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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

5º SECUNDARIA – III PERIODO - 2008

VIII. FRACCIONES

1.- CONCEPTOSon aquellos números que pueden ser representados como una fracción entre dos enteros no nulos, es decir:

Fracción =

Donde:

2.- CLASIFICACIÓN Por la comparación entre sus términos.

Si:El cociente

es:Se conoce

como:

a<bMenor que

unoFracción propia

a=b Igual a unoFracción unidad

a>bMayor que

unoFracción impropia

Otra clasificaciones pueden ser por la comparación entre fracciones (homogéneas, heterogéneas), equivalentes, ordinarias, decimales, etc.

3.- NÚMEROS DECIMALES

3.1. CONCEPTOUn numero decimal es la representación lineal de una fracción. Se obtiene al dividir los términos de dicha fracción.Ejemplo :

=0.25

=0.333…

=0.4791666…

3.2. CLASIFICACIÓN

4.- GENERATRIZ DE UNA FRACCIÓN

4.1. GENERATRIZ DE UNA FRACCIÓN, CONOCIENDO AL DECIMAL.

Numero decimal Fracción generatriz

a) Decimal Exacto

0. =

0.064 =

Numerador: Se coloca la parte decimal.Denominador: Se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el numero dado.

b) Decimal Inexactob.1) Periódico Puro0.

=

=

Numerador: Se coloca el periodo

Denominador: Se coloca tantos nueves como cifras tenga el periodo.

b.2) Periódico Mixto

0. =

0. =

Numerador: Se coloca la parte decimal y se resta la parte no periódicaDenominador: Se coloca tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras no periódicas tenga el número.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una caja de herramientas en un taller pesa 55kg más los 6/11 de su peso total. ¿Cuánto pesa la caja de herramientas?

Solución : El peso total (PT) según el

enunciado :

PT = 55kg + 6/11 kg

La unidad o PESO TOTAL tiene ONCE ONCEAVOS ó 11/11. Esto significa que 55kg corresponde a CINCO ONCEAVOS del peso total :

55 = 5/11 PT o también :

5 x 11 = 5 x PT/11

Para que la igualdad se mantenga :

11 = PT/11

Si la onceava parte del peso total es 11kg entonces el peso total (PT) será igual a :

11 x 11

Es decir : PT = 121

La caja de herramientas pesa 121kg

2. Una piscina tiene agua hasta los 2/5 de su capacidad total. Si extraemos 80 litros en una cubeta, el nivel de agua

disminuye hasta los 2/7. ¿Cuántos litros de agua había al inicio?

Solución :

Sea V el VOLUMEN total de la piscina en litros.

En el inicio HABÍA agua hasta los 2/5 V.

Salen 80 litros y quedan V, es

decir:

V - V = 80

Efectuando por “productos cruzados” :

V = 80

o también : 4 x = 4 x 20

Identificando : = 20

V = 20 x 35 litros V = 700 litros

Al inicio se tenía 2/5 de V, esto

es 2/5 x 700 = 280

3. En un colegio mixto hay 800 alumnos entre hombres y mujeres. Se sabe que 3 de cada 4 alumnos son mujeres, y de estas 2 de cada 5 gustan escuchar música cuando estudian. ¿Cuántas mujeres estudian en silencio si se sabe que todas estudian?

Solución : Si de todos los alumnos 3 de

cada 4 son mujeres, entonces ellas pueden ser representadas así :

3/4 de 800 ó 3/4 x 800 = 600

2 de cada 5 mujeres escuchan música cuando estudian, esto es :

2/5 de 600

141

NÚMERO DECIMALNÚMERO DECIMAL

Decimal Exacto

Decimal Exacto

Decimal Inexacto Decimal Inexacto

Periódico Puro

Periódico Puro

Periódico Mixto

Periódico Mixto



Luego las que o escuchan música cuando estudian estarán representadas así :

3/5 de 600 ó 3/5 x 600 = 360

Las mujeres que estudian en silencio son 360.

3) Se tiene un deposito con una mezcla de 90 litros de leche y 30 de agua. Si luego se extraen 12 litros de mezcla y se reemplazan por agua. ¿Cuántos litros de leche hay en la nueva mezcla?

Solución :Establecemos las fracciones de leche y agua de la mezcla original :

30l agua

90l leche

Total 120l

Al extraer 12 litros de esta mezcla : 1/4 de 12 es de agua :

1/4 de 12 ó 1/4 x 12 = 3 litros de agua.

y 3/4 es de leche :

3/4 de 12 ó 3/4 x 12 = 9 litros son de leche

Al haber salido 9 litros de leche quedan :

Al reemplazar los 12 litros de mezcla por 12 litros de agua la cantidad de leche que hay en la nueva mezcla no se altera, sigue siendo 81.

En la nueva mezcla hay 81 litros de leche.

4) Un vendedor de periódicos tiene una cierta cantidad de ejemplares de “EL CLARÍN”, de la que vende la tercera parte. Si a media mañana vende las 2/5 partes del resto habiéndole quedado 72 ejemplares: ¿cuántos de éstos tenía al inicio?

Solución :Leemos la parte final: “ . . . vende las 2/5 partes del RESTO habiéndole QUEDADO 72 . . “. Si vende 2/5 del RESTO entonces le QUEDAN 3/5 del RESTO que es 72, así :

3/5 del RESTO = 72

ó = 3/5 x RESTO = 72

ó = 3 x = 3 x 24

de donde : = 24

RESTO = 24 x 5 = 120

Leemos la parte anterior a la parte final :“. . . de la que vende la tercera parte . . . “

Entonces el RESTO 120 representa las dos terceras partes de la cantidad inicial :

2/3 C = 120 C =

C = 180

5) Dos señoras compran una bolsa d cada una del mismo detergente. La primera emplea los 4/7 en su lavado mientras que la segunda emplea sólo los 2/5 del suyo. ¿Qué fracción del total de detergente comprado por ambas señoras queda sin usar?

Solución :

Sea T el contenido de una bolsa de detergente nueva; luego el contenido total comprado por las dos juntas es 2T.La primera señora emplea 4/7 de T luego le quedan: 3/7 T

La segunda señora emplea 2/5 de T luego le quedan: 3/5 T

Si sumamos lo que les queda a ambas tendremos :

T

Pero lo que nos piden es la fracción del contenido total (“T) que se compró al inicio; esto nos lleva a hacer el siguiente arreglo :

ó ó

Del total de detergente comprado por

ambas señoras queda sin usar 18/35

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08

1).- Timo tiene cierto numero de gallinas. Al ser victima de un robo pierde 2/9 del total, menos 5 gallinas. Por otro lado compra 37 gallinas y se percata que el número primitivo quedó aumentado en 1/6. ¿Cuantas gallinas le robaron?

a) 18 b) 24 c) 16d) 17 e)19

2).- Halla “a”:

a1)+ (0.a2)+(0.a3)=10(1.4)

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3).- Halla:

S=

a) b) c) 0.9

d) 0.47 e)

4).- Edy tenía cierta cantidad de dinero, luego gastó ½ de lo que no gastó, después no regaló 1/3 de lo que regaló, finalmente pagó una deuda de S/.50 y le quedó S/.30. ¿Cuánto tenia al inicio?.

a) 80 b) 420 c) 810d) 480 e) 920

5).- ¿Qué fracción del área del cuadrado es el área de la región sombreada?.

a)

b)

c)

d)

e)

6).- 2/3 de los profesores de un colegio son mujeres, 12 de los varones son solteros, mientras que los 3/5 de los profesores hombres, son casados. El numero total de profesores de ese colegio es:

a) 90 b) 60 c) 129d) 80 e) 100

7).- Para una función de cine se venden 2/3 de los asientos de mezanine y 4/5 de los asientos de platea. Si hay tantos asientos de mezanine como de platea.

142

A D

B C



¿Qué fracción del total de asientos del cine no se vendieron en esa función?.

a) b) c)

d) e)

8).- Una pelota de jebe cada vez que rebota se eleva los 3/4 de la altura de donde cayó, después de 5 rebotes la pelota se ha elevado 4.86m. ¿Que altura cayo al inicio?.

a) 2016 cm b) 2048 cmc) 4860 cm d) 4680 cme) 2118 cm

9).- Un niño compra limones a 6 por S/.4 y los vende a 8 por S/.6, para ganar S/.10 debe vender:

a)120 limones b)150 c)100d)180 e)200

10).- Con 5/8 de litro se puede llenar los 5/18 de una botella, cuando falte 5/3 de litro para llenarla botella. ¿Que parte de la botella estará llena?.

a) b) 9 c)

d) e)

11).- Halla “a”:

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

12).- Halla (a + b)

a)10 b)11 c)12

d)13 e)14

13).- Efectúa:

E =( )2

a) b) c)

d) e)

14).- Halla la suma de 2 fracciones que tengan por numerador 1, por denominador dos números consecutivos y que comprendan entre ellos a 7/41.

a) b) c)

d) e)

15).- Si: a + b = ab = 0.1; a < b

Halla:

a) 3/8 b) 5/8 c) 7/9d) 13/4 e) 8/13

16).- Un jugador pierde en cada uno de los tres juegos sucesivos 1/3 de lo que le queda y en el cuarto juego gana el doble de lo que le quedaba después del tercero, resultando con S/.8 800. ¿Cuánto tenia al inicio?.a) 9800 b) 10200c) 10110 d) 9950 e) 9900

17).- He gastado 7/8 de mi dinero, pero si en lugar de haber gastado los 7/8 hubiera gastado los 3/5 ahora tendría S/.5687 más. ¿Cuánto tenia?.a) 20490 b) 20980c) 21760 d) 21840 e) 20680

18).- Se reparte una cierta cantidad de dinero entre cierto numero de personas. La primera recibe S/.100 y 1/12 del resto, la segunda S/. 200 y 1/12 del

resto, la tercera S/.300 y 1/12 del resto y así sucesivamente. De esta manera todas ellas han recibido lo mismo y se ha repartido la cantidad íntegra. Halla el número de personas.a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

19).- Pocho compra vasos: la tercera parte a 4 por S/.6, la mitad a 6 por S/.7 y el resto a 3 por S/. 4. Vende los 2/3 a 3 por S/.5 y las demás a 6 por S/.9. Si gana en total S/.143. ¿Qué numero de vasos vendió?.a) 468 b) 452 c) 484d) 437 e) 428

20).- El agua contenida en un pozo, se agota en 3 horas; cada hora el nivel de agua desciende la mitad de la altura mas 1m. Determina en metros la profundidad del pozo.a) 12m b) 16m c) 10md) 14m e) 8m

21).- Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes; si se sacara 15000 litros quedará llena hasta su ¼ parte. ¿Cuánto le falta para llenarla?a) 46000lt b) 15000lt c) 22000ltd) 12000lt e) 24000lt

22).- La hermana de César tiene 25 años, pero gusta aumentarse la edad en sus 2/5 frente a sus amigos. ¿Qué edad dice tener?a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

23).- Un jugador en su primer juego, pierde la mitad de su dinero, en el segundo juego pierde 1/4 de los que le quedaba y en le tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto. ¿Qué fracción del dinero inicial le ha quedado?a) 11/28 b) 9/28 c)13/28 d) 17/28 e) 15/28

24).- Si dejamos caer una pelota desde cierta altura. ¿Cuál es está altura sabiendo que después del cuarto rebote se eleva 32cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior?a) 81cm b) 162cm c) 324cm d) 62cm e) 72cm

25).- En un molino se tiene cierta cantidad de toneladas de harina de las que se vende 1/4. Luego se vende 1/3 del resto quedando por vender 24 toneladas. ¿Cuántas toneladas de harina había inicialmente?a) 36 b) 48 c) 24d) 34 e) 26

26).- ¿Qué parte de 3 1/3 es lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5?a) 11/45 b) 9/150 c) 13/150d) 2/5 e) 41/150

27).- Una piscina esta llena hasta sus 3/4 partes. Si se sacara 30000lt quedaría llena hasta la mitad de la cantidad inicial. ¿Cuánto le falta para llenarla?a) 80000lt b) 40000lt c) 20000ltd) 50000lt e) 30000lt

28).- En una clase de “x” alumnos, la tercera parte de los ausentes es igual a la séptima parte de los presentes. ¿Qué fracción de los alumnos estuvieron ausentes?a) 3/10 b) 7/10 c) 4/10d) 6/10 e) 9/10

29).- Se distribuyó 300lt de gasolina entre 3 depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los 2 primeros?a) 1/3 b) 1/3 c) 27/20d) 11/15 e) 1/4

30).- En un salón de “x” alumnos 2/3 dieron examen y los 3/7 de éstos desaprobaron, de los cuales solo 1/4

143



tuvieron notas mayores que 15. ¿Cuántos dieron examen, si los que tienen nota arriba de 15 son 6?a) 84 b) 56 c) 28d) 4 e) 10

CLAVES DE RESPUESTAS

1) e 2) d 3) b 4)d 5) e6) a 7) a 8) b 9)a 10) e11) d 12) d 13) a 14)e 15) b16) e 17) e 18) a 19)a 20) d21) d 22) e 23) b 24)b 25) b26) c 27) e 28) b 29)a 30) b

IX. PERÌMETRO DE ÀREAS Y REGIONES SOMBREADAS

1.- CARACTERÍSTICAS

- “Las regiones sombreadas” son una porción del plano que están delimitadas a través de una línea cerrada sea poligonal o una curva cualquiera.

- La medida de la extensión de la superficie limitada se llama ÁREA; se expresa en unidades cuadradas (m2, km2, u2) y se simboliza con la letra “S”.

- La línea que conforma el borde de la figura cerrada se llama PERÍMETRO y se simboliza por “2p”

2.- PERÍMETROS DE LAS PRINCIPALES REGIONES PLANAS

2p = 4l 2p=2a + 2b

2p=a + b + c 2p = 2R

3.- ÁREAS DE REGIONES TRIÁNGULARES

a)

Fórmula General :

b)

Donde : p = semiperímetro

c)

4.- PROPIEDADES BÁSICAS

a)

b)

c)

: Ceviana relativa a

d)

: Mediana relativa a

e)

G : Baricentro del ABC

f)

Si ABC MNP

5.- ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

a) Cuadrado

2

1

MNP

ABC

h

h

S

S

n

m

S

S

BNC

ABN

n

m

S

S

BNC

ABM

22

21

2

2

2

2

2

2

MNP

ABC

h

h

n

b

mp

cS

S

144l

l

b

a

a b

c

R

A

B

b

B

AC b

C

AB

h

b

h

C

h

c

A b

B

C

a

c

A b

B

C

A m

B

C

h

P

M Nn

A b

B

C

h1

M b

N

P

h2

A N

B

Cnm

A

B

CM aa

A

B

C

GSS

SS S

S

A

B

Cb

h1

ac

M

N

Pn

h2

mp

B C

A D

dl

2d

S2

S = l2



ò

b) Rectángulo

c) Rombo

d) Paralelogramo

6.- RELACION DE ÁREAS

a) En todo cuadrilátero

b) En todo paralelogramo

7.- ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

a) Área de un Círculo.

b) Área de un sector circular

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Hallar el área de la región sombreada.

Solución :

S =

S = 64 -

S = 8 (8 - )

2) Halla el valor de “S”.

Solución :Prolongando y uniendo se tiene:

5S = a2

S =

3) Calcula el área de la región sombreada si el área de la región triangular ABC es 120U2

Solución :

es ceviana

SABC = SABN + SBNC = 120 = 4S + 8S = 120 12S = 120 S = 10

S ABN = 4S = 4(10) = 40U2

4) Halla el área del círculo sombreado.

2bxa

S

2

dxdS 21

145

B C

A D

a

d

d1

d2

h

b

S = b x h

A

B

C

D

A . C = B . D

S1

S1 = S2S2

AA = B = C = D

B

C

D

A

B = A + CB

C

R

So = R2

A

R

B

O S AOB =

8

8

8

84 4

a

S

S

A

B

C84

A

B

C84

4S8S



Solución :

Hallando el radio menor “r”

+ r = + 1

R ( +1) = +1r = 1 SO = (1)2 =


1).- Halla el área del triángulo ABC si las áreas de los cuadrados son: 2, 3 y 6 cm2

a) 26cm2 b) 16 cm2 c) 11 cm2

d) 1 cm2 e) cm2

2).- En la figura. Halla el área máxima de la figura sombreada. O centro.

a) R2/8 b) R2/4 c) R2/2d) R2 e) 2R2

3).- ABCD: cuadrado de lado 2 m. Calcula el área del triángulo sombreado.O : pto medio de ADM : pto medio del arco BD.

a) 2 m2

b) 2

c)

d) e) N.A.

4).- Calcula el área del triángulo ABC en el cual sus sagitas miden 1 y 2m.

a) 16b) 18c) 20d) 22 e) 24

5).- Calcula el área del triángulo curvilíneo ABC.

a) R2

b) R2

c) R2

d) R2

e) N.A.

6).- Calcula el área del triángulo curvilíneo sombreado, siendo.

R= m

a) (- )m2

b) m2

c) m2

d) (- )m2

e) /2 m2

7).- En el semicírculo de centro “O” halla el área de la región sombreada, siendo CH=a.

a) b) c)

d) e)

8).- PB=4n,calcula el área de la región triangular.

a) 0,5u2

b) 1u2

c) 2u2

d) 2,5u2

e) 3u2

9).- ABCD: cuadrado. Calcula el área sombreada (“O” es centro de la figura)

a) 4[( +1)-1]m2 b) 4[( -1)-1]m2

c) 2[( -1)]m2 d) 2[( -1)-]m2

e) N.A.

10).- Determina el perímetro de la región sombreada, R=2cm.(OM=MB)

a) (3+ )

b)

c)

d)

e)

11).- Determina el área de la región sombreada. ESUJ : cuadrado

a) 4(-2 )u2 b) 18(+2 )

c) 18(-2 ) d) 8(+2 )

e) 8(-2 )

12).- Halla el área de la región sombreada.I Incentro del triángulo JAR

146

A C

B2cm2

3cm2

6cm2

R

O

A D

B C

O

M

CA

B

21

RR

R

B

CA

R R

R

HO

C

45°

B

P

O

A D

B

2 m

C

O

A

BO

C

M

J U

E S

8u

13 15

J

I

RA14

B

O A

B

O Ar

r

rr

O1

O1

rO

r

PP

r

r



a) 40m2 b) 46 c) 50d) 56 e) 60

13).- Si el área del triángulo ABC es “J”m2

Halla el área de la región sombreada:

a) J/18 m2

b) J/12c) J/24d) J/6e) N.A.

14).- Halla el área de la región sombrada si el triángulo ABC equilátero de área 16 cm2

a)

b)

c) 5

d)

e)

15).- O,P son centros. Halla el área de la región sombreada.

a) 24b) 72c) 48d) 54e) 36

16).- La figura muestra un paralelogramo. Halla el área de la región sombreada.

a) a2/5 b) a2/6 c) a2/10d) a2/4 e) a2/8

17).- Halla el área de la región sombreada si ABCD es un rombo A y C son centros.

a) 2b) 2c) 3d) 3

e)

18).- Halla el perímetro de la región sombreada si el diámetro AB mide 12cm.

a) 3cm2 b) 5 c) 7 d) 16 e) 11

19).- Halla el perímetro de la región sombreada si AB=8cm.

a) 8cm b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

20).- Determina el área de la región sombreada si BE-CD = 9cm y BE-AF=3cm

a) 52cm2 b) 56 c) 44 d) 54 e) 42

21).- ABCD es un paralelogramo . Si S1 = 10m2 y S3 = 15m2. Calcula S2.

a) 5m2 b) 15 m2 c) 7,5 m2

d) 6 m2 e) 5 m2

22).- ABCD es una paralelogramo y su área es 40m2. Calcula el área de la figura sombreada.

a) 10m2 b) 2 m2 c) 12 m2

d) 25 m2 e) 15 m2

23).- En la figura halla el área del triángulo DEF, si el área del triángulo ABC es 24m2.

a) 2m2 b) 3 m2 c) 3,5 m2

d) 1 m2 e) 4 m2

24).- En la figura P; Q y R son puntos medios. Calcula el área de la figura sombreada ; si el área de ABC es 28m2.

a) 5m2 b) 6 m2 c) 7 m2

d) 4 m2 e) 3 m2

25).- El lado del cuadrado mide “a”. Calcula el área de la figura sombreada.

147

a

B

CAa

aa

3aa

2a

A

B

C

74°

P

12O

a

a

BO

A

BO

A

C

JA

60°

E S

2

2

A

B

C

6F E D

10

A D

CB

S1

S2

S3

A D

CB1

3

P

E

CAD

B

a

2aF

Q

R

C

B

A

P

A D

B C

a

a



a) a2/3 b) a2/4 c) a2/6d) a2/3 e) 5 a2/12

26).- SI ABCD es un rectángulo y DE=2/3 EC. Calcula el área de la figura sombreada. Además el área ABCD es 40m2.

a) 8m2 b) 16 m2 c) 12 m2

d) 10 m2 e) 14 m2

27).- El área de ABC es 16m2. Calcula el área de la figura sombreada.

a) 4 m2 b) 8 m2 c) 2 m2

d) 6 m2 e) 5 m2

28).- En el siguiente cuadrado, calcula el área de la región sombreada.

a) 2 m2 b) 3/2 m2 c) 4/3 m2

d) 5 m2 e) 7/2 m2

29).- Del siguiente cuadrado cuyo lado es “a”cm, determina el área de la región sombreada.

a) a2/16 b) a2/10 c) a2/15d) 2a2/9 e) a2/12

30).- ABCD es un cuadrado de 20m de lado. Halla el área sombreada.

a) 100m2 b) 120 m2

c) 220 m2 d) 200 m2

e) 180 m2

31).- Si ABCD es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada, además AC = 10 m.

a) 25u2 b) 20 u2 c) 15 u2

d) 30 u2 e) 35 u2

32).- El lado del cuadrado mide 4cm. Halla el área de la región sombreada.

a) 16cm2 b) 8cm2 c) 12 cm2

d) 10 cm2 e) 14 cm2

33).- Halla el área de la superficie sombreada, si el lado cuadrado mide 10cm.

a) 72cm2 b) 78 cm2 c) 80 cm2

d) 75 cm2 e) 60 cm2

34).- Halla el área de la región sombreada.

a) 8 cm2 b) 24 cm2 c) 20 cm2

d) 16 cm2 e) 18 cm2

35).- Si M y N son puntos medios, halla la relación del área sombreada con el área no sombreada de la figura (cuadrado)

a) 1: 3 b) 1 : 6 c) 2 : 7d) 3 : 7 e) 2 : 3

36).- En la figura el área de ABCD es 30m2. Halla el área de la superficie sombreada (ABCD es un paralelogramo)

a) 10m2 b) 20 m2 c) 15 m2

d) 5 m2 e) 18 m2

37).- Halla la parte sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado “L”

148

D C

A B

E

R

B

C

a

3aP

QA

A D

B C

2mE

A D

B C

a

a

A D

B Ca

A D

B C

A D

B C

A D

B C

4m 4m

4m

A D

B C

MN

D C

BA

A

B

D

C



a) 3L2/4 b) 2L2/3 c) 2L2

d) 3L2/16 e) 5L2/2


a) a2/3 b) a2/2 c) a2/4d) a2/5 e) a2/6


a) a2/6 b) a2/4 c) 2a2/6d) a2/5 e) 3a2/5


a) a2(-2) b) a2(-1)c) 2a2(-2) d) 3a2(-1)e) 4a2(-2)

CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 2) d 3) b 4)d 5) e

6) a 7) a 8) b 9)a 10) e

11) d 12) d 13) a 14)e 15) b

16) e 17) e 18) a 19)a 20) d

21) a 22) e 23) a 24)d 25) a

26) a 27) d 28) c 29)e 30) b

31) a 32) b 33) d 34)a 35) a

36) c 37) d 38) a 39)b 40) b

X. INTRODUCIÒN AL ANÁLISIS COMBINATORIO

1.- INTRODUCCIÓNEl análisis combinatorio estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado.La teoría combinatoria es de gran utilidad en el campo de las probabilidades y la estadística. Así como también en el diseño y funcionamiento de ordenadores o computadoras.En este capítulo trataremos sobre las diferentes formas de agrupar los elementos mediante una combinación(C), permutación o variación (V) para lo cual nos apoyaremos en la teoría de factorial de un número.

2.- FACTORIAL DE UN NÚMERO (! ) (L)

Se define como el producto de todos los enteros positivos y consecutivos comprendidos entre la unidad y el número dado, incluyendo a ambos.

4 = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 4 x 3 x 2 x 1 4! = 24

5 = 5 x 4! = 5(24) 5! = 120

6 = 6 x 5! = 6(120) 6! = 720

n! = n (n – 1) !Por convención se acepta que :

1 ¡ = 1 = 1 ; 0! = 0 = 1

EJEMPLO

1) Simplifica la siguiente expresión:

E =

Solución :E =

E = 36

3.- TEOREMA FUNDAMENTAL

3.1.- PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Si un evento (suceso) se puede realizar de “M” maneras diferentes y un segundo evento se puede realizar de “N” maneras distintas, entonces, ambos sucesos en conjunto se podrán efectuar de “M x N” formas distintas , es decir :

M y N = MN

Ejemplo :

- De cuántas formas diferentes se puede formar una pareja de baile con 3 varones y 2 damas.

Solución :

V1 D1 V1D1 ; V2D1 ; V3D1

V2 D2 V1D2; V2D2 ; V3D3

V3

Observación .- Cuando los eventos se realizan en forma simultánea se aplicará este método. El conectivo “y” indica la simultaneidad de las operaciones.

Varón y Dama (a la vez)3 x 2 = 6 maneras

N° de posibilidades

3.2.- PRINCIPIO DE ADICIÓN

Si un evento se puede realizar de “M” maneras diferentes o un segundo evento puede realizarse de “N” maneras distintas, entonces, ambos sucesos en conjunto se podrán efectuar de “M + N” formas distintas; es decir :

M ó N = M + N

Ejemplo :Sabiendo que para viajar de Lima a Ica se cuenta con 2 barcos , 3 aviones y 4 buses. ¿De cuántas maneras puedes viajar a Ica?

Solución :Para viaja a Ica, se puede hacer, ya sea en : Barco o avión o bus, pero no en barco y avión al mismo tiempo.

Entonces :

149

a

a

a/2

a/2

a

a

a

aa

6 formas diferentes



P(n) = n!

Barco o avión o bus.2 + 3 + 4 = 9 maneras

n° Posibilidades

Observación .- Cuando los eventos no se pueden realizar en forma simultánea se aplica el principio aditivo, donde el conectivo “o” indica que los eventos no son simultáneos.

4.- COMBINACIÓNEs el número de GRUPOS que se pueden formar al tomar todos o parte de los elementos de un total dado, SIN INTERESAR EL ORDEN. De modo que cada grupo se diferencia en por lo menos un elemento.En general :

Donde :n : total de elementosK : número de elementos que se toman.

O también :

Ejemplo :Con Patty, Vanesa y Cinthya. ¿Cuántos grupos de dos personas se pueden formar?Solución :

No importa el orden

Patty , Vanesa = Vanesa, Patty Vanesa, Cinthya Cinthya, Patty

3 grupos diferentes

Aplicando combinación :

5.- PERMUTACIÓNSon todas las ordenaciones diferentes, que se pueden formar utilizando TODOS los elementos del conjunto dado, INTERESANDO EL ORDEN y diferenciándose cada grupo de otro ya sea en por lo menos un elemento, o por la ubicación de estos.

5.1.- Permutación Lineal Simple P(n)Cuando se toman todos los elementos para ordenarlos del conjunto dado.

En general :

Ejemplo :En las “Olimpiadas Deportivas 2003” participaron 4 atletas finalistas. ¿De cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta, si no hay empates?

Solución :Sean los atletas: A; B ; C y D

Lugar : 1° 2° 3° 4° 1° 2° 3° 4°

Interesa el orden

Número de maneras=P(4)=4!=4 x 3 x 2 x = 24

5.2.- Permutación Circular En este caso la ordenación de elementos es alrededor de un objeto; por lo que no habrá primer ni último elemento para calcular el total de permutaciones circulares de “n” elementos basta fijar la posición de un elemento cualquiera y los (n –1) sobrantes se podrán permutar (ordenar) de (n-1)! manera.En general :

= (n – 1)!

Ejemplo :De cuantas maneras distintas se pueden sentar 4 personas alrededor

Ejemplo :De cuantas maneras distintas se pueden sentar 4 personas alrededor de una mesa?

= (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

maneras

5.3.- Permutación con Repetición Es el arreglo de elementos en donde algunos de ellos se repiten.Si se tienen “N” objetos (elementos) donde:

k1 : Objetos repetidos de 1° clase.k2 : Objetos repetidos de 2° clase.kn : Objetos repetidos de n-enesima clase.

Entonces :

=

Ejemplo:Se tienen 3 bolas rojas y 2 negras todas enumeradas de 1 al 5. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en fila?Solución :

N = 5k1 = 3 (rojas)k2 = 2 (negras)

6.- VARIACIÓN

Son las ordenaciones que se pueden formar con una PARTE de los elementos del conjunto dado, INTERESANDO EL ORDEN.

En general :

0 < k N

O también :

Ejemplo :¿Cuántos números de dos cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 2, 3 y 4?Solución :

importa el orden 23 32

23, 32, 24, 34, 42, 43 = 6 números diferentes.Aplicando variación tenemos:

= 3 x 2 = 6 números diferentes.

OBSERVACIÓN :Para la solución de estos problemas es necesario saber antes que situación nos encontramos (combinación, permutación o variación) para ello bastará recordar sus características; en resumen :

ORDEN DE ELEMENTOS

CANTIDAD DE ELEMENTOS

IMPORTANO

IMPORTAENTRAN TODOS

NO ENTRAN TODOS

Permutación ------ ------

Variación ------ ------

Combinación ------


1).- Simplifica la siguiente expresión :

A B C D D C B A

150



E =

a) 35 b) 38 c) 37d) 40 e) 41

2).- Simplifica :

E =

a) 32 b) 33 c) 34d) 35 e) 31

3).- Determina el valor de :E =

a) 600 b) 601 c) 599d) 602 e) 603

4).- Simplifica la siguiente expresión :E =

a) 62! – 61! b) 84! – 50!c) 61!/31! d) 65! / 50!e) 60! / 40!

5).- Halla “x” en la expresión :

a) 15 b) 13 c) 11d) 12 e) 10

6).- Halla la suma de los valores de (x!)!, si : (x – 2)!= 1

a) 700 b) 720 c) 722d) 718 e) N.A.

7).- Calcula :

E =

a) 1 b) 1/2 c) 2d) 0 e) 2,5

8).- Calcula el valor de A.

A =

a) 3500 b) 3620c) 3600 d) 4200e) N.A.

9).- Reduce :

M =

a) 9! b) 720 c) 8!d) 7! e) 241

10).- Reduce :

M =

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

11).- ¿De cuantas formas diferentes se pueden formar una pareja de baile con 3 varones y 5 damas?

a) 8 b) 15 c) 6d) 10 e) 9

12).- Un alumno tiene 5 camisas de diferentes colores, 4 pantalones distintos y 3 pares de zapatos diferentes. ¿De cuántas maneras distintas se podrá vestir?a) 9 b) 20 c) 60d) 12 e) 30

13).- Yanina tiene 4 polos, 5 blusas y 3 pantalones. ¿De cuántas maneras diferentes podrá combinar los polos o blusas con los pantalones?

a) 12 b) 60 c) 27d) 11 e) N.A.

14).- Claudia desea viajar de Lima a Iquitos y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar su viaje?.

a) 10 b) 7 c) 6d) 4 e) 12

15).- Juan consulta en tres tiendas comerciales para comprar un televisor, donde le ofrecieron 3, 5 y 6 líneas de crédito, respectivamente, todas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede adquirir su TV escogiendo una de las líneas de crédito?

a) 3 b) 8 c) 90d) 14 e) 12

16).- ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar , si la ruta de regreso debe ser diferente a la deuda.

a) 400 b) 380 c) 240d) 399 e) 401

17).- ¿Cuántos números de 3 cifras existen?

a) 99 b) 999 c) 899d) 900 e) 100

18).- Se tiene seis libros diferentes de Razonamiento Matemático. ¿De cuántas

formas distintas pueden ordenarse en un estante donde sólo entran cuatro libros?

a) 21 b) 720 c) 360d) 480 e) 600

19).- ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en una fila, Renato, Adriana y Sheyla?

a) 3 b) 6 c) 9d) 5 e) 8

20).- Un vendedor tiene que visitar las ciudades A, B y C. ¿De cuántas maneras podrá programar su itinerario de viaje?

a) 9 b) 8 c) 6d) 3 e) 12

21).- ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra ARMO?

a) 12 b) 8 c) 4d) 24 e) 16

22).- Una cómoda tiene 5 cajones; ¿de cuántas maneras se pueden guardar en estos cajones, 5 prendas de vestir diferentes, una en cada cajón?

a) 100 b) 25 c) 120d) 60 e) 50

23).- ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se pueden determinar con las cifras: 8; 5; 1 ; 3?

a) 16 b) 8 c) 12d) 24 e) 4

24).- En un campeonato cuadrangular de fútbol, ¿de cuántas maneras podrá quedar la posición de los 4 equipos?

a) 16 b) 4 c) 24d) 8 e) 256

151

LIMA ICA TACNA



25).- En una bodega venden caramelos, chocolates, galletas y chicles. Un niño tiene dinero para comprar sólo 2 de estas golosinas. ¿De cuántas maneras podrá hacer dicha elección?

a) 4 b) 8 c) 16d) 12 e) 6

26).- Rita tiene 7 blusas de diferente color; si va a realizar un viaje y sólo puede llevar en su equipaje 4 blusas, ¿de cuántas maneras podrá escoger dichas blusas?

a) 70 b) 220 c) 135d) 840 e) 35

27).- Con las cifras: 2; 4; 5; 7; 9 ¿cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar?

a) 120 b) 10 c) 60d) 30 e) 45

28).- En una carrera de caballos, participan 6 de estos ejemplares. ¿De cuántas maneras podrán ocupar los primeros 3 puestos?

a) 120 b) 180 c) 60d) 240 e) 20

29).- Un alumno tiene que pintar una bandera de 3 colores diferentes. Si dispone para ello de 7 colores, ¿de cuántas maneras podrá pintar la bandera?

a) 70 b) 35 c) 180d) 210 e) 63

30).- Una persona, generalmente come 2 platos diferentes. Si le presentan una lista de 8 platos diferentes, ¿de cuántas maneras podrá hacer su elección?

a) 28 b) 16 c) 56d) 36 e) 6

31).- Se tienen 6 llaves y 2 candados; si entre las llaves están las 2 que abren a los candados. ¿Cuántos intentos, como máximo, se podrán hacer hasta encontrar las llaves correctas?

a) 30 b) 360 c) 180d) 120 e) 60

32).- Un vendedor de cerveza visita 2 veces a la semana a un distribuidor. ¿De cuantas maneras podrá el vendedor escoger dichos días de visita?

a) 42 b) 12 c) 24d) 21 e) 45

33).- En una reunión de diplomáticos, se hablan 5 idiomas diferentes. ¿Cuántos traductores bilingües se necesitan por lo menos?

a) 15 b) 12 c) 10d) 60 e) 5

34).- Un club tiene 20 socios. ¿De cuántas maneras se podrá formar una comisión de 3 miembros?

a) 570 b) 2280 c) 2210d) 1140 e) 6840

35).- Un padre tiene quintillizos y compro 5 regalos diferentes. ¿De cuántas maneras podrá entregar dichos obsequios?

a) 60 b) 5 c) 20d) 120 e) 15

36).- Se tiene 5 vinos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá hacer una mezcla con 2 vinos diferentes?

a) 10 b) 20 c) 32d) 5 e) 25

37).- En un mercado hay 6 puertas. el administrador debe colocar un guardián

en cada puerta. Como sólo logró contratar a 2, ¿de cuántas maneras podrá escoger 2 puertas para colocar a dichos guardias?

a) 30 b) 12 c) 6d) 15 e) 8

38).- Un fin de semana, un muchacho es invitado a 5 fiestas, pero sólo pudo ir a 2 de ellas. ¿De cuántas maneras pudo haber hecho la elección?

a) 5 b) 25 c) 15d) 20 e) 10

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) d 3) b 4)c 5) a

6) c 7) b 8) c 9)d 10) c

11) b 12) c 13) c 14)b 15) d

16) b 17) d 18) c 19)b 20) c

21) d 22) c 23) d 24)c 25) e

26) e 27) c 28) a 29)d 30) a

31) a 32) d 33) c 34)d 35) d

36) a 37) a 38) e

152

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