Criterios de Fluencia

2013 – 1erC

Resolución en régimen elástico

a) las ecuaciones de equilibrio estático

b) las ecuaciones de compatibilidad

c) las condiciones de contorno

d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico

e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica

Espacio de Tensiones Espacio de tensiones:

Si se conserva el momento angular:

Espacio de tensiones:

Si el material es isótropo:

Espacio de tensiones:

Asumiremos que se conserva el momento angular y que el material es isótropo.

{ }),,,,,,,,( 9876543219 σσσσσσσσσ=R

jiij σσ =

{ }),,,,,( 6543216 σσσσσσ=R

≡

=

3

2

1

333231

232221

131211

000000

σσ

σ

σσσσσσσσσ

σ

{ } { }),,(),,( 3213213 IIIR == σσσ

Espacio de Tensiones Principales Definición:

Simetría:

Superficies de Fluencia Dominio elástico:

Superficie de fluencia:

Superficie de carga:

Donde F es una función escalar F = F(σ,α) y α una variable funcional adecuada que toma el valor cero si el material no sufrió deformación previa.

{

( ) }0,

),,,,,,,,,( 333231232221131211

<

==

ασσ

σσσσσσσσσσσ

Frealesnúmeros

E

ij

( ){ }00, ==∂ σσσ FE

( ){ }0, ==∂ ασσσ FE

Invariantes del Tensor de Tensiones

Sea las siguientes funciones son invariantes:

Si llamamos a la parte desviadora de ,

, entonces son invariantes:

Otros invariantes:

=

3

2

1

000000

σσ

σσ

3213

1332212

12

3211

)det(

)()(21

)(

σσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσ

==

++−=−=

++===

I

II

TrI

ijij

ii

)(31

)(21

)(

33

22

11

σσσσ

σσσ

σ

TrJ

TrJ

TrIJ

kijkij

ijij

==

==

==

2/32

3

2

1

''

233)3cos(,

'2

3

JJdonde

fJ

fI

c

c

=

=

=

θθ

ρ

ξ

[ ]ijss = [ ]ijσσ =

kijkij

ijij

ij

sssIJ

ssIJ

sTrIJ

31''

21''

0)(''

33

22

11

==

==

===

≠=

=−=jiji

s ijkkijijij ,0,1

,31 δσδσ

Superficie de fluencia:

Criterio de fluencia:

Es una hipótesis con respecto al límite de elasticidad, bajo cualquier posible combinación de tensiones;

es un conjunto de relaciones matemáticas que, especializadas en un estado tensional particular, permiten inferir si el material entró en fluencia o permanece en régimen elástico.

Criterios de Fluencia

( ) ( ) ( )ασσασ yfF −=,

Criterios de Fluencia Criterio de Von Mises:

Criterios de Fluencia Criterio de Tresca:

Criterios de Fluencia Otros Criterios:

Criterio de Mohr-Coulomb: El material permanece en régimen elástico mientras se verifique:

φφσσσσ cos.2)()()',',( 3131321 csenJJIf <+−−=

Comparación entre T y VM Criterio de Von Mises:

Criterio de Tresca:

Y/2=k

Y/2 k

Tracción Uniaxial (TU): σ1=Y, σ2=σ3=0 (Y=σFluenciaTU =2τFluenciaTU) Corte Puro (CP): σ1=-σ3=k, σ2=0 (k=σFluenciaCP=τFluenciaCP)

Comparación entre T y VM En Tracción Uniaxial ambos criterios coinciden, pues en la fluencia vale:

En Corte Puro ambos criterios presentan la máxima diferencia, pues:

Cualquier estado tensional complejo representará una situación intermedia entre TU y CP:

YYT

YVM equiv

=−=−

==

0:

:

31

1

σσ

σσ

kT

kVM equiv

2:

33:

31

1

=−

==

σσ

σσ

( ) ( )2

:

2155,1

232

3:

3131YkT

YYYkVM

CPTU

equivCPequivTU

=⇒−=−

===⇒=

σσσσ

σσ

Comparación entre T y VM - Ejemplo Se ensayó una pieza de un material caracterizado por los siguientes parámetros: E = 210 GPa , ν= 0,33 , σy = 950 MPa, determinándose que su estado tensional (en el sistema de coordenadas elegido) queda descrito por:

Se desea saber si entró en fluencia.

Solución:

Por Criterio de Tresca (obteniendo previamente las tensiones principales):

Por Criterio de Von Mises:

Notar que, según T entró en fluencia y según VM no entró en fluencia.

MPa

−−=

800030004000

30000σ

( ) MPaMPaMPa y 950100090010031 =>=−−=− σσσ

( )( )[ ]

( )[ ] MPaMPaMPa

MPaMPa

yequiv

equiv

95086610005005002

1

86600300.68004004002

1

21222

21222222

=<=++⋅=

=+++++⋅=

σσ

σ

MPaMPaMPa 900,400,100 321 −=−== σσσ

Introducción a la Teoría de la Plasticidad

2013 – 1erC

Comentarios Preliminares Interés.

Problemas para su tratamiento matemático:

Pérdida del comportamiento lineal.

Falta de unicidad de la curva tracción-deformación.

Algunas hipótesis para facilitar su tratamiento:

Condición de fluencia.

Independencia de las tensiones esféricas.

Isotropía del material.

Comportamiento simétrico en tensión y compresión.

Comentarios Preliminares Esta introducción se limita a pequeñas deformaciones.

Trataremos la Plasticidad en Materiales Metálicos.

Generalmente no se trata:

(a) Anelasticidad, (b) Histéresis, (c) Efecto Bauschinger.

Resolución en régimen elasto-plástico a) las ecuaciones de equilibrio estático

b) las ecuaciones de compatibilidad

c) las condiciones de contorno

d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico

e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica

f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico

g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento

Modelos y Ecuaciones Concepto: Curva de Flujo.

Modelos Rehológicos:

Ecuación de Hollomon:

Valores Límites: 0 < n < 1

UTSUTS

n

nUTSdd

overificandK

εσεσ

εσ

σσ

==

=

=

),(

:,.

)(

Ejemplo de Aplicación Se tiene un acero tipo SAE 4130 que puede modelarse según la siguiente ecuación de Hollomon: σ = 1156 MPa ε0,118. Calcular las tensiones y deformaciones ingenieriles y verdaderas para carga máxima.

Solución:

De la relación de Hollomon se desprende que la deformación verdadera a carga máxima es:

n = εUTS = 0,118 Por tanto, la tensión verdadera será:

σUTS = 1156 MPa 0,1180,118 = 898,3 MPa La deformación ingenieril resulta:

eUTS = exp(εUTS) - 1 = 0,125 Como la deformación es uniforme hasta carga máxima, la tensión convencional se obtiene despejando de σUTS = sUTS (1+eUTS):

sUTS = σUTS / (1+eUTS) = 798,3 MPa