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I. FUNCIONES Y RELACIONES

A. FUNCIONES

Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos X e Y de tal manera que a cada elemento del conjunto X, le corresponde un ÚNICO elemento del conjunto Y, al primer conjunto se le llama DOMINIO y a el segundo conjunto se le llama imagen o recorrido.

X= {1,2,3,4 } dominio Y= {a,b,c,d } imagen

Retomemos la función 2 3f x x y completemos la siguiente tabla.

Algunos valores del dominio (valores que puede aceptar x) Algunos valores que toma la imagen (valores que toma y)

Puntos de la gráfica de la función 2 3f x x

x y f x ,x y

–3 12 (–3, 12)

–2 7 (–2, 7)

–1 4 (–1, 4)

0 3 (0, 3)

1 4 (1, 4)

2 7 (2, 7)

3 12 (3, 12)

Una función se denota como: f x “efe de equis”.

Una función puede ser representada por medio de una expresión algebraica, por ejemplo:

2 3f x x “efe de equis igual a equis cuadrada más tres”

En la función f x de arriba, tenemos 1 bf , 2 cf , 2 cf , 3 df , 4 bf

Cálculos de algunos valores de la imagen

2

–3 –3 3 9 3 12f

2

–2 –2 3 4 3 7f

2

–1 –1 3 1 3 4f

2

0 0 3 0 3 3f

2

1 1 3 1 3 4f

2

2 2 3 4 3 7f

2

3 3 3 9 3 12f

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Ahora si graficamos los puntos (x, y) en el

plano cartesiano tenemos, la gráfica de f x ,

ten en consideración que los valores asignados a “x” sólo son algunos valores del dominio de la función, por lo que tendrás que dar más valores si es necesario para poder determinar de manera correcta el dominio de dicha función Ahora para determinar el dominio de la función (Df) tendrás que observar la gráfica de izquierda a derecha observando hacia la gráfica, lo cual podrás ver que su dominio es:

Df = ( , )

En todo momento observas la gráfica a través del eje “x”

Para determinar la imagen de la función (If) tendrás que girar tu cuaderno (tu gráfica) hacia la izquierda 90° y observar ahora la gráfica de abajo hacia arriba (derecha-izquierda) hacia la gráfica, lo cual podrás ver que su imagen es:

If = (3, )

Observa las flechas rojas, estas líneas NO observan

gráfica a través del eje “y”. Se observa gráfica a través del eje “y” desde 3

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x

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Ejercicios.- Obtén la gráfica, el dominio y la imagen de las siguientes funciones

(a) 1

( )1

f xx

(b) ( ) 1f x x (c) ( )2

xf x

x

(d) 1

( )3

f xx

(e) 2y x (f) 24y x

(g) 23y x x (h) 3

4y

x

(i)

2

1

1y

x

(j) 2 3y x (k) 1

( ) 23

f xx

(l) 2

1( )f x

x

(m) 1

( )1

f xx

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B. DOMINIO DE FUNCIONES SIN GRAFICAR

Ahora que ya sabes cuál es el dominio de una función (valores posibles para x), vamos a encontrar dicho dominio sin graficar la función.

Ejemplo 1: Encontrar el dominio de la función

1

3f x

x

Como podrás observar, la función es un quebrado, entonces la parte de abajo no podría tomar el valor de cero.

Entonces ¿Cuándo 3x vale cero? Veamos:

3 0x despejando a “x”

3x Es decir, cuando 3x la expresión 3x vale cero, entonces el valor que no puede tomar x es 3x , por lo tanto su dominio es:

Ejemplo 2: 2 1

xf x

x

Ahora, al igual que en el ejemplo anterior, la parte de abajo 2 1x no puede ser cero, entonces

2 1 0x Despejando a x

2 1x ¿Qué número al cuadrado resulta 1? Pues parece que no es difícil ver que:

2

1 1 pero también 2

1 1

entonces los valores que x no podrá tomar son 1 y –1, ya que 2 1x vale cero en dichos

valores. El dominio de la función 2 1

xf x

x es:

Recuerda: La parte completa de abajo ( 3x ) no debe ser cero, NO sólo el valor de x.

, 3 3,

, 3 3,fD

, 1 1,1 1,

, 1 1,1 1,fD

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Ejemplo 3: 2f x x

Bueno, ahora ya no tenemos un quebrado, pero aparece una raíz (radical) y, como ya sabemos, las raíces cuadradas de números negativos no existen.

Entonces lo que tenemos dentro del radical 2x deberá ser cero o positivo, recuerda toda la expresión dentro del radical 2x deberá ser mayor o igual a cero NO el valor de x. Veamos entonces ¿Dónde 2 0x ? Despejando: 2x

como sí se puede tomar el valor de –2 se pone corchete “ [ ”, si no se pudiera tomar el valor de x, como en los ejemplos anteriores que x no podía ser uno por ejemplo, se pone paréntesis “ ( ”.

Ejemplo 4:

1

1f x

x

Esta función tiene tanto un quebrado como un radical, es decir, lo de abajo no debe ser cero

y, lo que está adentro del radical 1x debe ser mayor o igual a cero, o sea:

1 0x

como 1x se encuentra debajo de la función, x no puede ser +1, ya que 1–1=0, es decir: 1 0x “ 1x ” estrictamente mayor de cero.

despejando x: 1x

Recuerda: en la raíz cúbica 3 , sí hay

raíces de números negativos.

3 1 1 porque 1 1 1 1

3 8 2 porque 2 2 2 8

números mayores o iguales a –2

mayor que –2 2.5 y 2.5menor que –2 2,fD

1,fD www.calix

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Ejercicios: Encuentra el dominio de las funciones

a)

1

4f x

x b)

1

2f x

x c) 3f x x

d) 2

xf x

x e)

2

1

4f x

x f) 2 4f x x

g) 2 9f x x h) 2

1

3f x

x i)

1f x

x

j) 5f x x k)

1

3f x

x l)

2

3 1f x

x

m) 2 3

xf x

x n)

1

4 5

xf x

x

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C. TIPOS DE FUNCIONES

1. FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es inyectiva si a cada par de elementos diferentes del dominio le corresponden dos elementos diferentes de la imagen.

Para determinar si una función es inyectiva, traza su gráfica y si al poner rectas horizontales sobre dicha gráfica es cortada más de una ocasión entonces la función NO es inyectiva, en caso contrario lo será.

2. FUNCIÓN SUPRAYECTIVA

Una función es suprayectiva (sobreyectiva) si el contradominio de ésta es igual a su imagen. Recuerda que todas las funciones consideradas tienen como contradominio a los números reales ℝ, es decir una función va a ser suprayectiva si su imagen son los números reales.

3. FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva si inyectiva y suprayectiva a la vez.

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como y es positiva “+4y”, la dejamos ahí, del lado derecho de la igualdad y quitamos el –3

D. FUNCIÓN INVERSA

Dada una función f x , la función inversa de ésta se obtiene de la siguiente manera:

Encontrar la función inversa de 4 3f x x

Primero, si nos dan la función como f x , la cambiamos por y, es decir, en nuestro

caso:

4 3

4 3

f x x

y x

Ahora lo que hacemos es cambiar a las x por y y a las y por x 4 3

4 3

y x

x y

En seguida despejamos a y y este despeje representa la función inversa de la función dada.

4 3

3 4

x y

x y

Ahora sólo falta quitarle a y el 4 que está multiplicando con ella 3

4

xy

Para representar la función inversa de una función f se utiliza la notación 1f

(f menos uno de x), es decir:

1

3

4

3

4

xy

xf x

La función inversa de 4 3f x x es:

1 3

4

xf x

Ejemplo 1.- Encontrar la función inversa de 1x

f xx

Tomamos la función 1x

f xx

que es igual a

1xy

x

, ahora hacemos el cambio

de las x por y y las y por x ( x y )

es lo mismo

cambio de x y

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como y es negativa (–2y) la mandamos a la izquierda de la igualdad, y a x que está a la izquierda la quitamos.

1

1

xy

x

yx

y

Despejando a y tenemos 1y

xy

primero tratamos de que no haya quebrados

1 1 1

1 1

y

y

y x y x yx

y y y

como ahora nuestra ecuación tiene el mismo denominador (y) lo omitimos y sólo nos quedamos con la parte de arriba como ya sabes

1xy y

recuerda que cuando tenemos que despejar una variable que aparece varias veces, hay que “pasar” los términos que tienen dicha variable a un mismo lado de la igualdad

1

1

xy y

xy y

factorizando a y

1 1

1

1

y x

yx

Ejemplo 2.- Encontrar la función inversa de 3 2y x

En este caso nos dan la función con y y no con f x , entonces empezamos con el

cambio de x y

3 2

3 2

y x

x y

despejando a y, elevamos al cuadrado para quitar la raíz cuadrada

22

2

2

3 2

3 2

2 3

x y

x y

y x

finalmente, quitándole el 2 a y

función inversa buscada

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2

21

3

2

3

2

xy

xf x

Ejercicios.- Encontrar la función inversa de las siguientes funciones:

a) 1 4f x x b) 3

5

xf x

c) 1

2

xy

x

d) 2 1f x x

e) 2 1

xf x

x

f)

2 1

5 3

xy

x

g) 3 1

2

xf x

h)

1xy

x

i) 5

3

xy

x

j) 2 3f x x

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