CAPTULO I

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IV. POLIGONOS1. POLIGONOSSe denomina polgono a la figura geomtrica formada por la unin de tres o ms segmentos de rectas que tienen sus extremos comunes dos a dos.

* Un polgono determina en el plano una regin interior y una regin exterior.

* El polgono es la frontera entre la regin interior y la exterior.

* La unin de un polgono y su regin interior recibe el nombre de regin poligonal.

1.1.- ELEMENTOSSea el polgono ABCDE, sus elementos son:

a)-Lados de un polgono, son cada uno de los segmentos que forman un polgono. Los lados del polgono ABCD son:

.

b)-Vrtices de un polgono, son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras maysculas.

Los vrtices del polgono ABCD son:

A, B, C, D, E.

c)-ngulos en un polgono, hay dos clases de ngulos:* ngulos Interiores, son los que

se encuentran dentro del polgono.

- Un ngulo interior del polgono ABCD es: (

* ngulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior del polgono.

- Un ngulo exterior del polgono ABCD es: a

d)-Diagonales de un polgono, son los segmentos que unen los vrtices no consecutivos.- Una diagonal del polgono ABCD es:

.

e)-Permetro de un polgono, es la suma de las longitudes de todos sus lados.

2P = AB + BC + CD + DE + EA

* OBSERVACIN: En todo polgono se cumple que el nmero de lados es igual al nmero de vrtices e igual al nmero de ngulos.

# Lados = # Vrtices = # ngulos

1.2.- CLASIFICACIN DE LOS

POLIGONOS

A) SEGN EL NMERO DE LADOS

Los polgonos se nombran segn el nmero de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos.

NMERO DE LADOSNOMBRE DEL POLIGONO

3 ladosTringulo

4 ladosCuadriltero

5 ladosPentgono

6 ladosHexgono

7 ladosHeptgono

8 ladosOctgono

9 ladosNongono

10 ladosDecgono

11 ladosEndecgono

12 ladosDodecgono

15 ladosPentadecgono

20 ladosIcosgono

B) SEGN LA FORMA DE SUS ELEMENTOSPueden ser:

-POLGONO CONVEXO: Es aquel polgono cuyos ngulos interiores son convexos. Un polgono es convexo cuando una recta secante lo corta como mximo en dos puntos.

- POLGONO NO CONVEXO: Llamado tambin cncavo, es aquel polgono que tiene uno o ms ngulos cncavos. Un polgono es no convexo cuando una recta secante lo corta en ms de dos puntos.

- POLGONO EQUILTERO: Todos los lados del polgono equiltero son

congruentes. Esto no implica que sus ngulos sean congruentes.

- POLGONO EQUINGULO: Todos los ngulos interiores del polgono equingulo son congruentes.

Esto no implica que sus lados sean congruentes.

- POLGONO REGULAR: Los lados y los ngulos interiores del polgono regular son congruentes.

1.3.- PROPIEDADES DE LOS POLGONOS

Para un polgono de n lados se cumple que:

a).-En todo polgono, la suma de sus ngulos interiores est dado por la siguiente relacin :

Ejemplo:

Calcula la suma de ngulos interiores de un pentgono.

* Aplicando la propiedad:

n es igual a 5, por ser un pentgono.

S( Inter.= 180 (n - 2) S( Inter.= 180 (5 - 2)

S( Inter.= 540b).-En todo polgono, la suma de sus ngulos exteriores es 360.

Ejemplo:

- Calcula la suma de ngulos exteriores de un pentgono.

* Aplicando la propiedad:

En todo polgono la suma de ngulos exteriores es 360.

c).- En todo polgono, el nmero total de diagonales est dado por la siguiente relacin:

Ejemplo:

- Calcula el nmero total de diagonales de un pentgono.

* Aplicando la propiedad:

n es igual a 5, por ser un pentgono.

N D = (

N D = 5

d).- Para calcular el nmero de diagonales desde un solo vrtice se utilizar la siguiente relacin:

e).- En todo polgono, el nmero de diagonales medias est dado por la siguiente relacin.

f).- En todo polgono, el nmero de diagonales trazadas desde P vrtices consecutivos est dado por la siguiente relacin.

Donde P = N de vrtices consecutivos.

En todo polgono de n lados, si se empieza a trazar las diagonales desde cada vrtice consecutivo, se cumple que del primer y segundo vrtice se puede trazar el mismo nmero de diagonales, pero a partir del tercer vrtice el nmero de diagonales disminuye de uno en uno.

N orden de vrticesN de diagonales

1n - 3

2n - 3

3n 4

4n 5

Kn - k

* observacin:

Para un polgono regular o equingulo se cumple:

a)- Medida de un ngulo interior

Ejemplo:

- Calcula la suma de ngulos interiores de un pentgono regular.

* Aplicando la propiedad:

n es igual a 5, por ser un pentgono( = (

( ( = 108

b)- Medida de un ngulo exterior

Ejemplo:

- Calcula el ngulo exterior de un pentgono regular.

* Aplicando la propiedad:

n es igual a 5, por ser un pentgono

( = = = 72

c)- Medida de un ngulo central

Ejemplo:

- Calcula el ngulo central de un pentgono regular.

* Aplicando la propiedad:

n es igual a 5, por ser un pentgono

(cent = (

(cent = 72

IMPORTANTE: Tambin debemos saber que la suma de los ngulos centrales es 360.PROBLEMAS RESUELTOS1).- Cuntos diagonales parten de uno de los vrtices de un polgono, en el cual la suma de sus ngulos internos y externos es igual a 3780.

Solucin :

Sea: n ( # de lados del polgono :

Por dato :

180(n-2) + 360 = 3780

( 180(n-2) = 3420

( n-2 = 19 ( n = 21

Nos piden :

(2n 1 3) = (42 4) = 19

2) Cuntos lados tiene el polgono en el cual su nmero de diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno el nmero de lados?

Solucin:

Sea n el nmero de lados

*Si: n lados ( nd =n

*Si: n+1 lados ( nd =

Del enunciado:

+ 2 =

( n = 3

3) Calcula el nmero de diagonales de un polgono regular, si se sabe que los mediatrices de dos lados consecutivos forman un ngulo cuya medida es 18.

Solucin:

Se sabe que el ngulo central

(central = 18 =

n = 20

nd =

( n = 170

4).- Calcula el nmero de lados de un polgono su la suma de las medidas de los ngulos interiores es el triple de la suma de las medida de los ngulos exteriores.

Solucin:

Sea n el nmero de lados de un polgono.

Por dato:

180(n-2) = 3(360)

n 2 = 6 ( n = 8

5).- Al aumentar en 3 en nmero de lados de un polgono, el nmero de diagonales se duplica. Calcula la suma de las medidas de los ngulos internos.

Solucin:

Por dato:

2Na(1) = Na(2)

Luego:

PRCTICA DIRIGIDA N 04NIVEL I

1).- Determina el nmero de lados de un polgono regular cuyo ngulo interior es el triple de su ngulo exterior.

a) 5

b) 9

c) 8 d) 12

e) 10

2).- El nmero de diagonales de un polgono excede al nmero de lados en 25. Calcula el nmero de lados.

a) 6

b) 9

c) 12 d) 10

e) 24

3).- En un pentgono ABCDE, el lado es paralelo al lado , calcula la suma de los ngulos E, D y C.

a) 180b) 360

c) 324 d) 270e) 540

4).- Si el nmero de lados de un polgono disminuye en 2, el nmero de diagonales disminuye en 15. Cuntos lados tiene el polgono?

a) 10

b) 12

c) 14 d) 8

e) 11

5).- En un polgono regular la medida de un ngulo interior es igual a cinco veces la medida de un ngulo central. Cuntos tringulos se pueden formar al trazar todas las diagonales posibles desde un solo vrtice?

a) 6

b) 7

c) 9 d) 10

e) 13

6).- En un polgono la suma de los ngulos interiores excede en 720 a la suma de los ngulos exteriores. Cul es el polgono?

a) pentgonob) hexgono c) heptgono

d) octgonoe) nongono

7).- Calcula el nmero de diagonales de un polgono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ngulo que mide 36.

a) 27

b) 35

c) 104 d) 170

e) 175

8).- Se tiene un hexgono equingulo ABCDEF tal que AB = CD = EF y BC = DE = FA. Sabiendo que el permetro del hexgono es igual a 60, calcula BE.

a) 15

b) 20

c) 30 d) 15

e) 20

9).- Si el pentgono es regular, calcula x.

a) 36

b) 72

c) 18

d) 30

e) 24

10).- Si el polgono es regular, calcula x

a) 20

b) 15

c) 60

d) 30

e) 18NIVEL II

1).- Cuantos diagonales faltan trazar al polgono?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 102).- Calcula el nmero de lados de aquel polgono convexo en el cual el nmero de diagonales, es igual al doble del nmero de lados.

a) 2b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

3).- Determina la suma de ngulos internos de aquel polgono que tiene tantos diagonales como el nmero de lados.

a) 180

b) 380

c) 540 d) 720

e) 900

4).- Si el nmero de lados de un polgono se duplica, la duma de ngulos internos aumentan en 3060. Calcula el nmero total de diagonales.

a) 100

b) 11

c) 119 d) 115

e) 120

5).- Desde cuatro vrtices consecutivos de un polgono convexo se trazan 25 diagonales. Calcula el nmero de lados.

a) 8b) 10c) 12 d) 14e) 16

6).- Cuntos lados tiene un polgono cuya suma de las medidas de los ngulos internos y externos es 3960

a) 21b) 20c) 23 d) 24e) 22

7).- Cuntos lados tiene aquel polgono convexo en el cual, la suma de las medidas de los ngulos interiores es 5 veces la suma de las medidas de los ngulos exteriores?

a) 8b) 12c) 7d) 9e) 5

8).- El nmero de diagonales de un polgono regular, es igual a la suma del nmero de vrtices, nmero de lados y nmero de ngulos centrales. Halla el nmero de lados de dicho polgono.

a) 12b) 7c) 9d) 15e) 6

9).- En un polgono regular se cumple que la suma de las medidas de un ngulo central, un ngulo exterior y un ngulo interior es 210. Calcula el nmero total de diagonales.

a) 37b) 67c) 23d) 54e) 3310).- Tres ngulos consecutivos de un octgono convexo, mide 90 cada uno. Halla la medida de cada uno de los restantes, sabiendo que son congruentes entre s.

a) 162

b) 87

c) 109

d) 98

e) 78

NIVEL III

1).- Se tiene un decgono regular ABCDE.... Halla la medida del menor ngulo que forman las prolongaciones de .

a) 72

b) 60

c) 54

d) 45

e) 37

2).- Cada lado de un polgono regular mide 6 cm. y el permetro equivale al nmero que expresa el total de diagonales, en cm. Halla la medida de un ngulo central.

a) 18

b) 10

c) 24

d) 29

e) 34

3).- Si el nmero de lados de un polgono regular aumenta en 10, cada ngulo del nuevo polgono es 3 mayor que cada ngulo del original. Cuntos lados tiene el polgono original?

a) 30

b) 28

c) 37

d) 43

e) 46

4).- Dos nmeros consecutivos, representan los nmeros de vrtices de dos polgonos convexos. Si la diferencia de los nmeros de diagonales totales es 3. Cmo se llama el polgono mayor?

a) Heptgono b) Pentgono c) Decgono

d) Icosgono e) Nongono

5).- Cul es el polgono convexo en el que la suma de su nmero de diagonales y su nmero de lados es 435? Indicar el nmero de lados.

a) 25

b) 15

c) 30

d) 29

e) 20

6).- Si al ngulo interno de un polgono regular se le disminuye en 10, resulta otro polgono cuyo nmero de lados es del nmero de lados del polgono anterior. Calcular el nmero de lados de ambos polgonos.

a) 10 ladosb) 17 lados c) 20 lados

d) 12 ladose) 10 lados

7).- Si el nmero de lados de un polgono convexo disminuye en 2, el nmero de diagonales del nuevo polgono es menor en 15. Calcular la suma de las medidas de ngulos internos, original.

a) 998

b) 1440

c) 1300

d) 1000

e) 845

8).- Si un polgono de n lados tuviera (n 3) lados, tendra (n + 39 diagonales menos. Qu polgono es?

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 9

9).- Si a un polgono regular se le aumenta dos lados, su ngulo externo disminuye en 9. Cuntos ngulos centrales tiene dicho polgono?

a) 8b) 10c) 4d) 13e) 6

10).- En la figura mostrada, calcula:

( + ( + ( + (

a) 450

b) 500

c) 550

d) 600

e) 650

CLAVES DE RESPUESTASnivel I

nivel II

1) c2) d

1) c2) d

3) b4) a

3) c4) c

5) d6) d

5) b6) e

7) b8) b

7) b8) c

9) a10) d

9) d10) a

nivel Iii

1) a2) c

3) a4) b

5) c6) d

7) b8) d

9) a10) dV. TRINGULOS

Es la figura geomtrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

2.1.- Elementosa) Vrtices : A, B y C

b) Lados :

c) Longitudes de sus lados : a, b y c.

d) ngulos interiores : (, ( y (e) ngulos exteriores : (, ( y (f) Permetro : 2P = a + b +c

g) Semipermetro : P =

Observacin :

P( Punto interior del tringulo ABC.

Q(Punto exterior del tringulo ABC.

2.2.- Clasificacin Veamos dos formas de clasificar a los tringulos:

a) Por la Relacin entre sus Lados Tringulo Equiltero.-Cuando sus tres lados son de igual medida.

- Tringulo Issceles.- Cuando dos de sus lados son de igual medida.

- Tringulo Escaleno.-Es aquel que tiene sus tres lados de diferente medida.

b) Por las Medidas de sus ngulos:

- Tringulo Rectngulo.-Cuando uno de sus ngulos internos mide 90.

- Tringulo Acutngulo.- Cuando cada uno de sus tres ngulos internos son agudos.

- Tringulo Obtusngulo.- Cuando uno de sus ngulos internos es obtuso.

( > 90

2.3.-Teoremas Bsicos sobre tringulos

a) La suma de las medidas de los ngulos interiores es 180.

b) La medida de un ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ngulos interiores no adyacentes a l.

c) La suma de las medidas de los ngulos exteriores (uno por vrtice) es 360.

d) Dado un tringulo issceles: a lados de igual medida se oponen ngulos de igual medida.

e) Existencia de tringulos.

Para que un tringulo exista se cumple que:

Si : ( > ( > (

Propiedad de a > b >c

Correspondencia:

*Tambin:

b + c > a > b - c

a + c > b > a - c

a + b > c > a b

2.4.-PROPIEDADES DE LOS TRINGULOS

a)

x + 180 = ( + (b)

x + y = ( + (c).

x + y = ( + (

d)

x = ( + ( + (

e)

x + y = ( + (PROBLEMAS RESUELTOS

1).- En el grfico calcula x

Solucin:

En la figura :

6x + 6x + 3x = 180

15x = 180

x = 12

2).- En el grfico , calcula x, si = 30

Solucin:

En la figura :

= 180 - ( - x

x = ( + c ( c = x - (Reemplazando :

180 - ( - x (x - () = 30

x = 75

3).-Calcula x + y

Solucin :

x + 20 + y + 30 + 60 = 180

x + y = 704) Halla x

Solucin :

En la figura: x = ( + ( ( 2( + 2( = 80

( + ( = 40

x = 40

5).- De la figura calcula a+b.

Si :

Solucin

Por teorema: a + b +35 = 360

a + b = 325

PRCTICA DIRIGIDA N 05NIVEL I:

1).- En un tringulo ABC, la medida del ngulo exterior en B mide 126 y las medidas de los ngulos inferiores A y C estn en la relacin de 3 a 4. De qu tipo de tringulo se trata?a) escalenob) rectngulo

c) isscelesd) acutngulo

e) Dos respuestas son correctas2).- Si dos de los lados de un tringulo issceles miden 2m y 4m. Calcula el tercer lado

a) 2m

b) 4m

c) 3m

d) 2 y 4e) F.D.

3).- En el siguiente tringulo: es altura, entonces x es igual a:

a) 48

b) 42

c) 21

d) 84e) 6

4).- En el grfico: PQ=QR; QF=QE.

Halla: m