este tratamiento, mucho mas sim-ple que estudiar la propagacion de ondas elasti-cas en un solido, no permite la generacion deondas transversales, por lo que las vibracionestransversales del sistema fısico deben ser mini-mizadas. Solo habra, entonces oscilaciones lon-

1La reflectividad es alta si la impedancia del materialde las barras es mucho mas grande que la impedancia delentorno, lo que se cumple para barras de acero en aire.

1

Laboratorio 5 • 2015 • Introduccion

gitudinales. Esta ecuacion tiene soluciones esta-cionarias de la forma ρ(~r, t) = ρ(~r) expiwt. Estassoluciones son los modos normales del sistemay su relacion de dispersion nos permite obtenerel diagrama de bandas del cristal sonico. El dia-grama de bandas indica que frecuencias estanpermitidas en las distintas direcciones del cris-tal. Como B(~r) y ρ(~r) son funciones periodicascon la misma periodicidad que el cristal,se pue-den escribir como una suma de Fourier sobre losvectores recıprocos ~G de este. Esto se ve en lasecuaciones 2 y 3

ρ(~r)−1 =∑~G

ρ−1~Gexpi

~G.~r (2)

B(~r)−1 =∑~G

b−1~Gexpi

~G.~r (3)

Los vectores recıprocos son los componentesde la base de Fourier obtenida a partir de la reddirecta compuesta por los vectores ~R y cumplenla relacion 4:

~R ∗ ~G = 2nπ (4)

Los vectores de la red directa expresan la estruc-tura periodica de esta. Es decir, ~τ ′ = ~τ+ ~R = ~taudonde ~tau es un vector del espacio dado por elcristal sonico (si uno lo piensa como una redcristalina). Utilizando esto puede llegarse a laecuacion 5 para ρ(~r)

ρ(~r) = expi~k.~ruk(~r) = expi

~k.~r∑G

ρ~k, ~Gexpi ~G.~r

(5)Donde ~k es el vector de onda de Bloch. Estasolucion es una de onda de Bloch (obtenida almultiplicar una onda plana por una funcion pe-riodica uk) y cumple el teorema de Bloch, porlo que la teorıa de bandas, que describe la es-tructura electronica a traves de las bandas deenergıa, se aplica. Reemplazando 2, 3 y 5 en 1,se obtiene la ecuacion 6:

∑~G′

(w2b−1~G− ~G′ − ρ−1~G− ~G′(

~k + ~G)(~k − ~G))ρ~k, ~G = 0

(6)Esta ecuacion es ni mas ni menos que la ecuacionde autovalores del sistema y se puede resolver

numericamente, sabiendo que para una red decılindros se cumple las ecuaciones 7 y 8

ρ−1~G=ρmat

ρmedf + (1− f)si

∣∣∣~G∣∣∣ = 0 (7)

ρ−1~G= (

ρmat

ρmed− 1)2f

J1(∣∣∣~G∣∣∣ r0)∣∣∣~G∣∣∣ r0 si

∣∣∣~G∣∣∣ 6= 0 (8)

Donde r0 es el radio de cada cılindro (asu-miendo que todos tienen el mismo radio), ρmaty ρmed son las densidades del material de loscılindros y del medio donde estan inmersos res-pectivamente, J1 es la funcion de Bessel de orden1 y f es el factor de llenado (que para una red

cuadrada de separacion a entre cılindros esπr20a2

).Las expresiones obtenidas para b−1 son identicasa las ecuaciones 7 y 8. Para una red cuadrada decılindros de acero en aire con 0, 85cm de radio y2, 5cm de separacion entre tubos, utilizando 529ondas planas se obtuvo la figura 2 [1].

Figura 2: Simulacion del diagrama de ban-das para una red cuadrada de radio 0, 85cmy separacion 2, 5cm utilizando 529 ondasplanas.

Donde el rango de frecuencias prohibidas,cuando la transmision tiende a cero, depende dela direccion en la que se mide la onda. En estesistema pueden introducirse defectos que cam-bian el diagrama de bandas. Esto abre la puertapara que, a partir de la transmision de las ondasde sonido a traves del cristal, se pueden estudiardichos defectos.

2

Laboratorio 5 • 2015 • Armado Experimental

2. Armado Experimental

El cristal sonico consistio en una disposicionde 100 tubos de acero, fijados verticalmente auna base cuadrada de 10 filas y 10 columnas. Ca-da tubo tenıa un diametro de 1.7 cm y la distan-cia entre el centro de dos tubos adyacentes era2.5 cm. Para generar las ondas acusticas, se usoun parlante conectado a un generador de funcio-nes. Para medir las ondas, se utilizo microfonoconectado directamente al Lock-In . Se utilizoel modo single-ended (A) para la entrada de lasenal del microfono al Lock-In y se uso la confi-guracion ground. Como referencia se utilizo lasalida TTL del generador. Para disminuir lasinfluencias de las reflexiones del sonido en lasparedes y otros objetos del entorno, todos losexperimentos lo mas apartados posibles de lasparedes y se coloco bloques de goma espuma al-rededor del set up. Ademas, se fijo lo mas posi-ble las barras de hierro para evitar oscilacionestransversales, que no son contempladas por lateorıa.

2.1. Respuesta en frecuencia del sis-tema microfono-parlante

Para poder analizar los datos obtenidos, secaracterizo el sistema microfono-parlante en au-sencia del cristal. Se comenzo por la respuestaen frecuencia, por lo que se colocaron microfonoy parlante enfrentados sobre la mesa y a 30 cmde distancia (ver figura 3), distancia similar a laque se utilizo en experimentos con el cristal.

Figura 3: Esquema del armado experimen-tal para la caracterizacion de la respuestadel sistema microfono-parlante y el entorno.

Se alimento el microfono con una senal sinu-soidal y de amplitud constante, y se realizo unbarrido de frecuencia entre 2 kHz y 12 kHz. En-tre cada salto de 50Hz , se espero un periodode 10ms y se registro el voltaje de salida delmicrofono usando un tiempo de integracion de10 ms en el Lock-In.

La respuesta en frecuencia obtenida se ve enla figura 4.

Figura 4: Respuesta en frecuencia para sis-tema microfono-parlante a 30 cm de distan-cia.

Se puede ver que la respuesta del sistemano es homogenea. Existen gamas de frequen-cia con sensitividad alta (por ejemplo de 7.8a 9.5 kHz) mientras que en otras gamas la sensi-tividad es mucho mas baja (por ejemplo alrede-dor de 5 kHz). Al hacer un barrido de frecuen-cias a traves del cristal, van a participar simulta-neamente la dependencia del sistema microfono-parlante y los indices de transimision del cristal,por lo que el grafico obtenido va a ser la multi-plicacion entre ambos. Para obtener solamentelos coeficientes de transmision del cristal paracada frecuencia, se puede normalizar los resul-tados dividiendo cada voltaje por el valor obte-nido en ausencia de cristal. Es importante notarque en las zonas de baja respuesta del sistemamicrofono-parlante el error relativo es significa-tivo, por lo que podria llevar a errores grandesal normalizar. Las regiones donde el sistema mi-

3

Laboratorio 5 • 2015 • Armado Experimental

crofono parlante no tiene respuesta (y su sensi-tividad es baja) no pueden tomarse en cuenta ala hora de medir ya que no puede establecersecon seguridad si existe un nodo o solamente larespuesta es baja.

2.2. Dependencia angular de la emi-sion del parlante

A continuacion se estudio la distribucion an-gular del frente de onda emitido por el parlan-te. Para esto se lo mantuvo fijo sobre la mesa,y se movio el microfono a lo largo de un semi-circulo, manteniendolo siempre a una distanciaconstante y enfrentado al parlante (figura 5). Se

Figura 5: Esquema del armado experimen-tal para medir la dependencia angular deemision del parlante

midio el voltaje de salida del microfono en fun-cion del angulo, para tres valores de frecuencia:f = 2 kHz, f = 6 kHz y f = 12 kHz. El resultadoes mostrado en la figura 6. La primera observa-cion es que la dependencia angular difiere paracada frecuencia, y no solamente por una cons-tante de proporcionalidad. Esto implica que laforma de la respuesta en frecuencia del sistemamicrofono-parlante que se obtuvo previamentesolo sirve como comparacion para experimentosfuturos donde el microfono y el parlante estenenfrentados. Luego se nota que aunque la depen-dencia angular sea aproximadamente simetrica,los maximos estan un poco corridos, particular-mente para 2 kHz y 12 kHz. Esto puede debersea incertezas en la posicion y orientacion del mi-crofono, siendo esta ultima particularmente di-

Figura 6: Dependencia angular de la emi-sion del parlante

ficil de estimar. Otras explicaciones para el co-rrimiento de los maximos, y mas en particularpara la leve asimetria, son los desperfectos delparlante o nas reflexiones en las paredes (puesuna pared estaba mas cerca que la otra).

Para comprobar los efectos de este ultimofenomeno, se hizo la misma medicion con elmicrofono y el parlante mas cerca de la pared,alrededor de 40 cm, y se obtuvo una dependenciaangular mas asimetrica comparado a la medidapara aproximadamente 2 m (ver figura 7).

Puede verse como la cercania a la pareddefinitivamente afecta las mediciones, aunqueesto no descarta defectos del parlante quecausen asimetrias en el frente de onda.

2.3. Medicion del bandgap del cristal

Para medir la transmision en la direccion X, secolocaron microfono y parlante enfrentados, encaras opuestas del cristal (ver figura 8). Ademas,se cubrio el resto del cristal con goma-espumapara disminuir reflexiones en los margenes, quetambien presentan cambios de impedancia. Serealizo un barrido de frecuencias, y la respuestadel sistema se ve en la figura 9.

4

Laboratorio 5 • 2015 • Armado Experimental

Figura 7: Dependencia angular a 40 cm ya 2 m de la pared, para una frecuencia def = 6 kHz.

Figura 8: Esquema del armado experimen-tal para medir la banda prohibida del cristalen la direccion X.

Figura 9: Respuesta en frecuencia del sis-tema con cristal en direccion X, comparadocon la respuesta del sistema sin cristal.

La respuesta en frecuencia normalizada gra-cias a la respuesta del sistema microfono-parlante se ve en la figura 10.

Figura 10: Respuesta en frecuencia nor-malizada para la onda a traves del cristal.Los rangos de frecuencia marcados corres-ponden a zonas de baja respuesta del siste-ma microfono-parlante y consecuentementela precision del espectro normalizado es ba-ja.

Hasta aproximadamente 6.8 kHz, la respuestadel cristal es casi identica a la correspondiente ala medicion sin cristal (excepto que la intensidades un poco mas baja). De 6.8 kHz a 9.4 kHz latransmision del cristal es significantemente masbaja que lo medido sin cristal, por lo que se es-tablece este rango de frecuencias como el bandgap. A frequencias mas altas se puede ver unpico en el que la amplitud es mayor que la delsistema sin cristal. No hay en nuestro modeloteorico una explicacion para esto, pero se po-dria atribuir al cristal funcionando como cajade resonancia, en parte porque el cristal es fi-nito y hay efectos de bode a tener en cuenta.Si se compara el band gap experimental con elresultado de la simulacion numerica (figura 2),se nota que en la direccion X se esperarıa unband gap mas amplio (aproximadamente de 4 a8.5 kHz). El band gap medido se parece mas alband gap en la direccion M. Esto podria expli-carse con que los ~k que conectaban microfono y

5

Laboratorio 5 • 2015 • Armado Experimental

parlante no estaban unicamente en la direccionX, sino que habia otros “rayos”que se propaga-ban en otras direcciones, y llegaban al microfonoposiblemente rebotando en los bordes del cristal.

Para comprobar la existencia de estos ~k relfe-jados en la direccion M del cristal, se giraron elmicrofono y el parlante unos 45 ◦ en sus respec-tivos lugares (ver figura 11).

Figura 11: Armado experimental para me-dir ~k reflejados .

El resultado del barrido de frecuencia se ve enfigura 12.

Figura 12: Respuesta en frecuencia del sis-tema con el microfono y el parlante rotados,comparado con el caso microfono y el par-lante enfrentados.

Aunque se ve cierta disminuicion de la inten-sidad, es menor que la atenuacion del frente deondas a 45 ◦ en ausencia de cristal (6). Esto in-dica que hay algun efecto de reflexion dentro del

cristal, que desvia los vectores de propagacion ypermite que lleguen “rayos”que no estaban ini-cialmente direccionados hacia el microfono. Seconcluye entonces que en los experimentos conel cristal nunca se mide solamente una direccionde ~k, sino una superposicion de direcciones.

2.4. Cavidades en el cristal

Se introdujeron defectos en el cristal, remo-viendo tubos en el centro de la disposicion. Conel fin de ver si cambiaba la respuesta en frecuen-cia, se realizo primero el barrido con el microfonoy el parlante en los extremos del cristal, como enel experimento anterior. Esto se repitio con doscavidades diferentes, una de 4X4 tubos, y otrade 4X2, que se pueden ver en la figura 13.

Figura 13: Armado experimental paratransmision a traves de dos cavidades di-ferentes.

Los resultados se ven la figura 14.

6

Laboratorio 5 • 2015 • Armado Experimental

Figura 14: Resultado para la transmisiondel cristal con defectos.

Se nota que la introduccion de defectos gene-ra, ademas de un aumento de la amplitud engeneral, varios picos alrededor del band gap, ycierta respuesta adentro. La respuesta de ambosdefectos es bastante similar, lo que es plausibleya que la dimension del defecto en la direccionX es la misma para ambos (4 tubos). El anchode cada defecto deberia afectar solamente los ~ken otras direcciones, que sabemos que estan pre-sentes pero en menor cantidad.

Luego se introdujo el microfono dentro de lacavidad, apuntando todavia hacia al parlante(como se ve en la figura 15) y se realizo otrobarrido para ver si alguna frecuencia resonabaen la cavidad.

Figura 15: Armado experimental para re-sonancia en dos cavidades diferentes.

Los resultados se pueden ver en la figura 16.

Figura 16: Resultado para las dos defectosen el caso del microfono dentro del cristalen direccion (100).

A diferencia del caso anterior, las medicionesdentro de los defectos son considerablemente di-ferentes entre si: La cavidad 4X4 genera con-sistentemente una mayor amplitud de respuestaque la cavidad 4X2, particularmente dentro delband gap.

Esto se explica por las diferencias entre los de-fectos, que sı influyen al medir dentro de la ca-vidad. Para el defecto de 4x4, las paredes estanmas lejos en ambas direcciones (ademas de sersimetrico) por lo que los aportes de ondas refleja-das que puedan interferir con las mediciones sonmenores. La amplitud mayor registrada puedeexplicarse por esta diferencia.

2.5. Guıas de ondas

Se estudiaron los efectos de las guıas de ondasen la transmision. Para construir una guıa de on-das se sacaron tubos de forma tal que se abrioun “camino“ para las ondas. Se compararon losespectros de transmision con y sin guıa de ondasdejando al microfono y al parlante fijos. Se exa-minaron dos guıas de ondas diferentes (como seve en la figura 17). Se midio la transmision delcristal sin y con guıa de ondas, dejando la posi-cion del microfono y del parlante inalterada. Elresultado para las dos guıas de ondas se ve enlas figuras 18 y 19.

7

Laboratorio 5 • 2015 • Conclusion

Figura 17: Las dos diferentes guıas de on-das que se examinaron.

Figura 18: Comparacion de la respuestaen frecuencia con y sin guıa de ondas parala guıa de ondas tipo a.

Se puede ver como ambas guıas aumentan sig-nificantemente la transmision, en particular pa-ra el band gap. Esto era esperable pues las guıaspermiten que parte de la onda se transmita pu-ramente por el aire (que tiene menor impedanciay no tiene frecuencias prohibidas) rebotando enlos bordes del cristal. Para la guıa a), la geo-metrıa resulta en un rebote con poca perdida deenergıa, casi como un espejo, por lo que la res-puesta en frecuencia es casi igual a la del sistemmicrofono-parlante en ausencia de cristal. Parala guıa b) por otra parte, la respuesta es bas-tante distinta, obteniendo un pico pronunciadopara frecuencias entre 8 y 9 kHz. Aparece un no-do para una frecuencia cercana a los 6 kHz. Elporque exacto de este tipo de respuesta no puede

Figura 19: Comparacion de la respuestaen frecuencia con y sin guıa de ondas parala guıa de ondas tipo b.

explicarse aunque la superposicion de distintosvectores de onda y los efectos de borde contri-buyen a que sea distinto a lo observado anterior-mente. Aun ası, la transmision es mayor que singuıa de ondas.

3. Conclusion

En este trabajo se estudio la propagacion deondas de sonido a traves de cristales sonicos. Pri-mero se caracterizaron el microfono y parlanteusados para generar y medir las ondas. Luegose midio la respuesta en frecuencia con el cristalen el medio. Se encontro un band gap que, aun-que no coincidıa con el predicho por el modelo,era coherente si se contemplaba la existencia derebotes e imperfecciones del sistema, que dificul-taban la posibilidad de medir la propagacion deondas en una unica direccion. Ademas, se midiola transmision de la amplitud al introducir de-fectos en el cristal. Para la transmision a travesdel cristal, no se encontraron diferencias entreambos defectos pero sı con respecto a la me-dicion sin defecto alguno. Al medir dentro de lacavidad del cristal, por otro lado, se encontrarondiferencias entre los dos defectos y estas fueronexplicables por la geometrıa del sistema. Otroaspecto estudiado fueron las guıas de onda, que

8

Laboratorio 5 • 2015 • REFERENCIAS

muestran como un camino”de aire relativamenteangosto permite pasar a una gran componentede la onda de sonido, y alterar completamentela respuesta en frecuencia del cristal. En parti-cular, para el caso de un camino con entra per-pendicular y gira a 90 ◦ hacia la izquierda, se dauna reflexion similar a la de un espejo a 45 ◦ porlo que la respuesta en frecuencia es casi igual ala del sistema sin cristal.

4. Referencias

[1] Alejandro Giacomotti. Practica deLaboratorio 5. Cristales Sonicos 2Dhttp://users.df.uba.ar/bragas/Labo51er2011/Practica%20de%20Cristales%20Sonicos.pdf

9