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MATEMÁTICAS V
ECUACIONES DIFERENCIALES
Unidad I.- Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Unidad II.- Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
Unidad III.- Transformadas de la place.
Unidad IV.- Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales Lineales.
Unidad V.- Series de Fourier.
Unidad VI.- Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales.
MATEMÁTICAS V
UNIDAD I
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Es aquella que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos grandes tipos:
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 2. Ecuaciones diferenciales parciales.
Si una ecuación incluye solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
Una ecuación es aquella que tiene al menos una incógnita y signo de igualdad.
X + 7 = 0
Ecuación deferencial.
3dx – ydy = 0
Ecuación diferencial parcial.
d2Td x2
+ d2Tdy
=0
Tiene más de una variable independiente.
Ejemplo de ecuaciones diferenciales ordinarias.
dydx
+2 y=0
d2 yd x2
+3 x=ex
dvdx
+ dudx
=5
MATEMÁTICAS V
V, U, son variables dependientes.
X: Es variable independiente.
El orden de la dx más alta de la ecuación es lo que se llama orden de la ecuación.
Ejemplo:
1. Determine el ejemplo de las siguientes ecuaciones diferenciales.
Ecuación diferencial orden
I.dydx
+5 t=0 primer orden
II.d2 yex
+ dydx
−5 y=ex segundo orden
III. yv+2 y¿−5 y=0 quinto orden
IV. dydx
=√1+( d2 y
d x2¿)¿ segundo orden
Grado de una ecuación dx.
Al igual que un polinomio este se determina por la potencia máxima a la cual esta elevada la derivada más alta (la de mayor orden).
Ejemplo:
2. Determinar el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales.
Ecuación diferencial dx Grado
a.didr
+1=0 primer grado
b.d2id r2
+( didr )2
=3 r primer grado
c. ( d3 yd x3 )2
+ d2 yd x2
+ y=0 segundo grado
3. La variable dependiente no puede estar como argumento de una f ( x ) logarítmica ni como x de una f ( x ) trigonométrica, ni tampoco como exponente de una f ( x ) exponencial.
MATEMÁTICAS V
Linealidad de una ecuación dx :
Se caracteriza por dos propiedades
1) El grado de la variable dependiente y sus derivadas es 1, esto es, el exponente de cada una es 1.
2) El coeficiente de la variable dependiente y sus derivadas solo dependen de la variable independiente.
Una ecuación que no posee esta propiedad se dice que no es lineal.
Ejemplos de ecuaciones dx ordinarias lineales.
(1+x ) dydx
−4 x dydx
+5 y=cos ( x )
dy=variable dependiente
dx=variable independiente
Indica que las siguientes ecuaciones son lineales
a) y y i+9 y=8 x2
b)d2 yd x2
+2 y2=0
Ejercicio:
Mencione k características no cumplen las siguientes ecuaciones para k sean lineales.
a) ydydx
+2 y=4 x
1 grado1 orden El coeficiente de la variable dependiente y de sus dx solo Dependen de la variable independiente.
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b)dydx
+4 y=ex
1 grado1 orden El grado de la variable depende y de sus derivadas.
c)d2 yd x2
+4 y=e2 y
1 grado2 orden La variable dependiente no puede estar como argumento de f ( x )Logatmica ni como angulo de f ( x ) trigonometría ni Tampoco como x2 de una f ( x ) x2.
d) ( d3 yd x3 )2
+( d2 yd x2 )4
+3 y=3 x cos (3 y )
2 grado3 orden La variable no puede esta como argumento de la variable de la f ( x ) logarítmica ni como ángulo de una f ( x ) trigonométrica ni tampoco comox2 de una f ( x ) x2 .
Métodos de separación de variables
Se dice que una ecuación de la forma:
dydx
=g (x)h( y )
(1.1)
Es separable o tiene variables separables. Aquí la función h (y) debe ser diferente de cero para todos los valores de y en los que esta definida.
Método de solución
A partir de la ecuación (1.1) se tiene que
∫ h ( y )dy=∫ g ( x )dx+c
MATEMÁTICAS V
Integrando ambos miembros se obtiene una familia uniparametrica de soluciones, la cual queda expresada implícitamente.
Resolver las siguientes ecuaciones dx ordinarias por el método de separación de variables.
1.dydx
=x
Separamos la variable dependiente y, de la independiente x;
dy = x dx
Se saca la integral a ambos lados
∫ dy=∫ x dx
Sumamos la constante de integración
y= x2
2+c
2.dydx
=cos x
Separamos variables
dy = cos x dxAplicamos la integral
∫ dy=∫cos x dxAgregamos contante de integración
y=sin x+c
3. dx−x2dy=0
Separamos variables
dx=x2dy
Aplicamos la integral
MATEMÁTICAS V
∫ dx
x2=∫dy
∫ x−2dx= y
Agregamos constante de integración
x−1
−1= y+c=1
x= y+c
4. ( x+1 ) dydx
=x
( x+1 )dy=x dx
MÉTODO DE LAS HOMOGÉNEAS (REDUCIBLE A VARIABLES SEPARABLES)
Una f ( x , y ) es homogénea de grado k si.
f (∝ x ,∝ y )=∝k f ( x , y )
Ejemplo:
Especifique el grado de homogeneidad de las siguientes ecuaciones, si es que son homogéneas.
1. (x2+ y2 )dx+ (x2+xy )dy=0
(∝2 x2+∝2 y2 )dx+(∝2 x2+∝ x∝ y )dy=0
Método de solución
Una ecuación homogénea de la forma M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 donde M y N tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables usando cualquiera de las siguientes sustituciones.
y=ux dy=udx+xdu
x=vy dx=vdy+ ydv
Donde U y V nuevas variable dependientes
MATEMÁTICAS V
Aplicando la función de funciones homogéneas se puede reconocer si una ecuación es homogénea examinando el grado de homogeneidad de cada término.
Ejemplo:
Ecuación diferencial Grado
(x2+ y2 )dx+ (x2+xy )dy=02
¿
2x3 ydx+¿+y4 ¿dy=0 4
xdydx
= y+xeyx 1
En los ejercicios del 1 al 3 indique si la ecuación es homogénea. Si lo es, señale el grado de homogeneidad.
Función Homogeneidad
1.-x2+2xy− y3
x homogénea de grado 2
2.- x3 y−x2 y2
x+8 y homogénea de grado 3
3.-cos x2
x+ y no es homogénea
En los problemas de 4 al 6 resuelva la ecuación diferencial homogénea dada usando la sustitución apropiada.
4.- (x-y) dx + x dy =0
Aplicando la sustitución
y=ux ;dy=udx+xdu
(x-ux) dx + x (udx + xdu) = 0 → xdx –uxdx + xudxn + x2du=0
→ (x—ux + ux) dx + x2du = 0
MATEMÁTICAS V
Multiplicando toda la ecuación por 1
x2
(xdx + x2 du = 0)1
x2 →
dxx
+ du = 0
Integrando ambos lados de la ecuación
∫ 1x dx=−∫ du → ln|x|=-u+c
Luego se escribe la ecuación en función de x y de y sustituyendo u = yx
ln|x|= - yx
+ c → xln|x|= - y + xc
Entonces la solución general es
y = cx - xln|x|
Ejemplo:
1.- (y2 + yx) dx - x2 dy = 0
Solución
Utilizando la sustitución
y = ux; dy = xdu + udx
La ecuación dada se convierte en
(u2 x2+ ux2) dx - x2(xdu + udx) → u2 x2dx + ux2dx - x3du - ux2dx = 0
→ u2 x2dx = x3du → x2
x3dx =
du
u2
Integrando
∫ dxx
= ∫u−2du → ln|x| = - 1u
+ c
MATEMÁTICAS V
Como
u = yx
Entonces
ln|x| = -xy
+ c
y así el resultado viene dado por:
x + y ln|x| = yc
Ejemplo:
2.- dydx
= yx
+ xy
Solución
Aplicamos la sustitución
Y = ux ; dy = udx + xdu
Se obtiene
udx+xdudx
=uxx
+ xux
→ u + x dudx
=u+ 1u
→ x dudx
= 1u
Separando las variables e integrando
∫udu=∫ 1x dx → u2
2 ln|x| + c
Sustituyendo
u = yx
La solución viene dada por
MATEMÁTICAS V
( yx )2
2
ln|x| + c → ( yx )2
= 2ln|x| + c
MÉTODO DE LAS EXACTAS
Sean M( x , y ) y N (x , y ) funciones continuas con derivadas ´parciales de primer orden continuas en una región R del plano xy. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M( x , y )dx+N ( x , y )dy sea una diferencial exacta es que
∂M∂Y
=∂ N∂ x
Método de solución
Dada la ecuación
M( x , y )dx+N ( x , y )dy = 0
Primero se verifica que
∂M∂Y
=∂ N∂ x
Si la primera condición se cumple entonces se plantea que
∂ f∂ x
=¿M( x , y )
Se integra ambos lados respecto de x, tomando a y como constante en M( x , y )
∫ df=∫M (x , y )dx → f( x , y )= ∫M ( x , y )dx+g( y )
Aquí g( y ) es la constante de integración. A continuación se deriva la ecuación anterior respecto a y y se plantea que
∂ f∂ y
=¿N( x , y )
Ejemplo
1.- (2 x+4 )dx+(3 y−1 )dy=0
MATEMÁTICAS V
Tomando M( x , y )=2x+4 , N (x , y )=3 y−1 resulta que
∂M∂Y
=0=∂N∂ x
Por lo tanto la ecuación es exacta y se plantea que
∂ f∂ x
=¿M( x , y ) = 2 x+4
Integrando esto
F (x, y) = ∫ (2 x+4 )dx=x2+4 x+g( y )
Aplicando en esta ecuación la condición
∂ f∂ y
=¿N( x , y )
Resulta que
∂∂ y
[x2+4 x+g ( y ) ¿=g' ( y )=3 y−1
E integrando
g (y) = 3 y2
2− y
Sustituyendo g (y) en la expresión de f (x, y) finalmente la solución es
x2+4 x+ 3 y2
2− y=c
2.- (5 x+4 y )dx+(4 x−8 y3 )dy=0
Tomando M( x , y )=5x+4 y ,N ( x , y )=4 x−8 y3 resulta que
∂M∂Y
=4=∂N∂x
Por lo tanto, la ecuación dada es exacta y se plantea que
∂ f∂ x
=¿M( x , y ) = 5 x+4 y
MATEMÁTICAS V
Integrando resulta que
F (x, y) = ∫ (5 x+4 y )dy=5 x2
2+4 xy+g ( y )
Aplicando la condición
∂ f∂ y
=¿N( x , y )
∂∂ y [ 5x
2
2+4 xy+g( y)]=0+4 x+g ' ( y )=4 x−8 y3
Por tanto,
g' ( y )=−8 y3
E integrando
∫ dg ( y )=−∫8 y3dy⇒ g ( y )=−2 y4
Sustituyendo g (y) en la expresión de f(x, y) se obtiene que la solución es
5x2
2+4 xy−2 y 4=c
3.-(2 y2 x−3 )dx + (2 yx2+4 ) dy = 0
Definiendo M( x , y )=2 y2 x−3 , N (x , y )=2 yx2+4 resulta que
∂M∂Y
=4 yx=∂ N∂ x
Por tanto, la ecuación dada es exacta y se plantea que
∂ f∂ x
=¿M( x , y ) = 2 y2 x−3
Integrando
F (x, y) = ∫ (2 y2 x−3 )dx= y2 x2−3 x+g ( y)
Aplicando la condición
∂ f∂ y
=¿N( x , y )
Resulta que
MATEMÁTICAS V
∂ f∂ y
=2x2 y+g ' ( y )=2 yx2+4⇒ g' ( y )=4
Integrando se obtiene que
g (y) = 4y
Y sustituyendo g (Y) en f(x, y) se obtiene la solución
y2 x2−3x+4 y
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN (FACTOR INTEGRANTE)
De esta manera, para resolver una ecuación por medio de un factor integrante se seguirán los siguientes pasos:
Encontrar el factor integrante. Multiplicar la ecuación por el. Verificar si la nueva ecuación es exacta. Resolver la ecuación según el método indicado para las ecuaciones diferenciales
exactas.
Definición
Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial µ(x, y) llamada factor integrante, tal que:
µM (x, y) dx + µN (x, y) dy = 0
Sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible fácilmente encontrar un factor integrante.
Una ecuación lineal de primer orden es de la forma
MATEMÁTICAS V
dydx
+P ( x ) y=f (x) (1)
Y su solución está definida en el intervalo de I en el cual p(x) y f(x) son continúas.
Método de solución
La ecuación (1) se escribe en la forma
dy + [ p ( x ) y−f ( x ) ]dx=0 (2)
y el objetivo es invertir (2) en una ecuación diferencial exacta por lo que se multiplica por una función μ (x).
μ(x) dx + μ (x) -[ p ( x ) y−f ( x ) ]dx = 0 (3)
Para determinar la función μ(x) se hace M (x, y) = μ(x)
[ p ( x ) y−f ( x ) ], N(x, y) = μ(x) y a partir de esto se tiene que
∂M∂ y
=μ ( x ) p ( x ) ∂ N∂x
= dμ(x )dx
Para que (3) sea exacta se debe de cumplir que
dμ(x )dx
=μ ( x ) p ( x ) (4)
La ecuación (4) es una ecuación separable a partir de la cual se puede determinar μ(x)
dμ(x )dx
=μ ( x ) p ( x )≫ ln lμ ( x ) l=∫ p ( x )dx
Por lo tanto Μ(x) = e∫ p ( x )dx (5)
A la función definida por la ecuación (5) se le llama factor integrante de la ecuación lineal de primer orden. Sustituyendo (5) en (3) se obtiene la ecuación diferencial exacta:
e∫ p ( x )dxdy+¿e∫ p (x )dx [ p ( x ) y−f (x ) ]dx = 0
Desarrollando el producto del segundo miembro se ve que esta ecuación se puede escribir en la forma:
d[e∫ p ( x )dx y ]= e∫ p ( x )dxf (x )dx (6)
MATEMÁTICAS V
Finalmente integrando (6) se obtiene la solución (1)
Ejemplo: variable dependiente
1.- ∂ y∂ x
=4 y
Variable independiente
∂ y∂ x
−4 y=¿0
μ (x) = e−4∫dx = e−4 x
¿¿
∫ d [e−4 x ]=0
e−4 x=0
2. - ∂ y∂ x
+ y=e3 x f(x)
P(x) = 1
μ(x) = e∫dx=e x
∫ d [e x y ]=∫e x∗e3x dx
exy = ∫ e4 x dx
ex y=14e4 x+c
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
Definición:
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma:
MATEMÁTICAS V
dydx
+P ( x ) y=Q ( x ) yn n ≠ 0, n ≠ 1
Donde P ( x ) yQ ( x ) son funciones reales y continuas en un intervalo [a ,b ] y n es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuaciones de Bernoulli.
Observación: cuando n=0 la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n=1 se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.
Teorema
La ecuación de Bernoulli
dydx
+P ( x ) y1−n=Q (x ) yn
Se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución
(w= y1−n )
Obtenemos la ecuación
dwdx
+(1−n )P ( x )w= (1−n )q (x)
Ejemplo 1
Xdydx
+¿ 1y2
dydx
+ 1xy= y−2
1xy−2
MATEMÁTICAS V
P(x) = 1x
q(x) = 1x
n = -2
W = y1−(−2) 1-n = 1- (-2)
W = 3 1-n = 3
dwdx
+3 1xw=3 1
x
P(x) = 3x
µ(x) = e3∫ 1x dx=e
3 ln x
=e ln x3
µ(x) = x3
∫ d [ x3w ]=∫ x33xdx
(x3w )=3∫ x3
xdx
(x¿¿3w)=3 x3
3+c ¿
(x3 y3 )=x3+c
UNIDAD 2
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
MATEMÁTICAS V
Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma
an ( x ) dn ydxn
+an−1 ( x ) dn−1 ydxn−1
+,…. ,+a1 ( x ) dydx
+a0 ( x ) y=f ( x ) (2.1)
Y la ecuación lineal homogénea de orden n asociada con (2.1) es
an ( x ) dn ydxn
+an−1 ( x ) dn−1 ydxn−1
+,…. ,+a1 ( x ) dydx
+a0 ( x ) y=0 (2.2)
Aquí an(x)≠0, y a i ( x ) y f(x) son continuas en algún intervalo abierto A en el que se desea resolver la ecuación.
Una ecuación diferencial lineal homogénea de n-esimo orden tiene la propiedad de que cualquier superposición o combinación lineal de soluciones de la ecuación también es una solución.
Una solución particular de una ecuación diferencial lineal de segundo orden queda determinada por dos condiciones iníciales, una de n-ésimo orden queda determinada por n condiciones iníciales.
ECUACIÓN AUXILIAR, RAÍCES DISTINTAS, REPETIDAS Y COMPLEJAS
Se considera el caso particular de la ecuación lineal homogénea de segundo orden
Ay¨ + by´ + cy = 0 (2.3)
Donde a, b y c son de la forma constantes
Se ensaya una solución y=emx a partir de la cual se tiene que y´ = memx , y´´ = m2 emx .
Sustituyendo la función y de prueba y sus derivadas en (2.3)
am2 emx+bmemx+cemx0⇒ am2+bm+c=0 (2.4)
La ecuación (2.4) se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación (2.3).
1.- la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
MATEMÁTICAS V
2.- la ecuación tiene una raíz real repetida.
3.-la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.
En relación con las raíces de la ecuación auxiliar (2.4) se tiene tres casos ices de su ecuación auxiliar (2.4).
Caso Tipo de raíces de la
Ecuación auxiliar (2.4)
Solución general de la
Ecuación lineal (2.3)1 Raíces reales distintas
m1≠m2
y=c1 em1 x+c2 e
m2x
2 Raíz real repetida
m1=m2
y=c1 em1 x+c2 xe
m2x
3 Raíces complejas conjugadas
m1=α+iβ
m2=α−iβ
y=eαx ¿
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.
A continuación se presenta un ejemplo de solución de cada uno de los tres casos expuestos en la sección anterior.
Caso 1. Raíces reales distintas
Ejemplo. Y´´-16 = 0
Solución
Se propone la solución
y=emx
Y de aquí se obtiene que
MATEMÁTICAS V
y ´=memx
y ´ ´=m2 emx
Sustituyendo la solución propuesta y sus derivadas en la ecuación diferencial dada
m2 emx−16 emx=0 ⇒ m2−16=0
Las raíces de esta ecuación características son
(m=±4 )
Dado que se tienen dos raíces reales distintas, la solución de la ecuación diferencial dada es
y=c1 e4 x+c2 e
−4 x
Caso 2. Raíz real repetida
Ejemplo.
d2 ydx2
+8 dydx
+16 y=0
Solución
Luego de sustituir la solución propuesta y=emx y sus derivadas en la ecuación diferencial dada se obtiene que
m2 emx+8m+16=0
Y la ecuación característica es
m2+8m+16=0
Factorizando se encuentran que las raíces de esta ecuación son iguales
(m+4 ) (m+4 )=0
Y que, por tanto, la solución de la ecuación diferencial dada viene dada por
MATEMÁTICAS V
y=c1 e−4 x+c2 xe
−4 x
Caso 3. Raíces complejas conjugadas
Ejemplo.
(3 y ´´+2 y ´+ y+¿0 )
Solución
Luego de sustituir la solución propuesta y=emxy sus derivadas en la ecuación diferencial dada se tiene que
3m2emx+2memx+emx=0
Y la solución característica es
3m2+2m+1=0
A partir de la expresión
m=¿2a−B± √B2−4 ac¿
Se obtiene que las raíces de la ecuación característica son;
m1=¿-13+ √23i
m2=−1
3−√23i
Como en este caso se tienen raíces complejas conjugadas, entonces la solución de la ecuación diferencial dada es
y=e−13x [c1 cos (√23 x )+c2sin (√23 x )]
MATEMÁTICAS V
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Una ecuación diferencial de este tipo tiene una solución de la siguiente forma:
y g= yc+ y p
Donde
y g = solución general
yc=¿ Solución de la ecuación homogénea asociada
y p=¿ Solución particular
Ejemplo.- resolver las siguientes ecuaciones por el método de coeficientes indeterminados.
1.- y´´ - 9y = 54
Y´´ - 9y = 0 ecuación homogénea asociada
y=emx
m2 emx−9emx=0
(m2−9 )emx=0
m2−9=0 Ecuación auxiliar
m2=9
m1=3
m = ± 3
m2=−3
yc=c1 e3x+c2e
−3 x
m1=0
MATEMÁTICAS V
y p=c3 e0x=c3
Sustituir y p en la ecuación general
y p ´ ´−9 y p=54
0−9 y p=54
y p=54−9
=−6
y=c1 e3x+c2 e
−3 x−6
MATEMÁTICAS V
UNIDAD 3
TRANSFORMADA DE LA PLACE
Sea f (t) una función definida para t≥0, entonces la integral
∫0
∞
e−st f (t )dt= limb→∞
∫0
b
e−st f (t )dt
Se llama transformada de Laplace de f(t) siempre que el limite exista. Simbólicamente la transformada de Laplace de f se denota por L{ f (t)} y puesto que el resultado depende de s se escribe
L{ f (t)}=F(t )
Ejemplo 1. Calcular L{1 } mediante la definición de transformada de Laplace
Solución
En este caso f (t) = 1 y aplicando la definición se tiene que
L {1 }=∫0
∞
e−st (1)dt= limb→∞
∫0
∞
e−st dt=−1se− s(∞)+ 1
se−s (0)=1
s
En donde s>0.
Ejemplo 2. Calcular L{t } mediante la definición de transformada de Laplace
Solución
En este caso f (t) = t y aplicando la definición se tiene que
L {t }=∫0
∞
e−st (t )dt
Integrando por partes (u=t , dv=e−st⇛du=dt , v=−1se−st) se tiene que
L {t }=∫0
∞
e−st tdt=−tse−st+ 1
s∫0
∞
e−st dt= 1s2
s>0
MATEMÁTICAS V
Ejemplos de transformadas de Laplace.
Función f(t) Transformadas L{ f (t)}=F (s )de f (t) 1. ekt 1
s−k s>k
2. sinh kt k
s2−k2 s>k
3. cosw0 t s
s2−w02
4. cosh kt s
s2−k2
5. sinw0t w0
s2+w02
6. eat sin kt k
(s−a )2+k2
7. eat coskt s−a(s−a )2+k2
8. t sin at 2as
(s2−a2 )2
9. t n n !
sn+1paranentero
Γ (n+1 )sn+1
paracualquier nenel intervalo
n>−1
Algunas propiedades de transformadas de Laplace
Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que
puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada,
incluso hay funciones discontinuas.
En funciones continuas a trozos
MATEMÁTICAS V
Decimos que una función f : [a ,b ]→Res continua si
1. F está definida y es continua en todo x∈ [a ,b ], salvo en un numero finito de
puntos xk, para k = 1, 2, 3,……, n.
2. Para cada xk∈ [a ,b ] los limites
f¿ f¿
Existen.
Note que solamente uno de estos límites es pertinente si x0 es uno de los
extremos de [a ,b ].
En general, el requisito para que estos límites sean finitos en todos los puntos xk implica
que las únicas discontinuidades de salto.
MATEMÁTICAS V
UNIDAD 4ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma
an ( x )Dn y ( x )+an−1 (X )Dn−1 y ( x )+…+a1 (X )Dy ( X )+a0 ( x ) y ( x )=f ( x )
O usando otra notacio9n frecuentes:
an ( x ) dn ydxn
+an−1 ( x ) dn−1 ydxn−1
+…+a1 ( x ) dydx
+a0 ( x )=f ( x )
Lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos en la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:
Ly=f ,∑k=0
n
ak (x )Dk (.)
Estas ecuaciones tienen la propiedad de que le conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensiones finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.
Ejemplo
y −4 y +4 y=t 3 e2 t
L { y }−4 L { y }+4 L { y }=L {t3 e2t }
s2 y ( s )−s y (0 )− y (0 )−4 [ s y (s )− y (0 ) ]+4 y (s )= 6
(s−2 )4
MATEMÁTICAS V
s2 y ( s )−4 s y ( s)+4 y (s )= 6
(s−2 )4
y (s ) ( s2−4 s+4 )= 6
( s−2 )4
L−1 {y ( s)=L−1{ 6
( s−2 )4 ( s2−4 s+4 ) }}y (t )=L−1 6
( s−2 )4 (s−2 )2
y (t )=6120
L−1{ 120(s−2 )2 }
y (t )= 6120
t5 e2 t
MATEMÁTICAS V
UNIDAD 5
SERIES DE FOURIER
DEFINICIÓN DE SERIE DE FOURIER
Puede definirse como el desarrollo de una función o la representación de una función en una serie de senos y cosenos tal que,
f ( x )ao2
+∑n=1
∞
[an cos (nx )+bn sin (nx ) ]
Las condiciones suficientes para que f ( x ) pase a representación en serie son las condiciones de Dirichlet.
1. Que f ( x ) tengo un número finito de discontinuidades.2. Que f ( x ) tengo un número de valores extremos (Max. Y min.)
Existen funciones que no obedecen estas condiciones, sin embargo en la mayoría de los problemas físicos que implican la serie de Fourier las condiciones de Dirichlet, se satisfacen.
Las series trigonométricas
f ( x )=ao2
+∑n=1
∞
[an cos nπP x+bnsinnπPx ]
En una serie de Fourier de f ( x ) en el intervalo (-P, P) en que las ecuaciones,
MATEMÁTICAS V
ao=1P∫−P
P
f ( x )dx
ao=1P∫−P
P
f ( x ) cos nπPxdx
Define respectivamente, los coeficientes ao , an y bn.
Ahora bien, si {∅ o ( x ) ,∅ 1 ( x ) ,∅2 ( x ) ,… } es un conjunto ortogonal en un intervalo [a ,b ] y f ( x ) es una función definida en el mismo intervalo, entonces se puede desarrollar formalmente a f ( x ) en forma de una serie ortogonal co∅ o (x )+c1∅1 ( x )+c2∅ 2 ( x )+… donde los coeficientes cnse determinan aplicando el conjunto de producto interior. Así el conjunto.
{1 ,cos πP x ,cos 2πP x ,cos3πPx…, sin
πPx , sin
2 πPx , sin
3 πPx…}
Es ortogonal en el intervalo [ – P , P ].
Ejemplo: encuentre la serie de Fourier correspondiente a la función f ( x )=1−x en intervalo -1 ≤ x ≤ 1.
Solución: puesto que el intervalo es -1 ≤ x ≤ 1, tenemos L=1. Entonces los coeficientes de Fourier ak , bk están dados por.
ak=11∫−1
1
(1−x ) cos kπ1xdx ,b
k=¿ 11∫−1
1
(1−x )sin kπ1xdx
¿
De esto encontramos.
Las 2 funciones F(x) =x y g (X) = x2 son otorgadas en el intervalo (-1,1) puesto que,
(x,x2)=∫−1
1
x x2dx= ∫−1
1
x3 dx= x4
4I=14−14=0
MATEMÁTICAS V
Conjunto ortogonal de funciones.
Un conjunto de funciones {∅ , ( x )∅ 2 ( x ) ,…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a ,b ] si cualquiera 2 funciones son ortogonales entre sí.
(Ø n1Øm)=∫a
b
Ø n ( x )Øm ( x )dx=0 (n≠m)
Se consideran solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a ,b ].
EJEMPLO: CONJUNTO ORTOGONAL
Demuestra que {Senx ,Sen2 x ,Sen3x… } es un conjunto ortogonal de funciones en {0 , π }.
Solución: se toman 2 funciones representativas del conjunto
{Sennx , Senmx3 , conn≠m y n ,m enteros ;se verificaque las funciones son ortogonales . }
(Sen nx, Sen mx)= ∫0
π
Sen nx Sen mx dx
= 12∫0
π
[cos (n−m ) x−cos (n+m ) x ]dx
=12 [ Sen (n−m ) x
n−m−Sen (n+m ) x
n+m ]I πx=0
=0
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tienen una forma útil que se deducirá ahora. Suponga que {Ø , (X ) , Ø2 ( x )… } es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a ,b ]y que:
F(X)=Σn=1∞ cnØ n (X )
Se quiere obtener una fórmula para los coeficientes Cn en términos de F(X) y de las funciones ortogonales Ø n (X ) seleccione un miembro del conjunto ortogonal, digamos
MATEMÁTICAS V
Øm (X ) , tome el producto interno con F(X) usando (6), es decir se multiplican ambos lados de (6) por Øm (X ) y seintegra sobreel∫ ¿ervalo para obtener
(f,Øm) ∫a
b
f (X )Øm ( X )dx
= ∫a
b
[Σ n=1∞ CnØ n(X)]Ø m (X )dx
Suponga que la integración y la suma en (f) se pueden intercambiar para dar
(f, Øm)=Σn=1∞ Cn∫
a
b
Ø n (X )Øm (X )dx=Σ n=1∞ Cn (Øn ,Øm ) (8 )
Pero Ø i forman un conjunto ortogonal de manera que (Øn, Øm)=0 si n≠m entonces (f) y (8) se convierten en (f, Øm) = Cm (Øm, Øm) despejado Cm se llega al siguiente teorema fundamental
TEOREMA
Representación de una función por una serie de funciones ortogonales
Suponga que f(X) es diferenciable por partes en el intervalo
[A ,b ]
y que
f (x)=Σn=1∞ Cn
Øn(X),
Donde {Ø n (X ) }
es un conjunto ortogonal de funciones en [a ,b ]entonces
Cn=( f ,Ø n)
(Ø n,Ø n)=∫a
b
f (X )Øn (X )dx
∫a
b
Ø nz (X )dx
0, de manera equivalente,
MATEMÁTICAS V
f(X) =Σn=1∞ ( f , Ø n)
(Ø n, Øn)Øn (X)
Una prueba rigurosa del teorema no incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de este libro. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de (6) y a la demostración de que la suma y la integral en (F) se pueden intercambiar además cuando se escribe f(x) =Σn=1
∞ Cn Øn (X) de hecho no se requiere que la serie converja a f(X) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio de la integral y la suma en (F) se darán en las siguientes dos reacciones para las series de Fourier del Seno y el Coseno; estas secciones también analizan en qué sentido Σn=1
∞ Cn Øn (X) es igual a f(X).
CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES
Para definir la Ortogonalidad de vectores se usa un producto escalar.
Ortogonalidad se dice que dos vectores μ, ∪ subconjunto S en E que no contiene al vector cero es un conjunto ortogonal si <μ, ∪> = 0 para dos vectores distintos μ, ∪ en S.
El vector cero es ortogonal a todos los vectores de un espacio euclidiano, E pero es el único vector con esa propiedad. La Ortogonalidad amplia el concepto familiar de perpendicularidad en los espacios euclidianos normales R3 y R2. Por ejemplo: (a ,b )≠ (0 ,0 ) en R2 . esortogonalmentesi sus pendientes son reciprocas negativas. En un espacio de funciones vectoriales el concepto de Ortogonalidad no tiene tal interpretación geométrica simple.
Un conjunto ortogonal en pc [−π ,π ]
El conjuntoϕ= {1 ,cos x , sin x , .. ,cos nx ,sinmx ,.. , } es un conjunto ortogonal en pc [−π ,π ] bajo el producto escalar normal. Par verlo se utiliza una identidad trigonométrica a fin de demostrar, por ejemplo; que para enteros cualquiera m y n,
⟨ sinnx ,cosmx ⟩=∫−π
π
sinnx ,cosmxdx
∫−π
π12
[sin (n+m ) x+sin (n−m ) x ]dx=0
Las otras relaciones de Ortogonalidad siguen un comportamiento similar.
Ejemplo:
Determinar la forma compleja de la serie de Fourier de la función periódica cuya definición es f (t )=e−kt ,∀+ϵ [−1 ,1 ] , `por tanto su periodo es T = 2 siendo K = constante.
Solución
MATEMÁTICAS V
La serie exponencial compleja es
f ( t )= ∑n=−∞
∞
cn ei 2nπT
t
Donde
c0=1T∫0
T
f ( t )dt cn=1T∫0
T
f (t ) e−i2nπT
dt
Para el cálculo c0 se tieneque
c0=1T∫0
T
f ( t )dt=12∫−1
1
e−ktdt=1ksinhk
Par el calculo de cn resulta que
cn=1T∫0
T
f ( t ) e−i2nπT
tdt=1
2∫−1
1
e−kte−( inπ ) tdt
cn=(−1 )n
k+inπsin k
cn=(−1)nsinh k ( 1k+inπ ) .¿¿
CONJUNTO ORTOGONAL.
Un conjunto de funciones {∅ 1 (x ) ,∅ 2 ( x ) ,… } en el intervalo [a ,b ] si cuales quiero dos funciones
Son ortogonales entre si.
(∅ n ,∅ n )=∫a
b
∅ n ( x )∅m ( x )dx=0 (n≠m ).
Se consideran solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a ,b ].
MATEMÁTICAS V
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {∅ 1 (x ) ,∅ 2 ( x ) ,… } es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a ,b ] y que.
f ( x )=∑n=1
∞
∁n∅n ( x ).
Se quiere obtener una fórmula para los coeficientes Cn en términos de f ( x ) y de las funciones ortogonales ∅ n ( x ) seleccione un miembro del conjunto ortogonal ∅m ( x ), tome el producto interno con f ( x ), usando. Es decir, se multiplican ambos lados de por ∅m ( x ), y se integra sobre el intervalo para obtener.
( f ,∅m )=∫a
b
f ( x )∅m ( x )dx
∫a
b [∑n=1
∞
cn∅ n ( x )]∅m ( x )dx
Suponga que la integración y la suma en la formula anterior se pueden intercambiar para dar.
( f ,∅m )=∑n=1
∞
cn∫a
b
∅ n ( x )∅m ( x )dx=∑n=1
∞
cn (∅n ,∅m )
Pero ∅ i forma un conjunto ortogonal, de manera que (∅ n ,∅m )=0 si n≠m. entonces 3 y 4 se convierten en.
( f ,∅m )=cn (∅m ,∅m )
CONJUNTO ORTONORMAL
Suponga que nos dan un conjunto de funciones de x linealmente independientes en el intervalo a ≤ x ≤ b y denotado brevemente por.
⍦1,⍦2,⍦3 ,…
Entonces es posible generar a partir de ellas un nuevo conjunto de funciones ortogonales en el intervalo. El método de hacer esto, el cual es bastante simple, se llama a menudo Método de ortonormalizacion de Gram – Schmidt. La primera etapa en el método es construir a partir de (1) el nuevo conjunto de funciones dadas por.
∅ 1=c11⍦1 ,∅ 2=c21⍦1+c22⍦2 ,∅ 3=∅ 31⍦1+∅ 32⍦2+∅ 33⍦3 ,…
MATEMÁTICAS V
Donde los c , s son constantes.
Note que para obtener la n exima función en (2) multiplicamos cada una de las primeras n funciones en (1) por constantes y sumamos los resultados.
Ejemplo:
Use el método de Gram Schmidt sobre el conjunto de funciones 1, x, x2 , x3,… para generar un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo -1≤ x≤ 1.
Solución. Como en (2) construimos a partir del conjunto de funciones dado el conjunto
∅ 1=c11 ,∅2=c21+c22 x ,∅ 3=c31+c32 x+c33 x2…
Para que ∅ 1 sea ortogonal con ∅ 2 debemos tener
∫−1
1
∅ 1∅ 2dx=∫−1
1
c11 (c21+c22 x )dx=2c11c21=0
Puesto que c11≠0 . de otra manera tendríamos ∅ 1=0, debemos tener
∫−1
1
∅ 1∅ 3dx=∫−1
1
c11 (c31+c32 x2 )dx=2c11(c31+ 13 c33)=0
∫−1
1
∅ 2∅ 3dx=∫−1
1
c22 x (c31+c32+c33 x2 ) dx=23 c22c32=0
Puesto que c22≠0 , de otra manera ∅ 2=0 vemos de estar que c31=13c33 y c32=0 de modo
que.
∅ 3=c33(x2−13 )
MATEMÁTICAS V
UNIDAD 6
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
A una ecuación que incluye las derivadas parciales de una a mas variables dependientes son respecto a una o más variables independientes se llama ecuaciones diferenciales parciales.
Por ejemplo la ecuación
xdudx
+ y dudy
=u
MATEMÁTICAS V
Es una ecuación diferencial parcial.
Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que relaciona las derivadas parciales de una función de más de una variable. Algunos ejemplos son;
dudt
=u2 dudx
(1)
d2udx2
=5 dudy
+ d2udxdy
+3 d2udy2
(2)
Observando las derivadas parciales, se ve en (1) que u depende de x y t, u(x, t). en (2) u depende de x y y, u(x, y).
FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDO ORDEN
La forma general de las ecuaciones diferenciales parciales en dos variables está dada por la ecuación.
Auxx+Bu xy+Cu yy+Dux+Eu y+Fu=G (6.1)
Donde A, B, C,……, G son funciones de x y y. Si G(x, y) = 0, la ecuación (6.1) es homogénea y si G(x, y) ≠ 0 entonces la ecuación (6.1) es no homogénea. La ecuación (6.1) tiene la forma de una ecuación diferencial parcial lineal. Como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la linealidad de las ecuaciones diferenciales parciales depende de dos propiedades, a saber:
1) La (s) variable (s) dependiente (s) junto con todas sus derivadas son de primer grado.
2) Cada coeficiente depende solo de la (s) variable (s) independiente (s).
Sin estos dos requisitos diremos que la ecuación diferencial parcial es no lineal.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales son:
a)d2tdx2
= 1∞dtdθ
MATEMÁTICAS V
b)d2udx2
= 1∞2
d2udt2
c)d2udx2
=−d2udy2
Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales son:
a) −K dTdx
=T i4−T ∞
4
R
b) – KdTdx
=T ∞4−T i
4
R
c) −K dTdx
=T i4−T ∞
4
R
Una ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes puede pertenecer a uno de tres tipos generales. Esta clasificación solo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Naturalmente suponemos que de menos uno de los coeficientes A, B, C no es cero.
Ad2udx2
+B d2udxdy
+C d2udy2
+D dudx
+E dudy
+Fu=0
A, B, C, D y E son constantes reales es: hiperbólica si B2−4 Ac>0 , parabólica si B2−4 Ac=0, elíptica si B2−4 Ac<0.
Las ecuaciones de segundo orden se clasifican debido al hecho de que se desea resolver ecuaciones sujetas a ciertas condicione que pueden ser de frontera o iníciales. El tipo de condiciones adecuadas para cierta ecuación depende de si es hiperbólica, elíptica ó parabólica.
Tipos de condiciones iníciales y de frontera:
a) Dirichletb) Newmanc) Robín
MATEMÁTICAS V
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELÍPTICAS, PARABÓLICAS Ó HIPERBÓLICAS)
Otra forma de escribir las ecuaciones es:
Auxx+Bu xy+Cu yy=H (x , y , u ,ux ,u y)
Las ecuaciones tienen la forma de muchas ecuaciones matemáticas de la física, y algunas se clasifican de acuerdo con los valores del discriminante B2−4 Ac en ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden parabólico, elíptico ó hiperbólico.
ELIPTICAS
Este tipo de ecuaciones se caracterizan por tener el discriminante B2−4 Ac<0, por ejemplo, la ecuación de Laplace (estado estacionario, estado estable).
uxx+u yy=0
Donde
A = 1i; C = 1i B = 0
Por tanto el discriminante es menor que cero
B2−4 Ac=02−4 (1 ) (1 )=−4<0
Lo que indica que la ecuación es elíptica
PARABÓLICA
Este tipo de ecuaciones se caracterizan por tener el discriminante B2−4 Ac=0, por ejemplo, la ecuación de conducción de calor (difusión).
∝2uxx−Ut=0
Donde
A = ∝2; B = 0; E = −1; C = 0
Por lo cual
B2−4 Ac=02−4 (∝¿¿2)(0)=0¿
MATEMÁTICAS V
Lo que significa que la ecuación es parabólica.
HIPERBÓLICA
Este tipo de ecuaciones se caracterizan por tener el discriminante B2−4 Ac>0 ,y un ejemplo, es la ecuación de onda.
d2udx2
= 1v2d2udt 2
O bien
d2udx2
− 1v2d2udt 2
=0
Donde
A = 1; B = 0; C = 1
v2
Y por tanto,
B2−4 Ac=02−4 (−1v2
)= 4
v2>0
Lo cual indica que la ecuación de onda es una ecuación hiperbólica.
MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (DIRECTOS, EQUIPARABLES CON LAS ORDINARIAS, SEPARACIÓN DE VARIABLES).
Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales según las características de las mismas.
Método de separación de variables
En este método se propone una solución de la forma
u ( x , y )= x ( x ) y ( y)
MATEMÁTICAS V
esta propuesta permite reducir la ecuación diferencial parcial a dos ecuaciones diferenciales ordinarias y en el caso de funciones de dos variables independientes permitirá reducir la ecuación diferencial parcial a través o mas ecuaciones diferenciales ordinarias. La nomenclatura que se usara es la siguiente:
dudx
=x ´ y , dxdy
=xy´ , d2udx2
=x ´ ´ y , d2udy2
=xy´ ´
En donde las primas indican diferenciales ordinarias.
