Página 1 de 38

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO BACHILLERATO GENERAL CUATRIMESTRAL

CUADERNILLO PARA EL DESARROLLO Y DESEMPEÑO DE

COMPETENCIAS

“Con números se puede demostrar cualquier cosa.” William Thomson Kelvin (1795-1881)

MATEMÁTICAS IV

Página 2 de 38

DATOS PERSONALES

Horario de Asignatura

HORA LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:

CAMPUS:

MATRÍCULA:

CUATRIMESTRE:

NOMBRE DEL DOCENTE:

E- MAIL:

Página 3 de 38

Bienvenido (a) Hoy inicias un proceso más en tu trayecto de formación personal y educativa, nos da mucho gusto poder darte la más cordial de las bienvenidas y agradecer en nombre de la Prepa UVM la decisión y confianza para que seamos tus nuevos compañeros de viaje. Ten la seguridad de que la elección que has tomado, la respalda una institución de excelencia académica, la cual mantiene un alto sentido de responsabilidad social, al ofrecer programas educativos de calidad, globales, innovadores y actualizados, en donde el personaje central del proceso de aprendizaje eres tú. Durante tu trayecto, tendrás la oportunidad de aprender de una manera diferente con tus compañeros de grupo, en donde el rol del docente se convierte en facilitador y guía, además de poner a tu disposición instalaciones confortables, material bibliográfico, tecnológico, laboratorios y de esparcimiento, con la finalidad de formarte integralmente bajo los enfoques del Modelo Educativo de UVM y nuevas políticas educativas de nuestro país, tal es el caso de la Reforma Integral de la Educación Media Superior. Uno de los insumos que estarán acompañando tu formación a lo largo del bachillerato, es el presente Cuadernillo para el Desarrollo y Desempeño de Competencias (CDDC) en él encontrarás una serie de ejercicios que te permitirán adquirir conocimientos, habilidades, actitudes y valores, así como delimitar los elementos para evaluar tus desempeños a través de las competencias adquiridas. Pero ¿Qué es una Competencia?, ¿Para qué sirve?, ¿Cómo se aplica?, Una competencia es el comportamiento específico que se distingue por su autonomía, es decir, que la persona por sí misma desea tener; la competencia se inicia, se mantiene y se concluye, misma que genera resultados satisfactorios ante situaciones concretas de la vida cotidiana. Por ejemplo, supongamos que quieres saber si eres competente al realizar tus tareas escolares; lo que tendrías que observar son los requisitos de este comportamiento. El siguiente gráfico delimita el proceso de adquisición de la competencia:

Adquisición de conocimientos, habilidades, actitudes y

valores (INICIO)

Autonomía, Constancia, Consciencia y Responsabilidad

(SE MANTIENE)

Resultados de aprendizaje, Desempeños, ser Competente.

(SE FORTALECE)

Página 4 de 38

A lo largo de tu trayecto formativo y al interior del cuadernillo, escucharas que las competencias se clasifican en genéricas, disciplinares y profesionales, mismas que te describimos a continuación:

Genéricas

Constituyen tu perfil como egresado de bachillerato; te permiten comprender el mundo e influir en él; te capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de tu vida, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes te rodean.

Disciplinares

Son las nociones que expresan conocimientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo disciplinar para que te desarrolles de manera eficaz en diferentes contextos y situaciones a lo largo de la vida.

Profesionales

Son aquellas que te preparan para desempeñarte en tu vida laboral con mayores probabilidades de éxito

El conjunto de estas Competencias te ayudarán a:

a) Comunicarte con confianza y eficiencia en español e inglés de manera oral y escrita;

b) Usar eficientemente la tecnología de la información y comunicación; c) Desarrollar un pensamiento lógico-matemático en la solución de problemas; d) Identificarte como un ciudadano global; e) Reconocer, valorar y respetar la diversidad; y f) Practicar un estilo de vida saludable e integral de ti mismo y de tu entorno.

El presente cuadernillo es un instrumento más que te ayudará a estructurar tus conocimientos y habilidades de la asignatura, mismas que favorecen las competencias genéricas y disciplinares, convirtiéndose así en evidencia concreta de tu desempeño.

“Por siempre responsable de lo que se ha cultivado” Universidad del Valle de México

Página 5 de 38

ÍNDICE

Pág.

Carátula 1

Hoja de Datos Personales 2

Bienvenida 3

índice 5

Créditos 6

Bloque I. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos. 7-18

Bloque II. Utiliza magnitudes y números reales.

19-24

Bloque III. Realiza sumas y sucesiones de números. 25-28

Bloque IV. Realiza transformaciones algebraicas I.

29-30

Bloque V. Realiza transformaciones algebraicas II. 31

Bloque VI. Resuelve ecuaciones lineales I.

32-33

Bloque VII. Uso del léxico y la semántica. 34-36

Bloque VIII. Resuelve ecuaciones lineales II.

37-38

Página 6 de 38

CRÉDITOS

ELABORARON PROFESORES:

ROBERTO SOTO QUINTOS

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO

CAMPUS COYOACÁN

Página 7 de 38

BLOQUE I. Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional. Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no. SESIÓN: 1 DE 2.

1. ¿Qué entiendes por modelo matemático? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Qué es una relación? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

3. Menciona tres ejemplos. En donde encuentres relaciones en tu vida cotidiana. a) _______________________________________________________________________ b) _______________________________________________________________________ c) ______________________________________________________________________

4. Define a una función. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. En tu entorno puedes encontrar diferentes relaciones que se comportan como función. Menciona tres ejemplos y justifícalos.

Ejemplo. Justificación.

a)

b)

c)

ón 2 de 2

Página 8 de 38

1¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es una función?

a) 53xy

b) xy 42

c) yx 23

d) 03y

2. ¿Cuál de la siguientes gráficas representa la función 332

yx

Página 9 de 38

3. Encuentra la gráfica de la función. 91262 yxx

4. ¿Cuál es el dominio de la función 56414 yx ?

a) 0x

b) 5614 x

c) x0

d) x

5. ¿Cuál es el dominio de la relación 1824 22 xy ?

a) x

b) 33 x

c) 3x y 3x

d) 2x y 2x

Página 10 de 38

Describe una función empleando diferentes tipos de registros, y refiere su dominio y rango.

1. Empleando el método de la flecha representa la relación entre el nombre de un estudiante y su dirección. Indica el dominio y el rango.

Nombre del estudiante Dirección.

Javier Pérez

Zaragoza 3420

Roberto Suárez

Rojo Gómez 480

Alejandro Escutia

Misterios 324

Pedro Solís

Marina 17

2. De acuerdo al criterio de “Función”, el ejemplo anterior ¿es función o relación?

Justifica tu respuesta. ____________________________________________________________________________________________________________________________________

3. En el plano cartesiano ubica los siguientes pares ordenados: A(2,3), B(3,4), C(4,5), D(5,6) y E(6,7).

Une los puntos y determina si se trata de una función o relación.

Página 11 de 38

1. En el plano cartesiano ubica los siguientes pares ordenados: A(0,0), B(1,2), C(1,-2), D(2,3), E(2,-3), F(6, 7) y G(6,-7).

Une los puntos y determina si se trata de una función o relación

2. De acuerdo a la gráfica siguiente:

Determina si se trata de una función o una relación.

Página 12 de 38

1. De la siguiente gráfica. Determina el dominio y el rango. Además indica si se trata de una función o relación.

2. Determina el dominio y el rango de la siguiente gráfica.

Página 13 de 38

Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio (implícito o explícito), para obtener las imágenes correspondientes.

1. Elabora la grafica de la siguientes ecuaciones e indica el dominio y contradominio de cada una de ellas:

16)

5)

33)

23)

2

2

2

xyd

xyc

xyb

xya

a)

b)

c)

d)

Página 14 de 38

2. En la siguiente tabla se muestra el dominio y la imagen:

Dominio x

Contradominio

35 2xy

-5 122

5 -4

77 4 -3

42 3 -2

17 2 -1

2 1 0 -3

Relaciona por medio de flechas la correspondencia con cada una de los valores, expresa en

notación de conjunto la relación del dominio y contradominio; y determina si se trata de una función o relación.

3. Del siguiente conjunto de pares ordenados de números reales A = { (-5,2), (-5,-2), (0,3), (0,-3), (7,4), (7,-4)} :

a) Elabora una gráfica.

Página 15 de 38

b) Elabora una tabla de correspondencia.

X y

c) Determina si se trata de una función o relación. Justifica tu respuesta. Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.

1. en las siguientes graficas indica las funciones algebraicas y las funciones trascendentes.

a)

b)

c)

d)

Página 16 de 38

2. De las siguientes ecuaciones determina si son funciones trascendentales o algebraicas. Elabora la gráfica de cada una de ellas.

a) 442 xxy

b) xy 2

c) xy cos5

d) 216 xy

Página 17 de 38

3. De acuerdo a las siguientes funciones, analiza si son algebraicas o trascendentes.

Justifica tu respuesta.

a) xxf 5)(

b) 5)( xxg

c) x

xxh

1

1)(

d) 251)( tttu

Página 18 de 38

Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones

1. Encuentra la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones f y g:

a) 32

1,3 2

xxgxxf

b) x

xxgx

xxf1

,1

c) 2,52 22 xxxgxxxf

Página 19 de 38

Bloque II. Aplica funciones especiales y transformaciones de gráficas

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando propiedades de funciones inversas, constantes, idénticas, valor absoluto y escalonadas, para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Utiliza transformaciones de gráficas para la visualización de las representaciones algebraicas y geométricas de las funciones

Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilíneo

1. Con la siguiente gráfica de la ecuación 23xy ; determina los valores del P1 si

x=0 y P2 si x=5.

2. Determina los valores del segmento rectilíneo de los puntos P1: x= -2 y P2: x=5. De las siguientes ecuaciones:

a) 52xy

b) 22

1xy

c) 01243 yx

d) 045 xy

Página 20 de 38

Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud del segmento comprendido entre dichos puntos.

1. En el plano cartesiano ubica los siguientes puntos: A(0,0), B(5,3), C(-1,2), D(1,4), E(3,2) y F(-2,-2).

Une los segmentos AB, BC, FA, EB, FD y AC.

2. Determina las distancias de los segmentos anteriores. AB= BC= FA= EB= FD= AC=

3. Los vértices de un triángulo están determinados A(1,4), B(-2,3) y C(0,-4). En un plano cartesiano ubica cada uno de los puntos e indica que tipo de triángulo es:

Página 21 de 38

4. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1), (7,-1) y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

5. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2) y (4,2).

Determinar las longitudes de los catetos y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa.

6. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1,3), (7,3), (9,8) y (3,8). Demostrar

que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área.

Reconoce la noción de razón como un criterio para la división de un segmento rectilíneo.

1. ¿Qué punto divide al segmento P(3,4) y Q(8,6) en la razón 6

1?

2. Si r= 7

1¿Cuál es el punto F que divide al segmento D(-9,-18), E(-2,5) en la razón

dada?

3. ¿Cuál es el punto S que divide al segmento P(2,3) y Q(1,3) de una razón de 3

1?

4. Si P1(-4,2) y P2(4,6) son los puntos extremos del segmento dirigido 21PP , hallar las coordenadas del P(x,y) que divide a este segmento en la razón

32:1 PPPP .

5. Los puntos extremos de un segmento son P1(2,4) y P2(8,-4). Hallar el punto

P(x,y) que divide a este segmento en doss partes tales que 21:2 PPPP

6. Los extremos de un segmento son los puntos P1(7,4) y P2(-1,-4). Hallar la razón

2:1 PPPP en que el punto P(1,-2) divide al segmento.

Reconoce las características las características de las funciones que son inversas de otras.

1. }2/),{( xyyxf .Determina si es una función o relación; justifica tu respuesta.

Además en su caso obtener su inversa.

2. 9/),{( 22 babag . Determina si es una función o relación; justifica tu respuesta.

Además en su caso obtener la inversa.

3. 16/),{( 22 babah . Determina si es una función o relación; justifica tu respuesta.

Además en su caso obtener su inversa.

Página 22 de 38

4. }16/),{( 33 xyyxyxk . Determina si es una función o relación; justifica tu

respuesta. En su caso obtener la inversa. Obtiene la relación inversa de una función y determina si está es también una función.

1. En los problemas siguientes demuestra que f y g son inversas.

a) 93)(;33

1)( xxgxxf

b) 1)(;1)( 33xxgxxf

c) 11

)(;1

1)(

xxg

xxf

2. Determina la función inversa de g de la función dada.

a) 3

5)( xxfy

b) 13

2)( xxfy

c) 5)1()( xxfy

d) 5

3

)( xxfy

3. Determina )(1 xf y demuestra que xxff ))(( 1 y que xxff ))((1

.

a) 2

2)(

xxf

b) 2

3)(

xxf

c) 5)( xxf

4. Comprueba que cada función es su propia inversa demostrando que

xxfof ))(( 1.

a) x

xf1

)(

b) 1

)(x

xxf

Página 23 de 38

5. Determina g y la inversa de la función f dada. Grafica ambas en el mismo

sistema de coordenadas y determina el dominio y el rango de g .

a) 1;)1()( 2 xxxfy

b) x

xfy1

)(

c) 4)( 2xxfy para 0x

d) xxxfy 4)( 2 para 2x

Reconoce las funciones valor absoluto, constante, idéntico y escalonado.

1. Encuentra el número x tal que 4)(xf . Si 0a , ¿cuál es el número de x tal

que axf )( ? Encuentra el rango de f .

a) 57)( xxf

b) 3)( xxf

c) 3)( xxf

2. Determina el rango.

a) 4)(xf

b) 6)(xf

Aplica traslaciones verticales y horizontales o reflexiones sobre los ejes o sobre la recta x = y, a gráficas de funciones.

1. Aplicando las transformaciones adecuadas grafica las siguientes funciones.

a) x

y1

b) xy 2tan

Página 24 de 38

c) 2

cosx

y

d) 3

1

xy

e) 63

1xseny

f) 221 xxy

g) xy cos

Página 25 de 38

Bloque III. Emplea funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, para representar situaciones que involucran tasas nulas, razones de cambio promedio o constante, y la obtención de valores óptimos, para resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y determina si corresponden a dicha clase de funciones.

1. Para la función lineal definida por 34

3xxf ; construye la gráfica en un plano

cartesiano. Indica el dominio y el rango de la función. Determina la pendiente y la ordenada al origen

2. Dadas la ecuaciones 1xxf y xxg 4 . Determina si son paralelas las

rectas que se forman con tales funciones.

3. Si 13

4xxf y 1

4

3xxg . Determina si son perpendiculares.

4. Dos rectas paralelas a los ejes coordenados y perpendiculares entre si se

intersectan en el punto (5,-7). ¿Cuáles son sus ecuaciones?

Página 26 de 38

5. Sea 12xxf ; construir la gráfica.

6. Determina todas las raíces reales. Identifica la forma polinomial de las funciones constante, lineal y cuadrática, así como sus gráficas respectivas.

1. Dadas las funciones polinomiales, determina el grado, el coeficiente principal y elabora la gráfica correspondiente.

Función Grado Coeficiente principal

f(x) = 2x2 + 1

f(x) = x – 1

f(x) = x2

f(x) = 3

f(x) = – x2 + 4

2. Observa las siguientes gráficas y determina el grado de cada una

Página 27 de 38

Determina si la situación corresponde a un modelo lineal o cuadrático empleando los criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas.

1. Una empresa bacterióloga, estudia el crecimiento de una peligrosa y rara bacteria, para tal efecto, se registran los siguientes datos:

Hora (x) Crecimiento de la bacteria (y)

1 4

3 12

28

7

64

11 124

Debido a un descuido del encargado en el registro, se perdieron algunos datos, ¿Qué expresión establece la relación entre ambas columnas para determinar los valores faltantes?

a) y = x + 3 b) y = 2x + 2 c) y = 4x2 d) y = x2 + 3

Con la elección correcta, completa la tabla. El estacionamiento 1 cobra desde que se ingresa el automóvil e incrementa el costo a medida que pasa el tiempo. El estacionamiento 2 empieza a cobrar hasta pasadas 2 horas, pero incrementa su costo en una proporción mayor a la del estacionamiento 1. La siguiente grafica muestra el

Página 28 de 38

2. Comportamiento del costo con respecto al número de horas transcurridas de ambos estacionamientos.

Costo (4,30) (2,18) Horas (0,0) (2,0) ¿Qué opción presenta la expresión de la que se obtiene el número de horas (h) tal que el costo de ambos sea igual?

a) 9h = 15h – 30 b) 5h = 3h – 6 c) 5h = 3h – 90 d) 9h = 15h – 2

3. El costo inicial de cierta excursión es de $ 150 si van 50 personas, el organizador

ofrece bajar $ 2 el costo, por cada persona que vaya, adicional a los 50. De lo anterior, se desprende que el costo que pagaría cada persona es de:

P = 150 – 2n (n = número de personas arriba de 50)

El número total de personas que asiste es de:

T = 50 + n

Finalmente, la cantidad de dinero recabado por el organizador es:

D = PT = (150 – 2n)(50 + n) = 7500 + 50n – 2n2

Con esta última expresión, elabora una tabla para n = 3,10,12, 13,15 y 20.

¿Qué número total (T) de personas deben ir, para que el organizador recabe una

mayor cantidad de dinero?

Suponiendo que puedan excursionar “12.5” personas, ¿cuánto valdría D?

Página 29 de 38

Bloque IV. Emplea funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro, para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

1. Grafica las siguientes funciones:

a) f(x) = 5x3 – 4x2 + x + 3

20 10 -2 -1 1 2 -10 -20

b) f(x) = –2x4 +8x3 + 3x2 – x + 5

100 _ 50 _ -2 -1 1 2 -50 _

Página 30 de 38

Utiliza para graficar el método de tabulación.

2. Para las siguientes funciones, describe su comportamiento ascendente o descendente desde la izquierda hacia la derecha. a) f(x) = – 2x4 – x2 – 5x +4 b) f(x) = 8x3 – x2 – 10

3. Para el valor de r dado, determina si x – r es factor linela del polinomio. a) f(x) = 6x4 + 18x2 + 135 r = – 2 b) f(x) = 2x4 + 2x3 – 14x2 – 2x +12 r = – 3 c) f(x) = 2x3 + 8x2 – 15x + 9 r = – 1

4. Una empresa paga a sus obreros $ 25 la hora trabajada, en una jornada que

consta de 40 horas. El tiempo extra se paga al doble, con un límite de 20 horas. a) Determina el modelo que representa esta situación. b) Determina el dominio y el rango de aplicación.

Página 31 de 38

Bloque V. Emplea funciones polinomiales factorizables

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de los ceros de las funciones, para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales factorizables.

1. La función f(x) = 2x3 + 4x2 – 10x – 12, tiene una de sus raíces en x =2, utiliza el

método de factorización, para encontrar las otras dos raíces.

2. Utiliza el método de factorización para encontrar las raíces de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x3 + x2 – x – 1 b) f(x) = x4 – 5x2 + 4 c) f(x) = 2x4 + 3x3 – 4x2 – 7x +2 d) f(x) = x3 – x2 – 14x + 24

3. Comprueba que x1 = 1; x2 = – 1 y x3 = 3 son raíces del polinomio: f(x) = 2x4 + 4x3 – 8x2 – 4x + 6 encuentra el valor de x4. 4. Relaciona las columnas colocando la letra correspondiente en el paréntesis

A.- En una función lineal, se define como el cambio que sufre la variable dependiente cuando cambia la variable independiente.

( ) Pendiente

B.- Es la recta que divide a una parábola en dos partes proporcionalmente iguales.

( ) Raíces

C.- Es el grado de inclinación de la gráfica correspondiente a una función lineal.

( ) Término constante

D.- Se llama así a los valores de x para los cuales se satisface la igualdad f(x) = 0

( ) Paralelas

E.- Se llaman así a las rectas que tiene igual pendiente

( ) Razón de cambio

E.- Se llaman así a las rectas que tiene igual pendiente

( ) Razón de cambio

F.- En una función polinomial es el término que indica la intersección de su gráfica con el eje vertical Y.

( ) Eje de simetría

Página 32 de 38

Bloque VI. Emplea funciones racionales.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones racionales.

1. Una función racional es una función formada por el cociente de dos

funciones _____________________

2. El dominio de una función racional es el conjunto de números

reales x tales que q(x) debe ser _________________ de cero. 3. Establece el dominio de las siguientes funciones racionales:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

4. En cada una de las funciones anteriores, encuentra la ecuación de las

asíntotas verticales.

5. Utilizando tu calculadora, encuentra los valores de f(x) en los intervalos que se te piden y para los valores dados de x:

f(x) =

x (- ,-2) f(x) x (-2,4) f(x) x (4, ) f(x)

-10 -1.9 4.3

-8 -1.5 4.5

-6 -1 4.8

-4 0 5

-3.5 1 6

-3 2 8

-2.5 3 10

-2.2 3.5 12

-2.1 3.8 14

Página 33 de 38

Comprueba que las asíntotas verticales son x = -2 y x = 4, con los datos que obtuviste en la tabla y las ecuaciones de las asíntotas, grafica f(x).

Página 34 de 38

Bloque VII: Emplea funciones exponenciales y logarítmicas.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos exponenciales y logarítmicos aplicando las propiedades de crecimiento y decrecimiento propias de estas funciones, para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos, de su vida cotidiana o escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones exponenciales y logarítmicas.

1. Considera la función f(x) = 2x. Observa que la variación la encuentras ahora en el

exponente. Completa la siguiente tabla:

x f(x) = 2x (x,f(x))

-4 f(-4) = 2-4 = (-4,.0625)

-3

-2 f(-2) = 2-2 = = .25 (-2,.25)

-1

0

1

2 f(2) = 22 = 4 (2,4)

3

4

Elabora una tabla similar para la función f(x) = 2-x Grafica ambas funciones en el mismo plano de coordenadas cartesianas rectangulares.

(0,1)

Página 35 de 38

2. Revisa las gráficas anteriores y contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el eje de coordenadas con que se tiene una intersección? b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección? c) ¿ A que eje de coordenadas se pega la gráfica?

3. El papá de Rosita le ofrece dos opciones para aumentar su domingo, a manera de compensar sus logros escolares. Actualmente Rosita recibe la cantidad de $ 30. Las opciones que le ofrece su papá son: Opción 1) Aumentar en un 8% cada semana, respecto a la cantidad anterior. Opción 2) Aumentar un 10% cada semana tomando como base la cantidad que actualmente recibe. a) ¿ Que opción conviene más a Rosita? b) Calcula el “Domingo” que recibirá en la sexta semana para cada una de las

opciones.

4. El número de bacterias de cierto cultivo en un instante t, está dado por la función Q(t) = 2e3t, donde t está dado en horas y Q(t) en miles de bacterias. a) ¿ Cuál es el número inicial de bacterias? b) ¿ Cuál es el número después de 30 minutos? Y c) ¿Cuál es el número de bacterias después de 1 hora?

5. Grafica la función f(x) = log2x, recuerda que el dominio de toda función logarítmica

es Df = R+ = { x x > 0 } (1,0)

6. Escribe las expresiones en su forma logarítmica equivalente: a) 54 = 625 b) 10-3 = 0.001

c) 3-3 =

Página 36 de 38

7. Cambia de forma logarítmica a la forma exponencial equivalente: a) log 1000000 = 6

b) log31.316 =

c) log2( ) = – 4

8. Usando las propiedades de los logaritmos y considerando que log212 = 3.59 y log24 = 2, calcula, sin usar calculadora: a) log248 b) log23 (Sugerencia: Recuerda que 48 = 12X4 y 3 = 12/4)

9. La magnitud R (Escala de Richter) de los movimientos telúricos se mide con la

expresión R = log Donde I es la intensidad e I0 es la intensidad mínima.

Determina la magnitud R de un terremoto si tiene la intensidad siguiente: a) 1000 veces mayor que I0. b) 10,000 veces mayor que la intensidad I0. c) 100,000 veces mayor que la intensidad I0.

10. Bajo ciertas condiciones, y sujeto a la ley de enfriamiento de Newton, la función T = 30 + 50e-2.5t proporciona la temperatura T de un cuerpo después de un tiempo t (t, medido en horas). Si a las 10:00 se considera el tiempo inicial(t = 0), calcula: a) La temperatura a las 12:00 hs. b) La temperatura inicial del objeto. c) La hora aproximada a la cual la temperatura del objeto será de 300.

Página 37 de 38

Bloque VIII. Empleará funciones periódicas.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: El estudiante es competente cuando construye e interpreta modelos periódicos aplicando las propiedades de las funciones senoidales para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos senodidales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

1. Completa la siguiente tabla:

x (radianes) f(x) = senx f(x) = cosx

0 0 1

/4

/2

3 /4

0 -1

5 /4

3 /2 -1

7 /4

2 1

Utilizando los valores de la tabla, Grafica en el mismo plano las funciones f(x) = senx y f(x) = cosx.

1

2

-1

Página 38 de 38

2. Si f(x) = asenkx o f(x) = acoskx, para números reales a y k diferentes de cero, la

gráfica de la función tiene amplitud a y período igual a 2 / k En base a lo anterior, determina la amplitud y el período de: a) f(x) = 10cos6x

b) f(x) = 3sen6 x.

3. Elabora una tabla para las funciones anteriores y grafícalas.

x 6x cos6x 10cos6x

x 6 x Sen6 x 3sen6 x

4. En un criadero de conejos se ha observado que la población de ellos varía de

acuerdo a la ecuación N = 500 + 120sen2t, donde t es el tiempo en años. a) ¿Cuántos conejos habrá en 2 años? b) Inicialmente, ¿cuántos conejos hay?

5. La caída de voltaje en un circuito eléctrico es varía según la fórmula:

V = 165sen(110 t), donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál será el voltaje en 20 segundos?