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J.E.C. “VICTOR RAÚL HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC

ÁLGEBRA

4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015

I. TEORIA DE EXPONENTES1. DEFINICIÓN Es un conjunto de fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones algebraicas de un sólo término, cuando entre estas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.

2. LEYES

LEYES DE EXPONENTES:

1. xm xn = xm+n

2.

3. (xm)n = xmn

4. (xy)n = xnyn

5.

6.

7.

8.

9.

10.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Reduce:

Solución:

E =

E =

E = E = 5

2.- Resuelve :

Solución:

M =

M = =

M = = X-1

3.- Resuelve :

E =

Solución:

E =

E =

E =

E = 0

4.- Simplifica:

Solución:

= = -23

5.- Resuelve:

Solución:

Lic David Salzar C. 10

10

10

2


ÁLGEBRA


PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01

1) Halla :

a) 12 b) 3 c) 21d) 19 e) 41

2).- Halla :

a)12 b) 7 c) 11d) 4 e) 8

3).- Efectúa:

E=

a) 1 b) x c) 0 d) 4 e) 5

4).- Efectúa: E=

a) 1 b) –17 c) 40d) –19 e) 15

5).- Efectúa:

E = 3 + +

a) 4 b) 171 c) 189d) 49 e) 50

6).- Calcular :

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

7).- Reducir :

a) 54 b) 63 c) 45d) 9 e) 7

8).- Reduce :

a) 2-2 b) 2-1 c) 20

d) 2 e) 22

9).- Si: 5x=2 Halla: E=5x-2

a) 2/25 b) 1/9 c) 2d) 0 e) 1/2

10).- Efectúa :

a) 22 b) 23 c) 48d) 32 e) 64

11).- Efectúa:

E =

a) 1 b) 13 c) 4d) 169 e) 0

12).- Efectúa:

E=

a) 0 b) 4 c) 5d) 7 e) 16

13).- Efectúa: E =

a) 7 b) 5 c) 7x

d) 21x+2 e) 7x+2

14).- Efectúa:

a) 6 b) 1/6 c) 1 d) 4 e) 5

15).- Efectúa:

a) x b) x-1 c) xx d) e) 1

16).- Efectúa: E=

a) 1 b) X c) 2X d) 0 e) 4x

17).- Efectúa : =

a) 19 b) 18 c) 1

d) e) 0

18). - Halla :

E = 641/6 + 2431/5 + 6251/4 + 491/2

a) 5 b) 11 c) 17d) 46 e)19

19).- Efectúa :

a) b) 1 c) 0

d) e)

20).- Efectúa :

a) 1 b) 0 c)

d) e)

21).- Efectúa :

a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 10

22).- Efectúa:

E=

a) x b) 3x c) –x d) 2x e) 0

23).- Reduce:

a) 8 b) 6 c) -8 d) -6 e) 5

24).- Reduce:

a) 25 b) 212 c) 210 d) 28 e) N.A.

25).- Reduce e indica el exponente final de "X" en:

a) x5 b) x4 c) 3 d) 5 e) 4

26).- Siendo:



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Calcula: A x B

a) 162 b) 324 c) 648 d) 1296 e) 2592

27).- Reduce :

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) N.A.

28).- Reduce:

a) 6 b) 1 c) 9 d) 27 e) 3

29).- Reduce :

a) 1 b) 5 c) 16d) 32 e) n+ 1

30).- Simplifica:

E =

a) 25 b) 26 c) 27

d) 28 e) 29

31).- Al efectuar :

Resulta :

a) 2n b) 7 c) 8d) 14 e) ½

32).- Reduce :

M =

a) a3 b) b/a c) a2bd) b4 e) a/b

33).- Si :

Halla :

a) 2 b) 4 c) 16d) 32 e) 64

34).- Halla el valor:

M =

a) 2 b) 22 c) 24

d) 26 e) 28

35).- Calcula :”x . y”

Si :

x =

y =

a) 5 b) 6 c) 10d) 30 e) 20

36).- Si : {a; b; x] R+ tal que : a/b= 4, calcula:

a) 4 b) c) d) 2 e) ½

37).- Si: 2x +2x+2 + 2x+3 = 208

Halla “x”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

38).- Reduce:

a) 1 b) a c) b d) x e) ab

39).- Halla “x”

a) 1 b) 4 c) 3d) ¼ e) ½

40).- Simplifica:

a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e)

CLAVES DE RESPUESTAS1) c 2) a 3) c4) b 5) b 6) d7) b 8) d 9) a10) e 11) e 12) a

13) d 14) a 15) b16) d 17) a 18) c19) d 20) b 21) e22) e 23) c 24) c25) d 26) b 27) a28) e 29) d 30) d31) d 32) b 33) e34) c 35) d 36) c37) c 38) d 39) b40) b



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II. POLINOMIOS

1. DEFINICIÓN:Son expresiones algebraicas racionales enteras de dos o más términos. Es decir, la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.Ejemplo :x4 – 2x2 + 3 ; x5 – 3x4 + x2 + ½ x

1.1. NOTACIÓN POLINÓMICA:

P(x, y) = 3abx5y6

3ab coeficiente (constantes). x; y variables.

Las variables se encierran entre paréntesis, así :

P(x)P(x, y)P(x, y, z)

2. GRADO:Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, relacionadas con los exponentes de sus variables.Hay de dos tipos:- Grado Relativo. -Grado Absoluto.

2.1. GRADO DE UN MONOMIO:Es siempre una cantidad entera positiva y son de dos clases :

a) Grado Absoluto :Se obtienen sumando los exponentes de sus variables.

b) Grado Relativo :

Es el exponente de una variable.

2.2.Grado de un Polinomio:

a) Grado Absoluto :Está dado por el término de mayor grado absoluto.

b) Grado Relativo :Es el mayor exponente de una variable.

3. POLINOMIOS ESPECIALES:

Polinomio Homogéneo:Todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, cuyo grado se llama grado de homogeneidad.

Polinomio Ordenado:Los exponentes de una de sus variables están aumentando o disminuyendo (variable ordenatriz)

Polinomio Completo:Si figuran todos los exponentes de una de sus variables, desde un valor máximo (mayor exponente) hasta cero (término independiente).

# Términos = Grado + 1

Polinomio Idéntico:Los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Polinomio Idénticamente Nulo:Todos sus coeficientes son nulos.

4. VALOR NUMÉRICO:Es el resultado que se obtiene luego de reemplazar el valor asignado a las variables y realizar las operaciones indicadas.

Valores Numéricos Notables:

Si P(x) es un polinomio, se cumple:

P(0) = Término independiente.

P(1) = Suma de coeficientes.

Polinomio Constante:

P(x) = m (m0)Su grado es cero.

5. OPERACIONES:

Adición:Se suman los términos semejantes.Sustracción:Se restan los coeficientes de términos semejantes. Multiplicación:Se multiplican los coeficientes de cada factor y se tiene en cuenta la teoría de exponentes.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).-Se sabe que el polinomio: P(x) = 4x3 + 3x2 + mx +x – n + 5; es tal que:

P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2)

Solución :

P(1) = 4(1)3 + 3(1)2 + m+1-n+5 = 15

4+3 + m+1-n+5=15

m-n = 2

P(0) =4(0)3 + 3(0)2 + m(0) + 0 – n + 5 = 2

n = 3

m - 3 = 2

m= 5

P(x) = 4x3 + 3x2 + 6x + 2

P(-2) = 4(-2)3 + 3(-2)2 + 6(-2) + 2

P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2

P(-2) = -30

2).- Si el polinomio :

P(x, y) = 2xa+b + 3xby2a-3+4xay3b-10 + y3b-7

Es homogéneo. Calcula “ab”

Solución :

a + 3b – 10= 3b – 7a=3a+b = 3b – 73 + 7 = 2bb=5a.b = 3.5 = 15

3).- ¿Para qué valor de “m” la expresión es un trinomio cuadrado perfecto?

9x6 + 7mx3y4 + 2x3y4 + 25y8

Solución:

= 3x3 = 5y4

2(3x3) (5y4) 30x3y4

7m + 2 = 30

m = 4

4).- Dado el polinomio completo y ordenado.

Cuyo número de términos es (n + 1)

Determina : . Siendo PR.

Solución :

8m + 25 = 1 m = -3

(-3)2 – 3n – 4 (-3) = 0 n = 7

P2 + P + 1 = n = 7 P = -3 P = 2



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Luego :

5).- Si:

Es completo y ordenado ascendentemente. Calcula: abcdSolución:

a + b = 0 a = -b = 2b + c = 1 b = -2c + d = 2 c = 3d + 4 = 3 d = -1

a . b . c . d = 2 . –2 . 3 . -1 = 12

6).- Sea el monomio:

M(x; y)=2n2

Donde se cumple: GR(x) = GR(y).Halla el coeficiente del monomio.Solución:

GR(x) = GR(y)

n2 – n - 6= 0(n - 3) (n + 2) = 0

n = 3n =-2

Luego : 2(3)2 = 182n2 =

2(-2)2 = 8

7).- Si el polinomio:

P(x,y,z) = Ax2a+2b-c+By2b+2c-a+Cz2c+2ª-b

es homogéneo.

Halla:

Solución:Polinomio homogéneo, entonces todos los términos tienen el mismo grado.Igualamos los exponentes:

2a + 2b - c = 2b + 2c – a 3a = 3c a = c

2b + 2c – a = 2c + 2a – b 3b = 3a

a = b

a = b = cLuego :

F =

F = F = 2

8).- Calcula “a+b+c” si: P(x) Q(x) siendo:

Solución:Si P(x) Q(x), entonces sus coeficientes de términos semejantes son iguales:

4 a + b – 13 = b – c + 22 = c - a + 49 = 2b + 5

9 – 5 = 2b4 = 2b

2 = b

Luego :

4 = a + b - 1 4 = a + 2 – 1a = 3Tambien :

3 = b – c + 23 = 2 – c + 2c = 4 – 3 c = 1

Luego : a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02

NIVEL I:1).- Dado el polinomio:

P(x) = 2x2(1 + x4) – 3x6 – 5Calcula:

E =

a) 1,3 b) 1,4 c) 1,5d) 1,6 e) 2

2).- Si :

P(x) = 4x2 - - 8x

Calcula P(2) :

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

3).- Si : P(x) =mx2 – 3; además

P(x) + P(2x) + P(3x) = 28x2 – 9

Calcula el valor de “m” :

a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 14

4).- Si :F(x + 1) = F(x) + 2x + 4, x Z

Además: F(0) = 2

Calcula : F(1) + F(-1)

a) 6 b) 0 c) 2 d) –2 e) 4


P(x; y) x14+m yn-5 xn y2m+4 + 7y49

es homogéneo, el grado relativo respecto a “x” es :

a) 24 b) 25 c) 18d) 20 e) 26

6).- Si :

P(x; y; z)

es homogéneo, calcula m2n.

a) 18 b) 24 c) 16d) 8 e) 10

7).- Si el monomio:

es de tercer grado, entonces el valor de “m” es :

a) 12 b) 15 c) 22d) 20 e) 25

8).- Si :

Es de 4to grado. Halla “n”:

a) 6 b) –4 c) 4d) 3 e) 2

9).- Si :H(x –1) F(x) + G(x)F(x –2) 2x + 4G(x +2) 3x2 + 6x + 1



ÁLGEBRA


Calcula: H(5)

a) 62 b) 78 c) 87d) 93 e) 99

10).- Dado el polinomio:

P(x + 1) 4x2 + 8x – 7

Calcula la suma de coeficientes de P(x).

a) –5 b) –6 c) –7d) –8 e) -9


P(x, y) ax2yab + x2ay3 – b2x4

Es homogéneo, calcula: abab

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16


F(x) x2n+1 + 2xp+3 – 3xm+2 + ….

está ordenado y completo de manera decreciente; además presenta “2m” términos, calcula el valor de “p”.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

13).- Si :P(x, y) = xm-2 yn-1 (x7 + y2n –3)

es un polinomio homogéneo, de grado 16, los valores de “m” y “n” respectivamente son :

a) 4; 8 b) 8; 4 c) 5; 7d) 6; 8 e) 7; 5

14).- Si: F(x) =

Calcula: F(F(5)) + F(F(-2)) + F(F(1))

a) 5 b) 7 c) 6 d) 2 e) 4

15).- Dados los polinomios:

P(x; y)3xm+7yn-2 -6xm+4 yn-1 + xm+2 yn+1

Q(x;y) x3m+7yn+1+2x3m+5yn+4- x3m+1yn+5

Si : G.A(P) = 14 y el menor exponente de “x” en Q(x; y) es 10, ¿Cuál es el G.A (Q)?

a) 27 b) 26 c) 25d) 24 e) 23

16).- Dado el polinomio:

P(x) 5xn+1 – 3x5 + nx + n2;

Si : G.A (P) = 6 , calcula P(2) :

a) 235 b) 236 c) 237d) 238 e) 259

17).- Se define el polinomio:

R(x) P(x) + Q(x)

Donde: P(x)1+x–2x3Q(x)x2–x+1

Calcula “m + n”, si m es el grado de R(x) y n=R(-1).

a) 2 b) 8 c) 12d) 16 e) 0

18).- En el siguiente polinomio:

P(x, y) = mx3m + x3m-1 y5m+2 + y5m-6

Se cumple que : G.R. (y) = 2G.R. (x). Calcula el grado absoluto del polinomio.

a) 13 b) 17 c) 14d) 10 e) 8

19).- Dado el monomio:

M(x,y,z) = 5xaybzc

Calcula abc; si al sumar los G.R de 2 en 2 se obtiene 10,7 y 11 respectivamente.

a) 26 b) 52 c) 108d) 84 e) 100

20).- En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:

P(x)=xa+b-6 + (a-b)x + 3xa-b

Calcula : “ab”.

a) 16 b) 8 c) 12d) 10 e) 4NIVEL II


Es homogéneo. Calcula:

a) b) 55 c) 14

d) 5 e) 8


P(x)=(a-2b+3)x5+(b-2c-1)x4+(c-2a+2)x7

Se anula para cualquier valor de sus variables. Calcula (a +b +c)2.

a) 4 b) 81 c) 16d) 121 e) 36

3).- Si los polinomios:

P(x, y) = xa yb+1 + xc yd-3

Q(x, y) = xa+1+ yb x4-ay3-b

Son idénticas, calcula (a+b+c+d)

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

4).- En el polinomio homogéneo:

P(x,y,z)=5xm+n-7xny2m-3+8xmy2nzn-10+11z3n-7

Calcula: (m-n)m

a) 16 b) –16 c) 9d) –8 e) -4

5).- Sabiendo que:P(x) = x2 + ax + bx + ab

Halla:

a) ab b) ab(a+b) c) 2ab(a+b)d) 2ab e) 2

6).- Si: P(x) =

Determina: P(P(x))a) x b) 2x c) -x

d) e) -

7).- De un polinomio P(x) se sabe que :

P(x) = P(x-1) + P(x-2)

Además: P(1) = 3; P(2) = 4

Calcula: P(P(P(0)))

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

8).- Halla “ab”, si :

P(x-1) =x2-1P(x+2) = x2 + ax + b

a) 24 b) 32 c) 36d) 45 e) 48

9).- Si el monomio es de grado 32, halla “x”.



ÁLGEBRA


a) 3 b) 2 c) 4d) 7 e) 5

10).- Calcula “n”, si el grado del producto :

P(x) = (x+1)(x4+4)(x9+9)...)

es 204a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

11).- En el polinomio completo y ordenado en forma creciente. Calcula la suma de coeficientes:

P(y) =mym+n + nym-1 - pyp-t + tyt

a) –2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

12).- Halla (a + b)c

(aa+2)x5 +(bb-3)x3+c-6= x5+x3+4

a) ¼ b) 0 c) 1d) 2 e) 220

13).- Halla el grado de homogeneidad de :

P(x, y) = 8xa+byb + 3bxa+6yb+4

Si G.R.(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y).a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26

14).- Dados los polinomios :

P(x) = 3x2 – x + 1Q(x) = x2 + 2x – 3R(x) = 2x2 – 3x + 2

¿Cuánto le falta al primero para ser igual al exceso del doble del tercero sobre el segundo?

a) 2x b) 7-8x c) 6-7x d) 5x-3 e) 7x-6

15).- Si: F(x) + G(x) = 3x + 5

F(x) – G(x) = 7x – 3

Calcula: G(-F(2))

a) 11 b) –18 c) 17d) 26 e) 24

16).- Si: F(x+3) =2x+5

Halla: F(x+5)

a) 2x+1 b) 2x+3 c) 2x+4d) 2x + 5 e) 2x + 9

17).- Conociendo que:ax2 + bx + c (mx + n)2

Halla el valor de :

E =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


P(x)=a(x+2)2+b(x+3)2-(2x+3)2+c

Es idénticamente nulo. Halla el valor de:

L =

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


P(x,y,z) = Ax2a+2b-c+By2b+2c-a+Cz2c+2ª-b

es homogéneo.

Halla :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20).- Calcula “a + b + c” si: P(x) Q(x)

Siendo:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I1) d 2) a 3) a4) a 5) b 6) c7) c 8) d 9) d10)c 11)c 12)b13)e 14)e 15)d16)e 17)b 18)b19)d 20)a

NIVEL II1) d 2) c 3) c4) d 5) c 6) a7) d 8) e 9) b10)c 11)a 12)b13)c 14)c 15)b16)e 17)e 18)c19)b 20)c


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