CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL … · INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades:

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”

EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II

Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

186 [email protected], [email protected], [email protected].

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL ANÁLISIS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES.

Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada. El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable

ƒ. Si ƒ’( c ) existe, entonces la gráfica de ƒ tiene una recta tangente l con pendiente ƒ’( c ) en el punto P ( c , ƒ( c ) ).

Para describir el tipo de concavidad se usa la siguiente terminología. Definición . Sea ƒ una función que es derivable en un número c.

a) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia arriba (∪) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por encima de la recta tangente en P.

b) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia abajo (∩) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por debajo de la recta tangente en P.

Teorema: (Prueba de concavidad) Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, tal que ƒ’’(c) existe. a) Si ƒ’’ (c) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en P (c, ƒ(c)) b) Si ƒ’’(c) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en P (c, ƒ (c))





Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa.

En algunos casos se utiliza los siguientes términos: Función convexa y función

cóncava. Convexa significa que las rectas tangentes a la función, están por encima de ella. Cóncava significa que las rectas tangentes a la función, están por debajo de ella

Si la segunda derivada ƒ’’ (x) cambia de signo cuando x aumenta y pasa por un

número c, entonces la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo, o bien de ser hacia abajo a ser hacia arriba. El punto (c, ƒ(c)) se llama punto de inflexión de acuerdo con la siguiente definición.

Definición Un punto P (c, ƒ(c)) en la gráfica de una función ƒ es un punto de inflexión si ƒ’’ existe en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c y ƒ’’ cambia de signo en c.

Punto de inflexión es aquel donde la función cambia de concavidad, es decir, la recta tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte por encima y otra por debajo.

En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión.





Como se puede suponer, los puntos en los que ƒ’’(x) = 0 o donde ƒ’’(x) no existe son llamados posibles puntos de inflexión. Llamamos posible punto de inflexión debido a que puede fallar en ser un punto de inflexión, sin embargo, al investigar puntos de inflexión comenzamos por identificar aquellos en los que ƒ’’(x) = 0 y en los que ƒ’’(x) no existe.

Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo.

Criterio de la segunda derivada para máximos locales y mínimos locales. Teorema: Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, y

tal que ƒ’(c) = 0. a) Si ƒ’’(c) < 0, entonces ƒ tiene un máximo local en c. b) Si ƒ’’(c) > 0, entonces ƒ tiene un mínimo local en c. Nota: El criterio de la segunda derivada no se puede aplicar cuando ƒ’’(c ) = 0 . En tales casos se debe usar el criterio de la Primera Derivada.

Guía práctica para aplicar el criterio de la segunda derivada en el análisis y gráficas de funciones.

a.‐ Dada la función ƒ, determinamos el dominio, calculamos la primera derivada la

igualamos a cero y buscamos los valores críticos.

b.‐ Determinamos la segunda derivada, luego sustituimos los valores críticos

encontrados en la segunda derivada ƒ’’(c), y aplicamos el teorema respectivo.

Si ƒ’’(c) > 0, entonces en c, existe un mínimo.

Si ƒ’’(c) < 0, entonces en c, existe máximo.

c.‐ Calculamos los posibles puntos de inflexión (P.P.I.), (donde ƒ’’(x) = 0 y donde

ƒ’’(x) no existe).

d.‐ Analizamos la segunda derivada, en los intervalos formados por los posibles

puntos de inflexión, y se aplica el criterio para la concavidad.

ƒ’’(x) > 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba.

ƒ’’(x) < 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo.

y si ƒ’’(k) cambia de signo, entonces k es un punto de inflexión.





e.‐ Para graficar, sustituimos los valores críticos en la función ƒ, para localizar en el

plano donde está el máximo y donde está el mínimo, luego buscamos los cortes con los

ejes y el resto de la gráfica la completamos con el análisis.

Analizar y graficar las siguientes funciones utilizando el criterio de la segunda derivada.

3 2

2

12

( ) :( ) 6 6 ( ) 6 (1 )

: '( ) 0 6 (1 ) 0 0 ( . .); 1( . .)( ) 12 6 ( ) 6( 2 1); : ( ) 0 6( 2 1) 0 ( . . .)

. . ( ) (

1) ( ) 2

0) 6 0 0 (

3 Domf xf x x x f x x xsi f x x x x v c x v cf x x f x x si f x x x p p isust v c en f x f en

f

x mín

x x x ⇒

′ ′= − + ⇒ = −= ⇒ − = ⇒ = =

′′ ′′ ′′= − + ⇒ = − + = ⇒ − + = ⇒ =′′ ′

= −

′⇒ = > ⇒ = ∃

+

)(1) 6 0 1 ( )

. .(0) 0 (0,0); (1) 0 (1,1

( ))

mín máx

imo relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f p

f x′′ = < ⇒ = ∃

= ⇒ = ⇒

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, + P. inflexión , ∞ ‐ Cortes con los ejes: 0 ; 0; 0 0





2

13

23

2

13

3 ( ) :( ) 3 4 1 ( ) (3 1)( 1): '( ) 0 (3 1)( 1) 0 1 ( . .); ( . .)( ) 6 4 ( ) 2(3 2); : ( ) 0 2(3 2) 0 ( . . .)

. . ( ) ( ) 2<

) (

0

2 ) 2 1 Domf xf x x x f x x xsi f x x x x v c x v cf x x f x x si f x x x p p isust v c en f x f e

x x

n

f x x ⇒

′ ′= − + ⇒ = − −= ⇒ − − = ⇒ = =

′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ =′′ ′′⇒ = −

= − +

⇒

+

13

31 311 13 27 3 27

( )(1) 2> 0 1 ( )

. .( ) ( , ); (1) 0 (1 1)

( ),máx mín

x máximo relf en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f p

f x

= ∃′′ = ⇒ = ∃

= ⇒ = ⇒

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, ‐ P. inflexión , ∞ + Cortes con los ejes: 0 1

3 2

2

2 2 2 313

2

3

4 ( ) :( ) 4 4 ( ) 4 (1 ): '( ) 0 4 (1 ) 0 0 ( . .); 1( . .)

( ) 4 12 ( ) 4(1 3 ); : ( ) 0 4(

3)

1 3 ) 0 ( . . .)

. . ( ) (0) 4 > 0

( ) 12 2 Domf xf x x x f x x xsi f x x x x v c x v c

f x x f x x si f x x x p p i

sust v c en f x f

f x x x ⇒

′ ′= − ⇒ = −

= ⇒ − = ⇒ = = ±

′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ =± = ±

′′ ′′⇒ = ⇒

= + −

0 ( )( 1) 8< 0 1 ( )(1) 8< 0 1 ( )

. .( 1) 13 ( 1,13); (0) 12 (0,12); (1) 13 (1,13

( ))máx mín máx

en x mínimo relf en x máximo relf en x máximo relPara localizar los extre fmos relativos sust v c enf

xp f p f p

= ∃′′ − = − ⇒ =− ∃′′ = − ⇒ = ∃

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒





INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.

∞, √ ‐

√ P. inflexión

√ ,

√ +

√ P. inflexión

√ , ∞ ‐

Cortes con los ejes:

2 4 2 2

21 2

0 0 =12 2 . 12 2 0

2,61; 4 ,61 y = x = 4,61 2, 14. 2,61, .

y x x cambio de v y x y y

x x x xEl valor x no se toma en cuenta ya que no existe la raiz cuadrada de ese número

= ⇒ + − ⇒ ⇒ = ⇒ + − =

= − = ⇒ ⇒ ⇒ = ±= −





4

5

2 2 2

2 2

3 2 2

63

3

2 2

( ) :( ) 5 15 ( ) 5 ( 3)

: '( ) 0 5 ( 3) 0 0 ( . .); 3( . .)( ) 20 30 ( ) 10 (2 3); : ( ) 0 10 (2 3

4) (

) 0

0 ( . . .); ( . . .)

.

) 5

.

Domf xf x x x f x x x

si f x x x x v c x v cf x x x f x x x si f x x x

x p p i x

f x x x

p p i x

sust v c en f

⇒

′ ′= − ⇒ = −

= ⇒ − = ⇒ = = ±

′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒

= =

=

⇒ =

−

±

′′( ) (0) 0 0

( 3) 30 3< 0 3 ( )

( 3) 30 3> 0 3 ( )(1) 8< 0 1 ( )

. .

( 3 ) 6 3 ( 3 ,6 3); ( 3 )

( )

máx

x f en x extremo rel

f en x máximo rel

f en x mínimo relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en

f p f

f x

′′⇒ = ⇒ = ∃

′′ − = − ⇒ =− ∃

′′ = ⇒ = ∃′′ = − ⇒ = ∃

− = ⇒ − = 6 3 ( 3 , 6 3)mínp− ⇒ −


∞, √ ‐

√ √ P. inflexión

√ , 0 +

0 0 P. inflexión

0, √ ‐


√ , ∞ +

Cortes con los ejes. 0 0; 0 √5





3 2 2

2

2

23

4 3 ( ):( ) 12 12 ( ) 12 ( 1): '( ) 0 12 ( 1) 0 0 ( . .); 1( . .

5) ( ) 3 4

)( ) 36 24 ( ) 12 (3 2); : ( ) 0 12 (3 2) 00 ( . . .); ( . . .)

. . (

6

)

Domf xf x x x f x x xsi f x x x x vc x vcf x x x

f x x x

f x x x si f x x xx p pi x p pisust vc en f x

⇒

′ ′= − ⇒ = −

= ⇒ − = ⇒ = =

′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒= =

′′

= − +

⇒ (0) 0 0(1) 5 0 1 ( )

. .(1) 5 (1

( ),5)mín

f enx extremo relf enx mínimo relPara localizar los extremos relativos sus f xt vc enf p

′′ = ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃

= ⇒

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.∞, 0 +

0 0 P. inflexión

0 , ‐

5.41 P. inflexión

, ∞ +

Cortes con los ejes. 0 0; 0 √5

Cortes con los ejes. 0 6





2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2 22 2

2

2 2

2 4

( ) :

( 1) (2 ) 1 2 1( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1)

1: '( ) 0 0 1( . .)( 1)

( 2 )( 1) ( 1) 2(1 )( 2 )( 1) (1 )2( 1)(2 )( ) ( )( 1)

6) ( )1

Domf x

x x x x x xf x f x f xx x x

xsi f x x v cx

x x x xx x x

x

x x

f

f

xx

x f xx

⇒

+ − + − −′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =+ + +

−= ⇒ = ⇒ = ±

+

− + + + −− + − − +′′ ′′= ⇒ =+

=+

2 4

2 2

2 3 2 3

2

2 3

12

( 1)

( 2 ) (3 ) (2 ) ( 3)( ) ( )

( 1) ( 1)

(2 ) ( 3): ( ) 0 0 0 ( . . .); 3 ( . . .)

( 1)

. . ( ) (0) 0 0( 1) 0 1 (

x

x x x xf x f x

x x

x xsi f x x p p i x p p i

x

sust v c en f x f en x extremo relf en x mínimo

⎡ ⎤⎣ ⎦+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦′′ ′′= ⇒ =+ +

⎡ ⎤−⎣ ⎦′′ = ⇒ = ⇒ = = ±+

′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃′′ − = > ⇒ = − ∃

12

1 1 1 12 2 2 2

)(1) < 0 1 ( )

. .( 1 ) ( 1, ); (1 ) (1,

()

)

mín máx

relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f

f xp

′′ = − ⇒ = ∃

− = − ⇒ − − = ⇒


∞, √3 ‐

√3 0.43 P. inflexión

√3 , 0 + 0 0 P. inflexión

0, √3 ‐

√3 0.43 P. inflexión

√3 , ∞ +





( ) ( )4 15 5

2 4 2 45 5

2 2 245

2 2 952 4

5 2

5

2

( ) :2 2( ) : '( ) 0 0 0( . .); 1( . .) ( )

5 ( 1) 5 ( 1)

( 1) ( )( 1) (2 )2 2(3 5)( ) ( )5 25 ( 1)( 1)

2(3 5): )

( 1

(

7) )

0

Domf xx xf x si f x x v c x v c f x

x x

x x x x xf x f xxx

xsi f

x

x

f x

−

⇒

′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ± ∃− −

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ +⎛ ⎞′′ ′′= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ −−⎢ ⎥

⎣ ⎦+′′ = ⇒

=

−

−

( )2 950 1( . . .) ( )

25 ( 1)

. . ( ) (0) 0 0 ( ). .

(0) 1 (( )

0, 1,)mín

x p p i f xx

sust v c en f x f en x mínimo relPara localizar los extremos relativo fs sust v c enf p

x

′′= ⇒ = ± ∃−

′′ ′′⇒ > ⇒ = ⇒∃

= − ⇒ −

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.∞, 1 ‐

1 0 P. inflexión 1 , 1 +

1 0 P. inflexión1, ∞ ‐





2 4 2 2 2 2 32

3 2 3

3

4

5 ( ) :

( ) 30 20 ( ) 10 (3 2 ); : '( ) 0 10 (3 2 ) 0 0( . .); ( . .)

( ) 60 80 ; : ( ) 0 20 (3 4 ) 0 0 ( . . .); ( . . .)

. . (

8) ( ) 10

( )

4

) 0 0

Domf x

f x x x f x x x si f x x x x v c x v c

f x x x si f x x x x p p i x p p i

sust v c en f x f en

f x x x ⇒

′ ′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ = = ±

′′ ′′= − = ⇒ − = ⇒ = = ±

′′ ′′⇒ =

=

⇒

−

3 32 2

3 32 2

3 3 3 312 2 2 2 2

0

( ) 30 6 0 ( )

( ) 30 6< 0 ( ). .

( ) 3 6 ( , 3 6); ( ) 3 6 ( ,3 6)

( )

mín máx

x extremo rel

f en x mínimorel

f en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust fv c en

f p f p

x

= ∃

′′ − = > ⇒ =− ∃

′′ = − ⇒ = ∃

− = − = − ⇒ − − = ⇒


∞, √ +


√ , 0 ‐

0 0 P. inflexión

0, √ +


√ , ∞ ‐

Cortes con los ejes. 0 0; 0 √





3 2

2 2 3 2

2 125

2 2

( ) :( ) 15 ( 4) 5 (2)( 4) ( ) 5 ( 4)(5 12): '( ) 0 5 ( 4)(5 12) 0 0( . .); ( . .); 4( . .)

( ) 20 (5 24 24); : ( ) 0 20

9

(5 24 2

)

4)

( ) 5 ( 4)

0 0 ( . . .

Domf xf x x x x x f x x x xsi f x x x x x v c

f x x x

x v c x v c

f x x x x si f x x x x x p p i

⇒

′ ′= − + − ⇒ = − −

= ⇒ − − = ⇒ = = =

′′ ′′= − + = ⇒ − + = ⇒

−

=

=

2 6 2 612 125 5 5 5

115212 125 5 5

);

( . . .); ( . . .). . ( ) (0) 0 0

( ) < 0 ( )(4) 640 0 4 ( )

. .(4 )

( )

x p p i x p p isust v c en f x f en x extremo relf en x máximo relf en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf

f x

−

= − = +′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃

′′ = ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃

12 125 50 (4,0); ( ) 176.9 ( ,176.9)mín máxp f p= =⇒ ≈ ⇒

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 0 ‐

0 0 P. inflexión

0, √ +

√ 95.32 P. inflexión

√ ,

√ ‐


√ , ∞ +





4 2 4

5 3

2

2 2

3 2

2

( ) :( ) 5 15 4 : '( ) 0 5 15 4 0

5 15 4 0 0, 296; 2.704 0.544; 1.644( . .)( ) 20 30 ( )

10) ( ) 5 4

10 (2 3)

: ( ) 0 10 (2 3) 0

Domf xf x x x si f x x x cambio deVariabley x y y y y x x v cf x x

f x

x f x x x

si f x x x

x x x ⇒

′ = − + ⇒ = ⇒ − + = ⇒

= ⇒ − + = ⇒ = = ⇒ = ± = ±

′′ ′′= − ⇒ = −

′′ =

= −

−

+

⇒ = 632 20( . . .); ( . . .)

. . ( ) ( 0.544) 13.1 0 0.544 ( )(0.544) 13.1< 0 0.544 ( )( 1,644) 39.6< 0 1.644 ( )(1, 644) 39.6 0 1.64

x p p i x p p isust v c en f x f en x mínimo relf en x máximo relf en x máximo relf en x

⇒ = = ± = ±

′′ ′′⇒ − = > ⇒ =− ∃′′ = − ⇒ = ∃′′ − = − ⇒ =− ∃′′ = > ⇒ = 4 ( )

. .( 0.54) 1.42 ( 0.54, 1.42); ( 0.54) 1.42 (0.54,1.42)( 1, 644) 3.63 ( 1.64,3.63); (1, 644) 3.63 (1.

(

64, 3.63)

)

mín máx

máx mín

mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f pf p

f

p

x

f

∃

− = − =⇒ − − = =⇒− = ⇒ − = − ⇒ −


∞, √ ‐


√ , 0 +

0 0 P. inflexión

0, √ ‐


√ , ∞ +

Cortes con los ejes: 0; 2; 2; 1; 1; 0

0 0





3

2 4 3 3 2 3

2 3

2

4

57

2

( ) :( ) 3( 2) ( 1) 4( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) (7 5): '( ) 0 ( 2) ( 1) (7 5) 0 2( . .); ( . .); 1( . .)

( ) ( 2)( 1) (7 10 1); :

11) ( ) ( 2)

( )

( 1)

0 ( 2)(

Domf xf x x x x x f x x x xsi f x x x x x v c x v c x v c

f x x x x x si f

f x

x

x x

x x

⇒

′ ′= − + + − + ⇒ = − + −

= ⇒ − + − = ⇒ = = = −

′′ ′′= − + − + ⇒

+

−

= −

= 2 2

3 2 3 25 57 7 7 7

57

1) (7 10 1) 0

2( . . .); ( . . .); ( . . .); 1( . . .). . ( ) ( 1) 0 1

(2) 0 2( ) 58.29 0 4 ( )

x x

x p p i x p p i x p p i x p p isust v c en f x f en x extremo relf en x extremo relf en x mínimo relPara localizar los extrem

+ − + =

= = − = + = −′′ ′′⇒ − = ⇒ =− ∃

′′ = ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃

5 57 7

. .( ) 18.35 ( , 18.35)

( )

mín

os relativos sust v c enf p

f x= − =⇒ −

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 1 ‐

1 0 P. inflexión

1, √ ‐


√ ,

√ +


√ ,2 ‐

2 0 P. inflexión 2, ∞ +





2 2 3

2

35

2

2

2

2

3 ( ) :( ) 30 ( 1) 10 [2( 1)] ( ) 10 ( 1)[ 3( 1) 2 ]( ) 10 ( 1)(5 3); '( ) 0 10 ( 1)(5 3) 0

0 ( . .); 1( . .); ( . .)

12) ( ) 10 (

( ) 20 (10 12

1)

3)

Domf xf x x x x x f x x x x xf x x x x si f x x x xx v c x v c x v c

f x x x x f

f x x x ⇒

′ ′= − + − ⇒ = − − +

′ = − −

= −

= ⇒ − − == = =

′′ ′′= − + ⇒ 2

6 63 35 10 5 10

3 36 35 5 5

( ) 0 20 (10 12 3) 0

( . . .); ( . . .); 0( . . .). . ( ) (0) 0

( ) 0 ; (1) 20 0 1

x x x x

x p p i x p p i x p p isust v c en f x f extremo relf en x máximo rel f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sus

−

= ⇒ − + =

= − = + =′′ ′′⇒ = ⇒ ∃

′′ ′′= < ⇒ = ∃ = > ⇒ = ∃

3 35 5

. .( ) 0.345 ( ,0.345);

( )(1) 0 (1,0)máx mín

t v c enf p f p

f x= ⇒ = ⇒


∞, 0 ‐

0 0 P. inflexión

0, √ +


√ ,

√ ‐


√ , ∞ +

Cortes con los ejes: 0; 0; 1; 0 0





3 2

2

2

2

2 6

2

3

( ) :( ) 8 4 ( ) 4 (2 )

: '( ) 0 4 (2 ) 0 0( . .); 2( . .)

( ) 4(2 3 ) ( ) 0 4(2 3 )0 ( . . .). . ( ) (0) 8 0 0

13

(

) ( ) (4

2) 16 0

) Domf xf x x x f x x x

si f x x x x vc x vc

f x x f x x x p pisust v c en f x f x mínimo r

x x

e

f

l

x

f

⇒

′ ′= − ⇒ = −

= ⇒ − = ⇒ = =±

′′ ′′= − ⇒ = ⇒= − ⇒ =±′′ ′′⇒ = >

= −

⇒ = ∃

′′ − = − < 2 ; ( 2) 16 0 2. .

( 2) 4 ( 2,4); ( 2) 4 ( 2,4); (0) 0 (0,0)

( )

máx máx mín

en x máximo rel f en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en

f p f p f p

f x′′⇒ = − ∃ = − < ⇒ = ∃

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN

∞, √ ‐

√ P. inflexión

√ , √ +

√ P. inflexión

√ , ∞ ‐

Cortes con los ejes: 0 2 ; 2; 0





( )

( )

12

12

2 2 2 2

2

22 2

2

23 2

22

2 ( ) :[ 3,3]2'( ) (9 ) ( ) '( ) (9 ) 9

2 (9 )

9 2'( ) (9 ) 9 2 '( )

(9 )

9 2: '( ) 0 0 (

14) ( ) (9 )

. .); 3 '( ) ( . .)(9 )

(

Domf xxf x x x f x x x xx

xf x x x f x

x

xsi f x x v c x f x v c

x

f x

x

x x

f

−

−

⇒ −

− ⎡ ⎤= − + ⇒ = − − − ⇒⎣ ⎦−

−⎡ ⎤= − − ⇒ =⎣ ⎦ −

−= ⇒ = ⇒ = ± = ±

=

−

′′

−

∃∴

( ) ( )2 23 6

22 3 2 3

3 2 3 22 2

3 22

2 27 2 27) ( ) 0 0 , ( )

(9 ) (9 )3 ( ) ; 0( . . .)

. . ( ) ( ) 4 0

( ) 4 0 4

x x x xf x x perono están en el Domf x

x xx f x x p p i

sust v c en f x f en x máximo rel

f x mínimo relPara localizar los extremos relati

− −′′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±

− −′′= ± ∃ =

′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃

′′ − = > ⇒ = ∃

3 2 3 2 3 2 3 29 9 9 92 2 2 2 2 2 2 2

. .

( ) ( ,

( )

); ( ) ( , )

mín máx

vos sust v c en f x

f p f p− −− = ⇒ − = ⇒


3 0 3, 0 +

0 0 P. inflexión 0, 3 ‐

x 3 0





3 3

3 3 2 3 3 2

2 2 2 2 2 2

3 2 3 22 27 7 7 7

( ) :( ) ( 1) (2 ) 3 ( 1) (2 ) 3 ( 1) (2 )( ) ( 1) ( 2) (7 4 2) : '( ) 0 ( 1) ( 2) (7 4 2) 0

2( . .); ( . .); 1( . .); ( . .

15) ( ) ( 1

)

(

) (2 )

)

Domf xf x x x x x x x x xf x x x x x s

f x x x x

i f x x x x x

x v c x v c x v c x v c

f x

⇒

′ = + − + + − + + −

′ = − + − − − = ⇒ + − − − =

= = − = − = +

′′

+

=

= −

3 2 3 26( 1)(2 )(7 8 4 2); : ( ) 0 6( 1)(2 )(7 8 4 2) 02( . . .); 0.6( . . .); 0.33( . . .); 1.4( . . .) 1( . . .)

. . ( ) ( 1) 0 1(2) 0 2

x x x x x si f x x x x x xx p p i x p p i x p p i x p p i x p p isust v c en f x f en x extremo relf en x extremo re

′′+ − − − + = ⇒ + − − − + == = − = = = −

′′ ′′⇒ − = ⇒ =− ∃′′ = ⇒ = ∃

3 2 3 22 27 7 7 7

3 2 3 22 27 7 7 7

3 2 3 2 3 2 3 22 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7

( ) 21,1 0 ( )

( ) 37,3 0 ( ). .

( ) 1.25 ( , 1.25); ( ) 8.21 (

( )

,8.2mín máx

l

f en x mínimo rel

f en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en

f p f p

f x

′′ − = > ⇒ = − ∃

′′ + = − < ⇒ = + ∃

− = − =⇒ − − + = =⇒ + 1)

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 1 +

1 0 P. inflexión 1, 0.6 ‐

0.6 0.67 P. inflexión 0.6, 0.33 +

0.33 3.61 P. inflexión 0.33, 1.4 ‐

1.4 4.18 P. inflexión 1.4, 2 +

2 0 P. inflexión 2, ∞ ‐





1 4 13 3 3

13

4 43 3

3

33

3 4

27

3 2

( ) :

'( ) (8 ) ( 1) '( ) (8 )

32 7 (32 7 ) '(

1

) '( )3 3

(32 7 ): '( ) 0 0 ( . .); 03

4(8 7

6) ( ) (8

)( ) ;

)

:9

Domf x

f x x x x f x x x x

x x xf x x f x

x xsi f x x v c x

xf x si

f x x

x

x ⇒

= − + − ⇒ = − − ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤− −⎡ ⎤= ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−= ⇒ = ⇒ = =⎢ ⎥

⎣ ⎦−′′ ′=

= −

783 2

32 327 7

32 327 7

4(8 7 )( ) 0 0 ( . . .); 0 ( ) ( . . .)9

. . ( ) ( ) 3.87 0 ( ). .

( ) 26(

( ,26))

máx

xf x x p p i x f x p p ix

sust v c en f x f en x máximo relPara localizar los extremos relati f xvos sust v c enf p

−′ ′′= ⇒ = ⇒ = = ∃

′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃

=⇒

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN ∞, 0 0 +

0 P. inflexión

0, 0 +

x P. inflexión

, ∞ 0 ‐





2

2

2 2 3

192 3

2 21

32 5 2 5

2( ) :

18(9 1) ( 1)2 (9 1) 9 1'( ) '( )

(9 1) (9 1)9 1: '( ) 0 0 ( . .)

(9 1)

9(18 3 1) 9(18 3 1)( ) ( ) 0 0 ( . .(

117) (

9 1) (9 1)

)(9 1)

Domf x

xx xx xf x f x

x xxsi f x x v cx

x x x xf x

xf x

x

x

f x p px x

−

−

⇒

+ − −+ +

= ⇒ = ⇒+ +

+= ⇒ = ⇒ =

+

+ − + −′′ ′′= − ⇒ = ⇒− = ⇒ =

−

+

+ +

=

16

1 19 9

10 101 19 3 9 3

.); ( . . .)

. . ( ) ( ) 7.68 0. .

( )

( )

( , )mín

i x p p i

sust v c en f x f x mínimo relPara l focalizar los extremos relativos sust v c en

f p

x

− −

− −− −

=

′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃

= ⇒


∞, ‐

0.94 P. inflexión

, +

x 1.05 P. inflexión

, ∞ ‐





233 3

753

32

2

3

3

3

2

( ) :2( 1) 5 7'( ) ( 3) '( )

3 ( 3) 3 ( 3)5 7: '( ) 0 0 ( . .); 3, '( ) ( . .)

3 ( 3)15(3( ( 3)) 3(5 7)

3 ( 3) 15( 3) (5 7

18) ( ) ( 3

( ) ( )

) ( 1)

9 ( 3)

Domf xx xf x x f xx x

xsi f x x v c

f x x

x f x v cx

x xx x xf x f x

x

x

⇒

+ −= + − ⇒ = ⇒

− −

−= ⇒ = ⇒ = = ∃∴

−

− − −− − − −′′ ′′= =

−

= − +

⇒4 43 3

19543

7 75 5

75

) 2(5 19)( )9 ( 3) 9 ( 3)

2(5 19): ( ) 0 0 ( . . .); 3 ( )( . . .)9 ( 3)

. . ( ) ( ) 6.16 0 ( ). . ( )

( )

xf xx x

xsi f x x p p i x f x p p ix

sust v c en f x f en x máximorelPara localizar los extremos relati f xvos sust v c enf

−′′⇒ =− −

−′′ ′′= ⇒ = ⇒ = = ∃−

′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃

753.3 ( ,3.3)máxp=⇒

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN ∞, 3 ‐

3 0 P. inflexión

3,195

+

x195

4.13 P. inflexión

195 ∞

‐

Cortes con los ejes: 0 1 ; 3; 0 2





3

2

23

3 2 3 3

2

3 3

43 3 3

3 3

3 3

( ) : ( 1, )

332 1'( ) '( )

(1 ) 2 (1 )

3: '( ) 0 0 0( . .); 1, '( ) ( . .)2 (1 )

92 (1 ) (1 ) 4 (1 )3 32( ) ( )2 (1 ) 4

119) ( )1

Domf x

xxxf x f x

x x

xsi f x x v c x f x v c

f

x

xx x x x xf x f x

x

x

x⇒ − ∞

−−+= ⇒ = ⇒

+ +

−= ⇒ = ⇒ = = − ∃∴

+

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥ +′′ ′′= − ⇒ = −⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=+

4 3

3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 5 3 5

3

3 5

9 (1 )(1 )

(1 ) 4(1 ) 9 4 5 3 5 43 3( ) ( ) ( )4 (1 ) 4 (1 ) 4 (1 )

3 5 4: ( ) 0 0 0.93( . . .);

4 (1 )

x xx

x x x x x x x xf x f x f x

x x x

x xsi f x x p p i

x

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥′′ ′′ ′′⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⇒ = − ⇒ =+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦′′ ⎢ ⎥= ⇒ = ⇒⎢ ⎥+⎣ ⎦

0( . . .); 1 ( )( . . .)

. . ( ) (0) 0 0 ( )

x p p i x f x p p i

sust v c en f x f en x extremo rel

′′= = − ∃

′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN 1, 0 +

0 1 P. inflexión 0, 0.93 ‐

x 0.93 0.74 P. inflexión 0.93, ∞ +





[ ]

23

2

2 2 2 4 2 43 3 3

3 3

23

2 23 3

3 ( ) : ( 3)

( 3) 2 ( 3) ( 3) 3 2 ( 3)( 1)'( ) '( ) '( ) 3 ( ( 3) ) 3 (

20)

3) ( 3)( 3)( 1) ( 1)'( ) '( ) ( 3) ( 3) ( 3)

: (

(

'

( ) 3) Domf x x x

x x x x x x x xf x f x f xx x x x x x

x x xf x f xx x x x x

i

x

s f

x

x

f x= ⇒ ⇒= +

⎡ ⎤+ + + + + + + +⎣ ⎦= ⇒ = ⇒

+

=+ + +

+ + += ⇒ =

+ + +

3 2 3

3 35 4 5 43 3

( 1)) 0 0 1( . .); 3, 0 '( ) ( . .)( 3)

2 2( ) : ( ) 0 0( 3) ( 3)

3, 0; ( ) ( . . .). . ( ) ( 1) 0.79 0 1 ( )

x x v c x x f x v cx x

f x si f xx x x x

x x f x p p isust v c en f x f en x máximorelPara localizar los extremo

+= ⇒ = ⇒ = − = − = ∃∴

+

′′ ′′= − ⇒ = ⇒− =+ +′′⇒ = − = ∃

′′ ′′⇒ − = − < ⇒ =− ∃. .

( 1) 1.58 ( 1,1.58)( )

máx

s relativos sust v c enf

xp

f− =⇒ −

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN ∞, 3 +

3 0 P. inflexión 3, 0 +

x 0 0 P. inflexión 0, ∞ ‐





2

2

2 2 3

142 3

22

2 5

2

32

3 2

( ) :

( 1)(8 )4 14 12 4 1'( ) '( )

4 1 (4 1)4 1: '( ) 0 0 ( . .)

(4

121

1)

3(4 1) 4 1(8 )4 (4 1) (8 3 1)2( ) ( )(4 1) (4 1)

) ( )4 1

Domf x

x xxxxf x f x

x xxsi f x x v cx

x x xx x xf x f xx x

si

xf xx

−

⇒

−+ −++= ⇒ = ⇒

+ +

+= ⇒ = ⇒ =

+

+ ++ − ⎡ ⎤+ −′′ ′′= ⇒ = −⎢ ⎥

+ ⎢ + ⎥⎣ ⎦

−=

+

241 413 3

16 16 16 162 5

1 14 4

(8 3 1): ( ) 0 0 ( . . .); ( . . .)(4 1)

. . ( ) ( ) 2.86>0 ( )

x xf x x p p i x p p ix

sust v c en f x f en x mínimo rel

−

− −

+ −′′ = ⇒ − = ⇒ = − = −+

′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃


∞, √ ‐


√ ,

√ +


√ , ∞ ‐

Cortes con los ejes: 0 1 ; 0 1





2 2 2 2 2 2

2 4 2 3

2

2 3

2 2

2

3

2

3 2 2

2 ( ) :

8 ( 4) 16 (4 )( 4) 8 ( 12)'( ) '

4(4 )22

( ) ( 4) ( 4)

8 ( 12): '( ) 0 0 2 3( . .); 0( . .)( 4)

(24 96)( 4) 3(8 96 )( 4

) ( )( 4)

) (2 )( )(

Domf x

x x x x x x xf x f xx x

x xsi f x x v c x v cx

x x x x x xx

xx

x

f

f

x⇒

− + − − + −= ⇒ = ⇒

+ +

−= ⇒ = ⇒ = ± =

+

− + − − +′

=+

′ =

−

4 2

2 6 2 4

4 2

2 4

364

364

24( 24 16)( )4) ( 4)

24( 24 16): ( ) 0 0 2 2 2 ( . . .); 2 2 2 ( . . .)( 4)

2 2 2 ( . . .); 2 2 2 ( . . .)

. . ( ) ( 2 3) >0 2 3 ( )

(2 3) >0

x xf xx

x xsi f x x p p i x p p ix

x p p i x p p i

sust v c en f x f en x mínimo rel

f en

− − +′′⇒ =+ +

− − +′′ = ⇒ = ⇒ = − − = −+

= − = +

′′ ′′⇒ − = ⇒ = − ∃

′′ = ⇒-32

1 1 1 18 8 8 8

2 3 ( )(0) <0 0 ( )

. .

( 2 3 ) ( 2 3, ); ( 2 3) (2 3, ); ( 0) 1 (0, )

( )

1mín mín máx

x mínimo relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en

f p f p p

f x

f− − − −

= ∃′′ = ⇒ = ∃

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒


∞, 2√2 2 ‐

2√2 2 0.10 P. inflexión

2√2 2 , 2 2√2 +

2 2√2 0.60 P. inflexión

2 2√2 ,2√2 2 ‐


2√2 2, 2√2 2 +


2√2 2, ∞ ‐





( )3

4

2 4

2

32 2

2 4 41 1

4 3 4

4 2 4 2

1

4

4 2

( ) :

2 2'( ) '( ) '( ) ; '( ) 0 0 0( . .)1 ( ) 1 1

2

23) ( )

( 1) 2 (4 ) 2(3 1)( ) ( )( 1) ( 1)

2(3 1): ( ) 0 0( 1)

x xx

x

x

x

Domf x

x xf x f x f x si f x x vcx x

x x x xf x f xx x

xsi f

f x ar g

x

t

xx

c− −

+

⇒

− −= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =

+ + +

− + + −′′ ′′= ⇒ =+ +

−′′ = ⇒ = ⇒ −+

=

=

2 2

0.759( . . .); 0.759( . . .)

. . ( ) (0) 2 0 0 ( ). (.

(0) (0, ))

máx

p pi x p pi

sust vc en f x f enx máximo relPara localizar los extremos relativos s f xust vc enf pπ π

=

′′ ′′⇒ =− < ⇒ = ∃

= ⇒

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 0.759 ‐

0.759 1.047 P. inflexión 0.759 , 0.759 +

0.759 1.047 P. inflexión 0.759 , ∞ ‐

( )

2 2 4 2 4 2

4 2 3 4 2

4 2 2 4 2 2

4 2

4

2 ( ) :

2 2 2'( ) '( ) '( ) 0 0 0( . .)1 ( 1) 2 2 2 2

2( 2 2) 2 (4 4 ) 2(3 2 2)( ) ( )( 2 2) ( 2 2)

2

24) (

(3 2 2)

) 1

: ( ) 0(

Domf x

x x xf x f x si f x x vcx x x x x

x x x x x x xf x f xx x x x

x xsi f x

f x a g

x

rct x ⇒

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =+ − − + − +

− + + − − −′′ ′′= ⇒ =−− + − +

− −′′ = ⇒−

= −

7 13 32 2

4 4

0 ( . . .)2 2)

. . ( ) (0) 1 0 1 ( ). .

(0) (0,( )

)máx

x p p ix

sust v c en f x f enx mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p

f xπ π

= ⇒ =± +− +

′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃

= ⇒






1.10 0.212 P. inflexión 1.10 , 1.10 +

1.10 0.212 P. inflexión 1.10 , ∞ ‐

( )

2 2 4 3 2

524 3 2

4 3 2

3

2

3 2

4 2

( ) :

2 5 2 5'( ) '( )1 ( 5 6) 10 37 60 37

2 5'( ) 0 0 ( . .)10 37 60 37

2( 10 37 60 37) (2 5)(4 30 74 60)( )

25) ( ) 5 6

( 10 37

Domf x

x xf x f xx x x x x x

xs

f x arctg x x

i f x x v cx x x x

x x x x x x x xf xx x x

⇒

− −= ⇒ =

+ − + − + − +−

= ⇒ = ⇒ =− + − +

− + − + + − − + −′′ =− +

= − +

2

4 3 2

4 3 2 2

4 3 2

4 3 2 2

5 32 52 17 2

60 37)2(3 30 112 185 113)( )

( 10 37 60 37)2(3 30 112 185 113): ( ) 0 0 1.67( . . .); 3.32( . . .)

( 10 37 60 37). . ( ) ( ) 0 (

xx x x xf xx x x x

x x x xsi f x x p p i x p p ix x x x

sust v c en f x f en x mí

− +

− + − +′′ = −− + − +

− + − +′′ = ⇒ − = ⇒ = =− + − +

′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃

5 52 2

). .

( ) 0244 ( ,0.244)( )

máx

nimo relPara localizar los extremos relativos sust v c en

pf x

f ≈ − ⇒


1.10 0.41 P. inflexión 1.67 , 3.32 +

3.32 0.41 P. inflexión 3.32 , ∞ ‐





[ ]

32 2

'( ) ( ) '( ) 0 ( ) 0 ,( 0, 1, 2,....): 0 0;( . .); :

26) ( ) cos

1 ( . .); : 2 2 ( . .)( ) cos( ); : ( ) 0 cos( ) 0 ( . . .)

( );

; ( . . .)

0,2f x sen x si f x sen x x n nPara n x v c Para n x v c Para n x v cf x x si f x x x p p i x p p isu

f x x

s

π π

ππ π

π= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ± ±= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =

′′ ′′= − = ⇒− = =

=

= ⇒

son valores de frontera del i

. . ( ) (0) 1 0 0 ( )( ) 1 0 ( )

ntervalo; (2 ) 1 0

dado2 ( )

:0 2. (.

( ))

t v c en f x f en x máximo relf en x mínimorel f en x máximo relpero yPara localizar los extremos relativos sust v c en f xf

π π π ππ

π

′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃′′ ′′= > ⇒ = ∃ = − < ⇒ = ∃

= 1 ( , 1)mínp π− ⇒ −

INTERVALO ƒ( X ) ƒ’’( X ) RESUMEN 0 1

0, ) ‐ ∩ x 0 P. inflexión

, ) + ∪

0 P. inflexión

, 2π ‐ ∩

2 ‐ 1





[ ]'( ) 1 cos( ) '( ) 0 1 cos( ) 0 cos( ) 1 0( . .); 2 ( . .)( ) ( ); : ( ) 0 ( ) 0 0( . . .); ( . . .)

. . ( )

27) ( ) ( ); ,

pero:±(0) 0

20 ( )

π

f x x si f x x x x v c x v cf x sen x si f x sen x x p p i x p p isust v c en f x f en x extrem

f x x s

r

en x

o el

ππ

π π= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = ±

′′ ′′= = ⇒ = ⇒ = = ±′′ ′′⇒ = ⇒ =

= − −

∃noestán en domf(x) y ±π son valores de frontera del intervalo dado

INTERVALO ƒ( X ) ƒ’’( X ) RESUMEN π

π, 0 ‐ 0 0 P. inflexión

0, + π





54 4 4

34

3 74 4

'( ) cos( ) ( ) '( ) 0 cos( ) ( ) 0( . ); ( . .)

( ) cos( ) ( ); : ( ) 0 cos( ) ( ) 0 ( . .

28) ( ) ( ) cos( ); (0,

.)( . . .)

. . (

2 )f x x sen x si f x x sen xx v c x v cf x x sen x si f x x sen x x p p ix x p p i

sust v c en

f se x

f

x n x

π π π

π

π π

π

π

π

= − ⇒ = ⇒ − == = + =′′ ′′= − − = ⇒ − − = ⇒ =

= + ⇒ =

′′

= +

4 4

5 54 4

5 54 4 4 4

) ( ) 2 0 ( )

( ) 2 0 ( ). .

( ) 2 ( , 2); ( ) 2 ( , 2

( )

)máx mín

x f en x máximo rel

f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c en

f p f p

f x

π π

π π

π π π π

′′⇒ = − < ⇒ = ∃

′′ = > ⇒ = ∃

= ⇒ = − ⇒ −

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN

0, ‐

0 P. inflexión

, +

0 P. inflexión

, 2 ‐





( )

4 4 43 3 3

43

'( ) 4cos( ) 3 ( ) '( ) 0 4cos( ) 3 ( ) 04cos 3 ( ) ( ) 2.21( . )

2 ( ) 5.35( . .)( ) 3cos( ) 4

29) ( ) 4 ( ) 3cos(

( ); :

); 0,2f x x sen x si f x x sen x

x sen x tg x x arc tg x arc tg v cx arc tg v cf x x sen x

f x sen x x

si

π

ππ

− − −

−

= + ⇒ = ⇒ + == − ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ≈

= + ≈′′ = −

= −

3 3 34 4 4

( ) 0 3cos( ) 4 ( ) 0 ( ) 0.64( . . .); ( ) 3.78( . . .)

. . ( ) (2. 21) 5 0 2. 21 ( )(5. 35) 5 0 5. 35 ( )

f x x sen xtg x x arc tg x p p i x arc tg x p p isust v c en f x f en x máximo relf en x mínimorelPara localizar los

π′′ = ⇒ − = ⇒

= ⇒ = ⇒ ≈ = + ⇒ ≈′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃

′′ = > ⇒ = ∃. .

( 2.21) 5 (2.21,5); (5.(

35) 5 (5. ))

35, 5máx mín

extremos relativos sust v c enf p f p

f x= ⇒ = − ⇒ −

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 0, 0.64 +

0.64 0 P. inflexión 0.64 , 3.78 ‐

3.78 0 P. inflexión 3.78 , 2 +





( )[ ]

[ ]

12

2 412 3 3

'( ) (2 ) ( ) '( ) 2 ( ) cos( ) ( ) '( ) ( ) 2cos( ) 1

'( ) 0 ( ) 2

30) ( ) cos(2

cos( ) 1 0 0 0( . .); ( . )

cos( ) ( ) ( . .); ( . )

(

) cos( ); 0, 2

f x sen x sen x f x sen x x sen x f x sen x x

si f x sen x xsen x x v c x v c

x

f x x x

x v c x v c

f

π π

π

π

−

= − − ⇒ = − − ⇒ = − +

= ⇒ − + =

= ⇒ = ==

+

⇒ = =

′′

=

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

) 2cos(2 ) cos( ) ( ) 2(cos ( ) ) cos( )( ) 2cos ( ) 2 ) cos( ) ( ) 2cos ( ) 2(1 cos ) cos( )( ) 2cos ( ) 2 2cos ) cos( ) ( ) 4cos ( ) cos 2: ( ) 0 4cos ( ) cos

x x x f x x sen x xf x x sen x x f x x x xf x x x x f x x xsi f x x x

′′= − − ⇒ = − − −

′′ ′′= − + − ⇒ = − + − −

′′ ′′= − + − − ⇒ = − − +

′′ = ⇒ − −

2 3 23 2 3

2 0 2 :cos( ) 0.843 2.57( . . .); 3.71( . . .)cos( ) 0.593 0.94( . . .); 5.35( . . .)

. . ( ) (0) 0 0 ( )( ) 1 0 ( )( ) 0

doEc de gradox x p p i x p p ix x p p i x p p i

sust v c en f x f en x extremo relf en x máximo relf en xπ π

π π

+ = ⇒= − ⇒ = == ⇒ = =

′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃′′ = − < ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃ 4 3 2

3 2 3

2 3 2 3 4 3 4 31 12 2 3 4 3 4 3 4 3 4

( ); ( ) 0 ( ). .

( ) ( , ); ( ) ( , ); (() ( , )

)

máx mín mín

mínimo rel f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust fv c en

f p px

f p f

π π

π π π ππ π − − − −− −

′′ = > ⇒ = ∃

= ⇒ = ⇒ = ⇒

INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. 0, 0.94 ‐

0.94 0.44 P. inflexión 0.94, 2.57 +

2.57 0.63 P. inflexión 2.57, 3.71 ‐

3.71 0.63 P. inflexión 3.71, 5.35 +

5.35 0.45 P. inflexión 5.35, 2 ‐





( )

1 12 2

2

2

( )12

'( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ) '( ) (2 ( ) 1)

'( ) 0 (2 ( ) 1) 0 0( . .)

2 ( ) 1 0 ( ) ( . .)( ) 2 (

31) ( ) ( ); (

) 3; : (

) :

)

,

( )

0

Ln x

no está en d

xf x xLn x f x xLn x x f x x Ln xx

si f x x Ln x x v c

Ln x Ln x e

f x x Ln x Dom

o

f x

e x e v cf x Ln x

mf

i

x

s f x

− −−

= + ⇒ = + ⇒ = +

= ⇒ + = ⇒ =

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =′

∞

′ ′′= +

=

=3 3

2 2

1 12 2

1 12 2

( )32

0 2 ( ) 3 0

( ) ( . . .)

. . ( ) ( ) 2 0 ( ). .

( ) 0

(

.18

)

( , 0.18)

Ln x

mín

Ln x

Ln x e e x e p p i

sust v c en f x f e en x e mínimo relPara localizar los extremos relativos sust fv c en

f e e

x

p

− −

− −

− −

−

⇒ + = ⇒

= ⇒ = ⇒ =

′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃

= − ⇒ −

INTERVALO ƒ( X ) ƒ’’( X ) RESUMEN 0, 0.22 ‐

0.22 0.075 P. inflexión 0.22, ∞ +





2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

2 2'( ) ; '( ) 0 0 0( . .)1 1

2( 1) 2 (2 ) 2 2 4 2(1 )( ) ( ) (

32) ( ) (

)( 1) ( 1) ( 1)

2(

1); (

1 ): ( ) 0 0 1( . . .)( 1)

. . ( )

) :x xf x si f x x v c

x xx x x x x xf x f x f x

x x xxs

f x Ln x

i f x x p p ix

sus

Dom

t

f

v en f x

x

c

= = ⇒

= +

= ⇒ =+ ++ − + − −′′ ′′ ′′= ⇒ = ⇒ =

+ + +

−′′ = ⇒ = ⇒ = ±+

′′ (0) 2 0 0 (( )

). .

( 0) 0 (0, 0)mín

f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf

xp

f′′⇒ = > ⇒ = ∃

= ⇒

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN

∞, 1 ‐ 1 2 P. inflexión

1 , 1 + 1 2 P. inflexión

1 , ∞ ‐

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2

2 2'( ) ; '(

33) (

) 0 0 0( . .); 1;1 1

2( 1) 2 (2 ) 2 2 4 2(1 )( ) ( ) ( )( 1) ( 1) (

) (

1)

1); ( ) : ( ,

2(1 ): ( ) 0

1) (1,

)

(

(

)

no están en el domx xf x si f x x v c xx x

x x x x x xf x f

f

x f xx x x

xsi f x

f x Ln x Domf

x

x

= = ⇒ = ⇒ = = ±− −− − − − − +′′ ′′ ′′= ⇒ = ⇒ =

− + +

+′

= − −∞

′ =

−

⇒

∞∪

2 2 0 1( . . .) ( )1)

x p p i no están en el domf xx

= ⇒ = ±−





INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 1 ‐ 1 , ∞ ‐

Cortes con los ejes: 0 1.41

2

( ) 0

( ) 2 2

2

'( ) 2( ) 4( ) '( ) 2( )( 2)'( ) 0 2( )( 2) 0 ( ) 0 1( . .)

( ) 2 0 ( .

34) ( ) 2 ( )

.)4( ) 4 4( 1)( ) ( ) ; : (

( ) : (0, )

)

Ln x

Ln x

f x Lnx Lnx f x Lnx Lnxsi f x Lnx Lnx Ln x e e x v cLn x e e x e v c

Lnx Lnxf x f x si f xx x x

f x x Lnx Domf x

− −

= + ⇒ = +

= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ = ⇒

=

=+′′ ′′ ′′⇒ =

∞

= + 1

2 2 2

2 2 2 2

4( 1)0 0 ( . . .)

. . ( ) (1) 4 0 1 ( )( ) 4 < 0 ( )

. .( ) 8 ( ,8 ); (1) 0 (1, )

( )0máx mín

Lnx x e p p ix

sust v c en f x f en x mínimo relf e e en x e m

fáximo rel

Para localizar los extremos relativos sust v c enf

xe e p e e f p

−

− − −

− − − −

+= ⇒ = ⇒ =

′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃

′′ = − ⇒ = ∃

= ⇒ = ⇒

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 0, 0.36 ‐

0.36 0.73 P. inflexión 0.36 , ∞ +





2

2 2 2 2

(1 ) (1 )2 2(1 )'( ) '( ) ; '( ) 0 0 1 ( )

1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 )14 4( ) ; : ( ) 0 0 0( . . .)

135) ( ) : ( 1

( 1) (1 ) ( 1)

)

(1

,1

)

1x x

xf x f x si f x x domf xx x x x xx

x xf

x

x si f x x p pix x x

f x Ln

x

x− + +

−= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =± ∉+ + − + −⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

′′ ′′= ⇒ = ⇒ =

+⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ =+ − + −

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 1,0 ‐

0 0 P. inflexión 0 , 1 +





2

2

2 2

2 2

2 2 2

'( ) 2 (1 ) '( ) (2 1 ); '( ) 0 (2 1 ) 0

0; 2 1 0 ( 1) 0 1( ) (2 1 ) (2 2) ( ) (2 1 2 2) ( ) ( 4 3): ( )

36) ( ) (1 ) , ( ) :x x x x

x

x x x

x

x

f x xe x e f x e x x si f x e x xe x x x x

f x e x x e x f x e x x x

f x x

f x e x xsi f x

e Domf x= + + ⇒ = + + = ⇒ + + =

⇒ ≠ + + = ⇒ + = ⇒ = −

′′ ′′ ′′= + + + + ⇒ = + + + + ⇒ = + +

′′

= +

= 2 20 ( 4 3) 0 0; 2 1 0 1( . . .); 3( . . .). . ( ) ( 1) 0 1 ( )

x xe x x e x x x p p i x p p isust v c en f x f en x extremorel

⇒ + + = ⇒ ≠ + + = ⇒ = − = −′′ ′′⇒ − = ⇒ = − ∃

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 3 +

3 0.49 P. inflexión 3 , 1 ‐

1 0.74 P. inflexión 1 , ∞ +

2

'( ) ; '( ) 0 02 2

0 ( ) '( ) 0 ( ) ( )

( ) : ( ) 0 0

37) ( ) , (

0 1 0 0( . . .2 2

)2

)

:

x x x x

x x

x x x x

x

x x x

x

e e e ef x si f x

e e extremorel y f x f x es monotoma crecientee e e ef x si f x e e e x p p

e ef x Domf x

i

− −

−

−

−

−−

+ += = ⇒ =

⇒ + ≠ ⇒ ∃ > ⇒

− −′′ ′′= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

−=





INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 0 ‐

0 0 P. inflexión 0 , ∞ +

2

2 2

2

2 '( ) 2 '( ) (2 ); '( ) 0 (2 ) 0

0; 0( . .); 2( . .)( ) 2 2 2 ( ) ( 4 2)

: ( ) 0 ( 4 2) 0 0; 2

38) ( ) , ( ) :

2( .

x x x x

x

x x x x x

x x

x

f x xe x e f x xe x si f x xe xe x v c x v c

f x e xe x e x e

f x x e D

f x e x x

si f x e x x e

om

p

f x

x p

−

−

− − −

−

− − − − −

− −

= + ⇒ = − = ⇒ − =

⇒ ≠ = =

′′ ′′= − + + − ⇒ = − +

′′ = ⇒ − + = ⇒ ≠ = ±

=

. .). . ( ) (0) 2 0 0 ( )

(2) 0.27 2 ( ). .

(0) 0 (0,0); (2) 0.54 (2,0.5(

4)

)mín máx

isust v c en f x f en x mínimorelf en x máximorelPara localizar los extremos relativos sust v c enf p

fp

xf

′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃′′ = − ⇒ = ∃

= ⇒ = ⇒


∞, 2 √2 +

2 √2 P. inflexión

2 √2 , 2 2√2 ‐

2 √2 P. inflexión

2 √2, ∞ +





2 2 2

2 2

2

2

2 2

2

2 22

'( ) 2 ; '( ) 0 2 0 0; 0( . .)

( ) 2 2 (2 )

39) ( ) , ( )

( ) (4 2)

: ( ) 0 (4 2) 0 0; ( . . .). . ( ) (0) 2 0

:

0

x x x

x x x

x x

x

f x xe si f x xe e x v c

f x e xe x f x e x

si f x e x e x p

f x e D

p isust v c e

om f x

n f x f en x

− − −

− − −

−

− −

= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ ≠ =

′′ ′′= − + ⇒ = −

′′ = ⇒ − = ⇒ ≠ = ±′′ ′′⇒ = − < ⇒

=

= ( ). .

(0) 1 (0,1)( )

m áx

m áximo relPara localizar los extrem os relativos sust v c enf p

f x∃

= ⇒


∞, √ +


√ , √ ‐


√ , ∞ +





'( ) (1 ) '( ) ; '( ) 0 0 0; 0( . .)

( ) ( ) ( 1); : ( ) 0 ( 1) 0 0;

40) ( )

1( . . .). . ( ) (0) 1 0

(1 )

0 (

, ( ) :x x x x x

x x x x

x

x

f x e x e f x xe si f x xe e x vcf x e xe f x e x si f x e x e x p p isust v c en f x f en x má

f x x e Dom x

i

f

x

= − + − ⇒ =− = ⇒− = ⇒ ≠ =

′′ ′′ ′′= − − ⇒ =− + = ⇒− + = ⇒ ≠ = −′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃

=

<

−

−( )

). .

(0) 1 (0,1)máx

morelPara localizar los extremos relativos sust v c enf p

f x= ⇒

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 1 +

1 0.74 P. inflexión 1 , ∞ ‐

3 54 4 4

'( ) ( ) cos( ) '( ) ( ( ) cos( ))

'( ) 0 ( ( ) cos( )) 0 0; ( . .); ; ( ( ))

41)

( ) ( ( ) cos( )) (cos( ) ( )) ( ) 2 c

( ) ( )

o

;

s(

(0, )x

x x x

x x

x x x

f xf x e sen x e x f x e sen x xsi f x e sen x x e x v c x x domf x

f

e s

x e sen x x e

en

x sen x f x e x

x

π π π

π

− −

= + ⇒ = +

= ⇒ + = ⇒ ≠ = = = ∉

′′ ′′= + + − ⇒ =

=

32 2 2

3 34 4

3 34 4

): ( ) 0 2 cos( ) 0 0; ( . . .); ; ( ( ))

. . ( ) ( ) 14.9 0 ( ). .

( ) 7.46 ( ,7.4)

)(

6

x x

máx

si f x e x e x p p i x x domf xsust v c en f x f en x máximorelPara localizar los extremos relativos sust v c enf

f xp

π π π

π π

π π

−′′ = ⇒ = ⇒ ≠ = = = ∉′′ ′′⇒ ≈− < ⇒ = ∃

≈ ⇒





DÁMASO ROJAS ENERO 2008

INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 0, +

4.81 P. inflexión

, ‐

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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL … · INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: